级数与傅里叶级数

null第七节第七节一、三角级数及三角函数系的正交性 机动 目录 工贸企业有限空间作业目录特种设备作业人员作业种类与目录特种设备作业人员目录1类医疗器械目录高值医用耗材参考目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数 第十一章 傅里叶级数 一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动 :(谐波函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :令得函数项级数为角频率,φ为初相 )(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 1. 组成三角级数的函数系定理 1. 组成三角级数的函数系证:同理可证 :正交 ,上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在机动 目录 上页 下页 返回 结束 null上的积分不等于 0 .且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且右端级数可逐项积分, 则有证: 由定理条件,①②对①在逐项积分, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 null(利用正交性)类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 null叶系数为系数的三角级数 ① 称为的傅里叶系数 ;由公式 ② 确定的①②以的傅里的傅里叶级数 .称为函数 傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束 定理3 (收敛定理, 展开定理)定理3 (收敛定理, 展开定理)设 f (x) 是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 x 为间断点其中( 证明略 )为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.简介 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式为解: 先求傅里叶系数将 f (x) 展成傅里叶级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 null机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明:说明:1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于2) 傅氏级数的部分和逼近f (x) 的情况见右图.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2.例2.上的表达式为将 f (x) 展成傅里叶级数. 解: 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 null说明: 当时, 级数收敛于机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数其它机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 将函数例3. 将函数级数 .则解: 将 f (x)延拓成以 展成傅里叶2为周期的函数 F(x) , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明:说明:利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 null设已知又机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 设例4. 设的表达式为 f (x)＝x ,将 f (x) 展成傅里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在解: 若不计周期为 2 的奇函数, 因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 null根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:级数的部分和 逼近 f (x) 的情况见右图.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 将周期函数例5. 将周期函数展成傅里叶级数, 其中E 为正常数 .解:是周期为2 的周期偶函数 , 因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 null机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数2. 在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓 F (x) f (x) 在 [0 ,  ] 上展成周期延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数 f (x) 在 [0 ,  ]上展成机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 将函数例6. 将函数分别展成正弦级数与余弦级数 . 解: 先求正弦级数.去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,机动 目录 上页 下页 返回 结束 null注意:在端点 x = 0,  , 级数的和为0 ,与给定函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 再求余弦级数.再求余弦级数.将则有作偶周期延拓 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 null说明: 令 x = 0 可得即机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理 其中注意: 若为间断点,则级数收敛于机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3. 在 [ 0 ,  ] 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 ,展开为正弦级数 作偶周期延拓 ,展开为余弦级数1. 在 [ 0 ,  ] 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ?答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.处收敛于则它的傅里叶级数在在处收敛于 .提示:设周期函数在一个周期内的表达式为机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,3. 设3. 设又设求当的表达式 .解: 由题设可知应对作奇延拓:由周期性:为周期的正弦级数展开式的和函数, 定义域机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 写出函数4. 写出函数傅氏级数的和函数 .答案:定理3 目录 上页 下页 返回 结束 作业 作业 P250 1(1) , (3) ; 2 (1) , (2) ; 3; 5 ; 7 ; 8 (2)第八节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 1.备用题 1.叶级数展式为则其中系提示:利用“偶倍奇零”(93 考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 的傅里 2. 设2. 设是以 2 为周期的函数 ,其傅氏系数为则的傅氏系数提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 傅里叶 (1768 – 1830)傅里叶 (1768 – 1830)法国数学家. 他的著作《热的解析 理论》(1822) 是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和 三角积分, 他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分. 最卓越的工具. 以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献, 他深信数学是解决实际问题傅里叶 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 对近代数学以及物理和 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 技术的发展 都产生了深远的影响. 狄利克雷 (18 05 – 1859)狄利克雷 (18 05 – 1859)德国数学家. 对数论, 数学分析和数学物理有突出的贡献, 是解析数论 他是最早提倡严格化方法的数学家.函数 f (x) 的傅里叶级数收敛的第一个充分条件; 了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和, 举例说明条件收敛级数不具有这样的性质.他的主要的创始人之一, 并 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 都收在《狄利克雷论文集 (1889一1897)中. 1829年他得到了给定证明