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递推式求数列通项公式常见类型及解法.doc

递推式求数列通项公式常见类型及解法

大家好
2009-05-15 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《递推式求数列通项公式常见类型及解法doc》,可适用于求职/职场领域

联系电话:递推式求数列通项公式常见类型及解法对于由递推式所确定的数列通项公式问题通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列也可以通过构造把问题转化。下面分类说明。一、例在数列{an}中已知求通项公式。解:已知递推式化为即所以。将以上个式子相加得所以。二、型例求数列的通项公式。解:当即当所以。三、型例在数列中求。解法:设对比得。于是得以为公比的等比数列。所以有。解法:又已知递推式得上述两式相减得INCLUDEPICTURE"http:wwwchinaeducomresourcewenjiankuktblanmuXFSImagegif"*MERGEFORMATINET因此数列是以为首项以为公比的等比数列。所以所以。四、型例设数列求通项公式。解:设则所以即。设这时所以。由于{bn}是以为首项以为公比的等比数列所以有。由此得:。说明:通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构经过变形与比较把问题转化成基本数列(等差或等比数列)。五、型例已知b≠b≠±INCLUDEPICTURE"http:wwwchinaeducomresourcewenjiankuktblanmuXFSImagegif"*MERGEFORMATINET写出用n和b表示an的通项公式。解:将已知递推式两边乘以得INCLUDEPICTURE"http:wwwchinaeducomresourcewenjiankuktblanmuXFSImagegif"*MERGEFORMATINET又设于是原递推式化为仿类型三可解得故。说明:对于递推式可两边除以得引入辅助数列然后可归结为类型三。六、型例已知数列求。解:在两边减去。所以为首项以。所以令上式再把这个等式累加得。所以。说明:可以变形为就是则可从解得于是是公比为的等比数列这样就转化为前面的类型五。等差、等比数列是两类最基本的数列是数列部分的重点自然也是高考考查的热点而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。转化的目的是化陌生为熟悉当然首先是等差、等比数列根据不同的递推公式采用相应的变形手段达到转化的目的。附:构建新数列巧解递推数列竞赛题递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一由于题目灵活多变答题难度较大。本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题基本思路是根据题设提供的信息构建新的数列建立新数列与原数列对应项之间的关系然后通过研究新数列达到问题解决之目的。其中怎样构造新数列是答题关键。求通项求通项是递推数列竞赛题的常见题型这类问题可通过构建新数列进行代换使递推关系式简化这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列使问题由难变易所用的即换元和化归的思想。例、数列中。求。(年第届IMO预选题)分析本题的难点是已知递推关系式中的较难处理可构建新数列令这样就巧妙地去掉了根式便于化简变形。解:构建新数列使则即化简得即数列是以为首项为公比的等比数列。即证明不等式这类题一般先通过构建新数列求出通项然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。例、设求证:。(年匈牙利数学奥林匹克试题)分析利用待证的不等式中含有及递推关系式中含有这两个信息考虑进行三角代换构建新数列使化简递推关系式。证明:易知构建新数列使则又从而因此新数列是以为首项为公比的等比数列。考虑到当时有。所以注:对型如都可采用三角代换。证明是整数这类题把递推数列与数论知识结合在一起我们可以根据题目中的信息构建新数列找到新的递推关系式直接解决或者再进行转化结合数论知识解决。例、设数列满足求证:。分析直接令转化为证明证明:构建新数列令则代入整理得从而于是由已知由上式可知依次类推即。例、设r为正整数定义数列如下:求证:。(年中国台北数学奥林匹克试题)分析把条件变形为比较与前的系数及与的足码考虑到另一项为等式两边同乘以容易想到构新数列使。证明:由已知得构建新数列则又||从而。解决整除问题一般通过构建新数列求出通项再结合数论知识解决也可用数学归纳法直接证明。例、设数列满足对一切有求所有被整除的的一切n值。(年巴尔干地区数学奥林匹克试题)分析变形递推关系式为就容易想到怎样构建新数列了。解:由已知构建新数列则从而当时由于被整除因而也被整除。所以所求n值为及的一切自然数。证明是完全平方数这类题初看似乎难以入手但如能通过构建新数列求出通项问题也就迎刃而解了。例、设数列和满足且EMBEDEquation求证:是完全平方数。(年全国高中联赛加试题)分析先用代入法消去和得如果等式中没有常数项就可以利用特征根方法求通项因此可令易求得。证明:由①式得代入②得化为构建新数列且由特征方程得两根所以当时有解得:则则因为为正偶数所以是完全平方数。从上述各题构建新数列的过程中可以看出对题设中递推式的观察、分析并据其结构特点进行合理变形是成功构建新数列的关键。构建新数列的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉这也是解答数学问题的共性之所在。①②第页以上所有资料来源于互联网http:wwwjurencomunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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