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2006年全国初中数学竞赛试题及答案

2006年全国初中数学竞赛试题及答案n 2006年全国初中数学竞赛试题考试时间 2006年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分） 1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ...

n 2006年全国初中数学竞赛试题考试时间 2006年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分） 1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）（A）36 （B）37 （C）55 （D）90 2．已知，，且 =8，则a的值等于（）（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9 3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）（A）h<1 （B）h=1 （C）12 4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007 5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（）（A）（B）（C）（D）二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a 试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分） 1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）（A）36 （B）37 （C）55 （D）90 答：C．解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36=55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处．故选C． 2．已知，，且 =8，则a的值等于（）（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9 答：C．解：由已知可得，．又 =8，所以解得a=－9 故选C． 3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）（A）h<1 （B）h=1 （C）12 答：B．解：设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（|c|<|a|），则点B的坐标为（－a，a2），由勾股定理，得，，所以．由于，所以a2－c2=1，故斜边AB上高h= a2－c2=1 故选B． 4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007 答：B．解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k次后，可得(k＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k＋1)×360°．因为这(k＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×(62－2)×180°=34×60×180°，其余多边形有(k＋1)－34= k－33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k－33) ×180°．所以(k＋1)×360°≥34×60×180°＋(k－33)×180°，解得k≥2005．当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了 58＋33＋33×58=2005（刀）．故选B． 5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（）（A）（B）（C）（D）答：D．解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r＋m， QA=r－m．在⊙O中，根据相交弦定理，得QA·QC=QP·QD．即 (r－m)(r＋m)=m·QD ，所以 QD= ．连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2＋QO2，即，解得所以，故选D．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a400，所以，12.5≤x<13.5．故x=13，此时． 9．已知0－1．当a>－1时， = ．………………10分又当时，由①，②得， ③ ④ 将④两边平方，结合③得化简得，故，解得，或．所以，a的取值范围为a>－1且，．………………………15分解法二：因为，，所以，所以．又，所以，为一元二次方程 ⑤ 的两个不相等实数根，故，所以a>－1．当a>－1时， = ．………………10分另外，当时，由⑤式有，即或，解得，或．当时，同理可得或．所以，a的取值范围为a>－1且，．………………………15分 13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB．证明：因为AC∥PB，所以∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切线，所以∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，于是 △KPE∽△KAP，所以，即．由切割线定理得所以． …………………………10分因为AC∥PB，△KPE∽△ACE，于是故，即 PE·AC=CE·KB． ………………………………15分 14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．解：设10个学生为，，…，，n个课外小组，，…，．首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾． ………………………………5分若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设恰好参加，，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与没有同过组，矛盾．所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n个课外小组，，…，的人数之和不小于3×10=30．另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n个课外小组，，…，的人数不超过5n，故 5n≥30，所以n≥6． ……………………………10分下面构造一个例子说明n=6是可以的．，，，，，．容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．所以，n的最小值为6． ……………………………15分（第5题图） A B C D O Q P （第7题图） A B C D G F E （第13题） A B C O P E K （第5题图） A B C D O Q P （第5题图） A B C D O Q P （第7题图） A B C D G F E （第13题） A B C O P E K _1205504259.unknown _1205510024.unknown _1205510795.unknown _1205512186.unknown _1205513466.unknown _1205513549.unknown _1205514588.unknown _1205514670.unknown _1205514706.unknown _1205514743.unknown _1205514625.unknown _1205514465.unknown _1205513531.unknown _1205513539.unknown _1205513487.unknown _1205512754.unknown _1205513194.unknown _1205513346.unknown _1205513451.unknown _1205513294.unknown _1205513110.unknown _1205513174.unknown _1205513074.unknown _1205512407.unknown _1205512672.unknown _1205512693.unknown _1205512610.unknown _1205512245.unknown _1205512303.unknown _1205512232.unknown _1205511370.unknown _1205511975.unknown _1205511986.unknown _1205512091.unknown _1205512006.unknown _1205511646.unknown _1205511760.unknown 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