2009年特级教师指导 高中数学知识点总结

学科网(ZXXK.COM)-学海泛舟系列资料 上学科网，下精品资料！ 2009年特级教师高考复习方法指导--高中数学知识点总结 1．对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合中元素各表示什么？ 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合，若，则实数的值构成的集合为 答： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3．注意下列性质： （1）集合的所有子集的个数是 （2）若 （3）德摩根定律： 4．你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数的取值范围。 5．可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”（）、“且”（）和“非”（） 若为真，当且仅当均为真 若为真，当且仅当至少有一个为真 若为真，当且仅当为假 6．命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7．对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） 8．函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9．求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数的定义域是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答： 10．如何求复合函数的定义域？ 如：函数的定义域是，，则函数的定义域是_____________。 答： 11．求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 如：，求 令，则，∴，∴， ∴ 12．反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x；②互换x、y；③注明定义域） 如求函数的反函数 答： 13．反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性； ③设的定义域为，值域为，，，则，∴ 14．如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？ （外层），（内层），则 当内、外层函数单调性相同时，为增函数，否则为减函数 如：求的单调区间。 设，由，则且，，如图 当时，，又，∴ 当时，，又，∴ ∴……） 15．如何利用导数判断函数的单调性？ 在区间内，若总有，则为增函数。（在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？ 如：已知，函数在上是单调增函数，则的最大值是 A．0 B．1 C．2 D．3 令，则或， 由已知在上是增函数，则，即，∴的最大值为3 16．函数具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （定义域关于原点对称） 若总成立为奇函数函数图像关于原点对称 若总成立为偶函数函数图像关于轴对称 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 （2）若是奇函数且定义域中有原点，则 如：若为奇函数，则实数 ∵为奇函数，，又，∴，即，∴ 又如：为定义在上的奇函数，当时，，求在上的解析式。 令，则， 又为奇函数，∴ 又，∴ 17．你熟悉周期函数的定义吗？ 若存在实数，在定义域内总有，则为周期函数，T是一个周期。 如：若，则 答：是周期函数，为的一个周期。 又如：若图像有两条对称轴，即，，则是周期函数，为一个周期 如图： 18．你掌握常用的图象变换了吗？ 与的图像关于轴对称 与的图像关于轴对称 与的图像关于原点对称 与的图像关于直线对称 与的图像关于直线对称 与的图像关于点对称 将图像 注意如下“翻折”变换： 如： 作出及的图像 19．你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ （1） （2）反比例函数：推广为是中心的双曲线。 （3）二次函数的图像为抛物线 顶点坐标为，对称轴 开口方向：，向上，函数 ，向下， 应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程，时，两根为二次函数的图像与轴的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。 ②求闭区间［m，n］上的最值。 ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。 如：二次方程的两根都大于，一根大于，一根小于 （4）指数函数： （5）对数函数： 由图象记性质！（注意底数的限定！） （6）“对勾函数” 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？ 20．你在基本运算上常出现错误吗？ 指数运算：，，， 对数运算： 对数恒等式： 对数换底公式： 21．如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法） 如：（1），满足，证明为奇函数。 先令，再令 （2），满足，证明为偶函数。 先令，∴， ∴ （3）证明单调性： 22．掌握求函数值域的常用方法了吗？ （二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。） 如求下列函数的最值： （1） （2） （3） （4）（设） （5） 23．你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？ 24．熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义 如：若，则的大小顺序是 又如：求函数的定义域和值域。 ∵，∴ ∴ 25．你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？ HYPERLINK "http://www.ks5u.com" 对称点为 的增区间为，减区间为，图像的对称点为，对称轴为 的增区间为，减区间为，图像的对称点为，对称轴为 的增区间为 26．正弦型函数的图像和性质要熟记。（或） （1）振幅，周期 若，则为对称轴；若，则为对称点，反之也对 （2）五点作图：令依次为，求出与，依点（，）作图象。 （3）根据图像求解析式。（求值） 如图列出，解条件组求值 正切型函数 27．在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。 如：，求值。 ∵，∴，∴，∴ 28．在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ 如：函数的值域是 时，，时，，∴ 29．熟练掌握三角函数图象变换了吗？ （平移变换、伸缩变换） 平移公式： （1）点，则 （2）曲线沿向量平移后的方程为 如：函数的图像经过怎样的变换才能得到的图象？ 30．熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？ 如： 称为1的代换。 “”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，“奇”、“偶”指k取奇、偶数。 如： 又如：函数，则的值为 A．正值或负值 B．负值 C．非负值 D．正值 ，∵ 31．熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系： ， ， 应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。） 具体方法： （1）角的变换：如 （2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式 （4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。 如：已知，，求的值。 由已知得：，∴ 又， ∴ 32．正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？ 余弦定理： （应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。） 正弦定理： ∵，∴，∴ 如：中， （1）求角 （2）若，求的值 （1）由已知得 又，∴，∴或（舍） 又，∴ （2）由正弦定理及得 ，∴ 33．用反三角函数表示角时要注意角的范围。 反正弦： 反余弦： 反正切： 34．不等式的性质有哪些？ （1） （2） （3） （4） （5） （6）或 如：若，则下列结论不正确的是 A． B． C． D． 答案：C 35．利用均值不等式： 求最值时，你是否注意到“”且“等号成立”时的条件，积（）和（）其中之一为定值？（一正、二定、三相等） 注意如下结论： ，当且仅当时等号成立 ，当且仅当时等号成立 ，则 如：若的最大值为 设，当且仅当成立， 又，∴时， 又如：，则的最小值为 ∵，∴最小值为 36．不等式证明的基本方法都掌握了吗？ （比较法、 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。 如：证明 37．解分式不等式的一般步骤是什么？ （移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。） 38．用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始 如： 39．解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 如：对数或指数的底分或讨论 40．对含有两个绝对值的不等式如何去解？ （找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。） 如：解不等式 解集为 41．会用不等式证明较简单的不等问题 如：设，实数满足，求证： 证明： 又，∴，∴ （按不等号方向放缩） 42．不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如：恒成立的最小值 恒成立的最大值 能成立的最小值 如：对于一切实数，若恒成立，则的取值范围是 设，它表示数轴上到两定点和3距离之和 ，∴，即 或者：，∴ 43．等差数列的定义与性质 定义：（为常数）， 等差中项：成等差数列 前项和 性质：是等差数列 （1）若，则 （2）数列仍为等差数列，仍为等差数列 （3）若三个成等差数列，可设为 （4）若是等差数列，为前项和，则 （5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数） 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项， 即：当，解不等式组可得达到最大值时的值。 当，由可得达到最小值时的值。 如：等差数列，，则 由，∴ 又，∴ ∴，∴ 44．等比数列的定义与性质 定义：（为常数，）， 等比中项：成等比数列，或 前项和：（要注意！） 性质：是等比数列 （1）若，则 （2）仍为等比数列 45．由求时应注意什么？ 时，，时， 46．你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ 例如：（1）求差（商）法 如：数列，，求 解：时，，∴ ① 时， ② ①—②得：，∴，∴ ［练习］数列满足，求 注意到，代入得 又，∴是等比数列， 时， （2）叠乘法 如：数列中，，求 解：，∴ 又，∴ （3）等差型递推公式 由，求，用迭加法 时，两边相加得 ∴ ［练习］数列中，，求 （4）等比型递推公式 （为常数，） 可转化为等比数列，设 令，∴，∴是首项为为公比的等比数列 ∴，∴ ［练习］数列满足，求 （5）倒数法 如：，求 由已知得：，∴ ∴为等差数列，，公差为，∴， ∴ 47．你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？ 例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 如：是公差为的等差数列，求 解：由 ∴ ［练习］ 求和： （2）错位相减法： 若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比。 如： ① ② ①—② 时，，时， （3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。 相加 ［练习］ 已知，则 由 ∴原式 48．你知道储蓄、贷款问题吗？ △零存整取储蓄（单利）本利和计算模型： 若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为： 等差问题 △若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类） 若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足 ∴ p——贷款数，r——利率，n——还款期数 49．解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。 （1）分类计数原理：（为各类 办法 鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载企业年金办法下载企业年金办法下载 中的方法数） 分步计数原理：（为各类办法中的方法数） （2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列，所有排列的个数记为 ，规定 （3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合，所有组合的个数记为 ，规定 （4）组合数性质： 50．解排列与组合问题的规律是： 相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。 如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩，且满足，则这四位同学考试成绩的所有可能情况是 A．24 B．15 C．12 D．10 解析：可分成两类： （1）中间两个分数不相等 有（种） （2）中间两个分数相等 相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种， ∴有10种。∴共有5＋10＝15（种）情况 51．二项式定理 二项展开式的通项公式：，为二项式系数（区别于该项的系数） 性质： （1）对称性： （2）系数和：， （3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第项，二项式系数为；为奇数时，为偶数，中间两项的二项式系数最大，即第项及第项，其二项式系数为 如：在二项式的展开式中，系数最小的项系数为（用数字表示） ∵，∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第或第7项 由，∴取，即第6项系数为负值为最小 又如：，则 （用数字作答） 令，得；令，得 ∴原式 52．你对随机事件之间的关系熟悉吗？ （1）必然事件，不可能事件 （2）包含关系：，“发生必导致发生”称包含 （3）事件的和（并）：或，“与至少有一个发生”叫做与的和（并）。 （4）事件的积（交）：或，“与同时发生”叫做与的积 （5）互斥事件（互不相容事件）： ，“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。 （6）对立事件（互逆事件）：，“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件 （7）独立事件：A与B独立，A与，与也相互独立，A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 53．对某一事件概率的求法： 分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即 （2）若互斥，则 （3）若相互独立，则 （4） （5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生次的概率： 如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。 （1）从中任取2件都是次品： （2）从中任取5件恰有2件次品： （3）从中有放回地任取3件至少有2件次品： 解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103 而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”， ∴ （4）从中依次取5件恰有2件次品： 解析：∵一件一件抽取（有顺序），∴，∴ 分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。 54．抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。 55．对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。 要熟悉样本频率直方图的作法： （1）算数据极差 （2）决定组距和组数； （3）决定分点； （4）列频率分布表； （5）画频率直方图。 其中，频率=小长方形的面积=组距× 样本平均值： 样本方差： 如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。 56．你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。 （2）向量的模——有向线段的长度， （3）单位向量 （4）零向量 （5）相等的向量，在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。 存在唯一实数，使 （7）向量的加、减法如图： （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） 是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一实数对，使得叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 （9）向量的坐标表示 是一对相互垂直的单位向量，则有且只有一对实数，使得，称为向量的坐标，记作：，即为向量的坐标表示。 设，则 若，则， ，两点距离公式 57．平面向量的数量积 （1）叫做向量与的数量积（或内积），为向量与的夹角， 数量积的几何意义：等于与在的方向上的射影的乘积 （2）数量积的运算法则 ① ② ③ 注意：数量积不满足结合律 （3）重要性质：设 ① ②或（，唯一确定） ③ ④ ［练习］ （1）已知正方形，边长为1，，则 答案： （2）若向量，当 时，与共线且方向相同 答案：2 （3）已知均为单位向量，它们的夹角为，那么 答案： 58．线段的定比分点 设，分点，设是直线上两点，点在上且不同于，若存在一实数，使，则叫做分有向线段所成的比（，在线段内，，在线段外），且，为线段中点时， 如： 则重心的坐标是 ※．你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？ 59．立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化： 线面平行的判定： 线面平行的性质： 三垂线定理（及逆定理）： ，为在内射影，，则 线面垂直： 面面垂直：， 60．三类角的定义及求法 （1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90° （2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90° （3）二面角：二面角的平面角 三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。 三类角的求法： ①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义，并指出所求作的角。 ③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 ［练习］ （1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。证明： 为线面成角， （2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。 ①求BD1和底面ABCD所成的角； ②求异面直线BD1和AD所成的角； ③求二面角C1—BD1—B1的大小。 （3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。 ∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线…… 61．空间有几种距离？如何求距离？ 点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。 将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。 如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则： （1）点C到面AB1C1的距离为___________； （2）点B到面ACB1的距离为____________； （3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________； （4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________； （5）点B到直线A1C1的距离为_____________。 62．你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱 正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。 正棱锥的计算集中在四个直角三角形中： 和 它们各包含哪些元素？ （—底面周长，为斜高）， 63．球有哪些性质？ （1）球心和截面圆心的连线垂直于截面 （2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。 （4） （5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。 如：一正四面体的棱长均为，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为 A． B． C． D． 答案：A 64．熟记下列公式了吗？ （1）直线的倾斜角，，是上两点，直线的方向向量 （2）直线方程： 点斜式：（存在） 斜截式： 截距式： 一般式：（不同时为零） （3）点到直线：的距离 （4）到的到角公式：；与的夹角公式： 65．如何判断两直线平行、垂直？ ，（反之不一定成立） ， 66．怎样判断直线l与圆C的位置关系？ 圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。 67．怎样判断直线与圆锥曲线的位置？ 联立方程组关于（或）的一元二次方程“” 相交；相切；相离 68．分清圆锥曲线的定义 第一定义 第二定义： 椭圆；双曲线；抛物线 69．与双曲线有相同焦点的双曲线系为 70．在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。） 弦长公式 71．会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？ 如： ， 通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。 72．有关中点弦问题可考虑用“代点法”。 如：椭圆与直线交于两点，原点与中点连线的斜率为，则的值为 答案： 73．如何求解“对称”问题？ （1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。 由，只要证明也在曲线上，即 （2）点关于直线对称 74．圆的参数方程为（为参数） 椭圆的参数方程为（为参数） 75．求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。 直接法、定义法、转移法、参数法 76．对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� 学科网-学海泛舟系列资料 版权所有@学科网 _1280758642.doc y O x �EMBED Equation.2��� �EMBED Equation.2��� _1179226579.unknown _1179226597.unknown _1280922207.doc D C A B D1 C1 A1 B1 _1280924624.doc F k e>1 e=1 00) O k x1 x2 x _1280758555.doc y y=ax(a>1) (01) 1 O 1 x (00) y=b O’(a,b) O x x=a _1144138934.psd 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