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考研数学所有知识点总结-线性代数知识点.pdf

考研数学所有知识点总结-线性代数知识点

tongguangzhe899
2009-05-26 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《考研数学所有知识点总结-线性代数知识点pdf》,可适用于高等教育领域

考研数学知识点-线性代数Editedby杨凯钧年月第一讲基本知识二.矩阵和向量.线性运算与转置①ABBA=②()()CBACBA=③()cBcABAc=()dAcAAdc=④()()AcddAc=⑤=⇔=ccA或=A。向量组的线性组合sααα,,,ΛsscccαααΛ。转置A的转置TA(或A′)()AATT=()TTTBABA±=±()()TTAccA=。.n阶矩阵n行、n列的矩阵。对角线其上元素的行标、列标相等Λ,,aa对角矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛***数量矩阵E=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛单位矩阵IE或⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛上(下)三角矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛******对称矩阵AAT=。反对称矩阵AAT−=。三.矩阵的初等变换阶梯形矩阵初等变换分⎩⎨⎧初等列变换初等行变换三类初等行变换①交换两行的上下位置BA→②用非零常数c乘某一行。③把一行的倍数加到另一行上(倍加变换)阶梯形矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−①如果有零行则都在下面。②各非零行的第一个非元素的列号自上而下严格单调上升。或各行左边连续出现的的个数自上而下严格单调上升直到全为。台角:各非零行第一个非元素所在位置。简单阶梯形矩阵:.台角位置的元素都为.台角正上方的元素都为。每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。如果A是一个n阶矩阵A是阶梯形矩阵⇒A是上三角矩阵反之不一定如⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛是上三角但非阶梯形四.线性方程组的矩阵消元法用同解变换化简方程再求解三种同解变换:①交换两个方程的上下位置。②用一个非数c乘某一个方程。③把某一方程的倍数加到另一个方程上去它在反映在增广矩阵上就是三种初等行变换。考研数学知识点-线性代数Editedby杨凯钧年月矩阵消元法:①写出增广矩阵()βA用初等行变换化()βA为阶梯形矩阵()γB。②用()γB判别解的情况。i)如果()γB最下面的非零行为()d,,Λ则无解否则有解。ii)如果有解记γ是()γB的非零行数则n=γ时唯一解。n<γ时无穷多解。iii)唯一解求解的方法(初等变换法)去掉()γB的零行得()γB它是()cnn×矩阵B是n阶梯形矩阵从而是上三角矩阵。⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=−−nnnnbbbbB**********Ο则≠nnbiinnbbΛ⇒≠⇒−−都不为。于是把()γB化出的简单阶梯形矩阵应为⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ncccΜΟ其方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===,,,nncxcxcxΜ即()nccc,,,Λ就是解。第二讲行列式一.形式与意义nnnnnnaaaaaaaaaΛΛΛΛΛΛΛA是n阶矩阵A表示相应的行列式。二.定义(完全展开式)bcaddcba−=一个n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaaΛΛΛΛΛΛΛ的值:①是!n项的代数和②每一项是n个元素的乘积它们共有!n项nnjjjaaaΛ其中njjjΛ是n,,,Λ的一个全排列。③nnjjaaΛ前面乘的应为()()njjjΛτ−()njjjΛτ的逆序数n,,,Λ()()∑−=nnnjjjnjjjjjjaaaΛΛΛτ考研数学知识点-线性代数Editedby杨凯钧年月()()()nnnnbbbbbbΛΝΛ******−−=τ()()()−==−nnCnnnΛτ三.计算(化零降阶法)余子式和代数余子式称ijM为ija的余子式。()ijjiijMA−=定理:一个行列式的值D等于它的某一行(列)各元素与各自代数余子式乘积之和。nnAaAaAaD=Λ四.行列式的其它性质.转置值不变AAT=.用一个数c乘某一行(列)的各元素值乘cAccAn=.行列式和求某一行(列)分解γβαγβαγββα,,,,,,=(),,ααα=A阶矩阵(),,βββ=BBABA≠(),,βαβαβα=BA,,βαβαβα=BA,,,,βαβαββαβαα=.第一类初等变换使值变号.如果一个行列式某一行(列)的元素全为或者有两行(列)的元素成比例关系则行列式的值为。.一行(列)的元素乘上另一行(列)的相应元素代数余子式之和为。.BABABA=∗=∗.范德蒙行列∏<−=jiijnaaaaa)(ΛΛnC个五.元素有规律的行列式的计算六.克莱姆法则克莱姆法则:设线性方程组的系数矩阵A是n阶矩阵(即方程个数=m未知数个数n)则≠A时方程组唯一解此解为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ADADADn,,,ΛiD是A的第i列用⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛nbbbΜ代替后所得n阶行列式:=A时解如何?即唯一解⇒≠A?改进:⇔≠A唯一解证明:()()rBA⎯→⎯行β≠⇔≠BA考研数学知识点-线性代数Editedby杨凯钧年月()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=rbbbrBnn******Ο若≠B则≠iib,i∀故唯一解。若唯一解则()rB|有n个非零行且最下面的非零行不是()d|,,Λ于是≠nnb从而每≠iib。∏=≠=niiibB求解方法:()()()ηβErBA⎯→⎯⎯→⎯行行η就是解。对于齐次方程组⇔≠A只有零解。第三讲矩阵一.矩阵的乘法.定义与规律定义:设A与B是两个矩阵如果A的列数等于B的行数则A可以乘B乘积也是一个矩阵记作AB。当A是nm×矩阵B是sn×矩阵时AB是sm×矩阵。AB的()ji,位元素是A的第i行和B的第j列对应元素乘积之和。njinjijiijbababaC=Λ遵循的规律①线性性质()BABABAA=()ABABBBA=()()()cBAABcBcA==②结合律()()BCACAB=③()TTTABAB=与数的乘法的不同之处无交换律无消去律当=AB时=⇒A或=B由≠A和=⇒=BAB由≠A时CBACAB=⇒=(无左消去律).n阶矩阵的方幂与多项式任何两个n阶矩阵A与B可乘并且AB仍是n阶矩阵。行列式性质:BAAB=A是n阶矩阵Λ个kkAAAA=EA=lklkAAA=()kllkAA=但是()kkkBAAB=不一定成立!设()axaxaxaxfkkkk=−−ΛA是n阶矩阵规定()EaAaAaAaAfkkkk=−−Λ问题:数的乘法公式因式分解等对矩阵是否仍成立?()BABABA=?()()BABABA−=−?‖BBAABA障碍是交换性当BAAB=时()∑=−=kiiikikkBACBA一个矩阵A的每个多项式可以因式分解例如()()EAEAEAA−=−−.乘积矩阵的列向量与行向量()设nm×矩阵()nAααα,,,Λ=n维列向量()Tnbbb,,,Λ=β则nnbbbAαααβ=Λ考研数学知识点-线性代数Editedby杨凯钧年月⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛abababababababababbbbaaaaaaaaaααααααbbbaaabaaabaaab=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=应用于方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaΛΛΛΛ记A是系数矩阵()nAααα,,,Λ=设()Tnxxx,,Λ=则⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaAxΛΛΛΛ方程组的矩阵形式β=Ax()()Tmbbb,,,Λ=β方程组的向量形式βααα=nnxxxΛ()设CAB=记()sBβββ,,,Λ=()srrrC,,,Λ=则siArii,,,,Λ==β或()sAAAABβββ,,,Λ=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ,,,,mnsnnssmnmmnncccbbbbbbbbbaaaaaaaaa于是nniiiiibbbArαααβ==Λ即AB的第i个列向量ir是A的列向量组nααα,,,Λ的线性组合组合系数是B的第i个列向量的各分量。类似地:AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合组合系数是A的第i个行向量的各分量。TTTCAB=对角矩阵从右侧乘一矩阵A即用对角线上的元素依次乘A的各列向量。对角矩阵从左侧乘一矩阵A即用对角线上的元素依次乘A的各行向量。于是AAE=AEA=()kAkEA=()kAAkE=两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘对角矩阵的k次方幂只须把每个对角线上元素作k次方幂。.初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵作一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。共有种初等矩阵()()jiE,:交换E的第ji,两行或交换E的第ji,两列=n()⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=,E()())(ciE:用数()≠c乘E的第i行或第i列=n()⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=)(ccE()())(,cjiE:把E的第j行的c倍加到第i行上或把E的第i列的c倍加到第j列上。考研数学知识点-线性代数Editedby杨凯钧年月=n()⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=)(,ccE命题:初等矩阵从左(右)侧乘一个矩阵A等同于对A作一次相当的初等行(列)变换。()())(,,,,,cEααααα()⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=,,,,cααααα(),,,,αααααα=c.矩阵分解.乘法的分块法则一般法则:在计算两个矩阵A和B的乘积时可以先把A和B用纵横线分割成若干小矩阵来进行要求A的纵向分割与B的横向分割一致。两种常用的情况()BA,都分成块⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=AAAAA⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=BBBBB其中iA的列数和jB的行数相等iA的列数和jB的行数相关。⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=BABABAAABABABABAAB()准对角矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛kkAAAΛΟΛΛ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛kkkkkkkkBABABABBBAAAΟΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΟΜΛΛ对一个n阶矩阵A规定()Atr为A的对角线上元素之和称为A的迹数。于是()()TkTkTαβαβαβ−=()TkTtrαβαβ−=二.矩阵方程与可逆矩阵.两类基本的矩阵方程CAB=若知道C和AB中的一个求另一个这是乘法的逆运算。两类基本矩阵方程()BAxI=()BxAII=都需求A是方阵且≠A(I)的解法:()()xEBA⎯→⎯行(II)的解法先化为TTTBxA=。()()TTTxEBA→。.可逆矩阵及其逆矩阵当≠a时aa=−。对acab=两边乘−a得cb=。①定义与意义设A是n阶矩阵如果存在n阶矩阵H使得EAH=且EHA=则称A是可逆矩阵称H是A的逆矩阵证作−A。考研数学知识点-线性代数Editedby杨凯钧年月设A可逆则A有消去律。左消去律:CBACAB=⇒=。右消去律:CBCABA=⇒=。②可逆性的判别逆矩阵的计算定理:n阶矩阵A可逆≠⇔A证明:“⇒”EAA=−==−EAA。A∴不为(且AA=−)。“⇐”要找H既是EAx=的解又是ExA=的解。≠AEAx=有唯一解记作BExA=也有唯一解记作C则EAB=ECA=。()()CABCBCAB===A可逆−A即EAx=的解。求−A的方程(初等变换法)()()−⎯→⎯AEEA行推论设AB是两个n阶矩阵则EBAEAB=⇔=③可逆矩阵的性质i)当A可逆时TA也可逆且()()TTAA−−=。kA也可逆且()()kkAA−−=。数≠ccA也可逆()−−=AccA。≠=AccAn()EAAccAccA=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−。ii)设AB是两个n阶可逆矩阵则AB也可逆且()−−−=ABAB。当AB都是n阶矩阵时AB都可逆AB⇔可逆命题:初等矩阵都可逆且()()()jiEjiE,,=−()()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−ciEciE()()()()()cjiEcjiE−=−,,()(),=cjiE。命题:准对角矩阵kkAAAAΟ=可逆⇔每个iiA都可逆记−−−−=kkAAAAΟ.伴随矩阵每个n阶矩阵A都有伴随矩阵证作*A。()TijnnnnnnAAAAAAAAAAA=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=ΛΛΛΛΛΛΛ*伴随矩阵的基本性质:EAAAAA==**考研数学知识点-线性代数Editedby杨凯钧年月⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛AAAAAAAAAAAAaaaaaaaaannnnnnnnnnnnΟΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ当A可逆时EAAA=*得AAA*=−求逆矩阵的伴随矩阵法当=n时:⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=dcbaA则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=acbdA*bcadacbdA−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−要证*−=AAAEAAA=*得()()∗==−−*AAAA()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==−−−−AAAAA*伴随矩阵的其他性质①*−=nAA,②()(),**TTAA=③()**AccAn−=,④()*,**ABAB=⑤()()kkAA**=⑥()AAAn**−=。=n时⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=dcbaA()AdcbadcbaA=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=***关于矩阵右上肩记号:Tk−*i)任何两个的次序可交换如()()TTAA**=()()**−−=AA等ii)()(),−−−==ABABABABTTT()***ABAB=(但()kkkABAB=不一定成立!)小结:.乘法的定义与数的乘法的区别.在特殊情形下怎么快捷地求乘积矩阵.矩阵分解的概念.矩阵方程的初等变换法.可逆矩阵BAx=BAx−=第四讲向量组的线性关系和秩一.线性表示.β可以用sααα,,,Λ线性表示即β可以表示为sααα,,,Λ的线性组合也就是存在sccc,,,Λ使得βααα=sscccΛ记号:sαααβ,,,Λ→例如sααα,,,Λ→siαααα,,,Λ→βααααααβ=⇔→sssxxxΛΛ,,,有解()βααα=⇔xs,,,Λ有解考研数学知识点-线性代数Editedby杨凯钧年月()()Tsxxx,,Λ=β=Ax有解即β可用A的列向量组表示。.stαααβββ,,,,,,ΛΛ→即每个siαααβ,,,Λ→如果()srrrCAB,,,Λ==()nAααα,,,Λ=则nsrrrααα,,,,,,ΛΛ→。如果stαααβββ,,,,,,ΛΛ→则存在矩阵C使得()()Cstαααβββ,,,,,,ΛΛ=例如αααβ=ααβ=ααβ=则()()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=,,,,αααβββ线性表示关系有传递性即当pstrrr,,,,,,,,,ΛΛΛ→→αααβββ则ptrrr,,,,,,ΛΛ→βββ。.等价关系:如果sααα,,,Λ与tβββ,,,Λ互相可表示tsβββααα,,,,,,ΛΛ←→就称它们等价记作tsβββααα,,,,,,ΛΛ≅。二.线性相关性.定义与意义考察sααα,,,Λ的内在线性表示关系⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=α⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=α⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=α⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=α线性相关:存在向量iα可用其它向量siiαααα,,,,,ΛΛ−线性表示。线性无关:每个向量iα都不能用其它向量线性表示定义:如果存在不全为的sccc,,,Λ使得=sscccαααΛ则称sααα,,,Λ线性相关否则称sααα,,,Λ线性无关。例如≠c则sscccααα−−−=Λssccccααα−−−=Λ。sααα,,,Λ线性无关即当=ssccααΛ时必存===sccΛ。sααα,,,Λ线性相(无)关=⇔ssxxααΛ有(无)非零解(),,,=⇔xsαααΛ有(无)非零解=s即单个向量α=αxα相关=⇔α=s,αα相关⇔对应分量成比例()naaa,,,Λ=α()nbbb,,,Λ=α,αα相关nnbababa:::===⇔Λ.性质①如果向量个数s二维数n则n,,ααΛ线性相(无)关()≠=⇔nααΛ考研数学知识点-线性代数Editedby杨凯钧年月()nAααα,,,Λ==Ax有非零解=⇔A如果ns>则sααα,,,Λ一定相关。=Ax的方程个数<n未知数个数s②如果sααα,,,Λ无关则它的每一个部分组都无关。例如若,,,,ααααα无关则,,ααα一定无关。③如果sααα,,,Λ无关而βααα,,,,sΛ相关则sαααβ,,,Λ→设cccs,,,Λ不全为使得=βααcccssΛ则其中≠c否则scc,,Λ不全为=ssccααΛ与条件sαα,,Λ无关矛盾。于是ssccccααβ−−−=Λ。④当sααβ,,Λ→时表示方式唯一sααΛ⇔无关(表示方式不唯一sααΛ⇔相关)⑤若stααββ,,,,ΛΛ→并且st>则tββ,,Λ一定线性相关。记()sAαα,,Λ=()tBββ,,Λ=则存在ts×矩阵C使得ACB=。=Cx有s个方程t个未知数ts<有非零解η=ηC。则==ηηACB即η也是=Bx的非零解从而tββ,,Λ线性相关。各性质的逆否形式①如果sααα,,,Λ无关则ns≤。②如果sααα,,,Λ有相关的部分组则它自己一定也相关。③如果sααΛ无关而sααβ,,Λ→则βααs,,Λ无关。⑤如果stααββΛΛ→tββΛ无关则st≤。推论:若两个无关向量组sααΛ与tββΛ等价则ts=。三.极大无关组和秩sααα,,,Λ可以有多大的线性无关的部分组?⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=α⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=α⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=α⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=β⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=β⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=β⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=β.定义sααα,,,Λ的一个部分组()I称为它的一个极大无考研数学知识点-线性代数Editedby杨凯钧年月关组如果满足:i)()I线性无关。ii)()I再扩大就相关。()Isααα,,,Λ←→()()IIIs≅≅ααΛ规定sααα,,,Λ的秩()()Is#,,,=αααγΛ。如果sααα,,,Λ每个元素都是零向量则规定其秩为。(){}sns,min,,≤≤ααγΛ讨论:设(),,=sααγΛ①,,,αααα相关无关?②,αα相关无关?结论:一个线性无关部分组()I若()I#等于秩()I→,,,αααα()I就一定是极大无关组。.性质(应用)①sααα,,,Λ无关⇔()ss=αααγ,,,Λ。②()()sssααγβαααγαααβ,,,,,,,,,ΛΛΛ=⇔→取sααα,,,Λ的一个极大无关组()I()I也是βααα,,,,sΛ的极大无关组⇔()β,I相关。()()ββααβ,,,IIs⇔→⇔→Λ相关。()()()⎩⎨⎧→→=sssssααβααγααβααγβααγ,,,,,,,,,,,ΛΛΛΛΛ③β可用sαα,,Λ唯一表示()()sss==⇔ααγβααγ,,,,,ΛΛ④()()stsstααγββααγααββ,,,,,,,,,,,ΛΛΛΛΛ=⇔→()()stααγββγ,,,,ΛΛ≤⇒⑤⇔≅tsββαα,,,,ΛΛ()()()ttssββγββααγααγ,,,,,ΛΛΛΛ==向量组sααα,,,Λ的秩的计算方法:()→行sααα,,,Λ阶梯形矩阵B()Bs=ααγ,,Λ的非零行数。.有相同线性关系的向量组两个向量若有相同个数的向量:ssβββααα,,,,,,,ΛΛ并且向量方程,=ssxxxαααΛ与=ssxxxβββΛ同解则称它们有相同的线性关系。①对应的部分组有一致的相关性。,,ααα的对应部分组,,βββ若,,ααα相关有不全为的,,ccc使得=αααccc即(),,,,,,Λccc是=ssxxxαααΛ的解从而也是=ssxxxβββΛ的解则有=βββccc,,βββ也相关。②极大无关组相对应从而秩相等。③有一致的内在线表示关系。如ββββαααα−=⇔−=。考研数学知识点-线性代数Editedby杨凯钧年月设:()sAααα,,,Λ=()sBβββ,,,Λ=则=ssxxxαααΛ即=Ax=ssxxxβββΛ即=Bx。sααα,,,Λ与sβββ,,,Λ有相同的线性关系即=Ax与=Bx同解。反之当=Ax与=Bx同解时A和B的列向量组有相同的线性关系。四.矩阵的秩.定义A是nm×矩阵定理:矩阵A的行向量组的秩=列向量组的秩。规定()=Ar行(列)向量组的秩。CA=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎯→⎯⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=行A的行秩=C的行秩||A的列秩=C的列秩()Ar的计算:用初等变换化A为阶梯形矩阵B则B的非零行数即()Ar。命题:()AAr=的非零子式阶数的最大值。.矩阵的秩的简单性质(){}nmAr,min≤≤()=⇔=AArA行满秩:()mAr=A列满秩:()nAr=n阶矩阵A满秩:()nAr=A满秩A⇔的行(列)向量组线性无关≠⇔AA⇔可逆=⇔Ax只有零解β=Ax唯一解。.矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩①()()ArArT=②≠c时()()ArcAr=③()()()BrArBAr≤±④()()(){}BrArABr,min≤⑤A可逆时()()BrABr=B可逆时()()ArABr=()()BrABr≤()ABAB−=()()ABrBr≤⑥若=AB则()()nBrAr≤(A的列数B的行数)⑦A列满秩时()()BrABr=B行满秩时()()ArABr=⑧()()()BrArnABr≥考研数学知识点-线性代数Editedby杨凯钧年月第五讲线性方程组一.方程组的表达形式.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaΛΛΛΛ.β=Axη是解βη=⇔A.βααα=nnxxxΛ有解nαααβ,,,Λ→⇔二.解的性质.=Ax的解的性质。如果eηηη,,,Λ是一组解则它们的任意线性组合eecccηηηΛ一定也是解。(),=⇒=∀eeiicccAAηηηηΛ.()≠=ββAx①如果eξξξ,,,Λ是β=Ax的一组解则eecccξξξΛ也是β=Ax的解=⇔ecccΛeecccξξξΛ是=Ax的解=⇔ecccΛiAi∀⋅=βξ()eeeeAcAcAccccAξξξξξξ=ΛΛ()βeccc=Λ当,ξξ是β=Ax的两个解时ξξ−是=Ax的解②如果ξ是β=Ax的解则n维向量ξ也是β=Ax的解ξξ−⇔是=Ax的解。三.解的情况判别β=Ax即βααα=nnxxxΛ有解nαααβ,,,Λ→⇔()()nnαααγβαααγ,,,,,,,ΛΛ=⇔()()AAγβγ=⇔|无解()()AAγβγ>⇔|唯一解()()nAA==⇔γβγ|无穷多解()()nAA<=⇔γβγ|方程个数m:()()mAmA≤≤γβγ,|①当()mA=γ时()mA=βγ|有解②当nm<时()nA<γ不会是唯一解对于齐次线性方程组=Ax只有零解()nA=⇔γ(即A列满秩)(有非零解()nA<⇔γ)推论如果A列满秩则A有左消去律即①=⇒=BAB②CBACAB=⇒=证:①记()sBβββ,,,Λ=则()sAAABββ,,Λ==AB即对每个i=iAβ即iβ是=Ax的解。=Ax只有零解故=iβ。②()=−CBA=−CB。推论如果A列满秩则()()BABγγ=考研数学知识点-线性代数Editedby杨凯钧年月证:下面证=ABx与=Bx同解。η是=ABx的解=⇔ηABηη⇔=⇔B是=Bx的解四.基础解系和通解.=Ax有非零解时的基础解系记J是=Ax的全部解的集合。称J的极大无关组为=Ax的基础解系。eηηη,,,Λ是=Ax的基础解系的条件:①每个iη都是=Ax的解②eηηη,,,Λ线性无关③=Ax的每个解eηηηη,,,Λ→定理:()()AnJγγ−=()()nAJ=γγ

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