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广东省2009届高三数学一模试题分类汇编(集合、圆锥曲线、立体几何等)

广东省2009届高三数学一模试题分类汇编(集合、圆锥曲线、立体几何等)广东省2009届高三数学一模试题分类汇编(集合、圆锥曲线、立体几何等) 广东省2009届高三数学一模试题分类汇编——集合与常用逻辑用语一、选择题 1、（2009广州一模）已知全集U=R，集合A={x|x2－x=0}，B={x|－1

广东省2009届高三数学一模试题分类汇编(集合、圆锥曲线、立体几何等) 广东省2009届高三数学一模试题分类汇编——集合与常用逻辑用语一、选择题 1、（2009广州一模）已知全集U=R，集合A={x|x2－x=0}，B={x|－1|AM|， ……3分 ∴圆心CD的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为(a>b>0)，则a=4，c=2， ∴b2=a2－c2=12，∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为. ……5分 (2)由消去y 化简整理得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2－48=0，设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1+x2=. △1=(8km)2－4(3+4k2) (4m2－48)>0. ① ……7分由消去y 化简整理得：(3－k2)x2－2kmx－m2－12=0，设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则x3+x4=. △2=(－2km)2+4(3－4k2) (m2+12)>0. ② ……9分 ∵，∴ (x4－x2 )+ (x3－x1) =0，即x1+x2= x3+x4， ∴，∴2km=0或，解得k=0或m=0， ……11分当k=0时，由①、②得， ∵m∈Z，∴m的值为－3，－2，－1，0，1，2，3；当m=0时，由①、②得， ∵k∈Z，∴k=－1，0，1. ∴满足条件的直线共有9条. ……14分 2、（2009广东三校一模）知定点和定直线，是定直线上的两个动点且满足,动点满足∥，∥（其中为坐标原点）.www.ks5u.com (1)求动点的轨迹的方程; (2)过点的直线与相交于两点 ①求的值; ②设,当三角形的面积时,求的取值范围. 解：(1)设 (均不为), 由 ∥ 得,即 2分由∥得,即 2分得动点的轨迹的方程为 6分（2）①由（1）得的轨迹的方程为，, 设直线的方程为,将其与的方程联立,消去得. 8分设的坐标分别为,则. , 9分故 10分 ②解法一：，即又 , . 可得 11分故三角形的面积, 12分因为恒成立，所以只要解. 即可解得. 14分解法二：，，（注意到）又由①有，，三角形的面积（以下解法同解法一） 3、（2009东莞一模）设椭圆的左右焦点分别为、，是椭圆上的一点，且，坐标原点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的一点，过点的直线交轴于点，交轴于点，若，求直线的斜率．解：（Ⅰ）由题设知由于，则有，所以点的坐标为……..2分故所在直线方程为…………3分所以坐标原点到直线的距离为，又，所以，解得：.………….5分所求椭圆的方程为.…………7分（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线斜率为，则直线的方程为，则有.……9分设，由于、、三点共线，且. 根据题意得,解得或.…………12分又在椭圆上，故或，解得,综上，直线的斜率为或 …………14分 4、（2009番禺一模）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，点到抛物线准线的距离等于5，过作垂直轴于点，线段的中点为. （1）求抛物线方程；（2）过点作，垂足为，求点的坐标；（3）以点为圆心，为半径作圆，当是轴上一动点时，讨论直线与圆的位置关系．解：（1）抛物线的准线 ∴所求抛物线方程为 ………………3分（2）∵点A的坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2），又∵F（1，0）， ∴ 则FA的方程为y=（x－1），MN的方程为解方程组 ………………7分（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2. 当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离， ……………9分当m≠4时，直线AK的方程为即为 …………………10分圆心M（0，2）到直线AK的距离， …………………11分令时，直线AK与圆M相离； ……………………12分当m=1时，直线AK与圆M相切； …………………13分当时，直线AK与圆M相交. ……………………14分 5、（2009江门一模）如图6，抛物线：与坐标轴的交点分别为、、. ⑴求以、为焦点且过点的椭圆方程； ⑵经过坐标原点的直线与抛物线相交于、两点，若，求直线的方程． ⑴由解得、、----------3分所以，，从而----------5分，椭圆的方程为----------6分 ⑵依题意设：----------7分，由得----------8分依题意得----------11分，解得----------13分所以，直线的方程是或----------14分 6、（2009茂名一模）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：的圆心C。（1）求椭圆的方程；（2）设直线过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线的方程。解：（1）圆C方程化为：，圆心C………………………………………………………1分设椭圆的方程为，则……………………………………..2分所以所求的椭圆的方程是： ………………………………………….6分（2）由（1）得到椭圆的左右焦点分别是，在C内，故过没有圆C的切线……………………………………………….8分设的方程为……………………………………….9分点C到直线的距离为d, 由＝…………………………………………….11分化简得：解得：…………………………………………………………13分故的方程为……………………………14分 7、（2009韶关一模）已知动圆过定点，且与定直线相切. （I）求动圆圆心的轨迹C的方程；（II）若是轨迹C的动弦，且过，分别以、为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明:. 解：（I）依题意，圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线上……2分因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹是………………….5分（II） …………….6分，， ………8分抛物线方程为所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是，，所以， 8、（2009深圳一模）如图，两条过原点的直线分别与轴、轴成的角，已知线段的长度为，且点在直线上运动，点在直线上运动． (Ⅰ) 求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）设过定点的直线与(Ⅰ)中的轨迹交于不同的两点、，且为锐角,求直线的斜率的取值范围．解：（Ⅰ）由已知得直线，：，：， ……… 2分在直线上运动，直线上运动， ,， …………………… 3分由得，即，， …………………… 5分动点的轨迹的方程为． …………………… 6分（Ⅱ）直线方程为，将其代入，化简得， ……… 7分设、，，且， …………………… 9分为锐角，， …………………… 10分即，，　．将代入上式，化简得，． …………………… 12分由且，得． ……………………14分广东省2009届高三数学一模试题分类汇编——立体几何理一、选择题填空题 1、（2009广州一模）.一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm) 如图3所示，则该几何体的侧面积为_______cm2. 80 2（2009广东三校一模）如图，设平面，垂足分别为，若增加一个条件，就能推出. 现有① ②与所成的角相等; ③与在内的射影在同一条直线上;④∥. 那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是个个个个. C 3、（2009东莞一模）如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为 A． B. C. D. A 4、（2009番禺一模）一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（）． A．12 B． C． D．6 C 5、（2009汕头一模）在空间中，有如下命题： ①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β； ③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β； ④若平面α内的三点A, B, C到平面β的距离相等，则α∥β．其中正确命题的个数为（　　）个。 A ．0 　　B ．1　　 C ．2　　 D ．3 B 6、（2009湛江一模）用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，则它的体积的最小值为，最大值为 . （2分），（3分）. 二、解答题 1、（2009广州一模）如图4，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC， AB⊥AC，D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点，连接DE，DF，EF. (1)求证: 平面DEF∥平面ABC； (2)若PA=BC=2，当三棱锥P-ABC的体积的最大值时，求二面角A-EF-D的平面角的余弦值.. (本题主要考查空间中的线面的位置关系、空间的角、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 证明:∵D、E分别是棱PA、PB的中点， ∴DE是△PAB的中位线，∴DE∥AB， ∵DE平面PAB，AB(平面PAB， ∴DE∥平面PAB， ……2分 ∵DE∩DF=D，DE(平面DEF， DF(平面DEF， ∴平面DEF∥平面ABC. ……4分 (2)求三棱锥P-ABC的体积的最大值，给出如下两种解法：解法1：由已知PA⊥平面ABC， AC⊥AB，PA=BC=2， ∴AB2 +AC2 =BC2=4， ∴三棱锥P-ABC的体积为 ……6分 . 当且仅当AB=AC时等号成立，V取得最大值，其值为，此时AB=AC=. 解法2：设AB=x，在△ABC中，(0 表面爬到点C1，所爬的最短路程为. （1）求证：D1E⊥A1D；（2）求AB的长度；（3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角。若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由. 解一：（1）证明：连结AD1，由长方体的性质可知： AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在平面AD1内的射影。又∵AD=AA1=1， ∴AD1⊥A1D ∴D1E⊥A1D1（三垂线定理） 4分（2）设AB=x，∵四边形ADD1A是正方形， ∴小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为如图乙的最短路程为 ………………9分（3）假设存在，平面DEC的法向量，设平面D1EC的法向量，则 …………………12分由题意得：解得：（舍去） ………14分 4、（2009番禺一模）如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，且,若、分别为线段、的中点． (1) 求证：直线// 平面； (2) 求证：平面平面； (3) 求二面角的正切值. .(1)证明：连结，在中//　 ……2分且平面，平面　　 …………………………………………………………………………………………………….4分 (2)证明：因为面面　平面面　　　所以，平面　………………………………………………………………………6分又，所以是等腰直角三角形，且　　　即…………………………………………………………………………………………………………………….8分　　，且、面　　面　　又面　　面面……………………………………………………………..10分 (3)解：设的中点为,连结,,则由(Ⅱ)知面,　面　是二面角的平面角……………………………………….12分中，　　故所求二面角的正切为 ……14分另解：如图,取的中点, 连结,. ∵, ∴. ∵侧面底面,, ∴, 而分别为的中点,∴,又是正方形,故. ∵,∴,. 以为原点,直线为轴建立空间直线坐标系,则有,,,,,. ∵为的中点, ∴. （1）易知平面的法向量为而, 且, ∴ //平面. (2)∵, ∴, ∴,从而,又,, ∴,而, ∴平面平面 (3)由(2)知平面的法向量为. 设平面的法向量为.∵, ∴由可得,令,则, 故,∴, 即二面角的余弦值为,二面角的正切值为. 5、（2009江门一模）如图5，直四棱柱中，是直二面角，是二面角，侧面，． ⑴求三棱锥的体积； ⑵求证平面； ⑶求二面角的平面角的余弦值． ⑴是直四棱柱，所以、分别是二面角、的平面角，，-------1分，又因为，所以-------2分在上底面中，作，垂足为，则是边长为2的正方形，-------3分，所以三棱锥的体积 -------5分 ⑵在三角形中，、、-------6分，所以-------7分又因为是直四棱柱，，从而----8分因为，所以平面-------9分 ⑶由⑴知，以为原点，、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系-------10分，依题意、、、---11分设平面的一个法向量为，依题意 ----12分，设，得----13分，平面的一个法向量为，，所以二面角的平面角的余弦值为-------14分 6、（2009汕头一模）如图，己知∆BCD中，∠BCD = 900，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝600，E、F分别是AC、AD上的动点，且（1）求证：不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC：（2）若平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60°，求的值．（1）证明：因为AB⊥平面ABCD，所以AB⊥CD，又在△BCD中，∠BCD = 900，所以，BC⊥CD，又AB∩BC＝B，所以，CD⊥平面ABC，………………………………………………3分又在△ACD中，E、F分别是AC、AD上的动点，且所以，EF∥CD，总有EF⊥平面ABC：EF平面BEF，所以，不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC…………………………6分（2）解：作BQ∥CD，则BQ⊥平面ABC，所以，BQ⊥BC，BQ⊥BE，又BQ与CD、EF共面，所以，平面BEF∩平面BCD＝BQ，所以，∠CBE为平面BEF与平面BCD所成的二面角的平面角为60°，所以，cos60°＝，所以，2BM＝BE　　①…………………………9分又，所以，＝1－，在∆ABC内作EM⊥BC交BC于M，由＝1－，又在∆BCD中，∠BCD = 900，BC＝CD＝1，所以，BD＝，又在Rt∆ABD中，∠AD B= 600，所以，AB＝，所以，EM＝（1－）　② 又＝，且BC＝1，所以，BM＝　③ 由①②③得：42＝6（1－）2＋2 2－4＋2＝0，＝2－或＝2＋（舍去）＝2－。。。。。。。。。。14分故当若平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60°时， 7、（2009深圳一模）如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形和圆所在的平面互相垂直．已知,．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小； (Ⅲ)当的长为何值时，二面角的大小为？【解】（Ⅰ）证明：平面平面,, 平面平面=，平面．平面，，又为圆的直径，，平面．平面，平面平面． …………………4分（Ⅱ）根据（Ⅰ）的证明，有平面，为在平面上的射影，因此，为直线与平面所成的角． ………………………5分，四边形为等腰梯形，过点作，交于． ,，则．在中，根据射影定理，得．………………………7分，．直线与平面所成角的大小为． …………………8分 (Ⅲ)（解法一）过点作，交的延长线于点，连．根据（Ⅰ）的证明，平面，则，为二面角的平面角，．…………………9分在中，，,． ………………… 10分又四边形为矩形，．．因此，当的长为时，二面角的大小为． …………………12分（解法二）设中点为，以为坐标原点，、、方向分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系（如图）设，则点的坐标为在中，，,．点的坐标为，点的坐标为, ，设平面的法向量为，则,．即令，解得 …………………10分取平面的一个法向量为，依题意与的夹角为，即，解得（负值舍去）因此，当的长为时，二面角的大小为． …………………12分 � EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� 图6 � EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� 图3 俯视图正(主)视图 8 5 5 8 侧(左)视图 8 5 5   A E F B D C 俯视图主视图 A B C P D E F A B C P D E F G A B C P D E F x y z M F E C D B A x D y z C O F B A E x D y z C O F B A E � EMBED PBrush �� EMBED PBrush �� EMBED PBrush �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� 图5 � EMBED \* MERGEFORMAT �� EMBED \* MERGEFORMAT �� EMBED \* MERGEFORMAT �� EMBED \* MERGEFORMAT �� EMBED \* MERGEFORMAT �� EMBED \* MERGEFORMAT �� EMBED \* MERGEFORMAT �� EMBED \* MERGEFORMAT �� EMBED \* MERGEFORMAT �� EMBED \* MERGEFORMAT �� EMBED \* MERGEFORMAT �� EMBED \* MERGEFORMAT �� EMBED \* MERGEFORMAT �� EMBED \* MERGEFORMAT �� EMBED \* MERGEFORMAT �� EMBED \* MERGEFORMAT �� EMBED \* MERGEFORMAT �� EMBED \* MERGEFORMAT �� EMBED \* MERGEFORMAT �� EMBED \* MERGEFORMAT �� EMBED \* MERGEFORMAT �� EMBED \* MERGEFORMAT �� PAGE 26 _1292227523.unknown _1292761390.unknown _1293371771.unknown _1293371883.unknown _1293371794.unknown _1293371640.unknown _1293371750.unknown _1293371448.unknown _1292761189.unknown _1292761264.unknown _1292761288.unknown _1292761215.unknown _1292761137.unknown _1292761166.unknown _1292761073.unknown _1234567936.unknown _1234568017.unknown _1292227361.unknown _1292227451.unknown _1292227488.unknown _1292227424.unknown _1234568021.unknown _1292227176.unknown _1292227315.unknown _1234568023.unknown _1292132132.unknown _1234568022.unknown _1234568019.unknown _1234568020.unknown _1234568018.unknown _1234568013.unknown _1234568015.unknown _1234568016.unknown _1234568014.unknown _1234567938.unknown _1234568012.unknown _1234567937.unknown _1234567932.unknown _1234567934.unknown _1234567935.unknown _1234567933.unknown _1234567930.unknown _1234567931.unknown _1234567929.unknown

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