00106.北大附中高考数学专题复习汇编不等式--不等式（01）

00106.北大附中高考数学专题复习汇编不等式--不等式（01）我们只做专业的数学辅导咨询电话：15010670498（北京）【考点梳理】一、考试内容不等式，不等式的性质，不等式的证明，不等式的解法，含有绝对值的不等式。二、考试要求 1.掌握不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的几种常用方法，掌握两个和三个（不要求四个和四个以上）“正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这两个定理，并能运用上述性质、定理和方法解决一些问题。 2.在熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式（组）的解法的基础上初步掌握其他的一些简单的不等式的解...

我们只做专业的数学辅导咨询电话：15010670498（北京）【考点梳理】一、考试内容不等式，不等式的性质，不等式的证明，不等式的解法，含有绝对值的不等式。二、考试要求 1.掌握不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的几种常用方法，掌握两个和三个（不要求四个和四个以上）“正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这两个定理，并能运用上述性质、定理和方法解决一些问题。 2.在熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式（组）的解法的基础上初步掌握其他的一些简单的不等式的解法。 3.会用不等式||a|－|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。三、考点简析 1.不等式知识相互关系表 2.不等式的性质（1）作用地位不等式性质是不等式理论的基本内容，在证明不等式、解不等式中都有广泛的应用。高考中，有时直接考查不等式的性质，有时间接考查性质（如在证明不等式、解不等式中就间接考查了掌握不等式性质的程度）。准确地认识、运用基本性质，并能举出适当反例，能辨别真假命题是学好不等式的要点。（2）基本性质实数大小比较的原理与实数乘法的符号法则是不等式性质的依据。在不等式性质中，最基本的是： ①a>b bb,b>c a>c（传递性） ③a>b a+c>b+c（数加） ④ （a>b,c=0 a·c=b·c）与等式相比，主要区别在数乘这一性质上，对于等式a=b ac=bc，不论c是正数、负数还是零，都成立，而对于不等式a>b，两边同乘以c之后，ac与bc的大小关系就需对c加以讨论确定。这关系即使记得很清楚，但在解题时最容易犯的毛病就是错用这一性质，尤其是需讨论参数时。（3）基本性质的推论由基本性质可得出如下推论：推论1：a>b>0,c>d>0 ac>bd 推论2：a>b>0,c>d>0 EMBED Equation.3 推论3：a>b>0 an>bn(n∈N) 推论4：a>b>0 EMBED Equation.3 (n∈N) 对于上述推论可记住两点：一是以上推论中a,b,c,d均为正数，即在{x|x是正实数}中对不等式实施运算；二是直接由实数比较大小的原理出发。 3.不等式的证明（1）作用地位证明不等式是数学的重要课题，也是分析、解决其他数学问题的基础，特别是在微积分中，不等式是建立极限论的理论基础。高考中，主要涉及“a,b>0时，a+b≥2 ”这类不等式，以及运用不等式性质所能完成的简单的不等式的证明。用数学归纳法证明的与自然数有关命题的不等式难度较大。（2）基本不等式定理1：如果a,b∈{x|x是正实数}，那么 ≥ （当且仅当a=b时取“=”号）定理2：如果a,b,c∈{x|x是正实数}，那么 ≥ (当且仅当a=b=c时取“=”号) 定理3：如果a、b∈{x|x是正实数}，那么 ≤ ≤ ≤ （当且仅当a=b时取“=”号）推论4：如果a,b,c∈{x|x是正实数}，那么 ≤ ≤ ≤ （当且仅当a=b=c时取“=”号）由上述公式还可衍生出一些公式 ①4ab≤(a+b)2≤2(a2+b2),a、b∈R（当且仅当a=b时等号成立） ②a2+b2+c2≥ab+bc+ca,a,b,c∈R（当且仅当a=b=c时等号成立） ③a2+b2+c2≥ (a+b+c)2≥ab+bc+ca,a,b,c∈R（当且仅当a=b=c时等号成立） ④| + |≥2（当且仅当|a|=|b|时取“=”号） ⑤a>0,b>0,a+b=1，则ab≤ 等。（4）不等式证明的三种基本方法 ①比较法：作差比较，根据a－b>0 a>b，欲证a>b只需证a－b>0；作商比较，当b>0时，a>b EMBED Equation.3 >1。比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较（如幂、方根等）。 ②分析法：从求证的不等式出发寻找使该不等式成立的充分条件。对于思路不明显，感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径。 ③综合法：从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要求证明的不等式。 4.不等式的解法（1）作用与地位解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。（2）一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。（3）高次不等式解高次不等式常用“数轴标根法”。一般地，设多项式 F(x)=a(x－a1)(x－a2)…(x－an) （a≠0）它的n个实根的大小顺序为a10时有： ①在奇数区间内，F(x)>0。 ②在偶数区间内，F(x)<0 （4）分式不等式分式不等式的等价变形： >0 f(x)·g(x)>0 ≥0 EMBED Equation.3 （5）无理不等式两类常见的无理不等式等价变形： ≥g(x) EMBED Equation.3 或 ag(x) f(x)1时 a(fx)>ag(x) f(x)>g(x) logaf(x)>logag(x) f(x)>g(x)>0 （7）含参数不等式对于解含参数不等式，要充分利用不等式的性质。对参数的讨论，要不“重复”不“遗漏”。 5.含有绝对值的不等式（1）作用与地位绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。（2）两个基本定理定理1：||a|－|b||≤|a+b|≤|a|+|b| （a、b∈R）定理2：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|+|b| （a、b∈R）应理解其含义，掌握证明思路以及“=”号成立的条件。（3）解绝对值不等式的常用方法 ①讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式。 ②等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形 |x|0) |x|>a x2>a2 x>a或x<－a(a>0) 一般地有： |f(x)|g(x) f(x)>g (x)或f(x)0， =x2+y2+z2≥x2+ = +x2= x2－x+ > ，矛盾。设x,y,z三数中若有最大者大于，不妨设x> ，则： =x2+y2+z2≥x2+ =x2+ = x2－x+ = x·(x－ )+ > ，矛盾。故x,y,z∈[0, ]。注：本题证法甚多，最易接受的方法是证法一的判别式法，因为该法思路明晰，易于操作，技巧性不强。例3 已知i、m、n是正整数，且1 ，所以 > 即 miAni>niAmi （2）由二项式定理有 (1+m)n=1+Cn1m+Cn2m2+…+Cnnmn (1+n)m=1+Cm1n+Cm2n2+…+Cmmnm 由（1）知miAni>niAmi (1niCmi (ki≤m ,…mmCnm> nmCmm, mm+1Cnm+1 >0,…, mmCnn >0, ∴1+ Cn1m + Cn2m2+…+ Cnnmn >1+ Cm1n+ Cm2n2 +…+ Cmmnn，即 (1+m)n>(1+n)m成立。注本题是2001年全国高考数学试题，上述证明方法关键是配对。除了上述证法外，本题还有许多另外的证法，下面另举两种证法。（1）法一：令n=m+k,（k∈N）对自然数t=1,2，…，i－1,tm·(m+k) ∴m(m+k) 21 ∴f(n+1)>f(n) ∴当k≥3,k∈N时，f(k)单调递增，又∵ ∴kk+1>(k+1)k,即k >(k+1) 于是经过有限次传递，必有： (n+1) <(m+1) ∴(1+m)n>(1+n)m 法二：（1+m）n>(1+n)m nlg(1+m)>mlg(1+n) EMBED Equation.3 > 令f(n)= ,n≥2 又，即 > (1+n)n+1>(2+n)n ( )n> (1－ )n> ∵n≥2,－ >－1 ∴由贝努利不等式得（1－）n>1－ = > ∴ > ，∴f（n）单调递减，又∵m ∴(1+m)n> 例4解下列关于x的不等式：（1）a2x+1≤ax+2+ax－2(a>0); （2）loga(1－ )>1(a>0且a≠1)。解在解指、对数不等式时，常要对底数a进行分类，然后依据其函数的单调性来实现转化，在转化过程中注意不等式解的等价性。（1）原不等式等价于 a2x－(a2+a－2)ax+1≤0 (ax－a2)(ax－a－2) ≤0 (i)当01时，a2>a－2，∴a－2≤ax≤a2 即－2≤x≤2 (iii)当a=1时，x为一切实数。综上所述：当01时，原不等式的解为{x|－2≤x≤2}；当a=1时，解集为 R。（2）(i)当a>1时，原不等式等价于 EMBED Equation.3 1－ >a 1－a> ∵1－a<0 ∴ 1时，原不等式解集是{x| 1时，原不等式等价于 1－ >a EMBED Equation.3 <0 x(x－ )<0 EMBED Equation.3 0且b≠1)，（1）求f(x)的定义域；（2）当b>1时，求使f(x)>0的所有x的值。解（1）∵x2－2x+2恒正， ∴f(x)的定义域是1+2ax>0，即当a=0时，f(x)定义域是全体实数。当a>0时，f(x)的定义域是（－，+∞）当a<0时，f(x)的定义域是（－∞，－）（2）当b>1时，在f(x)的定义域内，f(x)>0 EMBED Equation.3 >1 x2－2x+2>1+2ax x2－2(1+a)x+1>0 其判别式Δ=4(1+a)2－4=4a(a+2) (i)当Δ<0时，即－20 ∴f(x)>0 x<－ (ii)当Δ=0时，即a=－2或0时若a=0,f(x)＞0 (x－1)2>0 x∈R且x≠1 若a=－2,f(x)＞0 (x+1)2＞0 x＜且x≠－1 (iii)当△＞0时，即a＞0或a＜－2时方程x2－2(1+a)x+1=0的两根为 x1=1+a－ ,x2=1+a+ 若a＞0，则x2＞x1＞0＞－ ∴ 或若a<－2，则 ∴f(x)＞0 x＜1+a－或1+a+ ＜x＜－综上所述：当－2＜a＜0时，x的取值集合为 x|x＜－ EMBED Equation.3 当a=0时，x∈R且x≠1，x∈R，当a=－2时： x|x＜－1或－1＜x＜ EMBED Equation.3 当a＞0时，x∈ x|x＞1+a+ 或－＜x＜1+a－ EMBED Equation.3 当a＜－2时，x∈ x|x＜1+a－或1+a+ ＜x＜－ EMBED Equation.3 注解题时要注意函数的定义域。例6 解不等式 (1) ≥x+1； (2)| 。解 (1) ≥x+1 EMBED Equation.3 ≤0 x·(x－1)(x+1)(x+2)(x+5)≤0，且x≠－1、－2，由图可知，原不等式的解集为： x|x≤－5或－2＜x＜－1或0≤x≤1 (2)| －x|＜1 x－1＜＜x+1 而＜x+1 解之得：所以，0 x≤1－或1+ ≤x 6 ＞x－1 或解之得：x≤1－或x＞2 所以原不等式的解集为 0，1－ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (2，6) 注 (1)解高次不等式时常采用数轴标根法，其做法是：先将每个因式分别等于零的根标在数轴上，然后按由上而下，由右向左的次序画图穿过各个零点，选出符合条件的区间。如有重因式，特别注意重因式的零点。如：(x－a)2n·f(x)≥0 f(x)≥0或x=a，(x－a)2n·f(x) ＞0 f(x)＞0且x≠a；(x－a)2n－1·f(x)≥0 (x－a)f(x)≥0。 (2)本题的第(2)小题的几何解释是：在同一个坐标系中分别作出函数y=x－1,y=x+1和y= 的图像。于是，不等式x－1＜＜x+1的解集就是使函数y= 的图像(双曲线2(x－1)2－y2=1，位于x轴上方的部分)夹在直线y=x－1与y=x+1之间的x集合(如图)。例7 已知当x∈[0，1]时，不等式 x2cos －x·(1－x)+(1－x)2sin ＞0 恒成立，试求的取值范围。解令f(x)=x2cos －x·(1－x)+(1－x)2sin ，∵对x∈[0，1]，f(x)＞0恒成立， ∴cos =f(1)＞0,sin =f(0)＞0 (1) 又∵f(x)=(1+cos +sin )x2－(1+2sin )x+sin ，其对称轴为x= ，x大于0且小于1， ∴△=(1+2sin )2－4·(1+cos +sin )·sin ＜0 (2) 反之若(1)、(2)成立，f(x)＞0 则x∈[0，1]，f(x)>0恒成立，故解之得：2kπ+ ＜＜2kπ+ ，（k∈Z）。注二次函数的在区间上最大值、最小值，只要考虑两个端点及区间中对称轴所在位置之点。例8 设函数f(x)= －ax， (1)解不等式f(x)≤1； (2)求a的取值范围，使函数f(x)在区间 0，+∞ 上是单调函数。解 (1)不等式f(x)≤1，即 ≤1+ax 所以：(i)当0＜a＜1，所给不等式的解集是 x|0≤x≤ EMBED Equation.3 (ii)a≥1时，所给不等式的解集是 x|x≥0 (iii)当a=0时，所给不等式的解集是{0} (iv)当－1＜a＜0时，所给不等式的解集是 x| ≤x≤0 (v)当a≤－1时，所给不等式的解集是{x|x≤0} (2)在区间 0，+∞ 上任取x1，x2，使得x1＜x2 f(x1)－f(x2)= =(x1－x2)( ) 而要使f(x)在 0，+∞ 上单调 ∴只须f(x1)－f(x2)在 0，+∞ 上恒正或恒负。又∵x2－x1＞0,x1·x2∈ 0，+∞ ∈(0，1) ∴a≥1或a≤0 例9 设函数f(x)=ax2+8x+3 a＜0 。对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a)，使得在整个区间[0，l(a)]上，不等式|f(x)|≤5恒成立。问：a为何值时，l(a)最大？求出这个最大的l(a)，证明你的结论。解 f(x)=a·(x+ )2+3－ ∵a＜0，∴f(x)max=3－ (i)当3－＞5，即－8＜a＜0时， l(a)是方程ax2+8x+3=5的较小根， ∴ （ii）当时，即a≤－8时，l(a)是方程的较大根，即l(a)= = = 当且仅当a=－8时，等号成立。由于＞，因此当且仅当a=－8时，l(a)取最大值。注本题是一个典型的函数、方程、不等式的综合题。数形结合利于开拓思路，找到解法。例10 设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和， (1)证明：＜lgSn+1； (2)是否存在常数C＞0，使得 =lg(Sn+1－C) 成立？证明你的结论。解 (1)∵{an}是由正数组成的等比数列 ∴a1＞0,q＞0 当q=1时，Sn=na1,Sn+2=(n+2)a1 Sn+1=(n+1)a2 Sn·Sn+2=na1·(n+2)a1=n2a12+2na12＜n2a12+2na12+a12=[(n+1)a1]2=S2n+1 ∴S n·Sn+2＜S2n+1 当q≠1时 Sn= Sn+2= Sn+1= S n·Sn+2= S2n+1= 于是，S2n+1－Sn·Sn+2= =a12·qn＞0 综上所述：S2n+1＞Sn·Sn+2 EMBED Equation.3 ＜lgSn+1 (2)证法一： (i)当q=1时 (Sn－C)(Sn+2－C)－(Sn+1－C)2 =(na1－C)[(n+2)a1－C]－[(n+1)a1－C]2=－a12＜0故这样的C＞0不存在。 (ii)当q≠1时 (Sn－C)(Sn+2－C)－(Sn+1－C)2 =－a1qn·[a1－C(1－q)] ∵a1＞0,q＞0,a1·qn≠0 ∴C= ∵C＞0,∴0＜q＜1，但当0＜q＜1时，Sn－＜0，这与条件(2)中矛盾，故这样的C＞0不存在。证法二：(反证法)假设存在常数C＞0，使得 =lg(Sn+1－C)成立，则必有由④式得： Sn·Sn+2－S2n+1=C·(Sn+Sn+2－2Sn+1) 另一方面： Sn+Sn+2－2Sn+1=(Sn－C)+(Sn+2－C)－2(Sn+1－C)≥2 －2（Sn+1－C）=0 ∴Sn·Sn+2≥Sn+12，矛盾故这样的C>0不存在。注本题是一道数列、不等式、函数的综合题。解题过程中特别要注意q=1与q≠1的讨论。（2）中的反证法，综合体现了不等式知识的灵活实用，具有较高的能力要求。【综合能力训练】一、选择题 1.“x>y且m>n”是“x+m>y+n”成立的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.不充分不必要条件 2.若a3<－5，则下列关系式中正确的是（） A.a4>－5a B.a2< C.a6<25 D.a> 3.a,b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是（） A.a2>b2 B.( ) a <( )b C.lg(a－b)>0 D. >1 4.若a<0,－1ab>ab2 B.ab>ab2>a C.ab>a>ab2 D.ab2>ab>a 5.已知a2+b2+c2=1，那么下列不等式中成立的是（） A.(a+b+c) 2≥1 B.ab+bc+ca≥ C.|abc|≤ D.ab2>ab>a 6.x为实数，且|x－3|－|x－1|>m恒成立，则m的取值范围是（） A.m>2 B.m<2 C.m>－2 D.m<－2 7.若a、b、c、d满足条件：c0的解集为－32，则a的取值为（） A.2 B. C.－ D.－2 10.若a>0,ab>0,ac<0，则关于x的不等式： >b的解集是（） A.{x|a－ a} C.{x|aa－ } 11.已知集合A={x|x2－2x－3>0},B={x|x2+ax+b≤0}，若A∪B=R，A∩B=（3，4 则有（） A.a=3,b=4 B.a=3,b=－4 C.a=－3,b=4 D.a=－3,b=－4 12.若关于x的不等式：x2－ax－6a<0有解且解区间长度不超过5个单位长，则a的取值范围是（） A.－25≤a≤1 B.a≤－25或a≥1 C.－25≤a<0或1≤a<24 D.－25≤a<－24或03－2x的解集是。 14.不等式 <1的解集是。 15.若对于任意x∈R，都有(m－2)x2－2(m－2)x－4<0恒成立，则实数m的取值范围是。 16.设0( )a ③( )a>aa④aa0，其中不正确的不等式的序号是。三、解答题 17.解关于x的不等式: <2x+1。 18.（1）若x、y∈{（x,y）|x,y是正实数集}，且x+y=1，求证：（1+ ）(1+ )≥9；（2）已知x∈R，求证：－2≤ <2。 19.已在a>0且a≠1，解关于x的不等式：1+log (4－ax)≥log (ax－1) 20.设a1，M=[a,b]，函数f(x)=x2－2ax+a2+1,x∈M，（1）求f(x)的值域N。（2）求使[1－a,b－a+1] N的a的取值范围以及b由a表示的取值范围。 21.已知函数f(x)=x2+px+q，对于任意θ∈R,有f(sinθ)≤0，且f(sinθ+2)≥0；（1）求p、q之间的关系式；（2）求p的取值范围；（3）如果f(sinθ +2)的最大值是14，求p的值，并求此时f(sinθ)的最小值。 22.设f(x)=ax2+bx+c，若f(1)= ，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式： x2+ ≤f(x)≤2x2+2x+ 对一切实数x都成立，证明你的结论。参考答案【综合能力训练】 1.A 2.A 3.B 4.B 5.C 6.D 7.D 8.B 9.D 10.C 11.D 12.D 13.(－2,4) 14.(0, ) (1,100) 15.(－2,2) 16.③④ 17.[解]原不等式化为：|x2－2|<2x+1 －2x－1－1+ .∴不等式的解集是：－1+ 1时，loga2≤x1时 ∴a≤0，b∈ [a+1,+∞]. 21.[解] (1)∵－1≤sinθ≤1，1≤sinθ+2≤3，∴原题设即为x∈[－1,1]时,f(x)≤0，当x∈[1,3]时,f(x)≥0。 ∴当x=1时，f(x)=0， ∴1+p+q=0 ∴q=－(1+p) (2)f(x)=x2+px+q=x2+px－(1+p),∵当sinθ=－1时f(－1)≤0， ∴1－p－1－p≤0 ∴p≥0 (3)注意f(x)在[1，3]上递增，∴当x=3时f(x)有最大值，即9+3p+q=14,9+3p－1－p=14, ∴p=3 此时f(x)=x2+3x－4，求f(sinθ)的最小值，即求当x∈[－1,1]时f(x)的最小值。又f(x)=(x+ )2－。显然此函数在[－1，1]上递增，∴当x=－1时，f(x)有最小值f(－1)=1－3－4=－6。 22.[解]由f(1)= 得a+b+c= 。令x2+ =2x2+2x+ EMBED Equation.3 x=－1，由f(x)≤2x2+2x+ 推得f(－1)≤ 。由f(x)≥x2+ 推得f(－1)≥ ,∴f(－1)= ∴a－b+c= ，故2(a+c)=5,a+c= 且b=1 ∴f(x)=ax2+x+( －a) 依题意：ax2+x+( －a)≥x2+ 对一切x∈R成立，即都成立，∴a>1，且Δ=1－4(a－1)(2－a)≤0。推得(2a－3)2≤0 ∴ ，∴f(x)= x2+x+1 易验证： x2+x+1≤2x2+2x+ 对x∈R都成立。 ∴存在实数a= ,b=1,c=1使得不等式x2+ ≤f(x)≤2x2+2x+ 对一切x∈R都成立。 http://blog.sina.com.cn/chenchangqing1982 _1106656792.unknown _1106659329.unknown _1106664220.unknown _1137322778.unknown _1137324839.unknown _1137325398.unknown _1137325882.unknown _1137326501.unknown _1137327140.unknown _1137993509.unknown _1137993849.unknown _1137327700.unknown _1137327746.unknown _1137327158.unknown _1137326807.unknown _1137327048.unknown _1137326769.unknown _1137326182.unknown _1137326268.unknown _1137326426.unknown _1137326223.unknown _1137326077.unknown _1137326099.unknown _1137326064.unknown _1137325592.unknown _1137325702.unknown _1137325851.unknown _1137325647.unknown _1137325449.unknown _1137325549.unknown _1137325418.unknown _1137325053.unknown _1137325107.unknown _1137325209.unknown _1137325082.unknown _1137324984.unknown _1137325031.unknown _1137325009.unknown _1137324867.unknown _1137323912.unknown _1137324628.unknown _1137324767.unknown _1137324806.unknown _1137324687.unknown _1137323984.unknown _1137324469.unknown _1137324555.unknown _1137324223.unknown _1137323922.unknown _1137323600.unknown _1137323817.unknown _1137323880.unknown _1137323812.unknown _1137323003.unknown _1137323564.unknown _1137322896.unknown _1106665996.unknown _1106719213.unknown _1106719484.unknown _1106719608.unknown _1106719703.unknown _1106719801.unknown _1106719962.unknown _1106719976.unknown 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00106.北大附中高考数学专题复习汇编不等式--不等式（01）

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