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近四年(2005-2008)上海
高考
地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词
立体几何试题
一.填空题:只要求直接填写结果
1(2005年11)有两个相同的直三棱柱,高为
,底面三角形的三边长分别为
。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,
表
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面积最小的是一个四棱柱,则
的取值范围是__________。
解答:两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱,有三种情况
四棱柱有一种,就是边长为
的边重合在一起,表面积为24
+28
三棱柱有两种,边长为
的边重合在一起,表面积为24
+32边长为
的边重合在一起,表面积为24
+36
两个相同的直三棱柱竖直放在一起,有一种情况表面积为12
+48
最小的是一个四棱柱,这说明
EMBED Equation.3
2(2006春8) 正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,则其体积为 .
3(2006年10)如果一条直线与一个平面垂直,则称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ;
解:正方体中,一个面有四条棱与之垂直,六个面,共构成24个“正交线面对”;而正方
体的六个对角截面中,每个对角面又有两条面对角线与之垂直,共构成12个“正交线面对”,所以共有36个“正交线面对”;
4(2007年10)在平面上,两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种. 已知
是两个
相交平面,空间两条直线
在
上的射影是直线
,
在
上的射影是
直线
.用
与
,
与
的位置关系,写出一个总能确定
与
是异
面直线的充分条件: .
,并且
与
相交(
EMBED Equation.3 ,并且
与
相交)
5(2008春8)已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图
如右图所示,则该凸多面体的体积
二.选择题:每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,
6(2005春13) 已知直线
及平面
,下列命题中的假命题是 ( )
(A)若
,
,则
. (B)若
,
,则
.
(C)若
,
,则
. (D)若
,
,则
.
[答] ( D )
7(2006年14)若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”
的 ( )
(A)充分非必要条件;(B)必要非充分条件;(C)充要条件;(D)非充分非必要条件;
解: 充分性成立: “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况:
1)第四点在共线三点所在的直线上,可推出“这四个点在同一平面上”;
2)第四点不在共线三点所在的直线上,可推出“这四点在唯一的一个平面内”;
必要性不成立:“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”;
故选(A)
三.解答题:解答下列各题必须写出必要的步骤.
8(2005春19) (14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知正三棱锥
的体积为
,侧面与底面所成的二面角的大小为
.
(1)证明:
;
(2)求底面中心
到侧面的距离.
[证明](1)(1)取
边的中点
,连接
、
,
则
,
,故
平面
. …… 4分
∴
. …… 6分
[解](2)如图, 由(1)可知平面
平面
,则
是侧面与底面所成二面角的平面角.
过点
作
为垂足,则
就是点
到侧面的距离.…… 9分
设
为
,由题意可知点
在
上,
∴
,
.
, …… 11分
∴
,
∵
,∴
.
即底面中心
到侧面的距离为3.…… 14分
9(2005年17)(本题满分12分)
已知直四棱柱
中,
,底面
是直角梯形,
为直角,
,
,
,
,求异面直线
与
所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)
[解法一]由题意AB//CD,
是异面直线BC1与DC所成的角.
连结AC1与AC,在Rt△ADC中,可得
,
又在Rt△ACC1中,可得AC1=3.
在梯形ABCD中,过C作CH//AD交AB于H,
得
又在
中,可得
,
在
∴异而直线BC1与DC所成角的大小为
[解法二]如图,以D为坐标原点,分别以AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直
角坐标系.
则C1(0,1,2),B(2,4,0)
所成的角为
,
则
∴异面直线BC1与DC所成角的大小为
10(2006春17) (本题满分12分)在长方体
中,已知
,求异面直线
与
所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
[解法一] 连接
,
为异面直线
与
所成的角. ……4分
连接
,在△
中,
, ……6分
则
. ……10分
异面直线
与
所成角的大小为
.……12分
[解法二] 以
为坐标原点,分别以
、
、
所在直线为
轴、
轴、
轴,建立空间直角坐标系. ……2分
则
,
得
. ……6分
设
与
的夹角为
,
则
, ……10分
与
的夹角大小为
,
即异面直线
与
所成角的大小为
. ……12分
11(2006年19)(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60
,对角线AC与BD相交
于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60
.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)若E是PB的中点,求异面直线
DE与PA所成角的大小(结果用
反三角函数值表示).
[解](1)在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得
∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°.
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,
于是,PO=BOtg60°=
,而底面菱形的面积为2
.
∴四棱锥P-ABCD的体积V=
×2
×
=2.
(2)解法一:以O为坐标原点,射线OB、OC、
OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立
空间直角坐标系.
在Rt△AOB中OA=
,于是,点A、B、
D、P的坐标分别是A(0,-
,0),
B (1,0,0), D (-1,0,0), P (0,0,
).
E是PB的中点,则E(
,0,
) 于是
=(
,0,
),
=(0,
,
).
设
的夹角为θ,有cosθ=
,θ=arccos
,
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos
;
解法二:取AB的中点F,连接EF、DF.
由E是PB的中点,得EF∥PA,
∴∠FED是异面直线DE与PA所成
角(或它的补角),
在Rt△AOB中AO=ABcos30°=
=OP,
于是, 在等腰Rt△POA中,
PA=
,则EF=
.
在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=
,
cos∠FED=
=
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos
.
12(2007春 16) (12分)如图,在棱长为2的正方体
中,
分别是
和
的中点,求异面直线
与
所成角的大小 (结果用反三角函数值表示).
[解法一] 如图建立空间直角坐标系. …… 2分
由题意可知
.
. …… 6分
设直线
与
所成角为
,则
. ……10分
,
即异面直线
与
所成角的大小为
. …… 12分
[解法二] 连接
, …… 2分
,且
,
是平行四边形,则
,
异面直线
与
所成的角就是
与
所成的角. …… 6分
由
平面
,得
.
在
△
中,
,则
, …… 10分
.
异面直线
与
所成角的大小为
. …… 12分
13(2007年16)(本题满分12分)如图,在体积为1的直三棱柱
中,
.求直线
与平面
所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
解法一: 由题意,可得体积
,
.
连接
.
,
平面
,
是直线
与平面
所成的角.
,
,则
=
.
即直线
与平面
所成角的大小为
.
解法二: 由题意,可得
体积
,
,
如图,建立空间直角坐标系. 得点
,
,
. 则
,平面
的法向量为
.
设直线
与平面
所成的角为
,
与
的夹角为
,
则
,
,
即直线
与平面
所成角的大小为
.
14(2008春20)(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
某厂根据市场需求开发折叠式小凳(如图所示). 凳面为三角形的尼龙布,凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素,设计小凳应满足:① 凳子高度为
,② 三根细钢管相交处的节点
与凳面三角形
重心的连线垂直于凳面和地面.
(1)若凳面是边长为
的正三角形,三只凳脚与地面所成的角均为
,确定节点
分细钢管上下两段的比值(精确到
);
(2)若凳面是顶角为
的等腰三角形,腰长为
,节点
分细钢管上下两段之比为
. 确定三根细钢管的长度(精确到
EMBED Equation.DSMT4 ).
[解](1)设△
的重心为
,连结
.
由题意可得,
. 设细钢管上下两段之比为
.
已知凳子高度为
. 则
. …… 3分
节点
与凳面三角形
重心的连线与地面垂直,且凳面与地面平行.
就是
与平面
所成的角,亦即
.
,解得,
. …… 6分
即节点
分细钢管上下两段的比值约为
.
(2)设
,
.
设△
的重心为
,则
, …… 10分
由节点
分细钢管上下两段之比为
,可知
.
设过点
的细钢管分别为
,
则
,
,
对应于
三点的三根细钢管长度分别为
,
和
. 14分
�EMBED PBrush���
�EMBED PBrush���
P
A
B
C
D
O
E
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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