高等数学上册教案

高等数学教案一、课程的性质与任务高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。第一章：函数与极限教学目的与要求18学时1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形。5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6.掌握极限的性质及四则运算法则。7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。第一节：映射与函数一、集合1、集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素1)2)元素与集合的关系：一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。常见的数集：N，Z，Q，R，N+元素与集合的关系：A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作。如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作若作且则称A是B的真子集。空集：2、集合的运算并集：交集：差集：EMBEDEquation.3全集I、E补集：集合的并、交、余运算满足下列法则：交换律、结合律、分配律对偶律(笛卡儿积A×B3、区间和邻域开区间闭区间半开半闭区间有限、无限区间邻域：a邻域的中心邻域的半径去心邻域左、右邻域二、映射1.映射概念定义设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对X中的每一个元素，按法则，在Y中有唯一确定的元素与之对应，则称为从X到Y的映射，记作其中称为元素的像，并记作，即注意：1）集合X；集合Y；对应法则2）每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一3)单射、满射、双射2、映射、复合映射三、函数1、函数的概念：定义：设数集，则称映射为定义在D上的函数记为自变量、因变量、定义域、值域、函数值用、、函数相等：定义域、对应法则相等自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.例：１)ｙ＝２2)ｙ＝3)符号函数4)取整函数（阶梯曲线）5)分段函数2、函数的几种特性1）函数的有界性(上界、下界；有界、无界)有界的充要条件：既有上界又有下界。注：不同函数、不同定义域，有界性变化。2)函数的单调性（单增、单减）在x1、x2点比较函数值与的大小（注：与区间有关）3)函数的奇偶性(定义域对称、与关系决定)图形特点(关于原点、Y轴对称)4)函数的周期性(定义域中成立：)3、反函数与复合函数反函数：函数是单射，则有逆映射，称此映射为函数的反函数函数与反函数的图像关于对称复合函数：函数定义域为D1，函数在D上有定义、且。则为复合函数。(注意：构成条件)4、函数的运算和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算)5、初等函数：1)幂函数：2)指数函数：3)对数函数4)三角函数5)反三角函数，以上五种函数为基本初等函数6)双曲函数注：双曲函数的单调性、奇偶性。双曲函数公式反双曲函数：作业：同步练习册练习一第二节：数列的极限一、数列数列就是由数组成的序列。1）这个序列中的每个数都编了号。2）序列中有无限多个成员。一般写成：缩写为例1数列是这样一个数列，其中，也可写为：可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为1、极限的定义：则称数列的极限为，记成也可等价表述：1）2）极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。二、收敛数列的性质定理1：如果数列收敛，那么它的极限是唯一定理2如果数列收敛，那么数列一定有界定理3：如果且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N时，定理4、如果数列收敛于a那么它的任一子数列也收敛,且收敛于a。第三节：函数的极限一、极限的定义1、在点的极限1）可在函数的定义域内，也可不在，不涉及在有没有定义，以及函数值的大小。只要满足：存在某个使：。2）如果自变量趋于时，相应的函数值有一个总趋势-----以某个实数为极限，则记为：。形式定义为：注：左、右极限。单侧极限、极限的关系2、的极限设：如果当时函数值有一个总趋势------该曲线有一条水平渐近线-----则称函数在无限远点有极限。记为：在无穷远点的左右极限：关系为：二、函数极限的性质1、极限的唯一性2、函数极限的局部有界性3、函数极限的局部保号性4、函数极限与数列极限的关系第四节：无穷小与无穷大一、无穷小定义定义：对一个数列，如果成立如下的命题：则称它为无穷小量，即注：1、的意义；2、可写成；3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码N，使在这个号码以后的所有的号码，相应的与极限0的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。定理1在自变量的同一变化过程（或中，函数具有极限A的充分必要条件是，其中是无穷小。二、无穷大定义一个数列，如果成立：那么称它为无穷大量。记成：。特别地，如果，则称为正无穷大，记成特别地，如果，则称为负无穷大，记成注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。三、无穷小和无穷大的关系定理2在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且则为无穷大即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当时：有注意是在自变量的同一个变化过程中第五节：极限运算法则1、无穷小的性质设和是无穷小量于是：（1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：（2）对于任意常数C，数列也是无穷小量：（3）也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。（4）也是无穷小量：（5）无穷小与有界函数的积为无穷小。2、函数极限的四则运算1、若函数和在点有极限，则2、函数在点有极限，则对任何常数成立3、若函数和在点有极限，则3、若函数和在点有极限，并且，则极限的四则运算成立的条件是若函数和在点有极限例：求下述极限4、复合函数的极限运算法则定理6设函数是由函数与复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若，，且存在，当时，有，则第六节：极限存在准则两个重要极限定理1夹逼定理：三数列、和，如果从某个号码起成立：1），并且已知和收敛，2），则有结论：定理2单调有界数列一定收敛。单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。例：证明：例：证明：有界。求的极限第七节：无穷小的比较定义：若为无穷小且高阶、低阶、同阶、k阶、等价～1、若为等价无穷小则2、若～、～且存在，则：例：第八节：函数的连续性与间断点1、函数在一点的连续性函数在点连续，当且仅当该点的函数值、左极限与右极限三者相等：或者：当且仅当函数在点有极限且此极限等于该点的函数值。其形式定义如下：函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续。函数在区间［a,b］连续时注意端点。注：左右连续，在区间上连续(注意端点)连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线二、间断点若：中有某一个等式不成立，就间断，分为：1、第一类间断点：可去型：但跳跃型：即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。2、第二类间断点：左极限与右极限两者之中至少有一个不存在（无穷型间断点和振荡型间断点）例：见教材第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性1、连续函数的四则运算1.且，EMBEDEquation.32且，EMBEDEquation.33.且，EMBEDEquation.3反函数连续定理：如果函数是严格单调增加（减少）并且连续的，则存在它的反函数：并且也是严格单调增加（减少）并且连续的。注：1）反函数的定义域就是原来的值域。2）通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成复合函数的连续性定理：设函数和满足复合条件EMBEDEquation.3，若函数在点x0连续；，又若函数在点连续，则复合函数在点连续。注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续。第十节：闭区间上连续函数的性质1、最大、最小值设函数：在上有界，现在问在值域中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点的函数值，则记叫做函数在D上的最大值。类似地，如果中有一个最小实数，譬如说它是某个点的函数值，则记称为函数在上的最小值。二、有界性有界性定理：如果函数在闭区间上连续，则它在上有界。三、零点、介值定理最大值和最小值定理：如果函数在闭区间上连续则它在上有最大值和最小值，也就是说存在两个点和，使得亦即若x0使，则称x0为函数的零点零点定理：如果函数在闭区间上连续，且在区间的两个端点异号：则至少有一个零点，使中值定理：如果函数在闭区间上连续，则在上能取到它的最大值和最小值之间的任何一个中间值。作业：见课后各章节练习。第2章导数与微分教学目的与要求22学时1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。4、会求分段函数的导数。5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。一、导数概念（）1、定义　　　左导数右导数∴可以证明：可导→连续。即可导是连续的充分条件。连续是可导的必要条件。左右导数(注：与左右极限关系)2、导数的几何意义曲线在点处切线：　例1：讨论在x=0处可导性解：∵在x=0连续　　　　不存在∴　在x=0不可导例2：已知存在则=例3：设函数可微，则例4：设为使在x=x0处可导，应如何选取常数a、b解：首先必须在x0连续∴　①∵　　存在∴　从而　例5：=x(x-1)(x-2)……(x-9),则∵例6：设在x=0领域内连续，，则∵（分母→0）∴例7：设函数f(1+x)=af(x)，且(a,b≠0)，问存在否?解：　　　　二、导数的求法1、显函数导数求一个显函数的导数需解决：①基本初等函数导数(P64);②导数四则运算法则(P65);③复合函数与反函数求导法则(P66)。定理：在X有导数，在对应点u有导数，则复合函数在X处也有导数，。例1：求解：例2：求解：例3：求解：例4：求解：例5：求解：例6：求解：例7：求解：例8：求解：例9：求解：高阶导数、二阶：例10：，求解：EMBEDEquation.3先讲微分（后页）2、隐函数导数参数方程导数如方程F(x，y)=0确定了y=y(x)，只需方程两边对x求导，注意y=y(x)例10：求下列隐函数的导数（1）设求解：方程两边对x求导，（2）设是由方程所确定的隐函数，求解：由原方程知当x=0时，，方程两边对x求导。，将x=0，代入得：∴(3)是由方程所确定的隐函数,试求,。解:方程两边对x求导：①方程两边再对x求导：②由原方程知，当时，，代入①得再将，，代入②式，得(4)设求解：(5)设是由方程组所确定的函数，求：。解：3、分段函数的导数1)设求：解：当∴不存在，故高阶导数（n阶）略，例2)设在（）上具有二阶连续导数，且，对函数(1)确定的值，使在（）上连续(2)对（1）中确定的，证明在（）上一阶导数连续解：①即当在连续，也就是在（）连续②而在连续,即在连续三、微分一阶微分形式不变（自变量）如(中间变量)例：，，可导可微第三章微分中值定理导数的应用教学目的与要求1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3．用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。4．握用洛必达法则求未定式极限的方法。5．道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。6．了解方程近似解的二分法及切线法。一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲）1．罗尔定理如满足：（1）在连续.（2）在可导.（3）则至少存在一点使例设，则在区间（-1，0）内，方程有2个实根；在（-1，1）内有2个根例设在[0，1]可导，且，证明存在，使。证：设在[a,b]可导，∴存在使即例设在[0，1]可导，且,证明存在。解:设，且由罗尔定理存在使即，亦即例习题6设（复合函数求导）2、拉格朗日中值定理如满足：①在[a,b]连续；②在（a,b）连续，则存在使。推论：⑴如果在区间I上，则⑵如果在区间I上，在Ｉ单增（减）例　对任意满足的x，都有设∵∴∵∴例设，证明求导证明作业：见各章节课后习题。二、洛必达法则未定形：如下的函数极限都是未定形。1、型：如：型：2、型：如：3、型：如：4、型：如：5、型：如：6、型：如：7、型：如：它们的计算不能用函数极限的四则运算法则，且它们只表示类型，没有具体意义。1、（）型的洛必达法则(同理)定理：对函数和，如果：（1）,（2）在某个邻域内（后）有导数和，且；（3）存在（或无穷），则成立：=例：1)2)3)例：1)2)3)(>0)3、其它类型1)2)3)4)解法同3）例：1)2)3)4)三、泰勒公式一、多项式：在点的各阶导数：得：二、泰勒中值定理：如果函数在含有的某个开区间有直到阶的导数，则对任一有：1、（N阶泰勒公式）称为余项。（1）（在与之间）拉格朗日型余项（2）皮亚诺余项。2、当得麦克劳林公式：三、常见函数的泰勒展开1)2)3)四、函数的性态1、极值1）定义：如在邻域内，恒有，，则称为函数的一个极大（小）值。可能极值点，不存在的点与的点。（驻点）驻点←极值点2）判别方法ⅰ、导数变号。ⅱ、，例1、设满足关系式，且,，则在点处AA、取得极大值B、取得最小值C、在某邻域内单增D、在某邻域内单减例2．已知函数对一切满足如，，则AA、是的极小值B、是的极大值C、是曲线的拐点D、不是的极值，也不是曲线的拐点。例3．设函数在的某邻域内可导，，，则是的极大值。2、函数的最大值与最小值（1）求出内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大（小）值。（2）在内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值；如是极大值则为最大值。（3）如分别为最小,最大值。（4）实际问题据题意可不判别。例1、在抛物线上的第一象限部分求一点P，过P点作切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。解：设切点为，切线方程为即∴三角形面积：，令（唯一）∴故为所求点3、曲线的凹凸、拐点及渐近线在I上可导如则曲线是凹（凸）的,在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。可能的拐点和不存在的点例1、设，试讨论的性态。 x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) y’ + 0 - 间断 + 0 + y’’ - - - - 0 + y 单调增上凸 极大值 单减上凸 单增上凸 拐点(1,0) 单增下凸渐近线如则称为水平渐近线如则称为垂直渐近线渐近线可能没有，或多条。例2、求渐近线（斜渐近线不讨论）解：∵∴为水平渐近线∵∴垂直渐近线例2、曲线的渐近线有4条4证明不等式（1）利用中值定理（R，L）；（2）利用函数单调性；（3）利用最值；（4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式；（5）利用函数凹凸性；（6）利用泰勒公式。例1、当，试即证：证：设，在连续，可导，由拉格朗日中值定理即∴例2、设，证明证：设单增，当∴设单增，当EMBEDEquation.3∴例3、当证明证：令令得驻点唯一，∵∴极小∴为最小值即例4、当证明证:设令,驻点唯一当,→在上最大值为,最小值为∴例5、设，证明证明：即证设，时∴单减当即例6、设在上可导，且单调减，证明：，。证：令∵单调减，，∴，即单调减，即作业：见课后习题第四章不定积分教学目的与要求1．理解原函数概念、不定积分和定积分的概念。2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。3．求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。一、一元函数积分的概念、性质与基本定理1、原函数、不定积分在区间Ⅰ上，如，称为的导函数，称为的原函数，原函数与导函数是一种互逆关系。如为的一个原函数，则为的全体原函数。记为，即=不定积积分性质(1)或(2)(3)(4)∵原函数与导函数有互逆关系,∴由导数表可得积分表。例、已知是的一个原函数，求：解：例、的导函数是，则的原函数，(、为任意常数)例、在下列等式中，正确的结果是CA、B、C、D、例、2、计算方法10换元法第一类换元法（凑微分法）常用凑微分形式例：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、EMBEDEquation.311、12、13、14、15、16、17、18、19、解：20、解：21、22、设，则二．第二换元法定理2除了凑微分法外其它常用变量代换(1)被积函数中含有二次根式，令，令，令如是配方例1、令解：原式例2、二种解法（2）被积函数中含一般根式例3、解：令原式例4、令原式例5、解：令原式20分部积分<定理>如、均具有连续的导函数，则例1、例2、例3、EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3例4、例5、例6、例7、例8、例9、例10、例11、30有理函数的积分有理函数的积分方法：→真分式→部分分式部分分式：其中：确定常数的值；再积分。例：1)2)3)4)5)解：令令∴6)40三角有理式积分令7、EMBEDEquation.38、9、设的原函数恒正，且，当，有，求解：由得C=1∴∴例：1)2)3)4)5)作业：见课后习题第五章定积分的概念教学目的与要求：1．解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。2．解广义积分的概念并会计算广义积分。3．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。一、定义及性质<定义>：，注意(1)积分区间有限，被积函数有界；(2)与“分法”、“取法”无关；(3)定积分的值与积分变量的选取无关；(4)在有界是在可积的必要条件，在连续是在可积的充分条件。<几何意义>：在几何上表示介于，，，之间各部分面积的代数和。补充规定<性质>性质（1）—（9）（1---7省略）其中(8)为估计定理：在，，则(9)中值定理：如在连续，，使例1．利用定积分几何意义，求定积分值上式表示介于,,,之间面积例2、（估计积分值）证明证：在上最大值为，最小值为2∴∴二、基本定理牛顿—莱伯尼兹公式10变上限积分基本定理：设在连续，为上任意一点，则是可导函数，且即说明为的一个原函数。例3、已知,,,,，求：解：例4、EMBEDEquation.3例5、有极大值的点为DA.B.C.D.例6、如,则BA.B.C.D.例7、设在上连续，且,证明：若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数。证：20定积分计算1牛顿莱伯尼兹公式<定理>设在连续。为在上的任意一个原函数，则有2定积分换元法与分部积分法30奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质(1)在连续，当为偶数，则当为奇函数，则(2)，以T为周期说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。例9、原式例10、例11、例12、设则A、B、C、D、例13、法一设法二设原式例14、设为连续函数，且求解：设则两边积分∴例15、(、在连续，且求、的表达式。答案：)例16、设，求解：令(∵)∴例17、设求解：例18、已知在上二阶可导，且，及求解：原式例19、设在连续证明：证：右边=例20、设求解：例21、设连续，，且求，并讨论在处连续性解：得令∴∴在连续即在连续例22、试证方程在内有且仅有一实根证：设在连续且：由介值定理，使F(ζ)=0即F(x)=0有根又∵，单增∴根唯一例23、设在，连续试证：内至少一点，使证：设则在可导在上满足罗尔定理条件∴至少存在一点ζ，使即亦即例24、例25：设在EMBEDEquation.3连续，可导，且，证明在内，有证：在单调减，故作业：各章节课后习题。第六章定积分应用1(平面图形面积(ⅰ)直角坐标：例1：求抛物线及其点和处的切线所围成图形的面积解：在点处，，切线方程在点处，，切线方程得交点（ii）极坐标例2、求由曲线所围图形公共部分的面积解：两曲线的交点EMBEDEquation.3+2(旋转体体积由所围平面图形绕轴旋转一周所生成的立体体积，由所围平面图形绕旋转一周所得旋转体体积例3、过点作抛物线的切线，求该切线与抛物线及轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积解：设切点为切线方程(切点在切线上，∴，∴切线方程：30平面曲线弧长(1)曲线：(2)(3)例求下类平面曲线的弧长1.曲线相应于的一段2.心形线的全长3.摆线的一拱解：1.2.EMBEDEquation.33.EMBEDEquation.340向变力沿直线作功,液体的水压力作业见课后练习第七章空间解析几何教学目的与要求14学时1．解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。2．握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。3．解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。4．掌握平面方程和直线方程及其求法。5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。6．会求点到直线以及点到平面的距离。7．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。8．了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程10向量及其线性运算向量：有大小、方向的量。向量相等：大小、方向单位向量、零向量向量的坐标表达式及其运算1)向量的加法、减法满足：交换律、结合律。平行四边形、三角形法。2)向量的数乘满足：结合律、分配律3)两向量平行的充要条件：4)空间直角坐标系(右手坐标系)5)利用坐标作向量的线性运算1)向量的坐标向量表示2)对应坐标运算。例：书上例题。6)向量的模、方向角投影1）的模与两点间的距离公式。例4：1)方向角与方向余弦例：例7、82)向量在轴上的投影1)2)3)20向量的数量积的向量积1）向量积性质：应用：（i）（ii）（iii）例1、习题4，1选择题（1）（2）（3）2填空题（3）（4）（5）例2、解：∴(2)向量积右手定则即注意应用（i）（ii）（iii）如即利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量。例3、习题4，5，2(4)例3、设知量满足，则解：∴30平面及其方程已知平面(过点M0（x0、y0、z0），为(的法矢量。1>点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=02>一般式：Ax+By+Cz+D=0，A、B、C不全为零。3>截距式：，a，b，分别为平面在x轴、y轴、z轴上的截距。⊥⊥∥∥点M0(x0、y0、z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为求通过点P（2,-1,-1），Q（1,2,3）且垂直于平面2x+3y-5z+6=0的平面方程。解：，已知平面的法矢量取所求平面为：9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0即：9x-y+3z-16=0解：(1)解法一：设平面方程：x+By+D=0将点M1(2,-1,0)，M2(3,0,5)分别代入得∴平面方程为：x–y–3=0解法二：，取-(x–2)+(y+1)=0得平面方程：x–y–3=0(2)设平面方程为y+Cz+D=0即∴得∴40直线及其方程<1>空间直线的一般方程L：<2>点向式（对称式）直线过点M0(x0、y0、z0)，为L方向向量则L：<3>参数式L：t为参数L1∥L2∥L1⊥L2⊥50直线与平面关系<1>L∥π⊥即<2>L⊥π∥<3>点P到直线L的距离，L的方向向量，M0为L上一点例3、习题42、(7)、(8)解(7)直线即所求平面法向量由点法式-(x–1)+3(y–2)+(z+1)=0即x–3y–z+3=0（8）设平面方程为，得(点代入平面，得：所求平面<4>平面束方程直线L：则为过直线L的除平面外的平面束方程例一平面过直线L：，且在轴有截距，求它的方程解：过直线L的平面束方程为:即据题意代入平面束方程，得：习题4,2,(9)例已知两直线方程，则过且平行的平面方程是解：过的平面束方程：即由平行∴得所求方程为：例已知平面直线（1）直线和平面是否平行？（2）如直线与平面平行，则求直线与平面的距离，如不平行，则求与的交点。（3）求过直线且与平面垂直的平面方程解：法矢量的方向向量∥,取∵∴不平行解一、得交点（1，0，1）解二、将化为点向式，(在中令，得，即上的一点)，化为参式代入过直线的平面束方程：即∵⊥所求平面：60曲面及其方程常用二次曲面的方程及其图形1、球面：设是球心，R是半径，是球面上任一点，则，即2、椭球面3、旋转曲面设L是x0z平面上一条曲线，L绕z旋转一周所得旋转曲面：得例1、称为旋转抛物面旋转双曲面：，(单)4、椭圆抛物面5、单叶双曲面6、双叶双曲面7、二次锥面圆锥面8、柱面抛物柱面椭圆柱面圆柱面60空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程一般式曲线在三坐标面上投影方程在x0y面上投影曲线方程：在中消去z，再与z=0联立。其他坐标平面上的投影曲线方程求法类似。教学设计、教案和课件的区别一、教学设计是根据教学对象和教学目标，确定合适的教学起点与终点，将教学诸要素有序、优化地安排，形成教学 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 的过程。它是一门运用系统方法科学解决教学问题的学问，它以教学效果最优化为目的，以解决教学问题为宗旨。具体而言，教学设计具有以下特征。1、教学设计是把教学原理转化为教学材料和教学活动的 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 。教学设计要遵循教学过程的基本规律，选择教学目标，以解决教什么的问题。2、教学设计是实现教学目标的计划性和决策性活动。教学设计以计划和布局安排的形式，对怎样才能达到教学目标进行创造性的决策，以解决怎样教的问题3、教学设计是以系统方法为指导。教学设计把教学各要素看成一个系统，分析教学问题和需求，确立解决的程序纲要，使教学效果最优化。4、教学设计是提高学习者获得知识、技能的效率和兴趣的技术过程。教学设计是教育技术的组成部分，它的功能在于运用系统方法设计教学过程，使之成为一种具有操作性的程序。二、教案是教师的教学设计和设想，是一种创造性劳动。写一份优秀教案是设计者教育思想、智慧、动机、经验、个性和教学艺术性的综合体现。我认为教师在写教案时，应遵循以下原则：1、科学性所谓符合科学性，就是教师要认真贯彻课标精神，按教材内在规律，结合学生实际来确定教学目标、重点、难点。设计教学过程，避免出现知识性错误。那种远离课标，脱离教材完整性、系统性，随心所欲另搞一套的写教案的做法是绝对不允许的。一个好教案首先要依标合本，具有科学性。2、创新性教材是死的，不能随意更改。但教法是活的，课怎么上全凭教师的智慧和才干．尽管备课时要去学习大量的参考材料，充分利用教学资源，听取名家的指点，吸取同行经验，但课总还要自己亲自去上，这就决定了教案要自己来写。教师备课也应该经历一个相似的过程。从课本内容变成胸中有案，再落到纸上，形成书面教案，继而到课堂实际讲授，关键在于教师要能”学百家，树一宗”。在自己钻研教材的基础上，广泛地涉猎多种教学参考资料，向有经验的老师请教．而不要照搬照抄，要汲取精华，取去糟粕，对别人的经验要经过一番思考——消化，吸收，独立思考，然后结合个人教学体会，巧妙构思，精心安排，从而写出自己的教案。3、差异性由于每位教师的知识，经验，特长，个性是千差万别的。而教学工作又是一项创造性的工作。因此写教案也就不能千篇一律，要发挥每一个老师的聪明才智和创造力，所以老师的教案要结合本地区的特点，因材施教。4、艺术性所谓教案的艺术性就是构思巧妙，能让学生在课堂上不仅能学到知识，而且得到艺术的欣赏和快乐的体验。教案要成为一篇独具特色”课堂教学散文”或者是课本剧。所以，开头，经过，结尾，要层层递进，扣人心弦，达到立体教学效果。教师的说，谈，问，讲等课堂语言要字斟句酌，该说的一个字不少说，不该说的一个字也不能说，要做到恰当的安排。5、可操作性教师在写教案时，一定从实际出发，要充分考虑从实际需要出发，要考虑教案的可行性和可操作性．该简就简，该繁就繁，要简繁得当。6、考虑变化性由于我们教学面对的是一个个活生生的有思维能力的学生，又由于每个人的思维能力不同，对问题的理解程度不同，常常会提出不同的问题和看法，教师又不可能事先都估计到。在这种情况下，教学进程常常有可能离开教案所预想的情况，因此教师不能死扣教案，把学生的思维的积极性压下去。要根据学生的实际改变原先的教学计划和方法，满腔热忱地启发学生的思维，针对疑点积极引导。为达到此目的，教师在备课时，应充分估计学生在学习时可能提出的问题，确定好重点，难点，疑点，和关键。学生能在什么地方出现问题，大都会出现什么问题，怎样引导，要考虑几种教学方案。出现打乱教案现象，也不要紧张。要因势利导，耐心细致地培养学生的进取精神。因为事实上，一个单元或一节课的教学目标是在教学的一定过程中逐步完成的，一旦出现偏离教学目标或教学计划的现象也不要紧张，这可以在整个教学进度中去调整。三、课件（courseware）是根据教学大纲的要求，经过教学目标确定，教学内容和任务分析，教学活动结构及界面设计等环节，而加以制作的课程软件。它与课程内容有着直接联系。1、课件的长度多媒体课件的内容可多可少、一个大的多媒体课件可以包括一门完整的课程内容，可运行几十课时；小的只运行10-30分钟，也可能更少时间。2、多媒体课件所谓多媒体课件是根据教学大纲的要求和教学的需要，经过严格的教学设计，并以多种媒体的表现方式和超文本结构制作而成的课程软件。3、常用制作方式现在应用最广泛的多媒体课件形式是PPT（用officePowerPoint制作的幻灯片），由于它编辑、播放，各种操作简单易学，而且能够很方便地找到资源，并且根据自己的需要进行改善和加工，对技术的要求相对不高，并且多加钻研也可以有反复多彩的效果，能满足许多需要，因此广受欢迎。其他应用较广的还有Flash和Authorware以及几何画板（数学老师常用）等等4、课件制作的几个原则①教学性 课件的应用必须是能优化课堂教学结构，提高课堂教学效率的。②可操作性 课件的操作要尽量简便﹑灵活﹑可靠，便于教师和学生控制，尽量避免复杂的键盘操作，交互操作层次不应太多。③科学性 课件制作要符合科学性，不要出现知识性的错误。否则用课件还不如做实验，但课件永远不可以取代实验。④简约性 课件的展示的画面应符合学生的视觉心理。要突出重点，同一画面对象不宜太多，避免对学生注意力产生干扰。注意动与静的对比，前景与背景对比，线条的粗细，字符的大小，以保证学生都能充分感知对象。避免多余动作、减少每屏文字显示数量，尽量用配音替代叙述文字，过多的文字阅读容易使人疲劳。⑤艺术性 一个课件的展示不但要追求良好的教学效果，而且应赏心悦目，使人获得美的享受，激发学生的兴趣。⑥信息量 多媒体课的信息量自然比一般教学形式的信息量要大，但不能太大，要适当地留有时间、空间给学生思考、消化。避免因信息量太大产生“电灌效应”。⑦适度使用 “寸有所长，尺有所短”。要注意不同教学媒体的有机结合，优势互补，才能收到事半功倍的教学效果。例如：数学的方程求解、物理的公式推导等，用多媒体课件教学就不一定比教师与学生一起边推导边板书效果好；化学实验教学用多媒体课件有时就不如实际演示实验更直观更有说服力；理论问题、微观世界的活动、宏观世界的变化等，采用多媒体课件则有其明显的优势。 写教案要几个步骤一．课题（说明本课名称）二．教学目的（或称教学要求，或称教学目标，说明本课所要完成的教学任务）三．课型（说明属新授课，还是复习课）四．课时（说明属第几课时）五．教学重点（说明本课所必须解决的关键性问题）六．教学难点（说明本课的学习时易产生困难和障碍的知识点）七．教学过程（或称课堂结构，说明教学进行的内容、方法步骤）八．作业处理（说明如何布置书面或口头作业）九．板书设计（说明上课时准备写在黑板上的内容）十．教具（或称教具准备，说明辅助教学手段使用的工具）在教案书写过程中，教学过程是关键，它包括以下几个步骤：（一）导入新课　１．设计新颖活泼，精当概括。２．怎样进行，复习那些内容？３．提问那些学生，需用多少时间等。（二）讲授新课１．针对不同教学内容，选择不同的教学方法．。２．怎样提出问题，如何逐步启发、诱导？３．教师怎么教学生怎么学？详细步骤安排，需用时间。（三）巩固练习１．练习设计精巧，有层次、有坡度、有密度。２．怎样进行，谁上黑板板演？３．需要多少时间？（四）归纳小结１．怎样进行，是教师还是学生归纳？２．需用多少时间？（五）作业安排１．布置那些内容，要考虑知识拓展性、能力性。２．需不需要提示或解释？如何撰写一份出色的教案教案是备课内容简要而有序的记录,是支持教师上课的 范本 协议范本下载族谱范本下载临帖范本下载公司章程范本下载监理月检范本下载 ,简单说,教案是教师备课的备忘录。新的课程改革环境中,如何撰写教案,才能带动教师的积极性,发挥教案在常规教学中的应有的作用首先，要打破传统教案的固定、僵化模式，允许教案因人、因课程、因教学内容而异，倡导书写个性化、创新性教案。同时要改变教案检查的传统理念和标准，重新界定教案的功能和地位。书写教案的终极目的不是为了迎合检查而是为了促进教师实现个性化的教学；不是苛求环节的完备与否而是充分张扬教师的个性；不是约束教学活动的范式而是促进教学生成的载体。唯其如此，才能调动教师写教案的积极性，提高教学效率。其次，倡导教案“留白”。所谓的教案“留白”，就是指教案的开放性和灵活性。具体来说就是教案的书写在内容上不要过于详尽，形式上不要过于琐碎，结构上不要过于封闭和程式化，而是要体现出内容上的概要性、形式上的模糊性和结构上的不确定性，以便能够适应新情境、容纳新内容、确立新策略，为教学中师生间的互动共振、互生新知、互建新情留有余地。这样的教案能够在备课和课堂教学之间形成一种特殊的“张力”，有利于教师在教学中保持一种宽阔的思路和开放的观念，更容易纳入新的内容，适应新的情境，随时改变原有的设计，实现课堂教学的生态化。教案在教学过程中的作用主要有四点：一是每次教学的基本计划，明确本次教学的目标及教育资源的使用计划；二是教学活动的依据，教学活动必须按教学准备有序有效实施；三是教学研究的成果，教案是对教材、学生、教学方法相结合的研究成果；四是教学实施的工具，教学过程中教案是参照系，可以提示教学内容、重点、难点、目标、思路，帮助教师有效完成每一次教学。教师写好教案应做到以下方面：一、项目填写要齐全、教学环节要完备。教案项目包括题目、教具、教法、教学重点、教学难点、教学目标、任课班级、授课时间等，一般都有固定表格，填写要 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 ，如有变动必须马上注明。教学重点、教学难点、教学目标是在对学生教材与培养目标科学分析的基础上形成的，概括必须准确、科学，教学环节是教学全过程的总和，一般包括导入语（由旧课导入新课）、教学主要内容、板书设计、重点提问（互动环节）、课后思考（或作业），教学环节完备、教学过程才能完整。二、重点、难点要突出。重点、难点和教学目标不能仅停留在表格中，必须在教学实施过程中予以体现，教学内容的组织必须紧紧围绕这一课的重点、难点和目标展开，对重点给与重视，对难点分析明白，这一切都在于服务实现这一课的具体教学目标，而这一具体目标是一门课程总目标的一个子目标，因而要做到每一课教案和全部课程目标体系上的有机统一。三、教学材料处理要灵活。教案不能写成教材的缩写，不能写成教材的提纲，也不能完全脱离教材自搞一套。因为教材是死的，教学是鲜活的；教材只是提供了教学参考材料，不能代替全部教学，更不能代替教师备课和教学中的创造性劳动。所以教案中对教学材料的处理要紧紧围绕教学目标形成有机整体，一要完整，二要逻辑严密，三要通过创新形成特色。四、案例教学材料要绝对“新鲜”。经济全球化和信息化发展使世界变小了，市场变大了，技术更新快了。教材即使最新出版，由于其组稿、编辑、出版、发行等环节，有些内容很快落后于经济社会发展与技术应用的实践。高职教育是培养实用技能人才的教育，教育内容很大程度上决定着人才培养质量，如何解决这一问题呢？靠教师的创造性劳动，即在备课过程中树立最新的实践性教育理念，用最新鲜的材料去充实教学内容，用最新、最能说明问题的案例去阐发理论，才能提高教育教学水平。所以高职教育教学管理中，科学规定教师一课时的备课工作量是2—3小时，一个高校教师每周课时量规定在十课时左右。这是提高教学质量和实现技能人才培养目标的前提条件和具体保证。五、板书设计要力求创新。教师的教学活动是极富个性特点的创造性劳动，其个性特征最突出地体现在每次课的板书设计中。所以教师备课时要在充分研读教材的基础上，为每一节课设计出具有如下特点的板书方案：一是严密的逻辑性，板书顺序是逻辑推理的高度概括再现；二是概括性，高度凝练概括本课的教学主要内容；三是符合审美要求，板书设计要符合审美规律，给人以明确清晰、美观大方的良好审美感受；四是结构的完整性，即对一个知识点的全面完整表述；五是创新性，每个人即使在讲同一内容时由于文化背景、思维方式、表达方式、习惯等因素的差异作用，板书都体现出自己的特点，即个性化。因此板书设计可以借鉴、参考，但决不能照搬照抄。六、要不断充实完善。教案撰写不是一次性劳动，初稿完成后，需要不断充实完善。一是因为初稿往往有顾此失彼之处；二是教材研究与教学实施常有灵感产生，出现新的闪光点及时补充进去；三是需要用新材料与新信息对教案进行补充；四是备课不是一次性劳动，一节课的备课也不是一次有效，过期作废，需要从局部与整体的联系角度补充不足；五是集中备课或教研组活动中从课程之间的衔接上或交叉中获得提示、补充。充实完善不是推翻重来，可以利用备注栏，也可以形成一页纸粘在一角，对照研读。七、教案以手写为主，条理清晰，字迹工整。教案撰写是创造性劳动，是对教师研究能力、写作能力、概括分析能力的有效训练，也是对教师书写水平、概括能力、材料组织等综合素质的反映，所以教案是教师创造性劳动的结晶，也是检验教师质量的一个重要依据。手写教案对教师要求更高，更能真实检查教师备课质量、更具有可比性，因此客观上要求教师要写一手好字。出色的手写教案也能为学生提供一个学习的鲜活样本。八、关于电子课件。电子课件是计算机辅助教学手段的应用，是信息化时代教育教学手段不断改进的成果，对传统教学手段是一种改进和有益补充，但高职教育实践证明，电子课件是使用计算机辅助教学时的一个工具条件，它直观、容量大，许多用讲授法难于实现的教学目标可以通过计算机辅助手段的展示、演示、模拟得以实现，还可以节约教学过程中教师的一些板书时间，可以大大提高教学效率。但是教育教学是一种特殊的实践活动，一种创造性的劳动，电子课件的过度使用易于禁锢教师思维，限制了教师临场发挥和创造能力的提高。一、符合科学性所谓符合科学性，是指教师要认真贯彻大纲精神，按教材的内在规律，结合学生实际来确定教学目标、重点、难点、设计教学过程，避免出现知识性错误，那种远离大纲、脱离教材完整性系统性随心所欲另搞一套的编写教案的做法是绝对不允许的。一个好教案首先要依纲扣本、有科学性。二、加强创新性教材是死的，不能随意更改，课怎么上全凭教师的智慧和才干，教师要在钻研教材的基础上，广泛涉猎多种教学参考资料，向有经验的老教师请教，同时不能照搬照抄别人的经验，要对别人的经验在思考的基础上消化、吸收，结合个人的体会，巧妙构思，精心安排，写出水平和个性。三、注意差异性由于每一位教师的知识、经验、特长、个性是千差万别的，而教学工作又是一项创造性工作，因此编写教案也就不可能有千人一面的固定模式，为了发挥每一个教师的聪明才智和创造力，学校领导和教育行政部门不应过分强调要求整齐划一，在保证教案的基本常规不漏向外，具体的写法不宜多干预，要因人而异，形式多样，如果领导对老师的教案要求整齐划一,统一模式，这表面上看来很规范，但在实际上束缚了老师的手脚，扼杀了创造力，教学有法但无定法，教学方法没有固定不变得，教师的教案就不能有统一的模式。四、讲究艺术性所谓教案的艺术性就是构思巧妙，能让学生在课堂上不仅学到知识，而且得到艺术的欣赏和快乐的体验，尤其是要设计好开头、结尾，首位呼应，要层层递进、扣人心弦，达到立体效果，教师的说、谈、问、讲等课堂语言都要经过设计，字斟句酌，该说的一个字不少说，不该说的一个字也不多说，该什么时候说，用什么语调说等都应经过精心安排。五、强调操作性教案是教师上课的一种方案，是施工的一种“图纸”他贵在使用，能操作。有的教师写的教案繁琐，上课时还得时不时地看教案，因此在基本观点都阐述不清楚，更谈不上旁征博引，开发学生智能了，因此写教案一定要从实际需要出发，要充分考虑教案的可行性和操作性，该简则简，该繁则繁，好的教案文字很简练，但从中却能看出教师理解教材挖掘教材，有相当的深度，教学思路十分清晰，能力训练层次分明，文字简明扼要，有提示性。六、考虑变化性教学进度中常常出现离开教案所预见的情况，教师不能死抠教案而打击学生思维的积极性，遇到这种情况，教师要根据实际改变原先的教学计划和方法，满腔热忱地去启发学生的思维动机，针对疑点积极引导。答案补充为了达到这样的目的，教师在备课时，应充分估计学生在学习时可能提出的问题，确定好重点、难点、疑点和关键，学生可能在什么地方出问题，出什么问题，怎样引导，要考虑几种方案，这样，出现打乱教案的现象，也不会紧张，可以因势利导，耐心细致地培养学生的进取精神。如果我们的教案过于详细、完美，将在无形中对教师的教学形成束缚，剥夺了课堂教学生成的契机和充分拓展的空间，其教学效果未必理想。我们经常强调教师在教学中要“眼睛里有学生”，就是指要根据学生和课堂不断变化的实际适时调整教学策略。无论我们备课、写教案多么详细、充分，都无法穷尽课堂上将要发生的一切情况，意外事件还需要教师充分利用教学机智来应对。（最近，南安进修学校开展南安市2012年中学数学、地理、英语优秀教学案例评选活动，为使教师对教学案例有一定的了解，特找一些相关知识与案例范文）      1．什么是教学案例    这可以从以下几个层次来理解：    教学案例是事件：教学案例是对教学过程中的一个实际情境的描述。它讲述的是一个故事，叙述的是这个教学故事的产生、发展的历程，它是对教学现象的动态性的把握。教学案例是含有问题的事件：事件只是案例的基本素材，并不是所有的教学事件都可以成为案例。能够成为案例的事件，必须包含有问题或疑难情境在内，并且也可能包含有解决问题的方法在内。正因为这一点，案例才成为一种独特的研究成果的表现形式。   案例是真实而又典型的事件：案例必须是有典型意义的，它必须能给读者带来一定的启示和体会。案例与故事之间的根本区别是：故事是可以杜撰的，而案例是不能杜撰和抄袭的，它所反映的是真实发生的事件，是教学事件的真实再现。是对“当前”课堂中真实发生的实践情景的描述。它不能用“摇摆椅子上杜撰的事实来替代”，也不能从抽象的、概括化的理论中演绎的事实来替代。    2．教学案例的特征    案例是一种写作的形式，那么它与我们平时所说的 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 等形式有什么区别，又有什么特点呢？   （1）与论文的区别从文体和表述方式上来看，论文是以说理为目的，以议论为主的；而案例则以记录为目的，以记叙为主，兼有议论和说明。也就是说，案例是讲一个故事，是通过故事来说明道理。因此，从写作的思路和思维方式上来看，二者也有很大的区别。论文写作一般是一种演绎思维，思维的方式是从抽象到具体，而案例写作是一种归纳思维，思维的方式是从具体到抽象。   （2）与教案、教学设计、教学实录的区别一般来说，与教案、教学设计的区别比较容易理解。教案和设计都是事先设想的教学思路，是对准备实施的教学措施的简要说明；案例则是对已发生的教学过程的反映。一个写在教之前，一个写在教之后；一个是预期，一个是结果。    案例与教学实录的体例比较相近，它们的区别也体现了案例的特点和价值。同样是对教学情境的描述，教学实录是有闻必录，而案例是有所选择的。至于怎样选择，就要看案例撰写的目的和功能了。     3、教学案例的结构要素    从文章结构上看，案例一般包含以下几个基本的元素。    （1）背景    案例需要向读者交代故事发生的有关情况：时间、地点、人物、事情的起因等。如介绍一堂课，就有必要说明这堂课是在什么背景情况下上的，是一所重点学校还是普通学校，是有经验的优秀教师还是年青的新教师，是经过准备的“公开课”还是平时的“家常课”，等等。背景介绍并不需要面面俱到，重要的是说明故事的发生是否有什么特别的原