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首页 计算流体力学讲义(任玉新)清华大学+基础篇

计算流体力学讲义(任玉新)清华大学+基础篇.pdf

计算流体力学讲义(任玉新)清华大学+基础篇

wangzhi
2009-07-20 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《计算流体力学讲义(任玉新)清华大学+基础篇pdf》,可适用于工程科技领域

计算流体力学讲义(基础篇)任玉新清华大学工程力学系流体力学研究所年月第一章绪论§计算流体力学:概念与意义一、什么是计算流体力学任何流体运动的规律都是由以下个基本定律为基础的:)质量守恒定律)牛顿第二定律(力=质量×加速度)或者与之等价的动量定理)能量守恒定律。这些基本定律可由积分或者微分形式的数学方程(组)来描述。把这些方程中的积分或者(偏)微分用离散的代数形式代替使得积分或微分形式的方程变为代数方程(组)然后通过电子计算机求解这些代数方程从而得到流场在离散的时间空间点上的数值解。这样的学科称为计算流体(动)力学(ComputationalFluidDynamics以下简称CFD)。CFD有时也称流场的数值模拟数值计算或数值仿真。在流体力学基本方程中的微分和积分项中包括时间空间变量以及物理变量。要把这些积分或者微分项用离散的代数形式代替必须把时空变量和物理变量离散化。空间变量的离散对应着把求解域划分为一系列的格子称为单元体或控制体(meshcellcontrolvolume)。格子边界对应的曲线称为网格(grid)网格的交叉点称为网格点(gridpoint)。对于微分型方程离散的物理变量经常定义在网格点上。某一个网格点上的微分运算可以近似表示为这个网格点和相邻的几个网格点上物理量和网格点坐标的代数关系(这时的数值方法称为有限差分方法)。对于积分型方程离散物理量可以定义在单元体的中心、边或者顶点上。单元体上的积分运算通常表示为单元体的几何参数、物理变量以及相邻单元体中物理变量的代数关系(这时的数值方法称为有限体积方法和有限元方法)。所谓数值解就是在这些离散点或控制体中流动物理变量的某种分布他们对应着的流体力学方程的用数值表示的近似解。由此可见CFD得到的不是传统意义上的解析解而是大量的离散数据。这些数据对应着流体力学基本方程的近似的数值解。对于给定的问题CFD研究的目的在于通过对这些数据的分析得到问题的定量描述。在这一点上CFD与实验研究有类似之处。另一方面CFD直接处理的是描述流动的数学模型:微分或积分形式的方程组及其边界条件。在这一点上CFD与理论流体力学又是相同的。CFD可以应用于所有与流体运动相关的领域。无论在那个领域中为了获得问题满意的答案CFD的研究通常应该遵循下面的步骤:第一问题的界定和流动区域的几何描述。应明确要解决的问题中流场的几何形状流动条件和对于数值模拟的要求。几何形状通常来源于对于已知流动区域的测量。如果处于设计阶段流场的几何形状可能不是完全确定的在这种情况下必须知道对于流场的几何形状有哪些限制条件并根据这些限制条件或其他初步设计手段确定流场的假定形状然后根据模拟的结果对几何形状进行不断调整在多次模拟的过程中逐步确定最终几何形状。流动条件可以包括流动的雷诺数、马赫数、边界处的速度、压力等等。对于数值模拟的要求包括:数值模拟的精度和所花费的时间所感兴趣的流动参数等。第二选择主控方程和边界条件。主控方程指在数值计算过程中要求解的方程。在问题确定后必须选择流动的主控方程和边界条件。一般认为在牛顿流体范围内所有的重要流动现象都可以用Navier-Stokes方程来描述。但是为了提高计算的效率有时可以选择经过简化的数学模型(如果这种简化仍能保留流动的物理本质满足对于数值模拟的要求的话)。简化模型包括势流方程Euler方程边界层方程薄层近似的N-S方程等等。根据问题的特点可以考虑定常或非定常、可压或不可压的流动模型。边界条件可以有固体壁面条件来流、出流条件周期条件对称条件等。边界条件通常依赖于主控方程如在固体壁面Euler方程要求采用不可渗透条件而N-S方程要求无滑移条件。如果有必要我们还需要采用一些附加的物理模型最典型的例子就是湍流模型。虽然N-S方程可以描述湍流流动但是直接采用原始的N-S方程计算湍流流动(称为直接数值模拟)要求网格点的数量非常多因而计算量非常大这是目前的计算机所不能承受的。所以人们通常采用经过Reynolds平均的N-S方程为了封闭这个方程就必须采用某种湍流模式。第三确定网格划分策略和数值方法。在CFD中网格划分可以有各种不同的策略如结构网格、非结构网格、组合网格、重叠网格等。网格可以是静止的也可以是运动的(动网格)还可能根据数值解动态调整(自适应网格)。CFD中的数值方法有有限差分、有限体积、有限元、谱方法等。数值方法和网格划分策略是相互关联的。例如如果采用有限差分方法通常要选用结构化网格而有限体积方法和有限元方法则可以适应于结构和非结构网格。根据网格划分策略和数值方法最终应该形成数值求解基本方程和边界条件的计算机程序或软件。这些程序可以是针对某一问题自行编制的也可以应用已有的程序和商业软件。第四数值解的评价和解释。通过在计算机上调试、运行上述软件可以得到数值解。对数值解进行分析是CFD中非常重要的环节也称为后处理(Post-processing)。后处理包括计算感兴趣的力、力矩包括应用流场可视化的软件对于流场进行显示、分析包括对于数值方法和物理模型的误差进行评估等等。二、计算流体力学的特点及其与理论和实验流体力学的关系自从年牛顿发现宏观物体运动的基本定律以来直到世纪年代初研究流体运动规律的主要方法有两种:实验研究和理论研究。流体力学从其发展历史来看最早是一门实验科学。在世纪法国和英国的科学家奠定了实验流体力学的基础。在和世纪理论流体力学得到了持续的发展Euler、Lagrange、Navier、Stokes等人建立了描述流体运动的基本方程。在世纪由于军事和民用航空工业的需要人们建造了以风洞、水洞为代表的多种实验装置用来显示飞行器运动时的流场和测量飞行器受到的空气作用力。在这个过程中实验流体力学得到了迅速发展。实验研究也促进了理论流体力学的发展代表性的工作有Prantl的边界层理论和VonKarman在空气动力学方面的成果。随着流体力学研究的进展实验和理论研究的优势和困难也逐渐为人们所认识。实验研究的优点是可以借助各种先进仪器设备给出多种复杂流动的准确、可靠的观测结果。这些结果对于流动机理的研究和与流体运动有关的机械和飞行器的设计具有不可替代的作用。但是实验研究通常费用高昂周期很长而且有些流动条件难以通过实验模拟(如航天飞行器周围的高速、高温流动)。理论研究的优点是可以给出具有一定适用范围的简洁明了的解析解或近似解析解。这些解析解对于分析流动的机理和预测流动随参数的变化非常有用。其缺点是一般只能研究简单流动模型。由于流体的运动具有强非线性所研究问题的数学模型必须经过很大的简化在这种条件下得到的解析解的适用范围非常有限而且能够得到解析解的问题也为数不多远远不能满足工程设计的需要。随着高速电子计算机的出现研究流体运动规律的“第三种方法”-计算流体力学应运而生。CFD产生于第二次世界大战前后在世纪年代左右逐渐形成了一门独立的学科。由于CFD作为一门独立学科的历史还比较短所以我们不打算对CFD的发展历史作具体的描述。但是很显然CFD发展的主要动因是利用高速电子计算机这一新的工具克服理论研究和实验研究的缺点深化对于流体运动规律的认识并提高解决工程实际问题的能力。CFD得到的是某一特定流体运动区域内在特定边界条件和参数的特定取值下的离散的数值解。因而我们无法预知参数变化对于流动的影响和流场的精确的分布情况。因此它提供的信息不如解析解详尽、完整。在这一点它于实验测量相近所以用CFD研究流动的过程也称“数值实验”。但是与理论流体力学相比CFD的突出优点是它本质上可以研究流体在任何条件下的运动。在CFD中采用简化数学模型的目的在于提高计算效率以及和计算机硬件水平相适应如果计算机条件允许我们在求解任意复杂的流动问题时都可以采用最适合流动物理本质的数学模型。因此CFD使得我们研究流体运动的范围和能力都有了本质的扩大和提高。在模拟极端条件下的流体运动的方面和实验测量相比CFD也显示了明显的优势。同实验研究相比CFD还具有费用少周期短的优点。今天CFD已经取得了和实验流体力学及理论流体力学同等重要的地位流体力学的研究呈现出“三足鼎立”之势。CFD作为一个比较新的学科还有其它一些鲜明的特点:首先CFD的发展及应用与计算机技术的发展直接相关。CFD发展的一个基本条件是高速、大容量的电子计算机。随着对CFD的了解的不断深入我们将对这一点有越来越清楚的认识。今天计算机技术的迅速发展已经使得采用CFD方法研究一些工程实际问题成为可能。例如通过求解三维Reynolds平均的Navier-Stokes方程进行对与流体运动有关的过程和装置的分析和设计正在成为航空航天和其他工业领域的新的研究手段。最近年以来计算流体运动的商业CFD软件不断涌现极大的促进了CFD在工业领域的应用。但是还有很多问题如高雷诺数条件下湍流的直接数值模拟由于对于计算机速度和容量的要求极高目前和近期还无法用CFD方法解决。所以计算机技术的发展已经为CFD的广泛应用提供了一定可能而CFD(和其他基于大规模数值计算的学科)的发展还不断对计算机技术的进一步提高提出新的要求。第二CFD与应用数学有密切的联系。CFD中要把流体力学基本方程中积分和微分的运算化为离散的代数运算这样就产生了一系列的数学问题。)离散的代数方程逼近原来的积分或微分方程的程度如何?数值解逼近微分或积分方程精确解(如果存在的话)的程度如何?这些就是所谓CFD方法的精度和误差估计问题。)当离散点的数量趋近于无穷大间距趋近于无穷小时数值解是否趋近于精确解?这就是所谓数值方法的收敛性问题。)在计算机上数值计算是以有限的字长(有效数字)进行的例如计算机不能无限精确的表示一个无理数因此计算机得到的数值解是“近似的”数值解。由于机器字长有限产生的误差称为“舍入误差”。舍入误差对于数值计算结果的影响如何是不是会无穷增长以至于得不到有意义的数值解?这就是数值方法的稳定性问题。)在可压缩流动中会出现激波等间断现象。为了正确描述这一现象必须对微分方程解的定义进行扩充扩充后的解称为广义解或弱解。那么广义解和物理上的真实解是什么关系要保证广义解是有物理意义的真实解必须满足什么条件?这些问题以及未列出的其他众多相关问题都是应用数学研究的重要内容也是CFD研究的中心内容。一方面这些问题的研究已经取得了很多进展并促进了CFD的迅速发展。另一方面流体运动的基本方程是非线性的数值方法也必须体现非线性的特点而涉及非线性的许多问题目前还没有很好的解决。比如非线性问题的稳定性、收敛性和误差估计一般意义下广义解的唯一性条件还是CFD和应用数学研究的难点问题。由于CFD在理论上还不甚成熟CFD方法的发展很大程度上依靠研究者的经验和直觉。所以有人认为CFD与其说是一门科学还不如说是一门艺术。同时由于一些涉及非线性的关键理论问题还没有解决人们对于CFD计算结果的可靠性还有所怀疑这也妨碍了CFD的广泛应用。第三CFD的发展在很大程度上依赖于实验和理论流体力学的发展。由于缺乏对于数值解误差进行估计的严格理论CFD计算结果的验证通常依赖于和实验结果的对比。CFD研究原则上可以采用各种数学模型而这些数学模型则是理论流体力学研究的直接成果。比如湍流流动的数值计算在大多数情况下要引入所谓“湍流模式”而这些模式无论是基于Reynolds平均方程的湍流模式还是最近得到迅速发展的“大涡模拟”中的亚网格尺度模式都是理论流体力学研究中非常活跃的课题。对湍流流动的准确预测与这些模式的有效性密切相关。因此CFD的发展不可能取代理论或实验流体力学他们之间是一种相互补充相互促进的关系。第四CFD研究呈现出明显的学科交叉性。CFD的生命力在于广泛应用于多个工业领域解决其中涉及的与流体运动相关的问题。为了解决这些问题CFD研究必须和这些领域的研究密切交叉和融合。三、CFD的意义CFD作为一个独立的学科经过数十年的迅速发展已经称为流体力学科学研究和工程分析设计的重要手段。CFD-流体力学研究的工具理论流体力学提供了描述流体运动的丰富的数学、物理模型而实验流体力学发现了流体运动中许多奇妙和有重要意义的现象。CFD则架起了从数理模型到流动现象之间的桥梁成为流体力学研究的重要手段。前面提到CFD与实验研究有类似之处流场的数值模拟也常常称为“数值实验”而且CFD可以提供比实验研究更为丰富的流动细节。另一方面CFD求解的是描述流动的微分或积分形式的方程组及其边界条件而流动的方程和边界条件又是理论流体力学研究的重要内容。利用CFD的这些特点有可能建立理论流体力学和实验流体力学之间的“数值关联”。具体的说如果CFD可以再现某种实验现象我们就可以确定这种现象的数学模型物理机制产生、演化的条件和方式。从而加深对于这种流动现象机理的认识。不仅如此由于CFD对于流动的预测能力使得CFD也可以发现一些新的流动现象和机理。例如例如Campbell和Mueller等人在数值实验中发现了亚声速斜坡绕流中的分离现象以后他们在风洞实验中做了证实又如Kim和Moin等人在数值计算中发现了倒马蹄涡后来的实验研究验证了他们的发现。综上所述CFD已经成为流体力学研究的重要工具。事实上今天无论是从事理论研究还是实验研究数值模拟这一工具都是不可或缺的。CFD-工程设计和分析的工具CFD的最早的成功应用是在航空航天领域。在世纪六、七十年代CFD成功的解决了对于航天飞机和洲际弹道导弹等再入飞行器的设计具有重要意义的超音速和高超音速钝体绕流问题。在七、八十年代研制了基于全位势方程和Euler边界层方程的整架飞机流场数值模拟程序这些程序已经在新型飞机的研制中发挥了重要作用。目前基于求解Reynolds平均的NavierStokes方程的整机流场数值模拟程序也已经出现经过在湍流模式和计算效率方面的进一步改进后有可能成为新一代的飞机气动设计方法。CFD在飞机设计中当前要解决的问题主要包括:增升装置性能预测巡航空气动力学层流控制湍流减阻气动弹性分析发动机安装对飞机性能影响等。利用CFD技术进行飞机的多学科多目标优化设计已经成为研究的热点问题。人们希望在今后年内通过广泛应用CFD技术使飞机的设计周期缩短升阻比提高风洞试验减少。世界上所有重要的飞机制造商都在投入大量资金发展自己的CFD技术以保持竞争力。除此之外CFD还在汽车能源动力化工船舶工业加工等许多领域得到了广泛应用已经成为工业设计的重要手段。四、本讲义的主要内容作为计算流体力学的入门本讲义主要介绍CFD中的数值方法及其应用其中数值方法仅限于有限差分(FiniteDifference)方法和有限体积(FiniteVolume)方法。我们将对数值方法的构造、性质和应用进行详细的介绍。本讲义也将简单讨论边界条件的处理和网格生成等问题。§流体力学基本方程一流体力学基本方程流体的运动满足质量守恒动量守恒和能量守恒的规律。在牛顿流体范围内这些规律可以用Navier-Stokes方程描述(在CFD中常把连续方程、动量方程和能量方程通称Navier-Stokes方程):).连续方程Sddtρρ∂S=∂∫∫∫∫∫VnVViw(积分型)(a)()tρρ∂∇⋅=∂V。(微分型)(b)).动量方程SSddSdtρρρτ⇒∂=∂∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫VVVnFVVVViiwwdSn(积分型)(a)()()tρρρ⇒∂∇⋅=∇⋅∂VVVFτ(微分型)(b)其中为粘性应力张量。*p⇒⇒=−τIτ⇒⇒*τ则动量方程也可以写为:*()SSdpdSdtρρρ⇒⇒∂=∂∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫VVVInFτnVVVViiwwdS(c)()()pt*ρρρ⇒⇒∂∇⋅=∇⋅∂VVVIFτ。(d)).能量方程:()SSEdEdSdtρρρ⇒∂=⋅−∂∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫VnFVτVqnVVVViiwwdSi(积分型)(a)()(EEt)ρρρ⇒∂∇⋅=⋅−∇⋅∇⋅⋅∂VFVqτV(微分型)(b)其中EeVρρρ=(:内能eE:总能)()()(*p⇒⇒∇⋅⋅=−∇⋅∇⋅⋅τVVτV)()kT−∇⋅=∇⋅∇q。能量方程也可以写为:*()()SSEdEpdSdkTtρρρ⇒∂=⋅∇∂∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫VnFVτVnVVVViiwwdSi(c)()()(*)EEpkTtρρρ⇒∂∇⋅=⋅∇⋅∇∇⋅⋅∂VFVτV。(d)为了使上述方程封闭还应补充流体的状态方程。对于完全气体有pRTpeρργ==−。上述方程的详细推导请参看有关流体力学书籍。上面我们给出了积分型方程和对应的微分型方程。微分型方程可由积分型方程在考虑到控制体的形状的任意性后导出。积分型的方程可以由多种形式上面给出的形式是在控制体在空间固定的特殊情况下得到的是Euler型积分方程。Euler型积分方程直观地反映了质量、动量的守恒关系也称为守恒型积分方程。对守恒型积分方程直接应用Gauss定理并考虑到控制体形状的任意性后得到的微分型方程称为守恒型微分方程。显然上面给出的微分型方程也是守恒型方程。守恒型微分方程的特点是:所有空间导数项均为散度的形式。上面说到积分型的方程可以由多种形式。如果控制体随流体质点一起运动我们可以得到下面的(Lagrange型)连续方程DdDtρ∫∫∫VV=这种形式的方程称为非守恒型方程。对于微分型方程凡是空间导数不为散度形式就称为非守恒型方程如连续方程可以写为下面的非守恒形式:tρρρ∂⋅∇∇⋅=∂VV。积分型方程和微分型方程在意义上有微妙的差别:积分型方程允许在(空间固定的)控制体内部流动参数有间断而微分型方程假定流动参数是可微的因而是连续的。当从积分型方程推导微分型方程时这一点可以看得很清楚:在推导过程中我们要利用Gauss公式而使用Gauss公式的条件是变量是连续的。综上所述积分型方程可以看作比微分型方程更具有基础意义尤其是流场中确实存在间断(如激波)时。二、CFD中流体力学方程常用的计算形式:直角坐标系下的守恒型方程Navier-Stokes方程和Euler方程不计质量力的情况下在直角坐标系中守恒型N-S方程为:()()()txyz∂−∂−∂−∂∂∂∂∂FFGGHHU=()其中uvwEρρρρρ=U()uupuvuwEpuρρρρρ=F()vvuvpvwEpvρρρρρ=G()wuwvwwpEpwρρρρρ=HxxxyxzxxxyxzTuvwkxττττττ=∂∂FxyyyyzxyyyyzTuvwkyττττττ=∂∂GxzzyzzxzzyzzTuvwkzττττττ=∂∂H。如果忽略N-S方程中的粘性和热传导得到的简化方程为Euler方程:txyz∂∂∂∂=∂∂∂∂UFGH。()方程()、()称为矢量守恒型方程。其重要特点是:连续、动量和能量方程被写为统一形式。其中均为列向量是方程的解向量称为守恒变量FG称为通量(flux)具体说为无粘通量为粘性通量。,,,,,,UFGHFGH,FGHU,,,,H,,FGH,,FGH前面说过守恒型方程的空间导数项为散度的形式。()()式所示的矢量型守恒方程实际上仍然是散度形式。显然()()式的另一种等价形式为:t⇒∂∇=∂UEi()其中或()()(⇒=−−−EFFiGGjHH)k⇒=EFiGjHk。把()式在任意固定的控制体上积分并利用Gauss公式有Sddt⇒∂S=∂∫∫∫∫∫UEnVViw。()这就是守恒积分型方程。可见守恒的微分、积分型方程之间有直接的联系。()式是我们以后将要讲到的有限体积方法的出发方程而()()或()是则是有限差分方法的出发方程。讨论上面我们特别强调了守恒型的流体力学基本方程。事实上流体力学基本方程可以写成多种形式包括守恒型和非守恒型。从理论流体力学的角度各种形式的方程都是等价的。只是由于最近余年来CFD的迅速发展和普及使得守恒型和非守恒型方程的区分变得有实质的意义。目前在CFD中各种形式的基本方程都在使用但无疑守恒型方程是使用最频繁的一种形式。我们可以从两个方面解释这一现象:第一守恒型的连续、动量和能量方程可以写成如()、()式的统一形式这为研究数值方法和编程提供了方便。第二也是更为本质的原因是:虽然从理论上守恒型方程和非守恒型方程是等价的但是基于守恒型方程和非守恒型方程的数值方法一般是不等价的!这种不等价性的结果就是:基于守恒型方程的数值方法可以直接用来计算有间断(如激波)的流场而不用对间断进行任何特殊处理这种基于守恒型方程的数值方法称为激波捕捉(shock-capturing)方法。而基于非守恒型方程的数值方法一般不能正确的计算有激波间断的流场。为了处理有间断的流动基于非守恒型方程的数值方法必须与一种称为激波装配(shock-fitting)的方法联合使用。所谓激波装配就是把激波从流场中分离出来当作边界来处理。激波装配方法的优点是可以准确的计算激波的位置但缺点是非常复杂。相反激波捕捉方法则非常简单但是计算出的激波不是理想的间断而是有几个网格的厚度的大梯度结构。随着现代高精度、高分辨率数值方法的发展激波捕捉方法的质量不断提高已经占有主导地位。三、边界条件流体力学问题一般是所谓“初边值问题”。只有在适当的边界条件下问题才是适定的。对于粘性流动的适定边界条件是:在固体壁面上速度满足无滑移条件w=V。温度条件可以是下面三种之一:等温条件:T已知w热流条件:()wwqTnk∂=−∂�绝热条件:()wTn∂=∂。对于无粘流动壁面满足不可穿透条件w=Vni。除了物理边界条件在计算流体力学中边界条件的数值实施也是一个非常重要的问题。§偏微分方程的分类及数学性质一、一阶拟线性方程组我们知道Euler是一阶非线性偏微分方程Navier-Stokes方程是二阶非线性偏微分方程。下面将要说明流体力学的基本方程都可以写为一阶拟线性方程组的形式。以两个自变量的偏微分方程为例其一阶拟线性形式为:BAtx∂∂=∂∂UUC()其中U是m维列向量,C,BA均为mm×方阵。()式对一阶导数项而言是线性的而如果,BA是U的函数整个方程组则为非线性的因此我们称()式为拟线性方程组。流体力学基本方程都可以写成一阶拟线性形式。以一维Euler方程tx∂∂=∂∂UF()为例。U分别为,F,umEρρρρε=U�()()()()()mfummupfEpufmmρργερρρεγερρ=−−−−F��。显然fffmfffmxxmxxmfffmρερερερρε∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂FFFFxεU令fffmfffAmfffmρερερε∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂FU�()则Euler方程可以写为拟线性形式Atx∂∂=∂∂UU(a)其中称为Jacobi矩阵其表达式为A()()()()uAuuuEuEuγγγγγγγ=−−−−−−−γ。(b)对于二阶偏微分方程(组)可以通过降阶的方法化为一阶拟线性方程组。考虑Laplace方程xy∂Φ∂Φ=∂∂。(a)引入,uvxy∂Φ∂==Φ∂∂则()式可以写为uvxyvuxy∂∂=∂∂∂∂−=∂∂即Axy∂∂=∂∂UU其中,uv==−UA。(b)根据类似的方法Navier-Stokes方程也可以写为一阶拟线性方程组的形式具体做法从略。注意拟线性方程是非守恒型方程。二、特征线理论双曲型方程的定义考虑一般形式的有两个自变量的拟线性方程()式它也可以写为分量形式:,,(,,,)mmjjijijijjuubacitx==∂∂==∂∂∑∑m()在()式中可以是时间和空间变量也可以是其他任何有物理意义的自变量。设,tx(,)xt平面上的曲线可定义为:((,dxUxtdtλΓ=))()则沿曲线Γ的全导数(方向导数)为:DdxDttxdttxφφφφλ∂∂∂∂==∂∂∂∂φ()如果对()式作某种线性组合使得经组合后的方程只包含沿Γ的全导数则组合后的方程实际上化为在Γ上的常微分方程。满足这种条件的曲线称为特征线而特征线上的常微分方程称为特征相容关系。例如:标量线性波动方程Γ()uuaaconsttx∂∂==∂∂()沿Γ的的全导数为DuuuDttλx∂∂=∂∂。显然当aλ=时有DuuuaDttx∂∂==∂∂()。即()式可以化为直线:dxadt=Γ上的常微分方程DuDt=。则:dxadtΓ=称为()式的特征线DuDt=称为特征线上的特征相容关系。事实上把DuDt=沿特征线积分有uc。对于()式的初值问题当初值为|onsΓ=t(,)()uxux=时由u我们可以导出()式的解析解为|constΓ=。(,)()uxtuxat=−可见通过引入特征线和相容关系可以把偏微分方程的某种线性组合化为常微分方程在有些特殊情况下还可以由此得到解析解。因此分析拟线性方程的特征线和相容关系具有重要意义。下面讨论一般的两个自变量一阶拟线性方程的特征问题。把()式作线性组合,,mmmjjiijijiijjuulbactx===∂∂−=∂∂∑∑∑()其中li为线性组合系数。()式可以整理为:(,,,)im=,,()()mmmmjjiijiijiijiiiuulblalctx====∂∂=∂∂∑∑∑∑。如果∀有j,,miijimiijilalbλ===∑∑()则有,()()mmmjjiijiijiiuulblctxλ===∂∂=∂∂∑∑∑或,()mmmjiijiijiiDulblcDt====∑∑∑。()即:dxdtλΓ是一条特征线()式为特征相容关系。由于=j∀()式成立所以有,,(),,,,miijijilabjmλ=−==∑。()令(,,,)mmlll=l则()式可以写为矩阵形式()ABλ−=l(a)或()TTTABλ−=l。(b)注意到ll分别为m维的行向量和列向量l称为左特征向量。()式是一个齐次方程为了使l有解必须满足,T(,,,)mmlll=ABλ−=。()上述行列式方程是一个关于λ的m次代数方程共有m个解称为特征值。显然(,,,)kkλ=mkλ是的函数。在求得Ukλ后由()式我们可以得到和kλ对应的左特征向量记为对应的特征相容关系可以写为kl()|()kkkkDBBkDttxλ∂∂==∂∂UUUlllC。()我们考虑这样一种特殊情况:()式的m个解全部为实数且存在m个独立(线性无关)的左特征向量。此时一阶拟线性偏微分方程组和m条特征线上的m个特征相容关系(常微分方程)是等价的。也就是说一阶拟线性偏微分方程组可以化为特征线上的m个常微分方程。我们定义具有这种性质的一阶拟线性偏微分方程组称为双曲型方程(组)。双曲型方程的特点将在本节后续内容中介绍。下面简单的介绍一下判定一个拟线性方程组是否为双曲型方程需要的数学知识。定理一、如果ABλ−=有m个互不相同的实根则他们对应的左特征向量必然线性无关。通过这个定理我们知道如果ABλ−=有m个互不相同的实根对应的拟线性方程必为双曲型方程。我们也称这种双曲型方程为严格双曲型方程。定理二、如果ABλ−=有m个实根但其中有重根则对应的拟线性方程为双曲型的充分必要条件是:每个k重根对应着k个线性无关的特征向量。那么如何判断k重根是否对应着k个线性无关的特征向量呢?这需要用到线性代数中关于基础解系的知识。考虑一般的m阶齐次线性方程组A=X()X是m维列向量。上述齐次方程的一组解称为()式的基础解系如果:()式的任意解均可表示为的线性组合且线性无关。,,nXXX,nX,XX,,,nXXX定理三、AX=有非零解时则有基础解系且基础解系中线性无关解的个数为nmr为的秩。r−=A定理四、矩阵的秩是的充分必要条件是:矩阵有一个阶子式不为零同时所有阶子式均为零。ArArr具体到拟线性方程类型的判别通过上面的讨论我们知道:如果λ是()式的一个k重根则λ对应着k个线性无关的特征向量的充分必要条件是:矩阵ABλ−的秩为。rmk=−三、抛物型方程和椭圆型方程的定义根据双曲型方程的定义我们可以延伸出抛物型方程和椭圆型方程的定义。应该指出对于一般的一阶拟线性方程而言抛物型方程和椭圆型方程的定义在数学上是不甚严格的本书中的提法和教科书上的常见提法不尽相同。抛物型方程:对一阶拟线性方程()如果ABλ−=有m个实根但是线性无关的特征向量数小于m则称()为抛物型的。特别的当ABλ−=的所有的根均为重根而且每一组k重根对应的独立特征向量数均小于k则称()称为严格抛物型的。除了严格抛物型方程以外的抛物型方程有人也称为抛物-双曲混合型。椭圆型方程:对一阶拟线性方程()如果ABλ−=有复数根则称()为椭圆型的。特别的当ABλ−=的所有根均为复数则称()为严格椭圆型的。如果ABλ−=有部分复数根部分实数根则称()为混合型的。根据实数根的特点可以分为椭圆-双曲椭圆-抛物椭圆-抛物-双曲等混合类型。四、偏微分方程分类实例一维非定常Euler方程由()式知BI=(单位阵)且()()()()uAuuuEuEuγγγγγγγ=−−−−−−−γ。求解方程AIλ−=可以得到三个相异实根(矩阵的特征值)A,,uauuaλλλ=−==其中paγρ=是音速。显然一维非定常Euler方程是双曲型方程。Laplace方程由()式,BIA==−。求解方程AIλ−=得(:虚数单位)。,iλλ==ii−因此Laplace方程是椭圆型方程。二维定常理想流体流动的Euler方程ργρρρρρρρpayvxuaypvxpuypyvvxvuxpyuvxuuyvxuyvxu==∂∂∂∂−∂∂∂∂∂∂−=∂∂∂∂∂∂−=∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂)()(写成拟线性形式:ABxy∂∂=∂∂UU或Cxy∂∂=∂∂UU=pvuρU=upuuuAγρρ=vpvvvBγρρ()()vvuvuuauauuauvavuauauaCABvuuvauuvuauauaρρρρργρ−−−−−−−−−−==−−−−。求CIλ−=即{}()()()vuvuaauvauλλ−−−−=得矩阵C的特征值为:,,vuuvauvauaλλ=±−=−所以如果:(uvaM−>⇔>超音速)则有四个实根可以证明也存在四个线性无关的特征向量所以方程是双曲型的。如果uvaM−<⇔<(亚音速)有一对复根方程是椭圆型的(或椭圆-双曲型)。如果uvaM−⇔==(音速)方程CIλ−=有两组重根而第二组重根,uvuaλ=−只对应一个线性无关的特征向量所以方程是抛物型(或抛物-双曲型)的。可见定常的Euler方程在流动参数不同时可以为不同的类型也就是说在流场的不同区域方程的类型可能不同。这一特点给数值求解定常的Euler方程带来了很大困难因为我们以后介绍的数值方法往往只对某一种类型的方程适用。虽然这一困难在年代由Murman-Cole部分解决但是目前很少有人直接求解这种定常的Euler方程。二维非定常理想流体流动的Euler方程首先把方程写为拟线性形式ABtxy∂∂∂=∂∂∂UUU我们看到这个方程有三个自变量那么如何分析它的类型呢?当然我们可以把前面的两个自变量的特征分析方法推广到多个自变量的情况然后类似的得到方程类型的判别方法。但是这种方法比较复杂。在这里我们采用一种简化的分析方法即只考虑两个自变量而把与其他自变量有关的项移到方程的右侧看作源项。在xt−平面的特征值为A,,,uauuuaλλλλ=−===且有四个独立的特征向量所以在xt−平面非定常Euler方程为双曲性的。同样在平面非定常Euler方程也是双曲性的。可见在考虑非定常项后Euler方程是一个双曲型方程这给数值求解带来了很大方便。双曲型方程的特点是可以在时间方向推进求解。那么如果我们要计算的是一个定常问题如何利用非定常的Euler方程进行计算呢?答案是我们同计算非定常流动一样沿时间方向推进求解当时间足够长后解不再随时间变化我们得到的就是定常解。这种方法称为求解定常问题的时间相关方法是目前求解定常流动的主流方法。yt−.定常不可压缩Navier–Stokes方程)()(yvxvypyvvxvuyuxuxpyuvxuuyvxu∂∂∂∂∂∂−=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂−=∂∂∂∂=∂∂∂∂ρµρρµρ采用降阶法:令:xvhyugyvxuf∂∂=∂∂=∂∂−=∂∂=有:()()pfgufvgxxyphfuhvfyxyfgyxfhxyµρρµρρ∂∂∂−=∂∂∂∂∂∂−−=−∂∂∂∂∂−=∂∂∂∂=∂∂。这样可以把定常不可压缩Navier–Stokes方程写为拟线性形式。分析的结果是方程为椭圆型。其他方程下面我们直接给出其他常见流体力学方程的类型分析的过程从略。)非定常不可压缩Navier–Stokes方程:椭圆-抛物-双曲型)定常可压缩Navier–Stokes方程:椭圆形)非定常可压缩Navier–Stokes方程类:抛物型(抛物-双曲型))边界层方程:抛物型)定常可压缩抛物化N–S方程:抛物型。所谓抛物化N–S方程就是利用边界层流动的概念设X方向为主流方向考虑到yx∂∂<<∂∂把定常可压缩Navier–Stokes方程流动方向的二阶偏导数略去。(注意与边界层方程不同的是一阶偏导数都将保留!)结论是定常NS方程此时变为抛物型方程。五、偏微分方程的数学性质为什么我们要讨论偏微分方程的分类呢?答案是不同类型的方程如双曲、抛物、椭圆型方程有着不同的数学行为对应着不同的物理过程因而在CFD中也应采用不同的方法求解。下面我们对三种不同类型的方程进行逐一讨论。双曲型方程。考虑有两个自变量的双曲型方程以一维非定常Euler方程为例。如下图所示tuλ=uaλ=−uaλ=uaλ=−uλ=uaλ=(,)PPPxtAAAAxxaxbC图求解域为,abxx。由于一维非定常Euler方程是双曲型方程因此与三条特征线上的三个特征相容关系等价。由于在特征线上不同时刻的物理量之间满足一定的关系我们可以知道:()每个特征相容关系携带了偏微分方程的部分信息在相应的特征线上传播信息传播的速度就是。()三条特征线上的特征相容关系综合起来和原来的偏微分方程是等价的。具体地说如果我们知道过P点的三条特征线上在(,,kkλ=))(ptdtdt−>时刻物理量的值则可以通过求解由三个相容关系组成的常微分方程组解出P点的物理量。这种方法在气体力学中称为特征线法。根据这一方法,P点的解只由Ptt<时左行特征线、右行特征线围成的区域内物理量分布决定。这个区域具体说就是tPt<时uaλ=−特征线(左行特征线),uaλ=特征线(右行特征线)和,abxx,txx===围成的区域称为

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