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2009年考研数学公式总结大全(高等数学).pdf

2009年考研数学公式总结大全(高等数学)

笑英雄
2009-06-20 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《2009年考研数学公式总结大全(高等数学)pdf》,可适用于高等教育领域

水木艾迪wwwtsinghuatutorcom电话:地址:清华同方科技广场B座室高等数学简明公式第一章初等数学一、初等代数.乘法公式与因式分解()bababa±=±()bcacabcbacba=()()bababa−=−()babbaaba±±=±()()babababa±=±m()()−−−−−−=−nnnnnnnbabbabaababaLL.比例dcba=()合比定理ddcbba=()分比定理ddcbba−=−()合分比定理dcdcbaba−=−()若fedcba==则令tfedcba===于是fdbecafedcba===()若与yx成正比则(为比例系数)()若与kxy=kyx成反比则xky=(为比例系数)k.不等式()设则()设为正整数则,>>>nbannba>nba,>>nnba>()设dcba<则dcdbcaba<<()非负数的算术平均值不小于其几何平均值即,abba≥abccba≥nnnaaaanaaaaLL≥()绝对值不等式)baba≤)baba≤−)baba−≥−)aaa≤≤−.二次方程=cbxax()根:aacbbx−−=aacbbx−−−=()韦达定理:acxxabxx=−=,()判别式⎪⎩⎪⎨⎧<=>−=Δ方程没有实根方程有两相等实根方程有了两不等实数根,,,acb.一元三次方程组的韦达定理:(wwwkaoyandreamcomcn)解三健新建图水木艾迪wwwtsinghuatutorcom电话:地址:清华同方科技广场B座室若的三个根分别为则=rqxpxxxxx、、pxxx−=qxxxxxx=⋅⋅⋅rxxx−=⋅⋅.指数()()()nmnmaaa=⋅nmnmaaa−=÷()mnnmaa=()()()mmmbaab=mmmbaba=⎟⎠⎞⎜⎝⎛()mmaa=−.对数(),,,log>≠>NaaNa()对数恒等式更常用()NaaNlog=NeNln=()NMMNaaalogloglog=()NMNMaaalogloglog−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛()()MnManaloglog=()MnManaloglog=()换底公式aMMbbalogloglog=()()log=alog=aa.数列()等差数列设-首项-通项d-公差-前项和ananSn))()dnaan−=()dnnnanaaSnn−==)设成等差数列则等差数列中项cba,,()cab=()等比数列设-首项-公比-通项则aqna)通项)前项和−=nnqaan()qqaaqqaSnnn−−=−−=()常用的几种数列的和)(=nnnL))()(=nnnnL))()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nnnL)(wwwkaoyandreamcomcn)解三健新建图水木艾迪wwwtsinghuatutorcom电话:地址:清华同方科技广场B座室()()(=⋅⋅⋅nnnnnL))()()()()()=⋅⋅⋅⋅nnnnnnnK).排列、组合与二项式定理()排列()()(P−−−−=mnnnnmnL()全排列()()!Pnnnnnn=⋅⋅−−=L()组合()()()!!!!Cmnmnmmnnnmn−=−−=L组合的性质:))Cmnnmn−=CCCC−−−=mnmnmn()二项式定理()()()()nkknnnnnbbakknnnbannbnaaba−−−−=−−−LLL!!二、平面几何.图形面积habϕhabϕorlθorlθRHlRHl()任意三角形()()()csbsassCabbhS−−−===sin其中()cbas=()平行四边形ϕsinabbhS==()梯形S=中位线×高()扇形θrrlS==.旋转体()圆柱设R-底圆半径H-柱高则)侧面积,RHSπ=侧)全面积()RHRSπ=全)体积V()圆锥(HRπ=HRl母线)=bACBhcabACBhca(wwwkaoyandreamcomcn)水木艾迪wwwtsinghuatutorcom电话:地址:清华同方科技广场B座室)侧面积RlSπ=侧)侧面积(RlRS)π=全)体积HRVπ=()球设R-半径d-直径则)全面积)体积RSπ=全RVhrRhrRπ=()球缺(球被一个平面所截面得到的部分))面积RHSπ=(不包括底面))体积⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=hRhVπ.棱柱及棱锥:设-底面半径SH-高()棱柱体积VSH=()棱锥体积SHV()正棱锥侧面积==A×底面积×母线长三、平面三角.三角函数间的关系()sinsecα=α()csccos=αα()tancotα=α()sincos=αα==()()()ααsectanααcsccotαααcossintan=()αααsincoscot=.倍角三角函数()αααcossinsin()cos=−=−=−=αααααcossinsincos()αααtantantan−=()αααcotcotcot−=()cossin−α=()coscosαα=α.三角函数的合差化积公式()cossinsinsinαβαββα−=()sincossinsinαβαββα−=−()coscoscoscosαβαββα−=()sinsincoscosαβαββα−−=−()()(βαβαβα−=sinsincos)sin()()(βαβαβα−=coscoscos)cos(wwwkaoyandreamcomcn)水木艾迪wwwtsinghuatutorcom电话:地址:清华同方科技广场B座室()()(βαβαβα−−=sinsinsincos)()()(βαβαβα−−−=coscossinsin).边角关系()正弦定理:RCcBbAasinsinsin===R为外接圆半径()余弦定理Abccbacos−=Bcaacbcos−=Cabbaccos−=.反三角函数恒等式()()arcsinarcsinarcsinxyyxyx−±−=±()()()()arccosarccosyxxyarccoyx−−=±m()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛±=±xyyxyxmarctanarctanarctan()arccosarcsinπ=xx()cotarctanπ=xarcx(wwwkaoyandreamcomcn)水木艾迪wwwtsinghuatutorcom电话:地址:清华同方科技广场B座室第二章解析几何一、基本问题.两点间距离公式()设()(),,,yxByxA为平面上两点则A与B的距离()()yyxxd−−=()设则()()A与B的距离()()()zzyyxxd−−−=,,,,,zyxBzyxA.定比分点公式()设式线段(yxM,)AB的分点)⎩⎨⎧<>=时外分时内分,λλλMBAM则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==λλλλyyyxxx)设M为AB中点时()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==yyyxxx()设是空间线段的分点(zyxM,,)AB)⎩⎨⎧<>=时外分时内分,λλλMBAM则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===λλλλλλzzzyyyxxx)设M为AB中点时()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===zzzyyyxxx.平面上不在同一直线上的三点()()(),,,,,yxCyxByxA所围三角形面积yxyxyxS=的绝对值。二、直线与平面方程平面直线方程:()一般式:斜率=CByAXBAk−=。()斜截式:bkxy=其中为斜率b为ky轴截距()点斜式:(xxkyy−)=−直线过点(),yx斜率为k。()截距式:=byax其中baba,,,≠≠为x轴、轴上截距。y()两点式:xxxxyyyy−−=−−或=yxyxyx()参数式:斜率为⎩⎨⎧==,,mtyyktxxlmk=过点。(),yx.空间直角坐标系中的平面方程()一般式=DCzByAx(wwwkaoyandreamcomcn)解三健新建图水木艾迪wwwtsinghuatutorcom电话:地址:清华同方科技广场B座室)通过原点)=CzByAx=DByAx与轴平行)通过轴z=ByAxz()点法式:()()()=−−−zzCyyBxxA过(),,zyx点法矢量CBAn,,=()截距式:=czbyax()三点式:=zyxzyxzyxzyx这里()()(),,,,,,,,zyxzyxzyx为平面所过的三点。三、点线与点面距离()点到直线的距离(,yx)=CByAXBACByAxd=()点到平面(),,zyx=DCzByAx的距离CBADCzByAxd=注意:平面上的直线对应于空间上的平面。四、空间直线方程()一般式:其中⎩⎨⎧==DzCyBxADzCyBxA,,BABAACACCBCB为方向数。()参数式:直线过(方向参数⎪⎩⎪⎨⎧===ntzzmtyyltxx),,zyxnml,,()标准式(对称式):nzzmyylxx−=−=−直线过(),,zyx方向数nml,,()两点式:zzzzyyyyxxxx−−=−−=−−直线过()(),,,,,zyxzyx。五、直线间、平面间、直线与平面间的关系.设直线令:=CyBxALBAk−=,令:=CyBxALBAk−=()∥LLkk=⇔或CCBBAA≠=()−=⋅⇔⊥kkLL或者=BBAAtan:kkkk−=θθ()重合CCBBAA==⇔()夹角.设平面:=DzCyBxAπ平面:=DzCyBxAπ直线:nzzmyylxxL−=−=−直线:nzzmyylxxL−=−=−()平面间夹角θ则cosCBACBACCBBAA=θ(wwwkaoyandreamcomcn)解三健新建图水木艾迪wwwtsinghuatutorcom电话:地址:清华同方科技广场B座室平面π∥平面πCCBBAA==⇔平面π⊥平面π⇔=CCBBAA()直线间夹角θ则cosnmlnmlnnmmll=θ直线∥直线LLnnmmll==⇔直线⊥直线LL⇔=nnmmll()直线与面的夹角θ,sinCBAnmlCnBmAl=θ直线∥平面Lπ=⇔nCmBlA直线⊥平面LπCnBmAl==⇔六、重要曲线与重要曲面.平面曲线xyo()al,()al−−,xyo()al,()al−−,()立方抛物线()>=aaxy()半立方抛物线)()抛物线(>=aaxy()>=aayx或⎪⎩⎪⎨⎧==taytaxsincosaaoxyaaoxxyoxyoyoaθaxyoaθaxyxy=ayxxy=ayx()箕舌线axay=或()叶形线令则⎩⎨⎧==θθcostanayax=−axyyxtxy=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==tatytatx(wwwkaoyandreamcomcn)解三健新建图水木艾迪wwwtsinghuatutorcom电话:地址:清华同方科技广场B座室()双纽线()或()摆线⎨()yxayx−=θρcosa=⎧−=−=tayttaxcossin()()⎩xyaxyaxyta=tπ=toxyta=tπ=to()悬链线⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−axaxeeay或axachy=()心脏线()θρcos=axyayoxyoxyax()概率曲线()阿基米德螺线xey−=θρa=oxoxoxy−eoxy−e()等角螺线()星形线θρae=ayx=或⎪⎩⎪⎨⎧==taytaxsincosxyoaaxexyoaaxe()三叶玫瑰线θρsina=()四叶玫瑰线θρsina=θρcosa=(wwwkaoyandreamcomcn)解三健新建图水木艾迪wwwtsinghuatutorcom电话:地址:清华同方科技广场B座室aaaaxyaaaaxyxyaaaxyaaaxyaaaaxyaaaa.空间曲线()一般方程()参数方程()()⎩⎨⎧==,,,,zyxgzyxf()()()⎪⎩⎪⎨⎧===tzztyytxx()圆柱螺线()圆锥螺线⎪⎩⎪⎨⎧===ktztaytaxsincos⎪⎩⎪⎨⎧=−=atzttysincos=ttx.空间曲面()球面,球心在原点半径为Rzyx=R()()()Rczbyax=−−−球心在半径为(cba,,)R()椭球面=czbyax,,其中a为三个半径在cb(),,zyxM处的切平面方程为=czzbyyaxx()单叶双曲面=−czbyax()双叶双曲面−=−czbyax()椭圆抛物线czbyax=()双曲抛物线czbyax=−()⎧=,zxf()旋转面曲线绕⎩⎨=yx轴旋转(),=±zyxf绕轴旋转z(),=±zyxf()==,yzxf⎩⎨⎧则一般方程,=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−znmYnlXf则母线方向数。nml,,()柱面设准线为特殊方程:)母线∥轴准线)(),=YXfz()⎩⎨⎧==,zyxf(),=ZYϕ母线∥x轴准线⎨()⎩⎧==,xzyϕ)(),=XZϕ母线∥轴准线⎨y()⎩⎧==,yzxψ()⎩⎨⎧==czyxf,()锥面准线,定点为原点则一般方程:,=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ZcYZcXf(wwwkaoyandreamcomcn)解三健新建图水木艾迪wwwtsinghuatutorcom电话:地址:清华同方科技广场B座室特殊方程:)=−cZbYaX以轴为对称轴准线z⎪⎩⎪⎨⎧==−czbyax)=−cZbYaX以轴为对称轴准线y⎪⎩⎪⎨⎧==−bycyax)=−cZbYaX以x轴为对称轴准线⎪⎩⎪⎨⎧==−axcybx(wwwkaoyandreamcomcn)解三健新建图解三健考研梦网水木艾迪wwwtsinghuatutorcom电话:地址:清华同方科技广场B座室第三章矢量代数一、定义设矢量{}zyxzkxjxia,,==()矢量的模azyxa=()单位矢量⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==,,zyxzzyxyzyxxaaao()矢量的方向余弦acos,sin,coszyxzzyxyzyxx===γβα()设()(),,,,,,zyxMzyxM则{},,zzyyxxMM−−−=二、矢量的运算.加减运算设a{}{}{},,zzyyxxba,,,,,zyxbzyx==则=±±±±.数乘矢量设{}λ,,,zyxa=为数量则{}zyxaλλλλ,,=⎪⎩⎪⎨⎧>>=反向与则-为零矢量则=同向与则aaaaaaaaaaλλλλλλλλλ,,,,.矢量的数积(点积内积)设{}{,,,,,,zyxbzyxa}==则矢量a与的数量积b()z,coszyyxxbababa==⋅.矢量的矢积(叉积外积)设两矢量a与若一个矢量c满足条件:b∃①(babac,sin=)②,,bcac⊥⊥即c垂直于所确定的平面③成右手系ba,cba,,kyxyxjzxzxizyzyzyxzyxkjibabac−==××=则矢量c称为矢量于a的矢量乘积记为b,.混合积设有三个矢量{}{}{},,,,,,,,zyxczyxbzyxa===,先作a的矢积bba×再与c作数乘积()则称其为a的混合积记做cba×cb,,cba,,(wwwkaoyandreamcomcn)解三健新建图水木艾迪wwwtsinghuatutorcom电话:地址:清华同方科技广场B座室(),,zyxzyxzyxcbacba=⋅×=,,cba表示以为棱的平行六面体积。cba,,(wwwkaoyandreamcomcn)水木艾迪wwwtsinghuatutorcom电话:地址:清华同方科技广场B座室第四章高等代数.两个重要极限:)(limsinlim===∞→→exxxxxx.基本导数公式:axxaaaxxxxxxxxxxaxxln)(logln)(cotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tan=′=′⋅−=′⋅=′−=′=′)tan()(arctan)(arccos)(arcsinxxarccxxxxxx−=′=′−−=′−=′.一些初等函数:双曲正弦:,xxeeshx−−=双曲余弦:xxeechx−=双曲正切:,ln(xxxxshxeearshxxxchxee−−−===)thxln(),lnxarchxxxarthxx=±−=−.三角函数公式:·诱导公式:函数角Asincostancotαsinαcosαtanαcotα°αcosαsinαcotαtanα°αcosαsinαcotαtanα°αsinαcosαtanαcotα°αsinαcosαtanαcotα°αcosαsinαcotαtanα°αcosαsinαcotαtanα°αsinαcosαtanαcotα°αsinαcosαtanαcotα·和差角公式:·和差化积公式:sinsincoscoscoscoscoscossincossinsincossinsinsinβαβαβαβαβαβαβαβαβααβαββα−−=−−=−=−−αβαβα=αββαβαβαβαβαβαβαβαtantantantan)cot(tantantantan)tan(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(±⋅=±⋅±=±=±±=±mmmβ(wwwkaoyandreamcomcn)解三健新建图水木艾迪wwwtsinghuatutorcom电话:地址:清华同方科技广场B座室·倍角公式:ααααααααsincossincoscoscossin−=−=−=sin=ααααααtantantan,tantancot−=−=·半角公式:ααααααααααααααααααcossinsincoscoscoscot,cossinsincoscoscostancoscos,cossin−==−±==−=−±=±=−±=             RCcBbAasinsinsin===·正弦定理:·余弦定理:·反三角函数性质:Cabbaccos−=xarcxxxcotarctanarccosarcsin−=−=ππ   .高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz)公式:)()()()()()()()()(!)()(!)()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv−−′′−′==−−−=−∑LLL.中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理:()fb()()()fafbaξ′=−−柯西中值定理:()fb()()()()()fafFbFaF′−ξξ=′−当F()xx=时柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。.曲率:弧微分公式:,dsydxytgα′′==其中KsαΔ=Δ:αΔ点切线斜率的倾角变化量sMM′Δ:从点到MM′平均曲率:弧长。点的曲率:Mlim()sydKsdsyααΔ→′′Δ===Δ′直线:半径为的圆:K=aKa=.泰勒公式设函数在区间内具有)(xf),(ban阶导数),(bax∈则在区间内可表为),(ba)(xf)()(!)()(!)())(()()()(xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn−−′′−′=L。其中)()()!()()(−=nnnxxnfxRξξ是介于和xx之间的某个数。(wwwkaoyandreamcomcn)水木艾迪wwwtsinghuatutorcom电话:地址:清华同方科技广场B座室称为阶泰勒余项(具有拉格朗日形式的余项)。时的泰勒公式叫做麦克劳林公式即n)(xRn=x)()()!()(!)(!)()()()(′′′=nnnnxnfxnfxfxffxfξL其中ξ在与x之间。具有皮亚诺余项形式的泰勒公式为(此时,只要求函数在区间内具有阶导数)为:)(xf),(ban))(()(!)()(!)())(()()()(nnnxxoxxnxfxxxfxxxfxfxf−−−′′−′=L其中为的高阶无穷小量要求具有阶导数。这是不同于拉格朗日余项形的阶泰勒公式之处。)(nxonx)(xfnn读者应该熟悉五类基本初等函数在=x处的阶泰勒公式(nξ在与x之间)()),(,)!()(∞−∞∈=xxenxRnnξ)(!!xRxnxxennx=L其中。())()!()(!!sinxRxnxxxxnnn−−−−−−−=L其中),(,)sin()!()(∞−∞∈=−xxnnxRnnπξ。())()!()(!!cosxRxnxxxnnn−−−=L其中),(,)cos()!()(∞−∞∈=xxnnxRnnπξ。())(!)()(!)()(xRxnnxxxnn−−−=αααααααLL其中),(),,(,)()!()()()(∞−∞∈∞−∈−−=−−αξααααxxnnxRnnnL。())()()ln(xRxnxxxxnnn⋅−−−=−L其中),(,))(()()(∞−∈−=xnxRnnnξ.无穷小量比阶设为某种趋向时的无穷小量若满足)(⋅→xμβα=⋅→)()(lim)(xxx)(xα与)(xβ则()当与)(xβ)(⋅→x)特别=μ≠μ时称)(xα为同阶无穷小量(时称)(xα)(xβ与为量(等价无穷小()⋅→)xx)可记为)(~xβ。(α(wwwkaoyandreamcomcn)水木艾迪wwwtsinghuatutorcom电话:地址:清华同方科技广场B座室()当=μ时称)(xα是比)(xβ高阶的无穷小量()(⋅→x)。()当时称)(xα是比)(xβ低阶的无穷小量()(⋅→x∞=μ)。常用等价无穷小量()广义下应用即等价关系中的→x)ln(~tanx~sinx~xx~cosxx−axxln>axex~−xxλλ~)(−Ra~−注:()以上等价关系可在x在应用中常换为满足(lim)(=⋅→x)xα的某个)(xα。()价无穷小量进行替换但必须注意替换只能在因子位置上进行因在极限运算中可以用等等价无穷小量是用因子乘积)(xβ)(xα⋅定义的。.基本积分表:不定积分:Cdx=∫Cxdx=∫Caxaadxx=∫Cxdxx=∫lnCaadxaxx=∫lnCedxexx=∫∫−=Cxxdxcoslntan∫=Cxdxcotxsinln∫xxtanc=Cxdxselnsec∫−=Cxxxdxcotcsclncsc∫∫−=−=CaxaxaaxdxCaxaxadxlnarctanCaxxadxCxaxaaxadx=−−=−∫∫arcsinln∫∫∫∫Cx−====xdxxdxCxxdxxdxcotcscsintanseccos∫∫−=⋅=⋅CxxdxxCxdxxxcsccotcscsectansec∫∫==CchxshxdxCaadxaxxln∫∫±=±=CaxxaxdxCshxchxdx)ln(∈λ~sinxxx−−(wwwkaoyandreamcomcn)水木艾迪wwwtsinghuatutorcom电话:地址:清华同方科技广场B座室cossin−==∫∫nnnnnxdxxdxIππ=−nI∫=Caxxaaxxdxax)ln(Caxxaaxxdxax−−−=−∫ln∫−=−Caxaxaxdxxaarcsin∫−−y)L−≈bannnyyyyyyynabdxxf)(()()(L(wwwkaoyandreamcomcn)水木艾迪wwwtsinghuatutorcom电话:地址:清华同方科技广场B座室三角有理分式的积分)cos,(sinxxR()半角替换:记tanxt=,则sinttx=costtx−=dttdt=于是可将三角有理分式的不定积分化为关于t的有理分式积分。)cos,(sinxxR∫dxxxR)cos,(sin()三角替换若=,则取变换)cos,sin(xxR−)cos,(sinxxR−xtcos=xdxdtsin−=xdtdxsin−=。若=,则取变换)cos,(sinxxR−)cos,(sinxxR−xtsin=xdtdxcos=。若=,则取变换)cos,sin(xxR−−)cos,(sinxxRxttan=。xdtdxcos=定积分应用相关公式:()∫∫−=abbadxxfdxxf)()(()对积分区间的可加性:∫∫∫=∈∀bccabadxxfdxxfdxxfRc)()()(,()对被积函数满足线性性:∫∫∫=bababadxxgBdxxfAdxxBgxAf)()()()(()保序性(保号性):若可积函数,,)(baxxf∈∀≥,则。)(≥∫badxxf若可积函数满足,则。)(),(xgxf)()(xgxf≥∫∫≥babadxxgdxxf)()(特别若非负连续函数在上不恒为零则。)(xf,ba)(>∫badxxf()若在上可积,则)(xf,ba)(xf在上也可积,且,ba∫∫≤babadxxfdxxf)()(()估值定理:若可积函数在上满足)(xf,baMxfm≤≤)(,则)()()(abMdxxfabmba−≤≤−∫进一步,若函数在上非负可积,则(

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