空间直线与平面

g3.1061空间直线与平面 一.知识回顾: 1．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类． 它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为 ， ， ． 2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 推理模式： ． 3. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 推理模式： ． 4 定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面交点叫做垂足 直线l与平面α垂直记作：l⊥α 5直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 6．直线和平面垂直的性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行 7．点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离． 8．直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离． 9 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 10．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直 推理模式： ． 注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用 二基本训练： 1．已知直线 、 和平面 ，那么 的一个必要不充分的条件是 （ ） EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 且 EMBED Equation.3 、 与 成等角 2． 、 表示平面， 、 表示直线，则 的一个充分条件是 （ ） EMBED Equation.3 ，且 EMBED Equation.3 ，且 EMBED Equation.3 ，且 EMBED Equation.3 ，且 3．在直四棱柱 中，当底面四边形 满足条件 时， 有 （注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） 4.设三棱锥 的顶点 在平面 上的射影是 ，给出以下命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ： ①若 ， ，则 是 的垂心 ②若 两两互相垂直，则 是 的垂心 ③若 ， 是 的中点，则 ④若 ，则 是 的外心 其中正确命题的命题是 ①②③④ 三．例题 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ： 例1．如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点． 求证：(1)线段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP，BD∥平面MNP． 证明：(1) ∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝ AC． ∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ＝ CA． ∴MN∥QP，MN＝QP，MNPQ是平行四边形． ∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分． (2)由(1)，AC∥MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然AC(α． 否则，若AC(α， 由A∈α，M∈α，得B∈α； 由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α， 与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾． 又∵MN(α，∴AC∥α， 又AC (α，∴AC∥α，即AC∥平面MNP． 同理可证BD∥平面MNP． 例2．四面体 中， 分别为 的中点，且 ， ，求证： 平面 证明：取 的中点 ，连结 ，∵ 分别为 的中点，∴ EMBED Equation.DSMT4 ，又 ∴ ，∴在 中， ∴ ，∴ ，又 ，即 ， ∴ 平面 例3. 如图，直三棱柱 中， ，侧棱 ，侧面 的两条对角线交于点 ， 的中点为 ，求证： 平面 证明：连结 ，∵ ∴ ，在直三棱柱 中 ，∴ 平面 ，∵ ， ∴ ，∴ ，∵ 是侧面 的两条对角 线的交点，∴ 是 与 的中点，∴ ，连结 ，取 的中点 ，连结 ，则 ， ∵ 平面 ，∴ 平面 ，∴ 是 在 平面 内的射影。在 中， 在 中， ，∴ ∴ ，∴ ，∴ 平面 例4．如图， 矩形 所在的平面， 分别是 的中点， （1）求证： 平面 ； （2）求证： （3）若 ，求证： 平面 四、作业同步练习g3.1061 空间直线与平面 1、已知直线 、 和平面 ，那么 的一个必要不充分的条件是 （ ） EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 且 EMBED Equation.3 、 与 成等角 2、 、 表示平面， 、 表示直线，则 的一个充分条件是 （ ） EMBED Equation.3 ，且 EMBED Equation.3 ，且 EMBED Equation.3 ，且 EMBED Equation.3 ，且 3、已知平面 直线n过点P，则 的（ ） A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件 4、已知直线 平面 内直线b与c相距6cm且a||b,a与b相距5cm，则a、c相距（ ） A、5cm B、 或5cm C、 D 、 或5cm 5、在 中， ,AB=8, ,PC 面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（ ） A、 B、 C、 D、 6、在长方体 中，经过其对角线 的平面分别与棱 、 相交于 两点，则四边形 的形状为 ． 7、空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且 ，若BD＝6cm,梯形EFGH的面积为28cm2。则平行线EH、FG间的距离为 8、如图， 的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E 是BC的中点，则AE与CD所成角的大小为 。 9、 图是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是 。 10、如图，A，B，C，D四点都在平面(，(外，它们在(内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在(内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形． 11、ABCD是四边形，点P 是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP||GH。 参考答案 DDCBA 6、（平行四边形） 7、8 cm 8、 9、 10．证明：∵ A，B，C，D四点在(内的射影A2，B2，C2，D2 在一条直线上， ∴A，B，C，D四点共面． 又A，B，C，D四点在(内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点， ∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1． ∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线． ∴AB∥CD． 同理AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形． 11、证明：设AC BD=O,连OM，因为M是PC的中点，所以OM平行AP， 所以AP平行平面BDM，因为AP 面APG 且面APG 面BDM=GH 所以AP||GH。 B A D C P N Q M A B C D B1 1 D1 C1 1 α 1 A1 B2 A2 C2 D2 2 2 2 2 β _1163253406.unknown _1163266099.unknown _1163339598.unknown _1163507135.unknown _1163508011.unknown _1163509898.unknown _1163510157.unknown _1163510515.unknown _1163510710.unknown _1163510843.unknown _1163510922.unknown _1163511017.unknown _1163511134.unknown _1163510869.unknown _1163510768.unknown _1163510798.unknown _1163510727.unknown _1163510599.unknown _1163510699.unknown _1163510528.unknown _1163510395.unknown _1163510494.unknown _1163510330.unknown _1163510037.unknown _1163510094.unknown _1163510124.unknown _1163510081.unknown _1163509931.unknown _1163509977.unknown _1163509539.unknown _1163509709.unknown _1163509797.unknown _1163509630.unknown _1163509567.unknown _1163508098.unknown _1163509457.unknown _1163508078.unknown _1163507794.unknown _1163507912.unknown _1163507956.unknown _1163507816.unknown 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_1163266213.unknown _1163266116.unknown _1163266146.unknown _1163254122.unknown _1163254158.unknown _1163254185.unknown _1163254205.unknown _1163254170.unknown _1163254142.unknown _1163254026.unknown _1163254082.unknown _1163253584.unknown _1163253115.unknown _1163253197.unknown _1163253307.unknown _1163253336.unknown _1163253343.unknown _1163253374.unknown _1163253320.unknown _1163253205.unknown _1163253175.unknown _1163253190.unknown _1163253157.unknown _1138024033.unknown _1163253026.unknown _1163253074.unknown _1163253097.unknown _1163253061.unknown _1161974916.unknown _1163252915.unknown _1163252949.unknown _1163252900.unknown _1161976821.unknown _1163251911.unknown _1139250263.bin _1139322787.unknown _1139342396.unknown _1139342254.unknown _1139321442.unknown _1138390870.bin _1138448968.bin _1138024046.unknown _1137934505.unknown _1138023879.unknown _1138024005.unknown _1138024020.unknown _1138023934.unknown _1138023718.unknown _1138023838.unknown _1137934596.unknown _1131434266.unknown _1137928625.unknown _1137928789.unknown _1137928876.unknown _1137928746.unknown _1137739716.unknown _1137928549.unknown _1137739490.unknown _1131295224.unknown _1131360864.unknown _1096977754.unknown _1131295166.unknown _1109345812.unknown _1109345820.unknown _1096977752.unknown _1096977753.unknown _1096977751.unknown