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高考数学总复习资料.doc

高考数学总复习资料

胖蜗牛
2009-06-18 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高考数学总复习资料doc》,可适用于求职/职场领域

高考数学总复习资料高三数学第三轮总复习分类讨论押题针对训练复习目标:.掌握分类讨论必须遵循的原则.能够合理正确地求解有关问题命题分析:分类讨论是一种重要的逻辑方法也是一种常用的数学方法这可以培养学生思维的条理性和概括性以及认识问题的全面性和深刻性提高学生分析问题解决问题的能力因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点而且也是高考的一个难点这次的一模考试中尤其是西城与海淀都设置了解答题来考察学生对分类讨论问题的掌握情况重点题型分析:例.解关于x的不等式:解:原不等式可分解因式为:(xa)(xa)<(下面按两个根的大小关系分类)()当a>a(aa<即<a<时不等式的解为x((a,a)()当a<a(aa>即a<或a>时不等式的解为:x((a,a)()当a=a(aa=即a=或a=时不等式为x<或(x)<不等式的解为x((综上当<a<时x((a,a)当a<或a>时x((a,a)当a=或a=时x((评述:抓住分类的转折点此题分解因式后之所以不能马上写出解集主要是不知两根谁大谁小那么就按两个根之间的大小关系来分类例.解关于x的不等式axax>(a(R)解:此题应按a是否为来分类()当a=时不等式为>,解集为R()a(时分为a>与a<两类①时方程axax=有两根则原不等式的解为②时方程axax=没有实根此时为开口向上的抛物线则不等式的解为((()③时方程axax=只有一根为x=则原不等式的解为((,)∪(,()④时方程axax=有两根此时抛物线的开口向下的抛物线故原不等式的解为:⑤综上:当≤a<时解集为((()当a>时解集为当a=时解集为((,)∪(,()当a<时解集为例.解关于x的不等式ax≥xax(a∈R)(西城’一模理科)解:原不等式可化为(ax(a)x≥,()a=时x≤即x∈(∞,()a(时不等式即为(ax)(x)≥①a>时不等式化为当即a>时不等式解为当此时a不存在②a<时不等式化为当即<a<时不等式解为当即a<时不等式解为当即a=时不等式解为x=综上:a=时x∈(∞,)a>时x∈<a<时x∈a<时x∈a=时x∈{x|x=}评述:通过上面三个例题的分析与解答可以概括出分类讨论问题的基本原则为::能不分则不分:若不分则无法确定任何一个结果:若分的话则按谁碍事就分谁例.已知函数f(x)=cosxasinxaa有最大值求实数a的取值解:f(x)=sinxasinxaa令sinx=t,t∈,则(t∈,)()当即a>时t=解方程得:(舍)()当时即≤a≤时,,解方程为:或a=(舍)()当即a<时t=时ymax=aa=即aa=∴,∵a<,∴全都舍去综上当时能使函数f(x)的最大值为例.设{an}是由正数组成的等比数列Sn是其前n项和证明:证明:()当q=时Sn=na从而()当q≠时从而由()()得:∵函数为单调递减函数∴例.设一双曲线的两条渐近线方程为xy=,xy=求此双曲线的离心率分析:由双曲线的渐近线方程不能确定其焦点位置所以应分两种情况求解解:()当双曲线的焦点在直线y=时双曲线的方程可改为一条渐近线的斜率为∴b=∴()当双曲线的焦点在直线x=时仿()知双曲线的一条渐近线的斜率为此时综上()()可知双曲线的离心率等于评述:例例的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的而例是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论例.解关于x的不等式解:原不等式由()a=时x>,即x∈(,∞)由()a<时下面分为三种情况①即a<时解为②时解为(③(即<a<时原不等式解为:由()a>时的符号不确定也分为种情况①(a不存在②当a>时原不等式的解为:综上:a=时x∈(,∞)a<时x∈a=时x((<a<时x∈a>时x∈评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤::明确讨论的对象确定对象的全体:确定分类标准正确分类不重不漏:逐步进行讨论获得结段性结记:归纳总结综合结记课后练习:.解不等式.解不等式.已知关于x的不等式的解集为M()当a=时求集合M:()若(M求实数a的取值范围.在xy平面上给定曲线y=x,设点A坐标为(a,),a(R求曲线上点到点A距离的最小值d并写成d=f(a)的函数表达式参考答案:()M为()年高三数学第三轮总复习函数押题针对训练复习重点:函数问题专题主要帮助学生整理函数基本知识解决函数问题的基本方法体系函数问题中的易错点并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。复习难点:树立数形结合的思想函数方程的思想解决有关问题。主要内容:(一)基本问题定义域对应法则值域图象问题单调性奇偶性(对称性)周期性反函数函数值比大小分段函数函数方程及不等式(二)基本问题中的易错点及基本方法.集合与映射<>认清集合中的代表元素<>有关集合运算中辨清:子集真子集非空真子集的区别。还应注意空集的情形验算端点。.关于定义域<>复合函数的定义域限制条件要找全。<>应用问题实际意义。<>求值域研究函数性质(周期性单调性奇偶性)时要首先考察定义域。<>方程不等式问题先确定定义域。.关于对应法则注:<>分段函数不同区间上对应法则不同<>联系函数性质求解析式.值域问题基本方法:<>化为基本函数换元(新元范围)。化为二次函数三角函数……并结合函数单调性结合函数图象求值域。<>均值不等式:形如和积及形式。注意识别及应用条件。<>几何背景:解析几何如斜率曲线间位置关系等等。易错点:<>考察定义域<>均值不等式使用条件.函数的奇偶性单调性周期性。关注问题:<>判定时先考察定义域。<>用定义证明单调性时最好是证哪个区间上的单调性在哪个区间上任取x及x。<>求复合函数单调区间问题内、外层函数单调区间及定义域有时需分类讨论。<>由周期性及奇偶性(对称性)求函数解析式。<>“奇偶性”“关于直线x=k”对称求出函数周期。.比大小问题基本方法:<>粗分。如以“”“”“”等为分界点。<>搭桥<>结合单调性数形结合<>比差、比商<>利用函数图象的凸凹性。.函数的图象<>基本函数图象<>图象变换①平移②对称(取绝对值)③放缩易错点:复合变换时有两种变换顺序不能交换。如下:<I>取绝对值(对称)与平移例:由图象经过如何变换可得下列函数图象?<><>分析:<><>评述:要由得到只能按上述顺序变换两顺序不能交换。<II>平移与关于y=x对称变换例:y=f(x)的反函数与y=f(x)是否相同?分析:①的反函数。②∴两个函数不是同一个函数(也可以用具体函数去验证。)(三)本周例题:例.判断函数的奇偶性及周期性。分析:<>定义域:∴f(x)定义域关于原点对称如图:又∴f(x)=f(x),∴f(x)周期(的奇函数。评述:研究性质时关注定义域。例.<>设f(x)定义在R上的偶函数且又当x∈,时f(x)=x求f()的值。<>已知f(x)是以为周期的偶函数且当x∈(,)时f(x)=x求f(x)在(,)上的解析式。解:<>∵∴∴f(x)周期T=∴f()=f(()=f()当x∈(,)时x∈(,)∵x∈(,)时f(x)=f(x)=x∴f(x)=(x)∴,∴<>(法)(从解析式入手)∵x∈(,),则x∈(,),∴x∈(,),∵T=∵f(x)=f(x)=f(x)=x=x∴f(x)=x,x∈(,)小结:由奇偶性结合周期性将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。(法)(图象)f(x)=f(x)如图:x∈(,),f(x)=xx∈(,)→f(x)=xx∈(,)→f(x)=(x)=x注:从图象入手也可解决且较直观。例.<>若x∈(,)时不等式(x)<logax恒成立求a的取值范围。<>已知二次函数f(x)=xax对任意t都有f(t)=f(t)且在闭区间Zm,上有最大值最小值求m的取值范围。分析:<>设y=(x),y=logaxx∈(,)即x∈(,)时曲线y在y的下方如图:∴a=时x∈(,)也成立∴a∈(,小结:①数形结合②变化的观点③注意边界点a=x取不到∴仍成立。<>∵f(t)=f(t),∴f(t)=f(t)∴f(x)图象关于x=对称∴a=,∴f(x)=xx∴f(x)=(x),动区间:m,,∵x∈m,,f(x)max=,f(x)min=,∴m∈,小结:函数问题充分利用数形结合的思想并应用运动变化的观点研究问题。如二次函数问题中常见问题定函数动区间及动函数和定区间但两类问题若涉及函数最值必然要考虑函数的单调区间而二次函数的单调性研究关键在于其图象对称轴的位置。以发展的眼光看还可解决一类动直线定曲线相关问题。例.已知函数(I)判定f(x)在x∈(∞,)上的单调性并证明。(II)设g(x)=loga(x)若方程f(x)=g(x)有实根求a的取值范围。分析:(I)任取x<x<,则:,∵(x)(x)(x)(x)=(xx)<又(x)(x)>且(x)(x)>,∴当a>时f(x)f(x)<,∴f(x)单调递增当<a<时f(x)f(x)>,∴f(x)单调递减。(II)若f(x)=g(x)有实根即:。∴∴即方程:有大于的实根。(法)(∵x>)∴(法)(实根分布)()有大于的实根方程()化为:ax(a)xa=∵a>,∴Δ=aa≥①有一根大于②两根均大于小结:实根分布即利用二次函数图象及不等式组解决问题。用此数形结合方法解决问题时具体步骤为:①二次函数图象开口方向。②图象对称轴的位置。③图象与x轴交点。④端点函数值的符号。此题()中也可以用韦达定理解决。小结:函数部分是高考考察重点内容应当对其予以充分的重视并配备必要例题理顺基本方法体系。练习:已知f(x)是定义在上的奇函数且f()=,若m,n∈,mn≠时,有。<>用定义证明f(x)在上是增函数。<>若f(x)≤tat对所有x∈,a∈,恒成立求实数t的取值范围。参考答案:()|t|≥或t=年高三数学第三轮总复习排列与组合押题针对训练授课内容:复习排列与组合考试内容:两个原理排列、排列数公式组合、组合数公式。考试要求:)掌握加法原理及乘法原理并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。)理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式并能用它们解决一些简单的问题。试题安排:一般情况下排列组合为一道以选择或填空题的形式出现的应用题。有时还另有一道排列、组合与其他内容的综合题(大都与集合、立体几何、不等式证明等相综合)。重点:两个原理尤其是乘法原理的应用。难点:不重不漏。知识要点及典型例题分析:.加法原理和乘法原理两个原理是理解排列与组合的概念推导排列数及组合数公式分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据完成一件事共有多少种不同方法这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。例.书架上放有本不同的数学书本不同的语文书本不同的英语书。()若从这些书中任取一本有多少种不同的取法?()若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本有多少种不同的取法?()若从这些书中取不同的科目的书两本有多少种不同的取法。解:()由于从书架上任取一本书就可以完成这件事故应分类由于有种书则分为类然后依据加法原理得到的取法种数是:=种。()由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各本需要分成个步骤完成据乘法原理得到不同的取法种数是:××=(种)。()由于从书架上任取不同科目的书两本可以有类情况(数语各本数英各本语英各本)而在每一类情况中又需分个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是:×××=(种)。例.已知两个集合A={}B={a,b,c,d}从A到B建立映射问可建立多少个不同的映射?分析:首先应明确本题中的“这件事是指映射何谓映射?即对A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应。”因A中有个元素则必须将这个元素都在B中找到家这件事才完成。因此应分个步骤当这三个步骤全进行完一个映射就被建立了据乘法原理共可建立不同的映射数目为:××=(种)。.排列数与组合数的两个公式排列数与组合数公式各有两种形式一是连乘积的形式这种形式主要用于计算二是阶乘的形式这种形式主要用于化简与证明。连乘积的形式阶乘形式Pnm=n(n)(n)……(nm)=Cnm=例.求证:PnmmPnm=Pnm证明:左边=∴等式成立。评述:这是一个排列数等式的证明问题选用阶乘之商的形式并利用阶乘的性质。n!(n)=(n)!可使变形过程得以简化。例.解方程解:原方程可化为:(((解得x=评述:解由排列数与组合数形式给出的方程时在脱掉排列数与组合数的符号时要注意把排列数与组合数定义中的取出元素与被取元素之间的关系以及它们都属自然数的这重要限定写在脱掉符号之前。.排列与组合的应用题历届高考数学试题中排列与组合部分的试题主要是应用问题。一般都附有某些限制条件或是限定元素的选择或是限定元素的位置这些应用问题的内容和情景是多种多样的而解决它们的方法还是有规律可循的。常用的方法有:一般方法和特殊方法两种。一般方法有:直接法和间接法()在直接法中又分为两类若问题可分为互斥各类据加法原理可用分类法若问题考虑先后次序据乘法原理可用占位法。()间接法一般用于当问题的反面简单明了据A∪=I且A∩=(的原理采用排除的方法来获得问题的解决。特殊方法:()特元特位:优先考虑有特殊要求的元素或位置后再去考虑其它元素或位置。()捆绑法:某些元素必须在一起的排列用“捆绑法”紧密结合粘成小组组内外分别排列。()插空法:某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”不需分离的站好实位在空位上进行排列。()其它方法。例.人排成一行分别求出符合下列要求的不同排法的种数。()甲排中间()甲不排两端()甲乙相邻()甲在乙的左边(不要求相邻)()甲乙丙连排()甲乙丙两两不相邻。解:()甲排中间属“特元特位”优先安置只有一种站法其余人任意排列故共有:×=种不同排法。()甲不排两端亦属于“特元特位”问题优先安置甲在中间五个位置上任何一个位置则有种其余人可任意排列有种故共有·=种不同排法。()甲、乙相邻属于“捆绑法”将甲、乙合为一个“元素”连同其余人共个元素任意排列再由甲、乙组内排列故共有·=种不同的排法。()甲在乙的左边。考虑在人排成一行形成的所有排列中:“甲在乙左边”与“甲在乙右边”的排法是一一对应的在不要求相邻时各占所有排列的一半故甲在乙的左边的不同排法共有EMBEDEquation=种。()甲、乙、丙连排亦属于某些元素必须在一起的排列利用“捆绑法”先将甲、乙、丙合为一个“元素”连同其余人共个“元素”任意排列现由甲、乙、丙交换位置故共有·=种不同排法。()甲、乙、丙两两不相邻属于某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”先将甲、乙、丙外的人排成一行形成左、右及每两人之间的五个“空”。再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”故共有·=种不同的排法。例.用这六个数字组成无重复数字的五位数分别求出下列各类数的个数:()奇数()的倍数()比大的数()不含数字且不相邻的数。解:()奇数:要得到一个位数的奇数分成步第一步考虑个位必须是奇数从中选出一个数排列个位的位置上有种第二步考虑首位不能是从余下的不是的个数字中任选一个排在首位上有种第三步:从余下的个数字中任选个排在中间的个数的位置上由乘法原理共有EMBEDEquationEMBEDEquation=(个)。()的倍数:按作不作个位来分类第一类:作个位则有=。第二类:不作个位即作个位则EMBEDEquation=。则共有这样的数为:EMBEDEquation=(个)。()比大的数的五位数可分为三类:第一类:xxxx,xxxx,xxxx有个第二类:xxx,xxx,xxx,xxx,的个第三类:xx,xx,xx,有个因此比大的五位数共有:=(个)。()不含数字且不相邻的数:分两步完成第一步将三个数字排成一行第二步将和插入四个“空”中的两个位置故共有=个不含数字且和不相邻的五位数。例.直线与圆相离直线上六点AAAAAA圆上四点BBBB任两点连成直线问所得直线最多几条?最少几条?解:所得直线最多时即为任意三点都不共线可分为三类:第一类为已知直线上与圆上各取一点连线的直线条数为=第二类为圆上任取两点所得的直线条数为=第三类为已知直线为条则直线最多的条数为N==(条)。所得直线最少时即重合的直线最多用排除法减去重合的字数较为方便而重合的直线即是由圆上取两点连成的直线排除重复便是直线最少条数:N=N==(条)。年高三数学第三轮总复习三角函数的定义与三角变换押题针对训练内容:三角函数的定义与三角变换重点:任意角的三角函数定义难点:三角变换公式的应用内容安排说明及分析:本部分内容分为两大块一块是三角的基础与预备知识另一块是三角变换公式及其应用。把三角变换公式提到三角函数图象与性质之前来复习其目的是突出“工具提前”的原则。即众多的三角变换公式是解决三角学中一系列典型问题的工具也是进一步研究三角函数的图象和性质的重要工具。由于本部分内容的基础性与工具性这是高中数学的重要内容之一因此最近几年的高考试题中占有一定的比例约占左右。有试题多为选择题有时也有解答题难度多为容易题与中等题。知识要点及典型例题分析:一、三角函数的定义.角的概念()角的定义及正角负角与零角()象限角与轴上角的表达()终边相同的角()角度制()弧度制.任意角的三角函数定义任意角的个三角函数定义的本质是给角这个几何量以代数表达。借助直角坐标系这个工具把角放进直角坐标系中完成的。由任意角的三角函数定义直接可以得到:()三角函数的定义域()三角函数值在四个象限中的符号()同角三角函数的关系()单位圆中的三角函数线:要充分利用三角函数线在记忆三角函数性质与公式以及解决三角函数问题中的作用。.诱导公式总共组共个公式记忆口决为“奇变偶不变符号看象限”并弄清口决中的字词含义并根据结构总结使用功能。“奇变”是指所涉及的轴上角为的奇数倍时(包括组:(((()函数名称变为原来函数的余函数其主要功能在于:当需要改变函数名称时比如:由于“和差化积”公式都是同名函数的和差。使用时对于不同名的函数先化为同名函数又如:复数化三角形式有时也需要改变函数名称如:sin(icos(=cos(()isin(()。“偶不变”是指所涉及的轴上角为的偶数倍时(包括组:k((,(((,((,(),函数名称不变其主要功能在于:求任意角的三角函数值化简及某些证明问题。二、典型例题分析:例.()已知<(<(<,求((与((的范围。()已知(的终边在第二象限确定((所在象限。解:()∵<(<(<,∴(<((<((<((<()有两种思路:其一是先把(的终边关于x轴对称放到(的终边(在第三象限)再将(的终边按逆时方向旋转(放到((的终边即(的终边的反向延长线此时((的终边也在第二象限。思路:是先把(的终边(第二象限)按顺时针方向旋转(得到((()(第四象限)再将它关于x轴对称得到((()=((的终边此时也在第一象限。例.若A={x|x=,k(Z},B={x|x=,k(Z},则AB。解:由B中的x==可视为的奇数倍所构成的集合。而A中的x=是的所有奇数倍因此A(B。例.设<(<(,问(与角(终边相同求(。解:由已知(=k((,k(Z, 有(=∵<(<(,∴k=时(=k=时(=(k=时(=例.若=ctg(csc(求(取值范围。解:先看一看右边=ctg(csc(==这样就决定了左边的变形方向。==∵=∴(((无解∴不存在这样的(使所给等式成立。例.已知sin((()cos((()=,<(<(求:()sin(cos(的值()sin(()cos(()的值解:()由已知得sin(cos(=,平方得:sin(cos(=,∴sin(cos(=,∵<(<(,∴sin(cos(===()sin(()cos(()=cos(sin(=(cos(sin()(cos(sin(cos(sin()=()=例.已知sin((()=cos(((),求下列三角函数的值:()()cos(sin(解:由已知:sin(=cos(有tg(=,则()原式===。()cos(sin(====评述:对于形如为关于sin(与cos(的一次分式齐次式处理的方法就是将分子与分母同除以cos(即可化为只含tg(的式子。而对于cos(sin(属于关于sin(与cos(的二次齐次式。即sin(cos(sin(cos(此时若能将分母的“”用sin(cos(表示的话这样就构成了关于sin(与cos(的二次分式齐次式分子分母同除以cos(即可化为只含有tg(的分式形式。例.求函数y=log​​sinx(sinx)的定义域。解:使函数有意义的不等式为: (将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来然后取公共部分由于x(,故下面的不等式的范围只取落入之内的值即∴因此函数的定义域为:,)∪(,)∪()∪()。例.求证:=证法一(左边化弦后再证等价命题)左边==要证=只需证:(sin(cos()cos(=(sin(cos()(sin()左边=cos(sin(cos(cos(右边=sin(cos(cos(sin(=cos(cos(sin(cos(∵左边=右边∴原等式成立。或证等价命题:=证法二(利用化“”的技巧)左边===sec(tg(==右边。证法三(利用同角关系及比例的性质)由公式sec(tg(=((sec(tg()(sec(tg()=(=由等比定理有:=sec(tg(= 证法四(利用三角函数定义)证sec(=,tg(=,sin(=,cos(=然后代入所证等式的两边再证是等价命题。其证明过程同学自己尝试一下。评述:证明三角恒等式的实质就是逐步消除等号两边结构差异的过程而“消除差异”的理论依据除了必要三角公式以外还需要有下列等式的性质:()若A=BB=C则A=C(传递性)()A=B(AB=()A=B(=(B()()=(AD=BC(BD()()比例:一些性质如等比定理:若==……=则===……=。.如果(是第二象限角则所在的象限是( )A、第一象限  B、第一或第三象限C、第二象限   D、第二或第四象限.在下列表示中正确的是( )A、终边在y轴上的角的集合是{(|(=k(,k(Z}B、终边在y=x的直线上的角的集合是{(|(=k(,k(Z}C、与()的终边相同的角的集合是{(|(=k(,k(Z}D、终边在y=x的直线上的角的集合是{(|(=k(,k(Z}.若(<(<(,则等于( )A、sin((()  B、sin(  C、cos((() D、csc(.函数y=sin()在((上的最小值是( )A、      B、   C、    D、.已知函数y=cos(sinx)下列结论中正确的是( )A、它的定义域是  B、它是奇函数C、它的值域是,  D、它是周期为(的函数.设<x<下列关系中正确的是( )A、sin(sinx)<sinx<sin(tgx)B、sin(sinx)<sin(tgx)<sinxC、sin(tgx)<sinx<sin(sinx)D、sinx<sin(tgx)<sin(sinx).若sin=cos=则((,(终边在( )A、第一象限  B、第二象限C、第三象限  D、第四象限.如果一弧度的圆心角所对的弦长为那么这个圆心角所对的弧长是( )A、sin  B、   C、  D、sin.化简三角函数式tg((()(k(Z),结果是( )A、tg  B、ctg  C、ctg  D、tg.设(((,)的大小是( )A、A>B  B、A≥B  C、A<B   D、A≤B答案:BBDCDADCBC正、余弦函数的有界性在解题中的作用正、余弦函存在着有界性即在一些数学问题中灵活地加以运用沟通三角函数与数值间的关系能大大简化解题过程。例.若实数满足求的值。解:原方程可化为因为所以所以所以所以。例.在中试判定三角形的形状。解:因为又所以而于是所以。故为等腰直角三角形。例.已知四边形中的角、满足求证:证明:由已知条件有所以由于。从而所以但所以。所以故。例.已知函数求证:对于任意有。证明:因为所以。令则所以从而又故例.证明:。证明:设则只须证明。因为因为所以从而。故。例.复数的幅角分别为、、且问为何值时分别取得最大值和最小值并求出最大值和最小值。解因为因为所以。因而。两式平方相加得由题设知所以……(*)因为所以解之得。由(*)知当时。又由(*)及知当、时。例.设为无理数求证:函数不可能是周期函数。证明:假设是周期函数则存在常数使对于任意的都成立。令得因为所以从而所以。此时为整数则为有理数但为无理数这是不可能的故命题成立。.(年全国)在(,()内使sinx>cosx成立的x取值范围为()。A、B、C、D、解:在内sinx>cosx在内sinx>cosx在内sinx>cosx综上∴应选C。.(年全国)的值为()。A、B、C、D、解:∴应选B。.(年全国)已知点P(sin(cos(,tg()在第一象限则在(内(的取值范围是()A、B、C、D、解:由题设有在()的范围内在同一坐标系中作出y=sinx和y=cosx的图像可在((时sin(>cos(。∴((应选B。.(年全国)sin(的值是()。A、B、C、D、解:sin(=sin((()=sin(=sin((()=sin(=∴应选D。年考前必练数学创新试题数列经典题选析数列是高中代数的重要内容又是学习高等数学的基础在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位一、等差数列与等比数列例.A={递增等比数列的公比}B={递减等比数列的公比}求A∩B.解:设q∈A则可知q>(否则数列为摆动数列).由an+-an=a·qn-a·qn-=a·qn-(q-)>得当a>时那么q>当a<时则<q<.从而可知 A={q|<q<或q>}.若q∈A同样可知q>.由an+-an=a·qn-a·qn-=a·qn-(q-)<得当a>时那么<q<当a<时则q>.亦可知 B={q|<q<或q>}.故知A∩B={q|<q<或q>}.说明:貌似无法求解的问题通过数列的基本量很快就找到了问题的突破口!例.求数列(+)(++)……(+++……+n-)……前n项的和.分析:要求得数列的和当务之急是要求得数列的通项并从中发现一定规律.而通项又是一等比数列的和.设数列的通项为an则an=+++……+n-=eqf(·(-n),-)=n-.从而该数列前n项的和Sn=(-)+(-)+(-)+…+(n-)=(+++…+n)-n=eqf(·(-n),-)-n=n+-n-.说明:利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法、等差数列求和公式:、等比数列求和公式:、、、常用的数列求和方法有:利用常用求和公式求和错位相减法求和反序相加法求和分组法求和裂项法求和合并法求和利用数列的通项求和等等。例.已知等差数列{an}的公差d=eqf(,)S=.设S奇=a+a+a+……+aS'=a+a+a+……+a求S奇、S'.解:依题意可得 S奇+S偶=即S奇+(S奇+d)= 即S奇+= 解得S奇=.又由S=得eqf((a+a),)=故得a+a=S'=a+a+a+……+a=eqf((a+a),)=eqf((a+a),)=eqf((+a+a),)=eqf((+),)=·=.说明:整体思想是求解数列问题的有效手段!例.在数列{an}中a=b(b≠)前n项和Sn构成公比为q的等比数列。()求证:数列{an}不是等比数列()设bn=aS+aS+…+anSn|q|<求bn。解:()证明:由已知S=a=b∵{Sn}成等比数列且公比为q。∴Sn=bqn-∴Sn-=b·qn-(n≥)。当n≥时an=Sn-Sn-=bqn--bqn-=b·(q-)·qn-故当q≠时eqf(an+,an)=eqf(b(q-)·qn-,b(q-)·qn-)=q而eqf(a,a)=eqf(b(q-),b)=q-≠q∴{an}不是等比数列。当q=n≥时an=所以{an}也不是等比数列。综上所述{an}不是等比数列。()∵|q|<由()知n≥aaa…an构成公比为q的等比数列∴aSaS…anSn是公比为q的等比数列。∴bn=b+aS·(+q+q+…+qn-)∵S=bqa=S-S=bq-b∴aS=bq(q-)∴bn=b+bq(q-)·eqf(-qn-,-q)∵|q|<∴qn-=∴bn=b+bq(q-)·eqf(,-q)=eqf(b,+q)说明:+q+q+…+qn-的最后一项及这个式子的项数很容易求错故解此类题时要细心检验。数列的极限与数列前n项和以及其他任何有限多个项无关它取决于n→∞时数列变化的趋势。二、数列应用题例.(年全国理)从社会效益和经济效益出发某地投入资金进行生态环境建设并以此发展旅游产业根据规划本年度投入万元以后每年投入将比上年减少eqf(,)本年度当地旅游业收入估计为万元由于该项建设对旅游业的促进作用预计今后的旅游业收入每年会比上年增加eqf(,)。(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元旅游业总收入为bn万元写出anbn的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入解:第年投入万元第年投入×(-eqf(,))万元……eqf(,)第n年投入×(-eqf(,))n-万元所以总投入an=+(-eqf(,))+……+×(-eqf(,))n-=[-(eqf(,))n]同理:第年收入万元第年收入×(+eqf(,))万元……第n年收入×(+eqf(,))n-万元bn=+×(+eqf(,))+……+×(+eqf(,))n-=×[(eqf(,))n-]()∴bn-an>[(eqf(,))n-]-×[-(eqf(,))n]>化简得×(eqf(,))n+×(eqf(,))n->设x=(eqf(,))nx-x+>∴x<eqf(,)x>(舍) 即(eqf(,))n<eqf(,)n≥说明:本题主要考查建立函数关系式数列求和不等式等基础知识考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关:()事理关:阅读理解知道命题所表达的内容()文理关:将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言用数学关系式表述事件()数理关:由题意建立相关的数学模型将实际问题数学化并解答这一数学模型得出符合实际意义的解答。例.某县位于沙漠地带人与自然长期进行着顽强的斗争到年底全县的绿化率已达。从年开始每年将出现这样的局面即原有沙漠面积的将被绿化与此同时由于各种原因原有绿化面积的又被沙化。()设全县面积为年底绿化面积为a=eqf(,)经过n年绿化总面积为an+求证an+=eqf(,)+eqf(,)an()至少需要多少年(年取整数lg=)的努力才能使全县的绿化率达到?()证明:由已知可得an确定后an+表示如下:an+=an(-)+(-an)即an+=an=eqf(,)aneqf(,)()解:由an+=eqf(,)aneqf(,)可得:an+-eqf(,)=eqf(,)(an-eqf(,))=(eqf(,))(an--eqf(,))=…=(eqf(,))n(a-eqf(,))故有an+=-eqf(,)(eqf(,))n+eqf(,)若an+≥eqf(,)则有-eqf(,)(eqf(,))n+eqf(,)≥eqf(,)即eqf(,)≥(eqf(,))n-两边同时取对数可得-lg≥(n-)(lg-lg)=(n-)(lg-)故n≥eqf(lg,-lg)+>故使得上式成立的最小n∈N+为故最少需要经过年的努力才能使全县的绿化率达到三、归纳、猜想与证明例.已知数列{an}满足Sn+an=eqf(,)(n+n-)数列{bn}满足b=a且bn=an-an--(n≥)()试猜想数列{an}的通项公式并证明你的结论解:()∵Sn+an=eqf(,)(n+n-)S=a∴a=eqf(,)(+×-)=∴a=eqf(,)=-eqf(,)当n=时有eqf(,)+a=eqf(,)(+×-)=∴a=eqf(,)=-eqf(,)猜想得数列{an}的通项公式为an=n-eqf(,n)()若cn=b+b+…+bn求的值当n=时有eqf(,)+eqf(,)+a=∴a=eqf(,)=-eqf(,)用数学归纳法证明如下:①当n=时a=-eqf(,)=eqf(,)等式成立②假设n=k时等式ak=k-eqf(,k)成立那么n=k+时ak+=Sk+-Sk=eqf((k+)+(k+)-,)-ak+-eqf(k+k-,)-ak,∴ak+=k++akak+=k++(k-eqf(,k))∴ak+=(k+)-eqf(,k+)即当n=k+时等式也成立综上①、②知对一切自然数n都有an=n-eqf(,n)成立()∵b=a=eqf(,)bn=an-an--=n-eqf(,n)-(n-)-eqf(,n-)-=eqf(,n)∴cn=b+b+…+bn=-(eqf(,))n∴=-(eqf(,))n=例.已知数列{an}满足a=对于任意的n∈N都有an>且(n+)an+anan+-nan+=又知数列{bn}满足:bn=n-+(Ⅰ)求数列{an}的通项an以及它的前n项和Sn(Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Tn(Ⅲ)猜想Sn和Tn的大小关系并说明理由解:(n+)an+anan+-nan+=是关于an和an+的二次齐次式故可利用求根公式得到an与an+的更为明显的关系式从而求出an.(Ⅰ)∵an>(n∈N)且(n+)an+anan+-nan+=∴(n+)(eqf(an,an+))+(eqf(an,an+))-n=.∴eqf(an,an+)=-或eqf(an,an+)=eqf(n,n+).∵an>(n∈N)∴eqf(an,an+)=eqf(n,n+).∴eqf(an,a)=eqf(an,an-)·eqf(an-,an-)·eqf(an-,an-)·……·eqf(a,a)·eqf(a,a)=eqf(n,n-

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新课改视野下建构高中语文教学实验成果报告(32KB)

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