数列通项公式的若干求法及转化思想

数列通项公式的若干求法及转化思想 求通项公式是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。现举数例。 1． 观察法 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而 根据规律写出此数列的一个通项。 例1 ：已知数列 写出此数列的一个通项公式。 例2：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）4，44，444，4444，… （2） （3） （4） 2． 公式法 （1）当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。 例1： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)， 求数列{ a n }和{ b n }的通项公式； （2）已知数列的前n项和求通项时，通常用公式 。 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”即a1和an合为一个表达式。 例1、已知数列 的前n项和为：① ② 求数列 的通项公式。 三． 由递推式求数列通项 对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。称辅助数列法。 例题：已知数列｛ ｝中， ， ，写出数列的前5项。（课本习题）。 变式1：已知数列｛ ｝中， ， 。求 变式2：已知数列｛ ｝中， ， 。求 变式3：已知数列｛ ｝中， ， 。求 变式4：已知数列｛ ｝中， ， 。求 变式5：已知数列｛ ｝中， ， 。求 变式3：已知数列｛ ｝中， ， 。求 变式6：已知数列｛ ｝中， ， 。求 变式7：已知数列｛ ｝中， ， 。求 变式8：已知数列｛ ｝中， ， 。求 类型Ⅰ： （一阶递归） 由等差，等比演化而来的“差型”，“商型”递推关系 ①等差数列： 由此推广成差型递推关系： 累加： = ，于是只要 可以求和就行。 类型1 递推公式为 解法：把原递推公式转化为， （特殊情形：⑴. （差后等差数列）⑵ （差后等比数列）） 利用累加法求解。 例1．已知｛ ｝满足 ，且 ，求 例2．已知｛ ｝满足 EMBED Equation.3 ，且 ，求 例3．已知｛ ｝满足 ，且 ，求 例4. 已知数列满足，求。 ②等比数列： 由此推广成商型递推关系： 累乘： EMBED Equation.3 类型2递推公式为 解法：（1）把原递推公式转化为，利用累乘法求解。 例1．已知｛ ｝满足 ，且 ，求 例2．已知｛ ｝满足 ，且 ，求 例4．（1）. 已知数列满足，求。 例题1。已知数列 满足： 求证：① ② 是偶数 （由 和 确定的递推数列 的通项可如下求得： （2）由已知递推式有 依次向前代入，得 ，简记为 。 这就是叠代法的基本模式。 例3已知 ，求 。 解： 。 1、已知数列{an}满足 ，求{an}的通项公式 类型3 递推公式为（其中p，q均为常数，）。 解法：把原递推公式转化为： 其中，再利用换元法转化为等比数列求解。 例1. 已知数列中，，求。 类型4 递推公式为（其中p，q均为常数，）。 解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得： 引入辅助数列（其中），得： 再应用类型3的方法解决。 例1. 已知数列中，，求。 例2. 已知数列中，，求。 类型5。 型的 利用 转化为 型，或 型 即混合型的转化为纯粹型的 例题1． 已知数列 的前n项和Sn满足 (Ⅰ)写出数列 的前3项 (Ⅱ)求数列 的通项公式; 分析： ---------------① 由 得 ----------------② 由 得， ，得 --------------③ 由 得， ，得 ---------④ 用 代 得 -----------⑤ ①—⑤： 即 ----------------------------⑥ EMBED Equation.3 ---------------------------⑦ 例题2。数列 的前n项和记为Sn，已知 证明： 数列 是等比数列；（全国卷（二）理科19题） 方法1∵ ∴ 整理得 所以 故 是以2为公比 的等比数列. 方法2：事实上，我们也可以转化为 ，为一个商型的递推关系， 由 = 1．｛ ｝是正数组成的数列，前n项和为 ，对所有的n， 与2的等差中项等于 与2的等比中项 （1）写出｛ ｝的前三项； （2）求｛ ｝的通项。 2．在数列｛ ｝中，已知 ，求 3．已知数列{an}的前n和 满足 求此数列的通项公式。 4． 已知数列前n项和。 （1）求与的关系；（2）求通项公式。 5．（北京卷)数列 的前n项和为Sn，且 ，求： （Ⅰ） 的值及数列 的通项公式； （Ⅱ） 的值. （ ） 由递推数列公式求数列通项公式的解题方法是数学中针对性较强的一种数学解题方法，它从一个侧面体现数学的研究方法，体现了新课程标准理念，是培养学生思维深刻性的极好的范例。注意一题多解； 例1：已知数列 满足 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 （Ⅰ）求数列 的通项公式； 解法1：（构造法Ⅰ） EMBED Equation.3 ， 是以 为首项，2为公比的等比数列， 即 EMBED Equation.3 解法2：（构造法Ⅱ） EMBED Equation.3 ……① EMBED Equation.3 ……② ①、②两式相减得 EMBED Equation.3 是以 为首项，2为公比的等比数列， 即 EMBED Equation.3 解法3：（阶差法） 由 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 可得： ……… 以上n式相加得 即 EMBED Equation.3 解法五：（迭代法） 由 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 可得： 即 EMBED Equation.3 总之，以上方法融会贯通可以解决关于递推数列公式求数列通项公式变形问题，从而提高学生的数学解题能力，把握数学学习方法。 同式题：.已知数列｛ ｝， ，则 ＝ 当然，还有一些转化的方法和技巧，如基本的式的变换，象因式分解，取倒数、对数等还是要求掌握的。 四、转化为常见类型求解： （1）倒数变换法： 形如 （ 为常数，且 ）的递推公式，可令 。则可转化为 型； 例1：数列 中，且 ， ，求数列 的通项公式. （2）对数变换法：例：已知数列 满足 ，求 。 当然，转化方法不是一成不变的，但其本质是构造、转化为上述常见形式数列问题求解。 如比例变换； 例1、设数列 满足下列条件 ，求 。 （可化为 ，再取对数） 例2、设数列 满足下列条件，试求各通项： （1） （2） （3） 解：（1） 令 则 ， 本题用 除递推式两边，再进行变量代换，就可转化为“ 型”， 可得 （2）递推式两边同除以 ，得 ，就可转化为“ 型”，当然，也可以在递推式两边同除以 ，得 ， 则可转化为“ 型”，所以得 （3）递推式两边同取对数，得 令 ，则 EMBED Equation.3 ，已转化为“ 型”，由累乘相消法可得 一般掌握下列转化思想即可；尤其对分式型递推关系。 1、利用倒数转化为：（1） ；（2） 2、求前若干项观察项间周期性等 练习：1、已知 求： 2、已知a1=1, an+1= ，求an 3、已知数列｛an｝满足：a1＝0，且 ，则 （ A ） A 0；B ；C ；D 变式：（1）、已知数列｛an｝满足：a1＝0，且 ，Sn表示数列｛an｝的n前项和则 （2）、已知 满足 ，则数列前26项的和为：（B ） A．0 B．－1 C．－8 D．－10 （3）、已知数列｛an｝满足：a1＝3，且 ，An表示数列｛an｝的n前项和则 3 3、（2006年江西卷）已知数列｛an｝满足：a1＝ ，且an＝ （1） 求数列｛an｝的通项公式； 解：将条件变为：1－ ＝ ，因此｛1－ ｝为一个等比数列，其首项为 1－ ＝ ，公比 ，从而1－ ＝ ，据此得an＝ （n(1）…………1( 练习：设数列 满足下列条件，试求各通项： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 类型Ⅲ： =p +q (p、q均为常数)（二阶递归） =p +q - EMBED Equation.DSMT4 ＝ （ - EMBED Equation.DSMT4 ）∴ 解出 、 因此 ｛ - EMBED Equation.DSMT4 ｝是G.P 特殊地 型 分析：∵ ∴ ∴是以为首项，公比为的等比数列 例1、，， ，求 例2：a1=1，a2= = EMBED Equation.DSMT4 - EMBED Equation.DSMT4 ,求数列｛ ｝的通项公式 。 - ＝（ - ） 解得： ＝1、 ＝ - ＝ （ - ）， a2-a1= ∴ - = ∴ ＝（ - ）+（ - ）+┈+（ a2-a1）+a1= + +┈+ +1=3- . ∴ ＝3- 同式题：已知a1=1, a2=3，an+2=3an+1-2 an ， 求an 双数列型 解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例7. 已知数列中，；数列中，。当时，，求。 解：因 所以 即 又因为 所以 即 由<1>、<2>得： 例9．数列 中， 且满足 EMBED Equation.3 ⑴求数列 的通项公式； ⑵设 ，求 ； ⑶设 = EMBED Equation.3 ，是否存在最大的整数 ，使得对任意 ，均有 EMBED Equation.3 成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。 3、已知数列 中， 是其前 项和，并且 ， ⑴设数列 ，求证：数列 是等比数列； ⑵设数列 ，求证：数列 是等差数列； ⑶求数列 的通项公式及前 项和。 分析：由于{b }和{c }中的项都和{a }中的项有关，{a }中又有S =4a +2，可由S -S 作切入点探索解题的途径． 解：(1)由S =4a ，S =4a +2，两式相减，得S -S =4(a -a )，即a =4a -4a ．(根据b 的构造，如何把该式表示成b 与b 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练) a -2a =2(a -2a )，又b =a -2a ，所以b =2b ① 已知S =4a +2，a =1，a +a =4a +2，解得a =5，b =a -2a =3 ② 由①和②得，数列{b }是首项为3，公比为2的等比数列，故b =3·2 ． （2006年江苏卷）设数列 、 、 满足： ， （n=1,2,3,…）， 　　　证明： 为等差数列的充分必要条件是 为等差数列且 （n=1,2,3,…） 证明： 必要性：设数列 是公差为 的等差数列，则： EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = - =0， ∴ （n=1,2,3,…）成立； 又 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =6 （常数）（n=1,2,3,…） ∴数列 为等差数列。 充分性：设数列 是公差为 的等差数列，且 （n=1,2,3,…）， ∵ ……① ∴ ……② ①－②得： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = ∵ EMBED Equation.3 ∴ EMBED Equation.3 ……③ 从而有 EMBED Equation.3 ……④ ④－③得： ……⑤ ∵ ， ， ， ∴由⑤得： （n=1,2,3,…）， 由此，不妨设 （n=1,2,3,…），则 EMBED Equation.3 （常数） 故 ……⑥ 从而 EMBED Equation.3 ……⑦ ⑦－⑥得： ， 故 EMBED Equation.3 （常数）（n=1,2,3,…）， ∴数列 为等差数列。 综上所述： 为等差数列的充分必要条件是 为等差数列且 （n=1,2,3,…）。 又称派生数列 【高考热点】 1. 所谓派生数列，是指利用一个或几个已知数列产生新数列。例如，从一个数列中按一定的规律抽取一部分项构成一个新数列（子数列）；又如数列 的前n项的和数列 、或由 构成新的数列 、或由两个数列 、 构成新的数列 等等。 2. 派生数列是综合性的问题，一般可转化为等差数列或等比数列，或用数列中的常用思想方法求解。 【课前预习】 1． 若数列 EMBED Equation.DSMT4 是等差数列，则有数列 EMBED Equation.DSMT4 也为等差数列，类比上述性质，相应的，若数列 是等比数列，且 EMBED Equation.DSMT4 ，则有 __________ 也是等比数列。 2． 在等差数列 中，公差 EMBED Equation.3 ，则 （ B ） A．40 B．45 C．50 D．55 3． 在数列{an}中，a1=2，，则a5等于 （ C ） A．12 B．14 C．20 D．22 4． 有限数列 ， 为其前 项和，若定义 为 的“凯森和”如有99项的数列 的“凯森和”为1000，则有100项的数列 的“凯森和”为 （B ） A．1001 B．991 C．999 D．990 5． 已知公差不为零的等差数列的第 、 、 项依次构成等比数列的连续三项，则此等比数列的公比q是 （ ） A． B． C． D． 6．（04北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列 是等和数列，且 ，公和为5，那么 的值为________3______，这个数列的前n项和 的计算公式为_______________ . 【典型例题】 例1 （1）已知数列 ，其中 ，且数列 为等比数列，求常数 ． （2）设 ， 是公比不相等的两个等比数列， ，证明数列 不是等比数列． 例2 Sn是等差数列{an}的前n项和.(n∈N*)． （1） 若数列{an}单调递增，且a2是a1、a5的等比中项，证明： （2） 设{an}的首项为a1，公差为d，且 ，问是否存在正常数c，使 对任意自然数n都成立，若存在，求出c（用d表示）；若不存在，说明理由.（ ） 【本课小结】 【课后作业】 1． 已知数列{a }是首项a1＞0，q＞-1且q≠0的等比数列，设数列{b }的通项b =a －ka （n∈N），数列{a }、{b }的前n项和分别为S 、T ．如果T ＞kS 对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围． 2． 已知抛物线 ，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点 ，又过点 作斜率为 的直线交抛物线于点 ，再过 作斜率为 的直线交抛物线于点 ， ，如此继续，一般地，过点 作斜率为 的直线交抛物线于点 ，设点 ． （1） 令 ，求证：数列 是等比数列； 设数列 的前 项和为 ，试比较 与 的大小 数列的通项及递推关系 一、基础题： 1. 数列 的一个通项公式为 2. 数列 的一个通项为 3. 数列 的一个通项为___________________. 4. 的一个通项为___________________. 5. 数列 的一个通项为_______________. 6. 已知数列 满足： ，则 7. 已知数列 中， 且 ，则 8. 已知数列 中， ， ，则 二、解答题： 1. 已知数列 的前 项和满足 ，求通项公式 . 2. 已知数列 的前 项和为 ，根据下列条件，求 .① ；② . 3. 已知数列 满足： ， 求数列的通项 . 4. 在数列 中，已知 ， 且 ，求 的通项公式. 5. 已知数列 中， 是它们的前 项和，并且 EMBED Equation.DSMT4 ， ， ①设 ，求证：数列 是等比数列； ②设 ，求证： 是等差数列； ③求数列 的通项公式及前 项和公式. PAGE 11 _1190986352.unknown _1192020738.unknown _1211440976.unknown _1211663887.unknown _1211664659.unknown _1217328383.unknown _1220106388.unknown _1220106406.unknown _1220106601.unknown _1228474268.unknown _1228474347.unknown _1229691468.unknown _1229691587.unknown _1229692569.unknown _1228474790.unknown _1228474961.unknown _1228474734.unknown _1228474310.unknown _1228474331.unknown _1220106813.unknown _1220106814.unknown _1228474150.unknown _1220106690.unknown _1220106417.unknown _1220106587.unknown _1220106405.unknown _1220106092.unknown _1220106251.unknown _1220106293.unknown _1220106097.unknown _1217332263.unknown _1217332875.unknown _1218464448.unknown _1217332885.unknown _1217333018.unknown _1217332660.unknown _1217332748.unknown _1217332378.unknown _1217332166.unknown _1217332240.unknown _1217328913.unknown _1217329020.unknown _1211664821.unknown _1211893706.unknown _1211893776.unknown _1211893943.unknown _1211894014.unknown _1211894092.unknown _1211893962.unknown _1211893917.unknown _1211664938.unknown _1211665140.unknown _1211665213.unknown _1211665072.unknown _1211664901.unknown _1211664755.unknown _1211664775.unknown _1211664717.unknown _1211664311.unknown _1211664438.unknown _1211664588.unknown _1211664611.unknown _1211664564.unknown _1211664380.unknown _1211664383.unknown _1211664320.unknown _1211664203.unknown _1211664230.unknown _1211664265.unknown _1211664204.unknown _1211664058.unknown _1211664102.unknown _1211663991.unknown _1211663473.unknown _1211663724.unknown _1211663843.unknown _1211663878.unknown _1211663823.unknown _1211663630.unknown _1211663673.unknown _1211663563.unknown _1211663361.unknown _1211663410.unknown _1211663439.unknown _1211442042.unknown _1211476968.unknown _1211663334.unknown _1211476830.unknown _1211441271.unknown _1211441547.unknown _1211441112.unknown _1195242099.unknown _1211435762.unknown _1211437440.unknown _1211437892.unknown _1211440856.unknown _1211440896.unknown _1211438192.unknown _1211437666.unknown _1211437783.unknown _1211437616.unknown _1211436327.unknown _1211436366.unknown _1211436444.unknown _1211436009.unknown _1211436060.unknown _1211435942.unknown _1211435820.unknown _1211431998.unknown _1211435543.unknown _1211435689.unknown _1211435476.unknown _1209744232.unknown _1209746361.unknown _1209752989.unknown _1209753903.unknown _1211431728.unknown _1211431791.unknown _1211431835.unknown _1211431884.unknown _1211431797.unknown _1211375696.unknown _1211375913.unknown _1211375927.unknown _1211375899.unknown _1211375754.unknown _1211375863.unknown _1211375727.unknown _1211375680.unknown _1209753688.unknown _1209753803.unknown _1209753404.unknown _1209751230.unknown _1209752106.unknown _1209752377.unknown _1209751879.unknown _1209751984.unknown _1209751378.unknown _1209747063.unknown _1209747317.unknown _1209747550.unknown _1209747191.unknown _1209746642.unknown _1209745955.unknown _1209746075.unknown _1209746290.unknown _1209746060.unknown _1209744922.unknown _1209745871.unknown 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