高考数学140分必读之把关题解析30讲

高考数学140分必读之把关题解析30讲（3） 1．泉州模拟 21．（本小题满分12分） 过抛物线 上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点， （1）求点P的轨迹方程； （2）已知点F（0，1），是否存在实数 使得 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由。 解法（一）：（1）设 由 得： ………………………………3分 直线PA的方程是： 即 ① 同理，直线PB的方程是： ② 由①②得： ∴点P的轨迹方程是 ……………………………………6分 （2）由（1）得： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 …………………………10分 所以 故存在 =1使得 …………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA、PB与抛物线相切，且 ∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且 设PA的直线方程是 由 得： 即 …………………………3分 即直线PA的方程是： 同理可得直线PB的方程是： 由 得： 故点P的轨迹方程是 ……………………………………6分 （2）由（1）得： ………………………………10分 故存在 =1使得 …………………………………………12分 22．（本小题满分14分） 设函数 在 上是增函数。 （1） 求正实数 的取值范围； （2） 设 ，求证： 解：（1） 对 恒成立， 对 恒成立 又 为所求。…………………………4分 （2）取 ， ， 一方面，由（1）知 在 上是增函数， 即 ……………………………………8分 另一方面，设函数 ∴ 在 上是增函数且在 处连续，又 ∴当 时， ∴ 即 综上所述， ………………………………………………14分 2．扬州二模 20．(本小题满分12分) 如图，直角坐标系 中，一直角三角形 ， ， 、 在 轴上且关于原点 对称， 在边 上， ， 的周长为12．若一双曲线 以 、 为焦点，且经过 、 两点． (1) 求双曲线 的方程； (2) 若一过点 （ 为非零常数）的直线 与双曲线 相交于不同于双曲线顶点的两点 、 ，且 ，问在 轴上是否存在定点 ，使 ？若存在，求出所有这样定点 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1) 设双曲线 的方程为 ， 则 ． 由 ，得 ，即 ． ∴ （3分） 解之得 ，∴ ． ∴双曲线 的方程为 ． （5分） (2) 设在 轴上存在定点 ，使 ． 设直线 的方程为 ， ． 由 ，得 ． 即 ① （6分） ∵ ， ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ． 即 ． ② （8分） 把①代入②，得 ③ （9分） 把 代入 并整理得 其中 且 ，即 且 ． ． （10分） 代入③，得 ， 化简得 ． 当 时，上式恒成立． 因此，在 轴上存在定点 ，使 ． （12分） 21．(本小题满分14分) 已知数列 各项均不为0，其前 项和为 ，且对任意 都有 （ 为大于1的常数），记 ． (1) 求 ； (2) 试比较 与 的大小（ ）； (3) 求证： ，（ ）． 解：(1) ∵ ， ① ∴ ． ② ②－①，得 ， 即 ． （3分） 在①中令 ，可得 ． ∴ 是首项为 ，公比为 的等比数列， ． （4分） (2) 由(1)可得 ． EMBED Equation.DSMT4 ． ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， （5分） EMBED Equation.DSMT4 ． 而 EMBED Equation.DSMT4 ，且 ， ∴ ， ． ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，（ ）． （8分） (3) 由(2)知 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，（ ）． ∴当 时， ． ∴ ， （10分） （当且仅当 时取等号）． 另一方面，当 ， 时， ． ∵ ，∴ ． ∴ ， （13分） （当且仅当 时取等号）． ∴ ． （当且仅当 时取等号）． 综上所述， ，（ ）．（14分） 3．北京朝阳二模 （19）（本小题满分13分） 如图，已知双曲线C： 的右准线 与一条渐近线 交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点。 （I）求证： ； （II）若 且双曲线C的离心率 ，求双曲线C的方程； （III）在（II）的条件下，直线 过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足 ，试判断 的范围，并用代数方法给出证明。 解：（I） 右准线 ，渐近线 ……3分 （II） 双曲线C的方程为： ……7分 （III）由题意可得 ……8分 证明：设 ，点 由 得 与双曲线C右支交于不同的两点P、Q ……11分 ，得 的取值范围是（0，1） ……13分 （20）（本小题满分13分） 已知函数 ，数列 满足 （I）求数列 的通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ； （II）设x轴、直线 与函数 的图象所围成的封闭图形的面积为 ，求 ； （III）在集合 ，且 中，是否存在正整数N，使得不等式 对一切 恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由。 （IV）请构造一个与 有关的数列 ，使得 存在，并求出这个极限值。 解：（I） ……1分 …… 将这n个式子相加，得 ……3分 （II） 为一直角梯形（ 时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为 ，高为1 ……6分 （III）设满足条件的正整数N存在，则 又 均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列。 设共有m个满足条件的正整数N，则 ，解得 中满足条件的正整数N存在，共有495个， ……9分 （IV）设 ，即 则 显然，其极限存在，并且 ……10分 注： （c为非零常数）， 等都能使 存在。 三角高考数学题的常规解题途径 由于三角问题公式繁、题型杂、技巧多，学生在做这类题时，往往盲目探索，超时失分现象较为严重。若将各种题型技巧全部强化训练，又会陷入题海。如何解决这一矛盾？笔者认为：三角高考题都有比较明确的解题方向，只要在复习中让学生从整体上加以把握，掌握其常规的解题途径，就能获得事半功倍的效果。 途径1：化成“三个一” “三个一”是指一个角的一种三角函数一次方的形式。这种方法的解题步骤是：运用三角公式，把所求函数变换成“三个一”的形式，即 等形式，再根据已知条件及其性质深入求解。一般求三角函数的性质问题，如对称性、单调性、周期性、最值、值域、作图象等问题均可用此法。这类题在高考中每年都作重点考查。 例1. （2004年全国）求 的最小正周期、最大值和最小值。 分析：本题属于求三角函数性质问题，故使用途径1。 简解： 所以 评注：由于解题思路方向明确，避免了盲目探索，使解题过程简明流畅。 途径2：化成“两个一” 若某些问题化不成“三个一”，也可只化成一个角一种三角函数n次方的形式，或一个角的两种三角函数一次方的形式，即只能达到“两个一”的 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 。此时可通过配方、求导、解方程、设辅助角等手段进一步求解。 例2. （2004年广东）当 时，函数 的最值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 分析1：本题为求最值问题，则考虑用途径1，根据函数的齐次特征，化成 ，却无法变成一次方形式，则走途径2。 ，选（D）。 分析2：本题若用降幂公式变形为 ，也只能实现“两个一”。此时可将函数进一步变形为 ，利用辅助角，得函数 ，变成了“三个一”的形式。再利用其有界性，求得 。 途径3：边角转换 若已知三角形的某些边或角的关系，而求另一些边或角或判断三角形形状时，可运用正（余）弦定理或面积公式，把边都化为角，或把角都化为边，然后通过解方程求之。 例3. 在 中， 分别为角A、B、C的对边，且 ，（1）求角B；（2）若 ，求a的值。 简解1（边化角）： 简解2（角化边）： （2）因为 ， 所以 ， 得 或3 评注：有些学生把条件变形为 后，便思路受阻，显示他们对三角题的常规解法不熟。 途径4：三角变换 三角变换就是运用各种三角公式（倍、半、和差、诱、万能等），通过切弦互化、变角、变名、变次等技巧，将一个三角式恒等变形为另一种形式的方法。 例4. （2002年全国）已知 ，求 的值。 分析：本题是由角 的余弦求角 的余弦，故用角变换。因为 ，而 的正、余弦值可用二倍角公式求出，则本题获解。 简解： 因为 ， 所以 故 评注：本题解法很多，每种方法都要经历复杂的三角变换，以及讨论角的范围。 途径5：等价转化 有些问题无法直接选用前4种途径，而需先转化后选用。即先将各已知条件转化为三角形式，然后从前4种途径中择一求解。这类高考题处于知识网络的交汇点上，易发挥考查数学能力的功效，故必是高考常见的命题形式，需重点留意。 例5. （2004年广东）已知 成公比为2的等比数列（ ），且 也成等比数列，求 的值。 分析：本题处于三角与数列的交汇点上，数列起过渡作用，重心在三角上。用途径5，先把角成等比转化为 ，代入 后，再选用途径4求解。 简解： 因为 所以 所以 即 所以 。以下从略。 � EMBED PBrush ��� _1178275310.unknown _1178540315.unknown _1178544650.unknown _1178563481.unknown _1178566348.unknown _1178567088.unknown _1178568452.unknown _1178569095.unknown 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