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hubingxu23
2009-04-15 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《建模doc》,可适用于高等教育领域

马尔可夫链在自然界与社会现象中许多随机现象遵循下列演变规律已知某个系统(或过程)在时刻所处的状态与该系统(或过程)在时刻所处的状态与时刻所处的状态无关。例如微分方程的初值问题描述的物理系统属于这类随机性现象。随机现象具有的这种特性称为无后效性(随机过程的无后效性)无后效性的直观含义:已知“现在”“将来”和“过去”无关。在贝努利过程中设表示第n次掷一颗骰子时出现的点数易见今后出现的点数与过去出现的点数无关。在维纳过程中设表示花粉在水面上作布朗运动时所处的位置易见已知花粉目前所处的位置花粉将来的位置与过去的位置无关。在泊松过程中设表示时间段内进入某商店的顾客数。易见已知时间段内进入商店的顾客数在时间段内进入商店的顾客数等于加上在时间段内进入商店的顾客数而与时刻前进入商店的顾客无关。一、马尔可夫过程定义:给定随机过程。如果对任意正整数任意的任意的S是的状态空间总有则称为马尔可夫过程。在这个定义中如果把时刻看作“现在”时刻是“将来”时刻是“过去”。马尔可夫过程要求:已知现在的状态过程将来的状态与过程过去的状态无关。这就体现了马尔可夫过程具有无后效性。通常也把无后效性称为马尔可夫性。从概率论的观点看马尔可夫过程要求给定时的条件分布仅与有关而与无关。二、马尔可夫链及其转移概率马尔可夫链是参数离散、状态离散的最简单的马尔可夫过程。在马尔可夫链中一般取参数空间。马尔可夫链的状态空间的一般形式是。、马尔柯夫链定义:一个随机序列{X(t),t=,,,…}取值于正整数空间E={,,,……},或者为E的子集如果有:xi∈E={,,,……}i=,,…则称为序列为马尔柯夫(Markov)链。这种序列具有马尔可夫性也叫无后致性。注意:t和i均取整数。、马尔柯夫链的含义:可以这样理解:序列的“将来”只与“现在”有关而与“过去”无关。、马尔柯夫链的状态:马尔柯夫链序列中的某一个符号X(ti)的数值一定为E中的某一个元素xi(或xj)这时称xI(或xj)为随机序列的一个状态Si。、马尔柯夫链的一步转移概率马尔柯夫(Markov)链的统计特性用条件概率(状态转移概率)来描述:习惯上把转移概率记做这称为马氏链的一步转移概率。为马尔柯夫链从状态i变为状态j的条件概率。它满足:(概率的加法公式)pij()(t)≥ij∈E、马尔柯夫链的K步转移概率:其k步转移概率为:为马尔柯夫链从状态i经过k步(k个单位时间)后变为状态j的条件概率:它满足:p(k)ij(t)≥ij∈E、平稳马尔柯夫链的性质:如果马尔柯夫链是平稳的即与时刻无关与t无关我们讨论的马尔柯夫链只是这种最简单的情况。这种平稳马氏链称为齐次马氏链。由于这种齐次马尔柯夫链的转移概率与时间无关因此去掉其时间变量t其中的一步转移概率为k步转移概率为n步转移概率为。定义:向量称为概率向量如果满足:定义:若方阵P的每行都为概率向量则称此方阵为概率矩阵。可以证明如果矩阵A和B皆为概率矩阵则也都是概率矩阵(k为正整数)由所有一步转移概率组成的矩阵称为一步转移概率矩阵表示为:转移矩阵必为概率矩阵且具有以下两个性质:))下面主要学习正则链和吸收链、正则链:这类马氏链的特点是从任意状态出发经过有限次转移都能达到另外的任意状态有如下定义定义一个有n个状态的马氏链如果存在正整数N使从任意状态i经过N次转移都已大于零的概率到达状态则称为正则链。正则链的判断方法:对于概率矩阵P若幂次方的所有元素皆为正数(指的每一元素大于零)则矩阵P称为正规概率矩阵此时马氏链称为正则链或者称马氏链具有遍历性。遍历性的直观含义:一个遍历的马尔可夫链经过相当长的时间后它处于各个状态的概率趋于稳定且概率稳定值与初始状态无关。在工程技术中当马尔可夫链的极限概率分布存在时它的遍历性表示一个系统经过相当长时间后趋于平衡状态这时系统处于各个状态的概率分布即不依赖于初始状态也不在随时间的推移而改变。设系统的极限分布(也是稳态分布)用行向量来表示一步转移概率矩阵为P则有且从而可以解出系统的极限分布(或稳态分布)从状态i出发经k次转移第一次到达状态j的概率称为i到j的首达概率记做于是为由状态i第一次到达状态j的平均转移次数特别的是状态i首次返回的平均转移次数与稳态概率有密切关系即对于正则链马尔可夫链模型:设系统在时所处的初始状态为已知经过k次转移后所处的状态向量则此式即为马尔可夫预测模型。由上式可以看出系统在经过k次转移后所处的状态只取决于它的初始状态和转移概率P。因此对于马氏链模型最基本的问题是构造状态及写出转移矩阵P一旦有了P那么给定初始状态概率就可以用上式计算任意时段的状态概率。、吸收链在马尔可夫链中称的状态i,j为吸收状态。如果一个马尔可夫链中至少包含一个吸收状态并且从每一个非吸收状态出发都可以到达某个吸收状态那么这个马尔可夫链称为吸收链。含有m个吸收状态和(nm)个非吸收状态的吸收链其转移矩阵的标准形式为()其中矩阵R中含有非零元素为m阶单位矩阵。不是概率矩阵它至少存在一个小于的行和且如下定理成立。定理对于吸收链P的标准形式(),可逆记元素全为的列向量则的第i分量是从第i个非吸收态出发到某个吸收状态吸收的平均转移次数。设状态i是非吸收态j是吸收状态那么首达概率实际上是i经n次转移被j吸收的概率而则是从非吸收状态i出发终被吸收状态j吸收的概率记下面的定理给出了计算的方法。定理设吸收链的转移矩阵P表为标准形式(),则例、设马尔可夫链的状态空间一步转移概率矩阵为初始分布为即则用Matlab计算如下:s=P=S=s*P^=()稳态分布T=(t,t,t),TP=T,变换后(P’E)T’=T=()附程序:liyiwm市场占有率模型设有甲、乙、丙三家企业生产同一种产品共同供应家用户各用户在各企业间自由选购但不超出这三家企业也无新的客户。假定在月末经过市场调查得知甲、乙、丙三家企业拥有的客户分别是:户户户而月份用户可能的流动情况如表所示:从到甲乙丙(甲乙丙(假定该产品用户的流动按上述方向继续变化下去(转移概率不变)预测月份三家企业市场用户各自的拥有量并计算经过一段时间后三家企业在稳定状态下该种产品的市场占有率。解:第一步:根据调查资料确定初始状态概率向量这里第二步:确定一次转移概率矩阵此例由用户可能流动情况调查表可知其一步转移概率矩阵为矩阵中每一行的元素代表着各企业保持和失去用户的概率如第一行甲企业保持用户的概率是转移到乙、丙两企业的概率都是甲企业失去用户的概率是+=。第三步:利用马尔可夫链模型进行预测。显然月份三家企业市场占有率为月份三个企业市场用户拥有量分别为:甲:(=户乙:(=户丙:(=户现在假定该产品用户的流动情况按上述方向继续变化下去我们来求三个企业的该种产品市场占有的稳定状态概率。易验证P为正规矩阵设令将上式展开得联立方程式解之得故上述结果表明:如果甲、乙、丙三家企业的市场占有率照目前转移概率状态发展下去那么经过一段时间后三企业的市场占有率分别为%、和显然对于乙、丙两企业而言必须迅速找出市场占有率下降的原因。最佳服务地点选择市汽车出租公司在甲、乙、丙三处开设租车还车处。顾客可在甲、乙、丙三处任意租车和还车。今公司准备在上述三处之一设立汽车维修保养厂。初步确定在汽车集中比较多的一处设置维修保养场。根据统计资料顾客在上述三处还车的概率如表所示试确定在何处设汽车维修保养场。还车的概率还车处租车处甲乙丙甲乙丙解:由题意可知该问题的转移概率矩阵P为:因为的所有元素都大于零所以为正规矩阵。当甲、乙、丙三处租车、还车业务开展一定时期后就会达到平衡条件这样就可以得到一固定概率使得成立即成立上式展开得解上述联立方程式得故由上述计算可知在稳定状态汽车还到甲处得概率为即向甲处还车得概率占出租汽车得一半其余乙、丙处总共也只有一半因此汽车维修保养场设在甲处是最佳得选择。变。钢琴销售的存储策略一家商店根据以往经验平均每周只能售出架钢琴现在经理制定的存储策略是每周末检查库存量仅当库存量为零时才定购架供下周销售否则不定购。试估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大以及每周的平均销售量是多少?问题分析对于钢琴这种商品的销售顾客的到来是相互独立的在服务系统中通常认为需求量近似服从泊松分布其参数可由每周销售架得到由此可以算出不同需求量的概率。周末的库存可能是周初的库存量只有这种状态每周不同的需求将导致周初库存状态的变化于是可用马氏链来描述这个过程。当需求超过库存时就会失去销售机会可以计算这种情况发生的概率在动态过程中这个概率每周是不同的每周的销售量也不同通常采用的办法是在时间充分长以后按稳态情况进行分析和计算。模型假设、钢琴每周需求量服从泊松分布均值为每周架、存储策略是:当周末库存量为零时定购架周初到货否则不订购、以每周初的库存量作为状态变量状态转移具有无后效性。、在稳态情况下计算该存储策略失去销售机会的概率和每周的平均销售量模型建立记第周的需求量为由假设服从均值为的泊松分布即()记第周的库求量为是这个系统的状态变量由假设状态转移概率为()由()式不难算出由此计算状态转移概率得到转移概率矩阵记状态概率根据状态转移具有无后效性的假设有又易验证P是正则链具有稳态分布由可得到该存储策略(第n周)失去销售机会的概率为按照全概率公式有其中的条件概率容易有()式计算当n充分大时可以认为最终得到即从长期看失去销售机会的可能性大约%。在计算该存储策略(第n周)的平均销售量时应注意到当需求超过存量时只能销售掉存量于是同样的当n充分大时用稳态概率代替得到即从长期看每周的平均销售量为架这个数值略小于模型假设中给出的每周平均平均需求量为架。基因遗传豆科植物茎的颜色有绿有黄生猪的毛有黒有白有粗有光人类会出现先天性疾病如色盲等这都是基因遗传的结果基因从一代到下一代的转移是随机的并且具有无后效性因此马氏链模型是研究遗传学的重要工具之一。本节给出的简单模型属于完全优势基因遗传理论的范畴。生物的外部表征如豆科植物茎的颜色人的皮肤或头发由生物体内相应的基因决定。基因分优势基因和劣势基因两种分别用d和r表示每种外部表征由体内的两个基因决定而每个基因都可以是d或者r中的一个于是由三种基因类型即D(dd)H(dr)R(rr)分别称为优种混种和劣种含优种D(dd)和混种H(dr)基因类型的个体外部表征呈优势如豆科植物的茎呈绿色人的皮肤或头发有色素含劣种R基因类型的个体外部特征呈劣势如豆科植物的茎呈黄色人的皮肤或头发无色素。生物繁殖时一个后代随机地继承父亲两个基因中的一个和母亲两个基因中的一个形成它的两个基因一般的两个基因中哪个遗传下去是等概率的所以父母的基因类型就决定了每一后代基因类型的概率。父母基因类型有全是优种DD全是劣种RR,一优种一混种DH(父为D,母为H或者父为H母为D)及DRHHHR共种组合对每种组合简单的计算可以得到其后代各种基因类型的概率如表格所示父母基因类型后代基因类型DDRRDHDRHHHRDHR表格父母基因类型决定后代各种基因类型的概率下面我们就马氏链为工具讨论两个具体的基因遗传模型随机交配这是自然界中生物群体的一种常见的最简单的交配方式。假设一个群体中雄性和雌性的比例相同并且有相同的基因类型分布即雄性中D,H,R的比例和雄性中D,H,R的比例相等。所谓随机交配是指:对于每一个(不论属于D,H或R)的雌性(或雄性)个体都以D,H,R的数量比例为概率与一个雄性(或雌性)个体交配其后代则按照前面所说的方式等概率的继承其父母亲的各一个基因形成它的基因类型。假定在初始一代的群体中三种基因类型的数量比例是D(dd):H(dr):R(rr)=a:b:c,满足abc=,记p=ab,q=bc则群体中优势基因d与劣势基因r的数量比例为d:r=p:q且pq=下面讨论随机交配方式产生的一系列后代群体中的基因类型分布。用分别表示第n代的一个体属于D,H及R基因类型即种状态表示个体属于第i种状态的概率可视为第n代的群体属于第i种基因类型的比例。转移概率可用(一个后代具有基因类型j|母亲具有基因类型i)来计算。在已知母亲基因类型的条件下后代的基因类型取决于父亲的基因类型值得指出的是在计算时与其考虑被随机选择为父亲的种不同基因类型的比例a:b:c不如直接考察从雄性群体中以p:q的比例获得优势基因d和劣势基因r比如(后代为D(dd)|母亲为D(dd))=p(后代为D(dr)|母亲为D(dd))=q(后代为D(rr)|母亲为D(dd))=(后代为D(dd)|母亲为H(dr))=p因为后代需要以的概率从母体获得d,同时以p的概率从雄性群体中获得d(后代为D(dr)|母亲为H(dr))=pq,同样的方法算出后得到转移概率矩阵若初始一代是从种基因类型比例为a:b:c的群体种随机选取的那么初始状态概率为其中a,b,c满足p=ab,q=bc,利用马氏链基本方程可以得到显然这个分布将保持下去这表明在随机交配方式中第一代继承者的基因类型分布为并永远不变。这个结果在遗传学中称HardyWeinberg平稳定律。容易判断这是一个正则链可计算出它的稳态分布为。表明即使初始分布不是从群体中随机选取在随机交配方式下经过足够长时间后种基因类型的分布也趋向上述稳定分布。这个模型得到的结果的正确性已有观察和试验证明。如自然界中通常有p=q=于是种基因类型的平稳分布为而优种D和混种H的外部表征呈优势。据观察豆科植物茎呈绿色(优势表征)的约占与上面的结果相一致。最后考察在随机交配下种基因类型的首次返回平均转移稀疏即平均经过多少代每种基因类型首次回到原来的类型。D,H,R类型的首次返回平均换代数目即一个群体中基因d越多(p越大)基因类型D(dd)的平均换代数目越小。特别当p=q=时D,H,R的平均换代数目分别为(代)(代)和(代)。近亲繁殖:这是指这样一种繁殖方式从同一对父母的大量后代中随机的选取一雄一雌进行交配产生后代如此继续下去考察一系列后代的基因类型的演变情况。与前面的模型不同的是那里讨论后代群体中基因类型的分布只许设置D,H,R三个状态即可这里则需按照随机选取的雄雌配对分析后代配对中基因类型的变化。于是状态应取雄雌种基因类型组合设依次定义为DD,RR,DH,DR,HH,HR构造马氏链模型的关键是写出转移概率它可根据本节开始给出的表看出显然因为父母全为优种D(或劣种R)时后代全是优种(或劣种)随机选取的雄雌配对当然也是。因为配对DH(状态)的后代中D和H各占所以随即选取得配对为DD(状态)的概率是×=(后代配对为DH|父母配对为DH)=P(后代雄性为D雌性为H|父母配对为DH)+P(后代雄性为H雌性为D|父母配对为DH)=××=同理又因配对DH的后代中没有R故对于含有R的状态有其他的可以类似的计算最后得到转移矩阵为容易看出状态(DD)和状态(RR)是吸收态这是一个吸收链。它表明不论最初选取得配对是哪种基因类型组合经过若干代近亲繁殖终将变为DD或RR即变成全是优种或全是劣种而且一旦如此就永远保持下去。为了计算从任一个非吸收态,,,出发平均经过多少代就会被吸收状态,吸收我们首先将矩阵P转化为前面给出的转移矩阵地标准形式得到则M的第行至第行依次代表非吸收态DH,DR,HH和HR由定理对y的各个分量的解释从DH配对的状态出发在近亲繁殖的情况下平均经过代就会被状态DD或RR吸收即全变成优种或劣种。而根据定理被吸收态吸收的概率为矩阵F的第行元素即变成优种和劣种的概率分别为和。从其他状态DRHH和HR出发可以得到相应的结论。上述结果的使用价值在于在农业&畜牧业中常常是纯种(优种或劣种)生物的某些品质(如抗病性)不如混种所以在近亲繁殖情况下大约经过~大就应该重新选种以防品质的下降。练习、某企业根据前一年统计得知该企业共有技术人员名。其中技术员职称的有名助理工程师名工程师(包括高级工程师)名。现若规定技术员每年可由%的人数晋升为助理工程师又有的技术员因各种原因调离该企业余下%的技术员留任其原来岗位。而助理工程师每年要有%留任%晋升工程师%调离。工程师则每年有%留任%调离或退休。同时该企业计划每年向社会招聘名大专学生以补充技术员队伍。现要求预测今后年内该企业技术人员总的拥有量及各类技术人员的分布情况假定年内人员晋升、流动情况按上述比例不变。、将钢琴销售的存储策略修改为:当周末库存量为或时订购使下周初的库存量达到架否则不订购建立马氏链计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。解:仍以第n周初的库存量为状态需求概率不变容易算出状态转移概率矩阵为稳态概率分布为稳态下失去销售机会的概率p=每周的平均销售量R=、老K公司生产的某家电产品与其他两家生产同类产品的A公司和B公司相竞争。现计划用加强广告宣传的方法以增加改产品的市场占有率。今拟定了两个广告宣传方案和公司决策人在两个条件相同(指初始市场占有率和初始转移概率矩阵相同)的地区试用这两个广告方案试验结果得到不同的转移概率矩阵。今已知市场占有率的全国水平是:老K公司产品为%A公司产品为%B公司产品为%。求解下述问题:()用初始转移概率矩阵确定在稳定(平衡)时该两试验地区市场占有率是否接近全国水平?()假定两个广告宣传方案和成本相同在稳定(平衡)时哪种广告宣传能有最高的市场占有率?已知初始转移概率矩阵为:KAB广告推出后的转移概率矩阵为:KAB广告推出后的转移概率矩阵为:KAB、某供应特需商品的商店每周再周末营业一天该店对某种不经常有人购买的商品库存采用下述订货策略:如结存件或件时则一次定购件如结存超过件时就不定购。凡在周末停止营业时定购的商品是为了准备在下周末出售。这一订货策略保证商品的初始库存量只能是件、件或件。又根据统计该商品每周的需求量为件的概率分别为和试建立一个转移概率矩阵用以说明由本周初始库存状态转为下周初始状态的概率。在达到稳定条件下确定库存量为的概率。PAGEunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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新课改视野下建构高中语文教学实验成果报告(32KB)

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