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初一数学竞赛辅导(第02讲)

初一数学竞赛辅导(第02讲)

上传者: 大兵 2009-04-06 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《初一数学竞赛辅导(第02讲)doc》,可适用于初中教育领域,主题内容包含第二讲绝对值  绝对值是初中代数中的一个基本概念在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式以及求解方程与不等式时经常会遇到含有绝对值符号的问题同符等。

第二讲绝对值  绝对值是初中代数中的一个基本概念在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式以及求解方程与不等式时经常会遇到含有绝对值符号的问题同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题.  下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识然后进行例题分析.  一个正实数的绝对值是它本身一个负实数的绝对值是它的相反数零的绝对值是零.即  绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识它与距离的概念密切相关.在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值.  结合相反数的概念可知除零外绝对值相等的数有两个它们恰好互为相反数.反之相反数的绝对值相等也成立.由此还可得到一个常用的结论:任何一个实数的绝对值是非负数.  例ab为实数下列各式对吗?若不对应附加什么条件?  ()|ab|=|a||b|  ()|ab|=|a||b|()|ab|=|ba|  ()若|a|=b则a=b  ()若|a|<|b|则a<b  ()若a>b则|a|>|b|.  解()不对.当ab同号或其中一个为时成立.()对.  ()对.  ()不对.当a时成立.  ()不对.当b>时成立.  ()不对.当a+b>时成立.  例设有理数abc在数轴上的对应点如图所示化简|ba||ac||cb|.  解由图可知a>b<c<且有|c|>|a|>|b|>.根据有理数加减运算的符号法则有ba<a+c<cb<.  再根据绝对值的概念得|ba|=ab|ac|=(ac)|cb|=bc.  于是有  原式=(ab)(ac)(bc)=abacbc=c.  例已知x<化简:|||x|||.  分析这是一个含有多层绝对值符号的问题可从里往外一层一层地去绝对值符号.  解原式=||(x)||(因为x<)     =||x||     =|(x)|(因为x<)     =|x|=x.    解因为abc所以abc.  ()当abc均大于零时原式=  ()当abc均小于零时原式=  ()当abc中有两个大于零一个小于零时原式=  ()当abc中有两个小于零一个大于零时原式=.    说明本例的解法是采取把abc中大于零与小于零的个数分情况加以解决的这种解法叫作分类讨论法它在解决绝对值问题时很常用.  例若|x|=|y|=且|xy|=yx求xy的值.  解因为|xy|所以yxyx.由|x|=|y|=可知x<即x=.  ()当y=时xy=  ()当y=时xy=.  所以xy的值为或.  例若abc为整数且|ab||ca|=试计算|ca||ab||bc|的值.  解abc均为整数则abca也应为整数且|ab||ca|为两个非负整数和为所以只能是    |ab|=且|ca|=  或     |ab|=且|ca|=.  由有a=b且c=a于是|bc|=|ca|=由有c=a且a=b于是|bc|=|ab|=.无论或都有|bc|=且|ab||ca|=  所以|ca||ab||bc|=.    解依相反数的意义有|xy|=|xy|.  因为任何一个实数的绝对值是非负数所以必有|xy|=且|xy|=.即  由有xy=由有xy=.得y=y=  所以  例化简:|x||x|.  分析本题是两个绝对值和的问题.解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号.若分别去掉每个绝对值符号则是很容易的事.例如化简|x|只要考虑x的正负即可去掉绝对值符号.这里我们为三个部分(如图-所示)即  这样我们就可以分类讨论化简了.           原式=(x)(x)=x         原式=(x)(x)=x        原式=(x)(x)=x.  即           说明解这类题目可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值即先求出各个分界点然后在数轴上标出这些分界点这样就将数轴分成几个部分根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简这种方法又称为“零点分段法”.  例已知y=|x||x||x|求y的最大值.  分析首先使用“零点分段法”将y化简然后在各个取值范围内求出y的最大值再加以比较从中选出最大者.  解有三个分界点:.  ()当x时y=(x)(x)(x)=x由于x所以y=xy的最大值是.  ()当x时y=(x)(x)(x)=x由于x所以xy的最大值是.  ()当x时y=(x)(x)(x)=x由于x所以xy的最大值是.  ()当x时y=(x)(x)(x)=x由于x所以xy的最大值是.  综上可知当x=时y取得最大值为.  例设a<b<c<d求|xa||xb||xc||xd|  的最小值.  分析本题也可用“零点分段法”讨论计算但比较麻烦.若能利用|xa||xb||xc||xd|的几何意义来解题将显得更加简捷便利.  解设abcdx在数轴上的对应点分别为ABCDX则|xa|表示线段AX之长同理|xb||xc||xd|分别表示线段BXCXDX之长.现要求|xa||xb||xc||xd|之和的值最小就是要在数轴上找一点X使该点到ABCD四点距离之和最小.  因为a<b<c<d所以ABCD的排列应如图-所示:  所以当X在BC之间时距离和最小这个最小值为ADBC即(da)(cb).  例若x|x||x|的值恒为常数求x该满足的条件及此常数的值.  分析与解要使原式对任何数x恒为常数则去掉绝对值符号化简合并时必须使含x的项相加为零即x的系数之和为零.故本题只有xxx=一种情况.因此必须有|x|=x且|x|=x.  故x应满足的条件是    此时原式=x(x)(x)=.练习二  .x是什么实数时下列等式成立:  ()|(x)(x)|=|x||x|  ()|(x)(x)|=(x)(x).  .化简下列各式:   ()|x||x||x|.  .若a+b<化简|ab||ab|.  .已知y=|x||x||x|求y的最大值.  .设T=|xp||x||xp|其中<p<对于满足px的x来说T的最小值是多少?  .已知a<b求|xa||xb|的最小值.  .不相等的有理数abc在数轴上的对应点分别为ABC如果|ab||bc|=|ac|那么B点应为().  ()在AC点的右边  ()在AC点的左边  ()在AC点之间  ()以上三种情况都有可能.

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