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初一数学竞赛辅导(第04讲)

初一数学竞赛辅导(第04讲)

上传者: 大兵 2009-04-06 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《初一数学竞赛辅导(第04讲)doc》,可适用于初中教育领域,主题内容包含第四讲一元一次方程  方程是中学数学中最重要的内容.最简单的方程是一元一次方程它是进一步学习代数方程的基础很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解符等。

第四讲一元一次方程  方程是中学数学中最重要的内容.最简单的方程是一元一次方程它是进一步学习代数方程的基础很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决.本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧.  用等号连结两个代数式的式子叫等式.如果给等式中的文字代以任何数值等式都成立这种等式叫恒等式.一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的.  如果给等式中的文字(未知数)代以某些值等式成立而代以其他的值则等式不成立这种等式叫作条件等式.条件等式也称为方程.使方程成立的未知数的值叫作方程的解.方程的解的集合叫作方程的解集.解方程就是求出方程的解集.  只含有一个未知数(又称为一元)且其次数是的方程叫作一元一次方程.任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a)的形式这是一元一次方程的标准形式(最简形式).  解一元一次方程的一般步骤:()去分母()去括号()移项()合并同类项化为最简形式ax=b()方程两边同除以未知数的系数得出方程的解.  一元一次方程ax=b的解由ab的取值来确定:   ()若a=且b=方程变为x=则方程有无数多个解  ()若a=且b方程变为x=b则方程无解.  例解方程    解法从里到外逐级去括号.去小括号得  去中括号得  去大括号得     解法按照分配律由外及里去括号.去大括号得  化简为  去中括号得  去小括号得          例已知下面两个方程(x)=xx(ax)=x(ax)  有相同的解试求a的值.  分析本题解题思路是从方程中求出x的值代入方程求出a的值.  解由方程可求得xx=所以x=.由已知x=也是方程的解根据方程解的定义把x=代入方程时应有(a)=(a)(a)(a)=    例已知方程(x)=(x)的解为a求方程(x)(xa)=a的解.  解由方程(x)=(x)解得x=.由题设知a=所以a=.于是有(x)(x)=x=  例解关于x的方程(mxn)(mn)=.  分析这个方程中未知数是xmn是可以取不同实数值的常数因此需要讨论mn取不同值时方程解的情况.  解把原方程化为mxmnxmnn=整理得m(mn)x=n(mn).    当mn且m=时方程无解  当mn=时方程的解为一切实数.  说明含有字母系数的方程一定要注意字母的取值范围.解这类方程时需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论.  例解方程(axb)(abx)=(ax)(bx)ab.  分析本题将方程中的括号去掉后产生x项但整理化简后可以消去x也就是说原方程实际上仍是一个一元一次方程.  解将原方程整理化简得(ab)x=abaxbxxab  即(ab)x=(ab).  ()当ab时即ab时方程有唯一解  ()当ab=时即a=b或a=b时若ab即ab即a=b时方程无解若ab=即a=b方程有无数多个解.  例已知(m)x(m)x=是关于x的一元一次方程求代数式(mx)(xm)m的值.  解因为(m)x(m)x=是关于x的一元一次方程所以m=即m=.  ()当m=时方程变为x=因此x=代数式的值为()()=  ()当m=时原方程无解.  所以所求代数式的值为.  例已知关于x的方程a(x)=x无解试求a的值.  解将原方程变形为axa=x  即(a)x=a.  由已知该方程无解所以      例k为何正数时方程kxk=kxk的解是正数?  来确定:  ()若b=时方程的解是零反之若方程ax=b的解是零则b=成立.  ()若ab>时则方程的解是正数反之若方程ax=b的解是正数则ab>成立.  ()若ab<时则方程的解是负数反之若方程ax=b的解是负数则ab<成立.  解按未知数x整理方程得(kk)x=kk.  要使方程的解为正数需要(kk)(kk)>.  看不等式的左端(kk)(kk)=k(k)(k).  因为k所以只要k>或k<时上式大于零所以当k<或k>时原方程的解是正数所以k>或<k<即为所求.  例若abc=解方程  解因为abc=所以原方程可变形为  化简整理为  化简整理为     说明像这种带有附加条件的方程求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化.  例若abc是正数解方程  解法原方程两边乘以abc得到方程  ab(xab)bc(xbc)ac(xca)=abc.移项、合并同类项得abx(abc)bcx(abc)acx(abc)=  因此有x(abc)(abbcac)=.  因为a>b>c>所以abbcac所以x(abc)=  即x=abc为原方程的解.  解法将原方程右边的移到左边变为再拆为三个“”并注意到  其余两项做类似处理.  设m=abc则原方程变形为  所以       即x(abc)=.所以x=abc为原方程的解.  说明注意观察巧妙变形是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一.  例设n为自然数x表示不超过x的最大整数解方程:  分析要解此方程必须先去掉由于n是自然数所以n与(n)  …nx都是整数所以x必是整数.  解根据分析x必为整数即x=x所以原方程化为     合并同类项得     故有   所以x=n(n)为原方程的解.  例已知关于x的方程  且a为某些自然数时方程的解为自然数试求自然数a的最小值.  解由原方程可解得    a最小所以x应取x=.所以  所以满足题设的自然数a的最小值为.  练习四  .解下列方程:*    .解下列关于x的方程:  ()a(x)a=x        .当k取何值时关于x的方程(x)=kx分别有:()正数解()负数解()不大于的解.

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