四星级高中数学高频错题点集中汇编(下)

《为您服务服务网》http://www.wsbedu.com 第四课时 例题 例1 某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电 （选哪一天是等可能的）.假定工厂之间的选择互不影响. （Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率； （Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率. (2004年浙江卷) 例2 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格. （Ⅰ）分别求甲、乙两人考试合格的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. (2004年福建卷) 例3 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 . （Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率； （Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率. (2004年湖南卷) 例4 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下: 预防措施 甲 乙 丙 丁 P 0.9 0.8 0.7 0.6 费用（万元） 90 60 30 10 预防 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下,请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.(2004年湖北卷) 备用 一个医生已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为实验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效，试求： (1)虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率； (2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率。 解： 记一个病人服用该药痊愈为事件 A，且其概率为P，那么10个病人服用该药相当于10次重复试验. (1)因新药有效且P=0.35，故由n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式知，试验被否定（即新药无效）的概率为 (2)因新药无效，故P=0.25，试验被认为有效的概率为 答： 新药有效，但通过试验被否定的概率为0.5138；而新药无效，但通过试验被认为有效的概率为0.2242 作业 1. 从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是 （A） （B） （C） （D） ( ) 2. 甲、乙两人独立地解同一题，甲解决这个问题的概率是0.4，乙解决这个问题的概率是0.5，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是 ( ) (A)0.9 (B)0.2 (C)0.8 (D)0.7 3. 一个袋中有带标号的7个白球，3个黑球．事件A：从袋中摸出两个球，先摸的是黑球， 后摸的是白球．那么事件A发生的概率为________． 4. 口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出 5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 .（以数值作答） 5. 张华同学骑自行车上学途中要经过4个交叉路口，在各交叉路口遇到红灯的概率都是 （假设各交叉路口遇到红灯的事件是相互独立的）. （Ⅰ）求张华同学某次上学途中恰好遇到3次红灯的概率. （Ⅱ）求张华同学某次上学时，在途中首次遇到红灯前已经过2 个交叉路口的概率.设 6. 甲、乙、丙三人分别独立解一道题，已知甲做对这道题的概率是 ，甲、丙两人都做错的概率是 ，乙、丙两人都做对的概率是 . （Ⅰ）求乙、丙两人各自做对这道题的概率； （Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率. 例题答案 1．（Ⅰ） ； （Ⅱ） . 2．（Ⅰ） ;（Ⅱ） . 3．（Ⅰ） ；（Ⅱ） 4．联合采用乙、丙、丁三种预防措施 作业答案 1. C 2. D 3. 4. 5. （Ⅰ） （Ⅱ） 6. （Ⅰ） , （Ⅱ） 第五课时 例题 例1 某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A产品中有2件次品． （Ⅰ）求该盒产品被检验合格的概率； （Ⅱ）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率． (2004年南京市一模) 例2 一个通信小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通信.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p，计算在这一时间段内 （Ⅰ）恰有一套设备能正常工作的概率； （Ⅱ）能进行通信的概率. (2004年南京市二模) 例3 某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100m跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别是 ， ， .如果对这3名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测. 问 （Ⅰ）三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ （Ⅱ）出现几人合格的概率最大？ (2004年南京市三模) 例4 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5. （Ⅰ）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标概率；（Ⅱ）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率. (2004年重庆卷) 备用 若甲、乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局两胜和五局三胜制，问在哪种比赛 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 下，甲获胜的可能性较大. 解： 三局两胜制的甲胜概率： 甲胜两场： ,甲胜三场： , 甲胜概率为 + =0.648 五局三胜制： 甲胜三场： ,甲胜四场： ,甲胜五场： , 甲胜概率为 + + =0.682 由0.648<0.682，知五局三胜制中甲获胜的可能性更大. 作业 1. 已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为 ( ) （A） （B） （C） （D） 2. 从5名演员中选3人参加 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 演，其中甲在乙前表演的概率为（ ） (A) (B) (C) (D) 3. 15名新生，其中有3名优秀生，现随机将他们分到三个班级中去，每班5人，则每班都分到优秀生的概率是　　　　　　　　． 4. 如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是0.5， 且是相互独立的，则灯亮的概率为 5. 甲、乙、丙3人一起参加公务员选拔考试，根据3 人的初试情况，预计他们被录用的概率依次为0.7、0.8、0.8. 求: (Ⅰ)甲、乙2人中恰有1 人被录用的概率；(Ⅱ)3人中至少的2 人被录用的概率. 6. 对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．（Ⅰ）求下列事件的概率：①A：甲正好取得两只配对手套； ②B：乙正好取得两只配对手套；（Ⅱ）A与B是否独立？并证明你的结论． 例题答案 1. (Ⅰ) EMBED Equation.DSMT4 ; (Ⅱ) 2. (Ⅰ) (Ⅱ) 3.（Ⅰ） ， ；（Ⅱ）1人 . 4. （Ⅰ）0.94, 0.44; （Ⅱ）0.441 作业答案 1. D 2. A 3. 4. 0.625 5. (Ⅰ) ; (Ⅱ)0.416+0.448=0.864. 6.(Ⅰ)① ,② ; (Ⅱ) , ,故A与B是不独立的． 备用课时一 随机事件的概率 例题 例1 某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问： (1)恰好第三次打开房门所的概率是多少？ (2)三次内打开的概率是多少？ (3)如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？ 解 5把钥匙，逐把试开有 种结果，由于该人忘记了开房间的是哪一把，因此这些结果是等可能的。 (1)第三次打开房门的结果有 种，故第三次打开房门锁的概率P(A)= = (2)三次内打开房门的结果有 种，因此所求概率P(A)= = (3)方法1 因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有 种，从而三次内打开的结果有 种，从而三次内打开的结果有 种，所求概率P(A)= = . 方法2 三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果 种；三次内恰有两次打开的结果 种.因此，三次内打开的结果有（ ）种，所求概率P(A)= 例2 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成. (1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？ (2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？ 解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为 ，随意按下6个数字相当于随意按下 个，随意按下6个数字相当于随意按下 个密码之一，其概率是 . (2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为 . 例3 一个口袋内有m个白球和n个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示） 解 设事件I是“从m个白球和n个黑球中任选3个球”，要对应集合I1，事件A是“从m个白球中任选2个球，从n个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I1)= ，于是P(A)= . 例4 将一枚骰子先后抛掷2次，计算: (1)一共有多少种不同的结果. (2)其中向上的数之积是12的结果有多少种？ (3)向上数之积是12的概率是多少？ 解 （1）将骰子向桌面先后抛掷两次，一共有36种不同的结果. (2)向上的数之积是12，记（I,j）为“第一次掷出结果为I，第二次掷出结果为j”则相乘为12的结果有（2，6），（3，4），（4，3），（6，2）4种情况. (3)由于骰子是均匀的，将它向桌面先后抛掷2次的所有36种结果是等可能的，其中“向上的数之积是12”这一事件记为A.Card(A)=4.所以所求概率P(A)= = . 作业 1． 袋中有a只黑球b只白球，它们除颜色不同外，没有其它差别，现在把球随机地一只一只摸出来，求第k次摸出的球是黑球的概率. 解法一：把a只黑球和b只白球都看作是不同的，将所有的球都一一摸出来放在一直线上的a+b个位置上，把所有的不同的排法作为基本事件的全体，则全体基本事件的总数为（a+b）！，而有利事件数为a(a+b-1)!故所求概率为P= 。 解法二：把a只黑球和b只白球看作是不同的，将前k次摸球的所有不同可能作为基本事件全体，总数为 ，有利事件为 ，故所求概率为P= 解法三：把只考虑k次摸出球的每一种可能作为基本事件，总数为a+b，有利事件为a,故所求概率为 . 备用课时二 互斥事件有一个发生的概率 例题 例1 房间里有6个人，求至少有2个人的生日在同一月内的概率. 解 6个人生日都不在同一月内的概率P( )= .故所求概率为P(A)=1-P( )=1- . 例2 从一副52张的扑克牌中任取4张，求其中至少有两张牌的花色相同的概率。 解法1 任取四张牌，设至少有两张牌的花色相同为事件A；四张牌是同一花色为事件B1；有3张牌是同一花色，另一张牌是其他花色为事件B2；每两张牌是同一花色为事件B3；只有两张牌是同一花色，另两张牌分别是不同花色为事件B4，可见，B1,B2,B3,B4彼此互斥，且A=B1+B2+B3+B4。 P(B1)= , P(B2)= , P(B3)= , P(B4)= , P(A)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4) 0.8945 解法2 设任取四长牌中至少有两张牌的花色相同为事件A，则 为取出的四张牌的花色各不相同， P（ ）= ， 答：至少有两张牌花色相同的概率是0.8945 例3 在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求： （1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率. 解 （1）从20件产品中任取3件的取法有 ，其中恰有1件次品的取法为 。 恰有一件次品的概率P= . (2)法一 从20件产品中任取3件，其中恰有1件次品为事件A1,恰有2件次品为事件A2，3件全是次品为事件A3,则它们的概率 P(A1)= = , , , 而事件A1、A2、A3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率 P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= . 法二 记从20件产品中任取3件，3件全是正品为事件A，那么任取3件，至少有1件次品为 ，根据对立事件的概率加法公式P( )= 例4 1副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从1副洗好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率. 解 从52张牌中任取4张，有 种取法.“4张中至少有3张黑桃”，可分为“恰有3张黑桃”和“4张全是黑桃”，共有 种取法 注 研究至少情况时，分类要清楚。 作业 1． 在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件，求： (1) 2件都是合格品的概率； (2) 2件都是次品的概率； (3)1件是合格品，1件是次品的概率。 解 从100件产品中任取2件的可能出现的结果数，就是从100个元素中任取2个元素的组合数 ，由于任意抽取，这些结果出现的可能性相等. 为基本事件总数. （1）00件产品中有95件合格品，取到2件合格品的结果数，就是从95个元素中任取2个组合数 ，记“任取2件都是合格品”为事件A1，那么 （2）由于在100件产品中有5件次品，取到2件次品的结果数为 .记“任取2件都是次品”为事件A2,那么事件A2的概率为： （3）记“任取2件，1件是次品，1件是合格品”为 种，则事件A3的概率为： 备用课时三 相互独立事件同时发生的概率 例题 例1 猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离150米. 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率. 解 记三次射击依次为事件A，B，C，其中 ,由 ，求得k=5000。 , 命中野兔的概率为 例2 1个产品要经过2道加工程序，第一道工序的次品率为3%，第二道工序次品率为2%，求产品的次品率. 解 设“第一道工序出现次品“为事件A，“第二道工序出现次品”为事件B，“至少有一道工序出现次品”该产品就是次品，所求概率为 例3 如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有六个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。每个焊接点脱落的概率均是 ，现在发现电路不通了，那么至少有两个焊接点脱落的概率是多少？ 解： 例4 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求： （1）其中至少有一件废品的概率； （2）其中至多有一件废品的概率. 解： 设事件A为“从甲机床抽得的一件是废品”；B为“从乙机床抽得的一件是废品”. 则P（A）=0.05, P(B)=0.1, （1）至少有一件废品的概率 （2）至多有一件废品的概率 作业 1． 假设每一架飞机引擎飞机中故障率为P，且个引擎是否发生故障是独立的，如果有至少50%的引擎能正常运行，问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎飞机更安全？ 解 飞机成功飞行的概率： 4引擎飞机为： 2引擎飞机为： 要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，只要 所以 立体几何 1平行关系 例题讲解： 例1：已知四面体ABCD中，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，求证： (1)MN∥平面ABD； (2)BD∥平面CMN。 答案与提示：连CM、CN分别交AB、AD于E、F，连EF，易证 MN∥EF∥BD 例2.已知边长为10的等边三角形ABC的顶点A在平面α内，顶点B、C在平面α的上方，BD为AC边上的中线，B、C到平面α的距离BB1=2，CC1=4． (1)求证：BB1∥平面ACC1 (2)求证：BD⊥平面ACC1 (3)求四棱锥A-BCC1B1的体积 答案与提示：（3）30 EQ \R(,7) 例3.已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点. (1) 求证：MN∥平面PAD； (2) 求证：MN⊥CD； (3) 若平面PCD与平面ABCD所成二面角为θ，问能否确定θ的值，使得MN是异面直线AB与PC的公垂线. 答案与提示：（3）45° 备用题 如图,在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，△ABC为正三角形， D、E分别为BC、AC的中点，设AB=2PA=2， (1)如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？说明理由； (2)对于(1)中的点F，求二面角P-EF-A的大小； 答案与提示：（1）F为CD中点（2）arctan2 作业 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1= EQ \F(1,2) AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过A1，B，M三点的平面交C1D1于点N。 (1)求证：EM∥平面ABCD； (2)求二面角B-A1N-B1的正切值。 答案与提示：（2）arctan EQ \F(,4) 2垂直关系 例题讲解： 例1：如图,在三棱锥P-ABC中，AB=BC=CA，PA⊥底面ABC，D为AB的中点． (1)求证：CD⊥PB； (2)设二面角A-PB-C的平面角为α，且tanα= EQ \R(,7)，若底面边长为1，求三棱锥P-ABC的体积． 答案与提示：（2） EQ \F(1,8) 例2：已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA1和CC1的中点，G是A1C1的中点． (1)求证平面BFD1E⊥平面BGD1； (2)求点G到平面BFD1E的距离； (3)求四棱锥A1-BFD1E的体积． 答案与提示：（2） EQ \F(,6) a (3) EQ \F(1,6)a3 例3：四边形ABCD中．AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿对角线BD折起，记折起点A的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD． (1)求证：CD⊥平面PBD； (2)求证：平面PBC⊥平面PDC； (3)求二面角P—BC—D的大小． 答案与提示：(2)先证PB⊥面PCD (3)arctan EQ \R(,2) 备用题 在三棱锥S-ABC中，已知SA=4，AB=AC，BC=3 EQ \R(,6) ,∠SAB=∠SAC=45°,SA与底面ABC所的角为30°. (1)求证：SA⊥BC； (2)求二面角S—BC—A的大小； (3)求三棱锥S—ABC的体积． 答案与提示：(2)arctan EQ \F(2,3) EQ \R(,3) (3)9 EQ \R(,2) 作业 1.在四棱锥P-ABCD中，已知PD⊥底面ABCD，底面ABCD为等腰梯形,且∠DAB=60°，AB=2CD，∠DCP=45°，设CD=a． (1)求四棱锥P-ABCD的体积． (2)求证：AD⊥PB． 答案与提示：(1) EQ \F(,4) a3 2.如图，正三角形ABC与直角三角形BCD成直二面角，且∠BCD=90°，∠CBD=30°. （1）求证：AB⊥CD； （2）求二面角D—AB—C的大小； 答案与提示：(2)arctan EQ \F(2,3) 3 空间角 例1、如图1，设ABC-A B C 是直三棱柱，F是A B 的中点，且 (1)求证：AF⊥A C； (2)求二面角C-AF-B的大小． 解：(1)如图2，设E是AB的中点，连接CE，EA ．由ABC-A B C 是直三棱柱，知AA ⊥平面ABC，而CE平面ABC，所以CE⊥AA ， ∵AB=2AA =2a，∴AA =a，AA ⊥AE，知AA FE是正方形，从而AF⊥A E．而A E是A C在平面AA FE上的射影，故AF⊥A C； (2)设G是AB 与A1E的中点，连接CG．因为CE⊥平面AA B B，AF⊥A E，由三垂线定理，CG⊥AF，所以∠CGE就是二面角C-AF-B的平面角．∵AA FE是正方形，AA =a， ∴ ， ∴ ， ∴tan∠CGE= ，∠CGE＝ ，从而二面角C-AF-B的大小为 。 例2、 一条长为2的线段夹在互相垂直的两个平面(、(之间，AB与(成45o角，与(成 角，过A、B两点分别作两平面交线的垂线AC、BD，求平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小． 以CD为轴，将平 以AB为轴，将平 面BCD旋转至与 面ABD旋转至与 平面ACD共面 平面ABC共面 图 1 图 2 图 3 解法１、过D点作DE⊥AB于E，过E作EF⊥AB交BC于F(图1)，连结DF，则∠DEF即为二面角D－AB－C的平面角． 为计算△DEF各边的长，我们不妨画出两个有关的移出图．在图2中，可计算得DE＝1，EF＝ ，BF＝ ＝ ．在移出图3中， ∵ cosB＝ ＝ , 在△BDF中，由余弦定理： DF 2＝BD 2＋BF 2－2BD ﹒ BF ﹒ cosB ＝( )2＋( )2 －2 ﹒ ﹒ ＝ ． （注：其实，由于AB⊥DE，AB⊥EF，∴ AB⊥平面DEF，∴ AB⊥DF． 又∵ AC⊥平面(，　∴　AC⊥DF． ∴　DF⊥平面ABC， ∴ DF⊥BC，即DF是Rt△BDC斜边BC上的高，于是由BC ﹒ DF＝CD ﹒BD可直接求得DF的长．） 在△DEF中，由余弦定理： cos∠DEF＝ ＝ ＝ . ∴ ∠DEF＝arccos .此即平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小． 解法２、过D点作DE⊥AB于E，过C作CH⊥AB于H，则HE是二异面直线CH和DE的公垂线段，CD即二异面直线上两点C、D间的距离．运用异面直线上两点间的距离公式，得： CD 2＝DE 2＋CH 2＋EH 2－2DE CH cos( (*) （注：这里的(是平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小，当0＜( o≤90o，( 亦即异面直线CH与DE所成的角；当90o＜( ＜180o，异面直线所成的角为180o－( .） ∵ CD＝DE＝1，CH＝ ，HE＝ ， 从而算得 cos(＝ ， ∴ (＝arccos . 例3、如图1，直三棱柱ABC－A B C 的各条棱长都相等， D为棱BC上的一点，在截面ADC 中，若∠ADC ＝ ， 求二面角D－AC​1－C的大小． 解：由已知，直三棱柱的侧面均为正方形， 图 7 ∵ ∠ADC1＝90o，即AD⊥C1D．又CC1⊥平面ABC， ∴ AD⊥CC1.　∴ AD⊥侧面BC1，∴ AD⊥BC， 图1 ∴ D为BC的中点． 过C作CE⊥C1D于E，∵ 平面ADC1⊥侧面BC1， ∴ CE⊥平面ADC1．取AC1的中点F，连结CF，则CF⊥AC1． 连结EF，则EF⊥AC1(三垂线定理) ∴ ∠EFC是二面角D－AC1－C的平面角． 在Rt△EFC中，sin∠EFC＝ . ∵ BC＝CC1＝a 易求得 CE＝ ，CF＝ . ∴ sin∠EFC＝ ， ∴ ∠EFC＝arcsin . ∴ 二面角D－AC1－C的大小为arcsin . 例4、（2004年北京春季高考题）如图， 四棱锥 的底面是边长为1的正方形， 图（1） SD垂直于底面ABCD，SB=√3。 （I）求证 ； （II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小； （III）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小。 (Ⅳ)求SD与面SAB所成角的大小。 分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。 （I）证明：如图1 ∵底面ABCD是正方形 SD⊥底面ABCD DC是SC在平面ABCD上的射影 由三垂线定理得 （II）解：SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形 可以把四棱锥 补形为长方体 ，如图2 面ASD与面BSC所成的二面角就是面 与面 所成的二面角， 又 为所求二面角的平面角 在 中，由勾股定理得 在 中，由勾股定理得 即面ASD与面BSC所成的二面角为 图2 图3 （III）解：如图3 是等腰直角三角形 又M是斜边SA的中点 面ASD，SA是SB在面ASD上的射影 由三垂线定理得 异面直线DM与SB所成的角为 (Ⅳ) 45° 练习：1.设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC= ∠DBC=120º.求： (1).直线AD与平面BCD所成角的大小. (2).异面直线AD与BC所成的角. (3) .二面角A-BD-C的大小. 答案：（1）45°（2）90°（3）180°-arctan2 2..如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为 EQ \R(,6)，D,E分别为AA1,B1C1的中点. (1)求证：平面AA1E⊥平面BCD； (2)求直线A1B1与平面BCD所成的角． 答案：（2）30° 3.如图,四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PD=a，PA=PC= EQ \R(,2)a， (1)求证：PD⊥平面ABCD； (2)求异面直线PB与AC所成角的大小； (3)求二面角A-PB-D的大小； (4)在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径． 答案：（2）90°（3）60°(4)(2-√2)a/2 4.在三棱锥S-ABC中，已知SA=4，AB=AC，BC=3 EQ \R(,6),∠SAB=∠SAC=45º,SA与底面ABC所成的角为30º. (1)求证：SA⊥BC； (2)求二面角S—BC—A的大小; (3)求三棱锥S—ABC的体积． 答案：（3）9 4　　距离 例1、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直 角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为 CE= ，D为AB的中点. （1）求证：AB​1⊥平面CED； （2）求异面直线AB1与CD之间的距离； （3）求二面角B1—AC—B的平面角. 解:（1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形， ∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1. ∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1， ∴AB1⊥平面CDE； （2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE ∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1, ∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段 ∵CE= ，AC=1 , ∴CD= ∴ ； （3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC , ∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角. 在Rt△CEA中，CE= ，BC=AC=1,∴∠B1AC=600 ∴ ， ∴ , ∴ , ∴ . 例2、如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN= EMBED Equation.3 （1） 求MN的长； （2） 当 为何值时，MN的长最小； （3） 当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角 的大小。 例3. 如图，平面(∩平面(＝MN， 二面角A－MN－B为60°,点A∈(， 　　B∈(，C∈MN，∠ACM＝∠BCN＝45°. AC＝1, (1) 求点A到平面(的距离； (2) 求二面角A－BC－M的大小．　 答案(1) ； (2)arctan (提示：求出点A在平面 ( 的射影到直线BC的距离为 ). 例4、已知直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1＝4cm， 它的底面△ABC中有AC＝BC＝2cm，∠C＝90°,E是AB的 中点． (1) 求证：CE和AB1所在的异面直线的距离等于 cm； (2) 求截面ACB1与侧面ABB1A1所成的二面角的大小． 答案 (2) arccos . 练习：1.已知：如图，△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，P是平面ABC外一点，且PA=PB=PC=6cm． (1)求点P到平面ABC的距离； (2)求PA与平面ABC所成角的余弦． 2.如图，正三棱柱A1B1C1-ABC中，底面边长和侧棱长都是1，D、E分别是C1C和A1B1的中点． (1)求点E到平面ABD的距离： (2)求二面角A—BD—C的正切值． 3.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的九条棱均相等，D是BC上一点，AD⊥C1D. (1).求证：截面ABC1⊥侧面BCC1B1. (2)求二面角C-AC1-D的大小. (3)若AB=2，求直线A1B与截面ADC1的距离. . 4.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点. (1)求证：四边形B1EDF是菱形； (2)求直线A1C与DB的距离； (3)求直线AD与平面B1EDF所成的角. (4)求平面B1D1C与A1DB的距离 5多　面　体 例1．斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b， 侧棱AA1和AB、AC都成45°的角，求棱柱的侧面积和体积. 例2．三棱锥各侧面与底面均成45°角，底面三角形三内角A、B、C满足2B＝A＋C，最大边与最小边是方程3x2－27x＋32=0的两根． （1）求棱锥的高；（2） 求棱锥的侧面积． 例3．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为4，M是BC的中点，N是CC1上一点，满足MN⊥AB1 （1）试求三棱锥 的体积； （2）求点C1到平面AMN的距离。 例4．如图，三棱柱 的底面是边长为a的正三角形，侧面 是菱形且垂直于底面，∠ ＝60°，M是 的中点． （1）求证：BM⊥AC； （2）求二面角 的正切值； （3）求三棱锥 的体积． 习题 1．正三棱锥P－ABC的底面边长为a，E、F分别是侧棱PB、PC的中点，且E、A、F三点的截面垂直于侧面PBC． （1） 求棱锥的全面积；（2） 侧面与底面所成的角的余弦值． 2．如图，直四棱柱 的侧棱 的长是a，底面ABCD是边长AB=2a，BD=a的矩形，E为 的中点。　　　　　　　　　　　　　 (.1)求二面角E-BD-C的大小; (2)求三棱锥 的体积. 3．如图，正三棱柱 的底面边长为a，点M在边BC上，△ 是以点M为直角顶点的等腰直角三角形． 　　（1）求证点M为边BC的中点； 　　（2）求点C到平面 的距离； 　　（3）求二面角 的大小． 答案： 例题　 1． ， 2．作PO 面ABC，作OD,OE,OF分别垂直于三边，连结PD，PE，PF，，易得，B＝600 　　 , =7, , , 3．三棱锥 的体积为 ，　点C1到平面AMN的距离为 4．（1）证明：∵　 是菱形，∠ ＝60° △ 是正三角形 　　又∵　 　　 　　（2） 　∴　∠BEM为所求二面角的平面角 　　△ 中， 60° ，Rt△ 中， 60° 　　　∴　 ，　∴　所求二面角的正切值是2； （3） 习题 1． ， 2. 二面角E-BD-C的大小为45°，三棱锥 的体积为 3．（1）∵　△ 为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴　 且 ．∵　正三棱柱 ，　∴　 底面ABC． 　　∴　 在底面内的射影为CM，AM⊥CM． 　　∵　底面ABC为边长为a的正三角形，∴　点M为BC边的中点． 　　（2）过点C作CH⊥ ，由（1）知AM⊥ 且AM⊥CM， 　　∴　AM⊥平面 　∵　CH在平面 内，　∴　CH⊥AM， 　　∴　CH⊥平面 ，由（1）知， ， 且 ． 　　∴　 ．　∴　 ． 　　∴　点C到平面 的距离为底面边长为 ． 　　（3）过点C作CI⊥ 于I，连HI，　∵　CH⊥平面 ， 　　∴　HI为CI在平面 内的射影， 　　∴　HI⊥ ，∠CIH是二面角 的平面角． 　　在直角三角形 中， ， EMBED Equation.3 ，　∴　∠CIH＝45°，　∴　二面角 的大小为45° 6球 例1．设地球是半径为R的球，地球上A、B两地都在北纬45(上，A、B两点的球面距离是 EQ \F(1,3) (R，A在东经20(，求点B的位置 例2．半径为13cm的球面上有A、B、C三点，每两点间的距离是AB=6cm，BC=8cm，CA=10cm，求这三点所在的平面到球心的距离. 例3．半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为 ，求半球的表面积和体积。 例4．如图，A、B、C是半径为1的球面上的三点，B、C两点间的球面距离为 π，点A与B、C两点间的球面距离均为 ，O为球心，求： （1）∠BOC、∠AOB的大小； （2）球心O到截面ABC的距离. 习题 1．已知正方体的全面积为24，求：（1）求外接球的表面积；　（2）求内切球的表面积. 2．一个正四面体的棱长为2 ，求该四面体的外接球的体积. 3．在120°的二面角内放一个半径为5的球，分别切两个半平面于点A、B，求这两个切点A、B在球面上的最短距离 答案：　 例题 1． 东径1100，或者西径70°　　　　2．12cm 3. 18π，， 18π 4. ∠BOC= , ∠AOB= , 球心O到截面ABC的距离为 习题 1．外接球的表面积为12π，内切球的表面积为4π，　　2．36π 3． 7综合应用(1) 例题讲解： 例1：如图，在斜四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠DAB＝60°，若点A1在平面ABCD上的射影是BD的中点，设点E是CC1上的中点，AA​1＝4． (1)求证：BB1D1D是矩形； (2)求二面角E—BD—C的大小； (3)求四面体B1—BDE的体积． 答案与提示：(2)arccos EQ \F(3,14) EQ \R(,21) (3) EQ \F(16,3) EQ \R(,3) 例2：三棱锥S—ABC中，底面△ABC是顶角为∠ABC=α、AC=a的等腰三角形，SCA= EQ \A() \F(π,2) ，SC=b，侧面SAC与底面ABC所成二面角为θ（0<θ≤ EQ \A() \F(π,2) ）,E、D分别为SA和AC的中点. （1）求证无论θ，α为何值时，点S到截面BDE的距离为定值; （2）求三棱锥S—ABC的体积. 答案与提示：(1) EQ \F(a,2) (2) EQ \F(1,12)c2bcotEQ \F(α,2)sinθ 例3：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证：PA∥平面EBD； (2)求证：PB⊥平面EFD； (3)求二面角C-PB-D的大小. 答案与提示：(3)60° 备用题： 1.如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为 的正方形，BD和AC相交于O点，侧面SAB是等边三角形，且平面SAB 平面ABCD。 (1)求SO与平面SAB所成的角； (2)求二面角B－SA－C的大小； (3)求点C到平面SBD的距离。 答案与提示：(1)30°(2)arctan EQ \F(2,3) EQ \R(,3) 作业 1.已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a(a>0)，PA⊥平面ABCD，且PA=1. (1)问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD； (2)若BC边上有且仅有一个点Q，使得PQ⊥QD ，求这时二面角Q-PD-A的大小. 答案与提示：(1)当a≥2时存在，当a<2时不存在 (2)arctan EQ \F(1,2) EQ \R(,5) 2.如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA. (1) 求异面直线PA与CD所成的角； (2) 求证：PC∥平面EBD； (3) 求二面角A-BE-D的大小. 答案与提示：(1) 60° (3)arctanEQ \R(,5) 8综合应用(2) 例题讲解： 例1：已知斜三棱柱ABC-A’B’C’的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α （0°<α<90°），B’在底面上的射影D落在BC上。 （1）求证：AC⊥面BB’C’C。 （2）当α为何值时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。 答案与提示：(2) 60° 例2：如图，已知 面 ， 于D， 。 （1）令 ， ，试把 表示为 的函数，并求其最大值； （2）在直线PA上是否存在一点Q，使得 ？ 答案与提示：(1) = EQ \F(x,x2+2) 最大值为 EQ \F(1,4) EQ \R(,2) (2)存在 例3：长方体 中， ， ， 是侧棱 中点． （1）求直线 与平面 所成角的大小； （2）求二面角 的大小； （3）求三棱锥 的体积． 答案与提示：(1)45°(2) (3) EQ \F(1,6) 备用题： 如图，直四棱柱中ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AA1=2AB=4，E、F分别为AA1、DD1上的点，且A1E=DF=1=BC=CD. (1) 求直线EF与平面ABB1A1所成的角； (2) 求证：平面CEF⊥平面ADD1A1. 答案与提示：(1)arctan EQ \F(1,5) EQ \R(,5)(2)证AF⊥面CEF 作业 1.如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，过BC1的平面BC1D∥AB1，平面BC1D交AC于D. （1）求证BD⊥平面ACC1A1； （2）若二面角C1—BD—C等于60°，求平面BC1D与平面BCC1B1所成二面角的大小.（结果用反三角函数表示） 答案与提示：(2)arctan EQ \F(1,3) EQ \R(,7) 2.如图，已知四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，CD=2，PA=AD=AB=1，E为PC的中点. （1）求证：EB∥平面PAD； （2）求直线BD与平面PCD所成的角； （3）求二面角A—PC—D的大小. 答案与提示：(2)30°(3) arctan EQ \F(1,2) EQ \R(,6) 解析几何 高考第一问训练（ 第一课 旧约精览一百步肺炎基本知识第八章运动和力知识点六上学与问第一课时开学第一课收心教育 时） 高考解答题中解析几何是在第二问中加大区分度的，因此第一问的训练对于普通学校来说还是非常重要的，而第一问常考查动点的轨迹，求直线方程 ，圆锥曲线方程中的基本量，近年来，又加入了向量，但只是考察向量知识为主，以向量方法去做题在第一问中考查的还不多。 例一．（2004. 辽宁卷）（本小题满分12分） 设椭圆方程为 ，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点， 点P满足 ，点N的坐标为 ，当l绕点M旋转时，求： （1）动点P的轨迹方程； 解答：．本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分12分. （1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为 记 、 由题设可得点A、B的坐标 、 是方程组 的解.…………………………2分 将①代入②并化简得， ，所以 于是 …………6分 设点P的坐标为 则 消去参数k得 ③ 当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方 程为 ………………8分 解法二：设点P的坐标为 ，因 、 在椭圆上，所以 ④ ⑤ ④—⑤得 ，所以 当 时，有 ⑥ 并且 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 ⑧ 当 时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0） 也满足⑧，所以点P的轨迹方程为 ………………8分 例二（2004.湖南理）（本小题满分12分） 如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点. （I）设点P分有向线段 所成的比为 ，证明: EMBED Equation.3 ； 31．解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程 得 ① 设A、B两点的坐标分别是 、 、x2是方程①的两根. 所以 由点P（0，m）分有向线段 所成的比为 ， 得 又点Q是点P关于原点的对称点， 故点Q的坐标是（0，－m），从而 . 所以 例三．(2004. 天津卷)（本小题满分14分） 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为 ，相应于焦点 的准线 与 轴相交于点A， ，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。 (I) 求椭圆的方程及离心率； (22)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算: (I)解：由题意，可设椭圆的方程为 由已知得 解得 所以椭圆的方程为 ，离心率 （课后训练） 1.（2004.江苏）已知椭圆的中心在原点，离心率为 EQ \F(1,2) ，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程；：答案：（1） 2．（2004. 福建理）（本小题满分12分） 如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q. （Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程； 答案：. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法 解：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0. 由y=x2， ① 得y＇=x. ∴过点P的切线的斜率k切= x1， ∴直线l的斜率kl=－=-， ∴直线l的方程为y－x12=－ (x－x1)， 方法一： 联立①②消去y，得x2+x－x12－2=0. ∵M是PQ的中点 x0==-， ∴ y0=x12－(x0－x1). 消去x1，得y0=x02++1(x0≠0)， ∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0). 方法二： 由y1=x12，y2=x22，x0=， 得y1－y2=x12－x22=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)， 则x0==kl=-， ∴x1=－， 将上式代入②并整理，得 y0=x02++1(x0≠0)， ∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0). 3．（2004.湖北理）（本小题满分12分） 直线 的右支交于不同的两点A、B. （I）求实数k的取值范围； 答案：．本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分12分. 解：（Ⅰ）将直线 ……① 依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故 5. （04. 上海春季高考）(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知倾斜角为 的直线 过点 和点 ， 在第一象限， . (1) 求点 的坐标； (2) 若直线 与双曲线 EMBED Equation.3 相交于 、 两点，且线段 的中点坐标为 ，求 的值； 答案： (1) 直线 方程为 ，设点 ，由 及 ， 得 ， ，点 的坐标为 。 （2）由 得 ，设 ，则 ，得 。 。 解析几何第一问(第二课时) 例一椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12． （1）求椭圆C的离心率； 答案：）设 , 对 由余弦定理, 得 ， 解出 例二知直线 与椭圆 相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线 上. （１）求此椭圆的离心率； 答案：设A、B两点的坐标分别为 得 EMBED Equation.3 , 根据韦达定理，得