普通高等学校招生全国统一考试全国卷

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）直线y2x关于x轴对称的直线方程为11（A）yx（B）yx（C）y2x（D）y2x224（2）已知x(,0),cosx,则tg2x25772424（A）（B）－（C）（D）－242477（3）抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值为11（A）（B）－（C）8（D）－8881（4）等差数列{a}中，已知a,aa4,a33,则n为n1325n（A）48（B）49（C）50（D）51（5）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F，F，FMF=120°则双曲线的离心率为1212663（A）3（B）（C）（D）2332x1,x0,（6）设函数f(x)若f(x)1,则x的取值范围是100x2,x0（A）（－1，1）（B）（—1，+∞）（C）（－∞，－2）∪（0，+∞）（D）（－∞，－1）∪（1，+∞）（7）已知f(x5)lgx,则f(2)11（A）lg2（B）lg32（C）lg（D）lg2325（8）函数ysin(x)(0)是R上的偶函数，则=（A）0（B）（C）（D）42-1-（9）已知点(a,2)(a0)到直线l:xy30的距离为1，则a=（A）2（B）－2（C）21（D）213（10）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为R，该圆柱的全4面积为985（A）2R2（B）R2（C）R2（D）R2432（11）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）一质点从AB的中点P沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P后，依次反射到CD、DA和01AB上的点P、P和P（入射角等于反射角）.若P与P重合，则tgθ=23440121（A）（B）（C）（D）1352（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（A）3（B）4（C）33（D）6二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 填在题中横线上.（13）不等式4xx2x的解集是.1（14）(x2)9展开式中x9的系数是.2x（15）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则.”（16）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知正四棱柱ABCD—ABCD，AB=1，AA=2，点E为CC中点，点F为BD中点.1111111（I）证明EF为BD与CC的公垂线；11-2-（II）求点D到面BDE的距离.D11C1AB11EFDCAB-3-（18）（本小题满分12分）已知复数z的辐角为60°，且|z－1|是|z|和|z－2|的等比中项，求|z|.-4-（19）（本小题满分12分）已知数列|a|满足a1,a3n1a(n2)n12n1（I）求a,a;233n1（II）证明an2-5-（20）（本小题满分12分）已知函数f(x)2sinx(sinxcosx).（I）函数数f(x)的最小正周期和最大值;（II）在给出的直角坐标系中，画出函数yf(x)在区间[,]上的图象.22-6-（21）（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南2(cos)方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台10风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？-7-（22）（本小题满分14分）已知常数a0,在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别BECFDC在BC、CD、DA上移动，且,P为GE与OF的交点（如图），问是否存BCCDDA在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.-8-数学（文史类）参考答案一、选择题（1）C（2）D（3）B（4）C（5）B（6）D（7）D（8）C（9）C（10）B（11）C（12）A二、填空题21（13）(2,4]（14）（15）S2S2S2S2（16）722ABCACDADBBCD三、解答题（17）（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，1∵F为BD中点，∴FM∥DD且FM=DD11211又EC=CC，且EC⊥MC，21∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1又CM⊥面DBD∴EF⊥面DBD11∵BD面DBD，11∴EF⊥BD故EF为BD与CC的公垂线111（II）解：连结ED，有V1由（I）知EF⊥面DBD，设点D到面BDE的距离为d，11则S·d=S·EF.△DBC△DCD1∵AA=2·AB=1.12BDBEED2,EF21133S222,S(2)2DBDDBC1222223故点D到平面BDE的距离为.13r（18）解：设z=r(cos60isin60),则复数z的实邻为2zzr,zzr2由题设|z1|2|z||z2|即(z1)(z1)|z|(z2)(z2)r2r1rr22r4-9-r22r10解得r21r21（舍去）即|z|=21（19）（I）解∵a1,a314,a32413123（II）证明：由已知aa3n1,故nn1a(aa)(aa)(aa)annn1n1n22113n1=3n13n231.23n1所以an2（20）解（I）f(x)2sin2x2sinxcosx1cos2xsin2x12(sin2xcoscos2xsin)12sin(2x)444所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为12.（Ⅱ）由（Ⅰ）知335x88888y1121121故函数yf(x)在区间[,]上的图象是22（21）解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.-10-在时刻：t（h）台风中心P(x,y)的坐标为22x30020t,102722y30020t.102此时台风侵袭的区域是(xx)2(yy)2[r(t)]2，其中r(t)10t+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有(0x)2(0y)2(10t60)2,22722即(30020t)2(30020t)2(10t60)2,102102即t236t2880，解得12t24.答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭（22）解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值.按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）BECFDC设k(0k1)，BCCDDA由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）.直线OF的方程为：2ax(2k1)y0，①直线GE的方程为：a(2k1)xy2a0.②从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2y22ay0，x2(ya)2整理得1.1a221当a2时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.21当a2时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.2-11-111当a2时，点P到椭圆两个焦点(a2,a),(a2,a)的距离之和为定值2222.111当a2时，点P到椭圆两个焦点(0,aa2），（0，aa2)的距离之222和为定值2a.-12-