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23．证明
证：画出左式积分区域D
＝
＝右式
24．设
为连续函数且
，其中D：
所围闭区域，证明：
解：(1)画出积分区域D
(2)
二重积分是一个确定常数
EMBED Equation.DSMT4
(3)A＝
＝
＝
移项
得 A＝
故
第十七讲：数项级数的敛散性的强化练习
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分）
1．若
则常数项级数
（ D ）
A．发散 B.条件收敛
C．绝对收敛 D .不一定收敛
解：
，但
发散；
，但
收敛 选D
2．设
收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ）
A．
B.
C．
D．
解：
＝2008
EMBED Equation.DSMT4 由性质
收敛
3．下列级数中一定收敛的是…( A )
A．
B．
C．
D．
解：
，取
EMBED Equation.DSMT4 ，且
收敛，由比较法
收敛
4．下列级数条件收敛的是……（ C ）
A．
B．
C．
D．
解：（1）
发散（
）（2）
为莱布尼兹级数收敛，选C
5．级数
（k>0）…（ B ）
A．发散 B．绝对收敛
C．条件收敛 D．敛散性与K相关
解：
取
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 且
收敛，故选B
6．设正项极数
则（D）
A..当0
1时级数发散
D.当p<1时级数收敛，p>1时级数发散
解：当P<1时级数收敛，当P>1时级数发散，当P＝1时失效。故选D
二、填空题（每小题4分，共24分）
7．若
则常数项级数
一定是 （发散）
解：若
收敛，则
。由逆否命题知：若
则
发散
8．当
收敛时，则P>4
解：由p一级数的敛散性知，当P–3 >1时级数收敛，故P>4
9．级数
的前9项的和
＝
解:
＝
＝
＝
10．
的和S=
解：
11．若数项级数
收敛，则r的取值范围是 －10），则a的取值范围是
解：
＝
三、计算题（每小题8分，共64分）
13．判别
的敛散性解：
=
＝
取
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 且
收敛
由比较法的极限形式知
也收敛
14．判别
的敛散性
解：（1）当
时，
~
(2)
＝1，且
收敛（p=2>1）
由比较法的极限形式知，
也收敛
15．判别
的敛散性
解法：（1）这是正项级数
EMBED Equation.DSMT4 <
且
，收敛
由比较法非极限形式知
收敛
解法（2）
EMBED Equation.DSMT4 收敛，
收敛
由性质知
也收敛
16．判别
解：这是正项级数
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ＝
＝
<1
由此值判别法知
也收敛
17．判别
解：（1）这是正项级数且含有
,
,
用比值法
（2）
EMBED Equation.DSMT4 ＝
EMBED Equation.DSMT4 ＝
EMBED Equation.DSMT4 ＝
EMBED Equation.DSMT4 由比值法知
收敛
18．判别
解：（1）
＝
取
（2）判别
的收敛性
EMBED Equation.DSMT4 ＝
＝
EMBED Equation.DSMT4 <1
EMBED Equation.DSMT4 收敛
（3）综合（1）（2）有
收敛，故原级数收敛
19．判别
，若收敛，是绝对收敛或条件收敛
解：（1）这是任意项极数
（2）
EMBED Equation.DSMT4 （
）
且
收敛
EMBED Equation.DSMT4 收敛
故
绝对收敛
20．
，若收敛，是绝对收敛或条件收敛
解：（1）
＝
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ＝1且
发散
EMBED Equation.DSMT4 发散
EMBED Equation.DSMT4 为交错级数
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
令
（
）
即有
>
故原级数条件收敛
四、综合题（每小题10分，共20分）
21．讨论级数
在01三种条件下的敛散性
解：（1）当01三种条件下的敛散性
解：（1）当01）
由比较法知
也收敛
（2）当a=1时，
＝
收敛（p＝2>1）
（3）当a>1时，
由此值判别法知
发散 综合：当
收敛，当
EMBED Equation.DSMT4 发散
五、证明题（每小题9分，共18分）
23．若正项极数
收敛，证明：
也收敛（反之不成立）
证明：（1）
EMBED Equation.DSMT4 收敛
当n充分大时，有：0<
<1故有
（n充分大时）
（2）
EMBED Equation.DSMT4 且
收敛由比较法
也收敛
注：反之不成立如
收敛但
发散
24．若
收敛，
收敛，证明：
也收敛
证：（1）
EMBED Equation.DSMT4
（2）
EMBED Equation.DSMT4 且
EMBED Equation.DSMT4 由此比较法知
也收敛 即
也收敛
选作题：设
>0
收敛，且
存在。证明
＝0（提示：用反证法）
证：反证法：设
且
存在
又
EMBED Equation.DSMT4 发散，由此比较法的极限形式知：
也发散 这与
的题设矛盾
故有
＝0
第十八讲：幂级数收敛域把函数展成幂级数的强化练习题参考答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分）
1若
收敛半径为
，
的收敛半径为
（
<
）则
的收敛半径为……（ D）
A、
＋
B、
C、
D
解：
的收敛半径是
收敛半径为
，
的收敛半径为
中较小的 即
2．若
在
收敛，则在
内，
……（A）
A、绝对收敛 B、条件收敛
C、发散 D、可能收敛也可能发散
解：由定理知，若
在
收敛则
在
内绝对收敛 选A
3．把
（其中
）时，其收敛半径R＝（A）
A．
B．
C．
D．
解：
EMBED Equation.DSMT4 ＝
EMBED Equation.DSMT4 <1
R＝
选A
4．
的收敛区间（考虑端点）是 （C）
A．（－1，1） B．[-1,1]
C．
D．
解：（1）
的半径
；
的半径
故R＝
；
（2）在
EMBED Equation.DSMT4 发散，
收敛 故原级数在
发散 选C
5．设
，则
＝（A）
A．
B．
C．
D．
解：（1）
EMBED Equation.DSMT4 ＝
故选A
6．幂级数
在
的和函数
＝（ B）
A．
B．
C．
D．
解：令
故选B
二、填空题（每小题4分，共24分）
7．幂级数
解：
收敛半径
8．幂级数
在x＝－3处条件收敛，则该级数的收敛半径R＝
解：
级数在x＝－3条件收敛，
当
绝对收敛当
级数发散 故R＝3
9．幂级数
的收敛半径
解：
，
<3
<
故R＝
10．幂级数
＝
解：
EMBED Equation.DSMT4
故
＝
11．
)展成
的幂级数，则
=
解：
＝
收敛域
12．将
展成
幂级数，则
＝
解：（1）
（2）收敛区间
三、计算题（每小题8分，共64分）
13．求
的收敛半径与收敛域
解：（1）
收敛半径R＝2
（2）当
＝－2时，
发散
当
＝2时，
收敛（莱布尼兹级数）
（3）收敛域为
14．求
的收敛半径与收敛域
解：（1）
收敛半径R＝3 有
即
（2）当
＝5时，
发散（调和级数）
当
时，
收敛（莱布尼兹级数）
（3）级数的收敛域为
15．求
的收敛半径与收敛域
解：（1）
，
， R＝2
（2）当
时
发散
（3）级数的收敛域（－2，2）
16．将
展成（
）幂级数（
）
解：（1）变形
（2）展开
（3）收敛域（即收敛区间）
<1
17．将
展开成x的幂级数
解：解法（1）
＝
收敛域：
解法（2）
（
）
18．将
展开成
的幂级数
解：（1）变形
（2）展开：
（3）收敛区间
故有收敛区间
19．将
解：（1）变形
＝
（2）展开
（3）收敛域（即收敛区间）
20利用逐项积分将
展开成麦克劳林级数，并求其收敛域
解：（1）
＝
（2）当
时
收敛（莱布尼兹级数）
当
时，
收敛 故有收敛域
四、证明题（本题8分）
21．利用
的麦克劳林展开式，证明：
证：（1）令
(2)
收敛区间：
（3）令
移项：
证毕
五、综合题（每小题10分，共30分）
22．求幂级数
的收敛域
解：（1）变形：原式=
（2）
（3）当
时，
发散
当
时，
发散
故级数的收敛区间：
23．将
的幂级数
解：（1）变形：
EMBED Equation.DSMT4
（2）展开：
（3）收敛区间：
收敛区间
24．将
展开成x的幂级数，并由此求
之值
解：（1）
原式=
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
收敛区间为
（2）求
之值
令
，
=
故有
=1
选作题 ：将
展开成x的幂级数
解：
收敛区间：
，故收敛区间：
第十九讲:一阶微分方程、可降阶微分方程的强化练习题答案
一 、单项选择题（每小题4分，共24分）
1．微分方程
是 （B）
A．一阶线性方程 B．一阶齐次方程
C．可分离变量方程 D．二阶微分方程
解:变形
原方程是一阶齐次方程,选B
2．下列微分方程中，是可分离变量的方程是 （C）
A．
B．
C．
D．
解:
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
是可分离变量方程,选C
3．
的通解是 （B）
A．
B．
C．
D．
解：
选B
4．
满足
的特解是（A）
A．
B．
C．
D．
解：
由
得
,
故
选A
5．
满足
的特解
是 （ B ）
A．
B．
C．
D．
解：
由
,知
故特解为
选B
6．可降阶微分方程
的通解是 （D）
A．
B．
C．
D．
解：(1)方程不显含
:令
,
,
.
选D
二、 填空题
7．
的通解是
解：令
.
，
8．
满足
的特解
是
解：(1)
(2)由
特解
9．
满足
的特解是
解：(1)
(2)
特解
10．求
的通解为
解：
,通解
11．
的通解
解：
(可用可分离变量做)
12．
的通解
解：
三、计算题
13． 求曲线
所满足的微分方程.
解： 通过求导,设法消去任意常数
,
这是所求的微分方程
14．求
的通解.
解：(1)判别方程的类型:
可分离变量方程
(2)
.即:
15．求
满足
的特解.
解：(1)
可分离变量方程
(2)
(3)
,又
.特解
16．求
的通解.
解：(1)
.一阶齐次方程
(2)令
或
为通解.
17．求
满足
的特解.
解：(1)变形:
.一阶线性方程
(2)
(3)
,
特解:
18．求
的通解.
解：(1)变形:
.一阶线性方程.
(2)
故
为所求的通解.
19．求
的通解.
解(1)降阶法:方程不显含
.
令
(2)
.一阶可分离变量方程
∫
EMBED Equation.DSMT4
(3)
20．求
满足
的特解.
解：(1)降阶法,方程不显含
.
令
(2)当
时,
初始条件
EMBED Equation.DSMT4 舍去
当
时,
特解
四、证明题
21．设曲线上任一点
处切线与
直线垂直,且曲线过点
,证明曲线是以原点为圆心,半径为2的圆.
证：(1)列出微分方程,设曲线
,画出示意图.
∵直线OM:
的斜率为
,曲线
切线斜率为
.
∴依题意:
(2)解微分方程:
,由
故有曲线:
证毕
五、综合题
22．有连接
,
两点的一条凸曲线,它位于AB弦的上方,
为该曲线上的任一点,已知该曲线弧与AP之间的面积(如图阴影部分)为
,求该曲线方程.
解：(1)列出方程,设阴影部分面积为S
S=曲边梯形OADPC面积－梯形OAPC面积
一阶线性方程
(2)
通解
(3)
故所求的曲线方程为
23．设
可导,且满足
求
.
解：(1)把积分方程化为微分方程.
=1
且
(2)解微分方程
(3)由
得
故有特解
24．设
,且
,求
的具体表达式
解(1)把偏微分方程化为常微分方程
EMBED Equation.DSMT4
由轮换对称性知:
EMBED Equation.DSMT4
即有
这是可降阶的二阶微分方程.
(2)令
,
,
EMBED Equation.DSMT4
第二十讲:二阶线性微分方程的强化练习题答案
一、单项选择题
1．以
为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 ( )
A．
B．
C．
D．
解：
故有
选D
2．
的通解为 ( )
A．
B．
C．
D．
解：
选D
3．
的待定特解
( )
A．
B．
C．
D．
解：(1)
,
(2)
是特征单根
选B
4．
的待定特解
( )
A．
B．
C．
D．
解：(1)
EMBED Equation.DSMT4 ,
(2)
不是特征根,
5．
的待定特解
( )
A．
B．
C．
D．
解：(1)
,
(2)
是特征单根,
选B
6．若
和
是
(
为常数)的两个特解,则
(
为任意常数)是 ( )
A． 方程的通解 B． 方程的特解
C． 方程的解 D． 不一定是方程的解
解：
是方程的解,选C
(注:若
,
线性无关,则
是方程通解)
二、填空题(每小题4分，共24分)
7．以
为通解的二阶线性常系数齐次微分方程是
解：
重根
,故方程为:
8．
的通解
解：
通解
9．
的待定特解
解：(1)
.
,
(2)
是特征重根,
10．
的待定特解
解：(1)
,
(2)
,
是特征单根,
(3)
,
是特征单根,
故:
11．
的待定特解
解：(1)
(2)
是特征单根,故
12．设
为
的解,
为
的解,则
的通解
解：(1)
,
(2)
,
(3)通解
三、计算题
13．求
的通解.
解：
,
方程的通解:
14．求
的通解(
为常数)
解：
(1)当
时,
(2)当
时,
,
(3)当
时,
15．求
满足
EMBED Equation.DSMT4 ,
的特解.
解：(1)
EMBED Equation.DSMT4
(2)通解
(3)特解:
,
,
,
特解:
16．已知二阶线性常系数齐次方程的特征方程的根为
,求此微分方程.
解：(1)特征方程:
,
EMBED Equation.DSMT4 ,
(2)微分方程:
17．求
的通解.
解：(1)
，
(2)
是特征单根.
代入原方程:
比较系数,得
A=1,B=-1,C=
,
(3)通解:
18．求
的通解.
解：(1)
,
(2)
不是特征根,
代入原方程:
比较系数,A=
,-A-2B=0,
=2B,B=
(3)通解:
19．求
的通解.
解：(1)
(2)
是特征重根,
代入原方程:
故有
(3) 通解:
20．求
的通解.
解：(1)
.
(2)
不是特征根,
代入原方程:
比较系数:
代入(2)
(3)通解:
四、 证明题（本题8分）
21． 设
是
(
为常数)的两个不同的解,证明:
是方程
的解.
证：(1)
是
的解,
(2)
是
的另一个解.
(3)
得:
EMBED Equation.DSMT4 故
是
的解
证毕
五、综合题（每小题10分，共30分）
22．设函数
及
,
所确定。求广义积分
解：(1)
故方程的通解:
(2)求特解:
得
又
又
,
故
，特解
(3)
23．
其
连续,求
的具体表达式.
解：(1)
,
(2)
EMBED Equation.DSMT4 .
不是特征根,
代入
,
通解:
(3)求特解:
故:
答:
24．一潜水艇质量为
,从水面由静止开始下沉,所受阻力与下沉速度成正比(比例系数为
)求下沉深度与时间函数关系
解：(1) 列出微分方程:下沉过程中,作用力为重力
,阻力为
.由牛顿第二定律
，
(2)解微分方程
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 是特征单根,
,
代入微分方程,得
通解:
(3)求特解:
PAGE
89
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