广东省高一数学尖子班教案：直线的交点坐标与距离公式_9305

广东省高一数学尖子班 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 ：直线的交点坐标与距离公式【学习目标】1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标.2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离.【要点梳理】要点一、直线的交点求两直线A1xB1yC10(A1B1C10)与A2xB2yC20(A2B2C20)的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组A1xB1y1C0A2xB2yC20的解即可.若有A1B1C1，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有A1B1C1，则A2B2C2A2B2C2方程组无解，此时两直线平行；若有A1B1，则方程组有唯一解，此时两直线A2B2相交，此解即两直线交点的坐标.要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.要点二、过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有x,y以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．过两直线的交点的直线系方程：经过两直线l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20交点的直线方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到A2xB2yC20，因此它不能表示直线l2．第1页共14页要点三、两点间的距离公式两点P(x，y)，P(x，y)间的距离公式为111222PP(x2x1)2(y22.y1)12要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.要点四、点到直线的距离公式点P(x0，y0)到直线AxByC0的距离为dAx0By0C.A2B2要点诠释：（1）点P(x0，y0)到直线AxByC0的距离为直线上所有的点到已知点P的距离中最小距离；2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.要点五、两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线AxByC10与直线AxByC20的距离为dC2C1.A2B2第2页共14页要点诠释：两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式d|C1C2|时，一定先将两直线方程化A2B2为一般形式，且两条直线中x，y的系数分别是相同的以后，才能使用此公式.【典型例题】类型一、判断两直线的位置关系例1．是否存在实数a，使三条直线l1:axy10，l2:xay10，l3:xya0能围成一个三角形？请说明理由．【解析】要使三条直线能围成一个三角形，则它们中任意两条都不平行，且三条直线不相交于同一点．1（1）当l1//l2时，aa，即a=±1．（2）当l1//l3时，――，即．a=1a=1（3）当l2//l3时，11，即．aa=1（4）当l1与l2、l3相交于同一点时，由xay10得交点（―1―a，1），将xya0其代入ax+y+1=0中，得a=―2或a=1．故当a≠1且a≠－1且a≠―2时，这三条直线能围成一个三角形．【总结升华】本例分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意．举一反三：【变式1】直线5x+4y―2m―1=0与直线2x+3y―m=0的交点在第四象限，第3页共14页求m的取值范围．【答案】【解析】,22m35x4y2m10,x解得72x3ym0,m2y72m370所以3．m2，解得m,2270类型二、过两条直线交点的直线系方程例2．求经过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y―1=0平行的直线方程．【答案】15x+5y+16=0【解析】可先求出交点坐标，再根据点斜式求出所要求的直线方程；也可利用直线系（平行系或过定点系）求直线方程．3解法一：设所求的直线为l，由方程组2x3y30得x5．∵直线l和直xy207y5线3x+y―1=0平行，∴直线l的斜率k=―3．73x3，∴根据点斜式有y55即所求直线方程为15x+5y+16=0．解法二：∵直线l过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点，∴设直线l的方程为2x―3y―3+(x+y+2)=0，第4页共14页即(+2)x+(―3)y+2―3=0．∵直线l与直线3x+y－1=0平行，∴2323，解得11．3112从而所求直线方程为15x+5y+16=0．【总结升华】直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用．举一反三：【变式1】求证：无论m取什么实数，直线(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．证法一：对于方程(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0，令m=0，得x―3y―11=0；令m=1，得x+4y+10=0．解方程组x3y110，得两直线的交点为（2，―3）．x4y100将点（2，―3）代入已知直线方程左边，得(2m―1)×2+(m+3)×(―3)―(m―11)=4m―2―3m―9―m+11=0．这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点（2，―3）．证法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y―1)m+(―x+3y+11)=0．由于m取值的任意性，有2xy10，解得x2．x3y110y3所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点（2，―3）．类型三、对称问题例3．已知直线l1：2x+y―4=0，求l1关于直线l：3x+4y―1=0对称的直线l2的方程．【答案】2x+11y+16=0第5页共14页【解析】解法一：由2xy40，得直线l1与l的交点为P（3，―2），显3x4y10然P也在直线l2上．在直线l1上取一点A（2，0），又设点A关于直线l的对称点为B（x0，y0），y004则x023，解得B4,8．32x00y01055242故由两点式可求得直线l2的方程为2x+11y+16=0．解法二：设直线l2上一动点M（x，y）关于直线l的对称点为M'(x',y')，则y'y47x24y6x'x3，解得x'25．4y'3x'xy10y'24x7y82225显然M'(x',y')在l1上，故27x24y624x7y840，即2x+11y+16=0，2525这便是所求的直线l2的方程．【总结升华】求一条直线关于另一条直线的对称直线的基本途径是把它转化为点关于直线对称的问题，即在其上取一点（或两点），求出它们关于直线的对称点坐标，再由两点式即可求得所求的直线方程．一般地，当对称轴的斜率为±1时，求P（x0，y0）的对称点Q，只需由对称轴方程解出x，再用y0代替y，即得到对称点的横坐标，类似地，可得到纵坐标．举一反三：【变式1】（1）求点P（x0，y0）关于直线x―y+C=0的对称点坐标；2）求直线l1：Ax+By+C=0关于直线l2：x+y―3=0的对称直线l3的方程．【答案】（1）（y0―C，x0+C）；（2）Bx+Ay―3A―3B―C=0．例4．在直线l：3x―y―1=0上求一点P，使得：第6页共14页|P'A|1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大；2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小．【答案】（1）（2，5）（2）11,2677【解析】设B关于l的对称点为B＇，AB＇与l的交点P满足（1）；设C关于l的对称点为C＇，AC＇与l的交点P满足（2）．事实上，对（1），若P＇是l上异于P的点，则|PB'|P|A'|P|B''A||PAB||PB'||PA||PB|；对于（2），若P＇是l上异于P的点，则|P'A||P'C||P'A||P'C||AC'||PA||PC|．1）如图1所示，设点B关于l的对称点B＇的坐标为a，b），kBB'kl1，即3b41，aa+3b－12=0．①又由于BB＇的中点坐标为a,b4，且在直线l上，22∴3ab410，即3a―b―6=0．②22解①②得a=3，b=3，∴B＇（3，3）．于是直线AB＇的方程为y1x4，即2x+y－9=0．3134解由l的直线方程与AB＇的直线方程组成的方程组得x=2，y=5，即l与AB＇的交点坐标为（2，5），所以P（2，5）．（2）如图2所示，设C关于l的对称点为C＇，求出C＇的坐标为3,24．55AC＇所在直线的方程为19x+17y―93=0．AC＇和l交点坐标为P11,26．77第7页共14页故P点坐标为11,26．77【总结升华】由平面几何知识（三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边）可知，要在直线l上求一点，使这点到两定点A、B的距离之差最大的问题，若这两点A、B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A、B两点位于直线l的异侧，则先求A、B两点中某一点（如A）关于直线l的对称点A＇，再求直线A＇B的方程，再求它们与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A、B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．举一反三：【变式1】已知点M（3，5），在直线l：x―2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小．【答案】P5,9、Q0,7242【解析】由点M(3,5)及直线l，可求得点M关于l的对称点M1(5,1)．同样容易求得点M关于y轴的对称点M2(3,5)．据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x2y70，解方程组x2y70，得交点P5,9，令x0，得到M1M2与y轴的交点x2y2024Q(0,7)．2类型四、两点间的距离例5．已知直线l过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+y+1=0，l2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程．【答案】y=1或x=3第8页共14页【解析】设直线l与直线l1、l2分别交于点A（x1，y1）、B（x2、y2），则x1y110，两方程相减，得(x1―x21―y2)=5，①x2y260)+(y由已知及两点间距离公式，得(x―x2―y2，②12)+(y12)=25由①②解得x1x25或x1x20，又点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线l上，y1y20y1y25因此直线l的斜率为0或不存在，又直线l过点P（3，1），所以直线l的方程为y=1或x=3．【总结升华】从交点坐标入手，采用“设而不求”“整体代入”或“整体消元”的思想方法优化了解题过程．这种解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能．另外，灵活运用图形中的几何性质，如对称，线段中垂线的性质等，同样是很重要的．举一反三：【变式1】如图，直线l上有两点A、B，A点和B点的横坐标分别为x1，x2，直线l方程为y=kx+b，求A、B两点的距离．【答案】|AB|(1k2)(x2x)21k2|x2x|11例6．已知函数f(x)x22x2x24x8，求f(x)的最小值，并求取得最小值时x的值．【答案】4，103【解析】将函数表达式变形为：f(x)(x1)2(01)2(x2)2(02)2，可以看作P（x，0）到点A（1，1）与到点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P，使|PA|+|PB|最小．∵f(x)x22x2x24x8(x1)2(01)2(x2)2(02)2．第9页共14页它表示点P（x，0）到点A（1，1）的距离加上点P（x，0）到点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P（x，0）与点A（1，1）、B（2，2）的距离之和的最小值．由下图可知，可转化为求两点A＇（1，―1）和B（2，2）间的距离，其距离为函数f(x)的最小值．∴f(x)的最小值为(12)2(12)210．再由直线方程的两点式得A'B的方程为3x―y―4=0．令y=0，得x4．∴当4时，f(x)的最小值为3x10．3【总结升华】本例中，由“x22x2(x1)2(01)2”与两点间距离公式结构相似，因而可得到“f(x)”的几何意义，利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决．举一反三：【变式1】试求f(x)(x1)21(x2)24的最小值．【答案】32【解析】f(x)(x1)2(01)2(x2)2(02)2，它表示点P（x，0）到点A（―1，1）的距离加上点P（x，0）到点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P（x，0）与点A（―1，1）、B（2，2）的距离之和的最小值．可转化为求两点A＇（―1，―1）和B（2，2）间的距离，其距离为函数f(x)的最小值．∴f(x)的最小值为(12)2(12)232．类型五、点到直线的距离例7．已知在△ABC中，A（1，1），Bm(,m)，C（4，2）（1＜m＜4），求m为何值时，△ABC的面积S最大？【答案】94第10页共14页【解析】以AC为底，则点B到直线AC的距离就是AC边上的高，求出S与m之间的函数关系式．A（1，1），C（4，2），∴|AC|(41)2(21)210．又直线AC的方程为x―3y+2=0，∴点B(m,m)到直线AC的距离d|m3m2|，101|AC|d1|m3m2|2∴S1m31．22224∵1＜m＜4，∴1m21m31，222321，∴112∴0mm3，S42242∴当m30，m9时，S最大．24故当m9时，△ABC的面积最大．4【总结升华】利用两点间距离公式求出三角形的一边长，再利用点到直线的距离公式求出这边上的高，从而求出三角形的面积，这是在解析几何中求三角形面积的常规方法，应熟练掌握，但应注意的是点到直线的距离公式中带有绝对值符号，因此在去掉绝对值符号时必须对它的正负性进行讨论．举一反三：【变式1】l过点M(-2,1)，且与点A(-1,2)，B(3,0)的距离相等，求直线l的方程．【答案】y1x2y0【解析】法一：直线l过AB的中点（1，1），所以l的方程为y1．第11页共14页直线l//AB，则设l的方程为y1k(x2)则k1，所以l的方程为：x2y02法二：由题意知直线l的斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，则A、B两点到直线l的距离|k1||5k1|1k21k2解得：k10,k2所以l的方程为：y1和x2y0【变式2】若点P（a，b）在直线x+y+1=0上，求a2b22a2b2的最小值．【答案】322类型六、两平行直线间的距离例8．两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（―3，―1），并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．1）求d的变化范围；2）当d取最大值时，求两条直线的方程．【答案】（1）(0,310]；（2）3x+y―20=0和3x+y+10=0【解析】（1）①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x=6和x=－3，则它们之间的距离为9．②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为l1：y―2=k(x―6)，l2：y+1=k(x+3)，即l1：kx―y―6k+2=0，l2：kx―y+3k―1=0．∴d|3k16k2|3|3k1|，即(81―d2)k2―54k+9―d2=0．k21k21第12页共14页k∈R，且d≠0，d＞0，∴Δ=542―4(81―d2)(9―d2)≥0，即0d310且d≠9．综合①②可知，所求的d的变化范围为(0,310]．（2）由右图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB．而kAB2(1)1，6(3)3∴所求的直线的斜率为―3．故所求的直线方程分别为y―2=―3(x―6)和y+1=―3(x+3)，即3x+y―20=0和3x+y+10=0．【总结升华】在寻求问题的解的过程中，作图是非常重要的，它既可以给人以直观的感觉，又是解题的方法的再现，这说明数形结合可优化思维过程．举一反三：【变式1】已知直线l1：2x―y+a=0（a＞0），直线l2：―4x+2y+1=0和直线l3：x+y―1=0，且l1与l2的距离是75．101）求a的值；2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的1；③P点到l1的距离与P点到l2的2距离之比是2∶5．若能，求P点坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）a=3（2）P1,37918【解析】（1）直线l2即2xy1，02第13页共14页|a(1)|75l1与l2的距离d210221解得a3．（2）能找到点P，使得P点同时满足三个条件．设点P(x0,y0)，若P点满足条件②，则P点在l1、l2平行的直线l':2xyc0，1且|c3|1|c2|，即c13或c11525262x0y0130或2x0y011；206若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x0y03|2|x0y01|，552x02y040或3x020由P在第一象限，所以3x020不可能．2x0y01301联立方程2，解得x03,y0，应舍去．2x02y040由2x0y0110，解之得x01376,y0x02y040918P(1,37)即为同时满足三个条件的点．918第14页共14页