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初一数学竞赛辅导(第01讲)

初一数学竞赛辅导(第01讲)

上传者: 大兵 2009-04-06 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《初一数学竞赛辅导(第01讲)doc》,可适用于初中教育领域,主题内容包含第一讲有理数的巧算  有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算.符等。

第一讲有理数的巧算  有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算.不仅如此还要善于根据题目条件将推理与计算相结合灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题从而提高运算能力发展思维的敏捷性与灵活性.  .括号的使用    在代数运算中可以根据运算法则和运算律去掉或者添上括号以此来改变运算的次序使复杂的问题变得较简单.  例计算:      分析中学数学中由于负数的引入符号“”与“”具有了双重涵义它既是表示加法与减法的运算符号也是表示正数与负数的性质符号.因此进行有理数运算时一定要正确运用有理数的运算法则尤其是要注意去括号时符号的变化.        注意在本例中的乘除运算中常常把小数变成分数把带分数变成假分数这样便于计算.  例计算下式的值:  .  分析直接计算很麻烦根据运算规则添加括号改变运算次序可使计算简单.本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算.  解原式=()()     =()()     =     =()     =.  说明加括号的一般思想方法是“分组求和”它是有理数巧算中的常用技巧.  例计算:S=…()nn.  分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“”或为“”.如果按照将第一、第二项第三、第四项…分别配对的方式计算就能得到一系列的“”于是一改“去括号”的习惯而取“添括号”之法.  解S=()()…()nn.  下面需对n的奇偶性进行讨论:  当n为偶数时上式是n/个()的和所以有  当n为奇数时上式是(n)/个()的和再加上最后一项()nn=n所以有  例在数…前添符号“”和“”并依次运算所得可能的最小非负数是多少?  分析与解因为若干个整数和的奇偶性只与奇数的个数有关所以在…之前任意添加符号“”或“”不会改变和的奇偶性.在…中有个奇数即有个奇数所以任意添加符号“”或“”之后所得的代数和总为奇数故最小非负数不小于.  现考虑在自然数nnnn之间添加符号“”或“”显然n(n)(n)(n)=.  这启发我们将…每连续四个数分为一组再按上述规则添加符号即()()…()=.  所以所求最小非负数是.  说明本例中添括号是为了造出一系列的“零”这种方法可使计算大大简化.  .用字母表示数  我们先来计算()()的值:()()==.  这是一个对具体数的运算若用字母a代换用字母b代换上述运算过程变为(ab)(ab)=aababb=ab.  于是我们得到了一个重要的计算公式(ab)(ab)=ab  这个公式叫平方差公式以后应用这个公式计算时不必重复公式的证明过程可直接利用该公式计算.  例计算的值.  解=()()==.  例计算的值.  解原式=()()()=()()==.  例计算:  分析与解直接计算繁.仔细观察发现分母中涉及到三个连续整数:.可设字母n=那么=n=n于是分母变为n(n)(n).应用平方差公式化简得n(n)=nn=  即原式分母的值是所以原式=.  例计算:()()()()()().  分析式子中…每一个数都是前一个数的平方若在()前面有一个()就可以连续递进地运用(ab)(ab)=ab了.  解原式=()()()()()()()     =()()()()()()     =()()()()()=……     =()()     =.  例计算:  分析在前面的例题中应用过公式(ab)(ab)=ab.  这个公式也可以反着使用即ab=(ab)(ab).  本题就是一个例子.      通过以上例题可以看到用字母表示数给我们的计算带来很大的益处.下面再看一个例题从中可以看到用字母表示一个式子也可使计算简化.  例计算:     我们用一个字母表示它以简化计算.       .观察算式找规律  例某班名学生的数学期末考试成绩如下请计算他们的总分与平均分.  .  分析与解若直接把个数加起来显然运算量较大粗略地估计一下这些数均在上下所以可取为基准数大于的数取“正”小于的数取“负”考察这个数与的差这样会大大简化运算.所以总分为  ()()()()    ()()()()    ()  ==  平均分为()=.  例计算…的值.  分析观察发现:首先算式中从第二项开始后项减前项的差都等于其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于于是可有如下解法.  解用字母S表示所求算式即S=….  再将S各项倒过来写为S=….  将两式左右分别相加得  S=()()…()()   =…(个)   =.  从而有S=.  说明一般地一列数如果从第二项开始后项减前项的差都相等(本题===…=都等于)那么这列数的求和问题都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决.  例计算…的值.  分析观察发现上式从第二项起每一项都是它前面一项的倍.如果将和式各项都乘以所得新和式中除个别项外其余与原和式中的项相同于是两式相减将使差易于计算.  解设S=…  所以S=….  得S=         说明如果一列数从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于)那么这列数的求和问题均可用上述“错位相减”法来解决.  例计算:              分析一般情况下分数计算是先通分.本题通分计算将很繁所以我们不但不通分反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差然后再计算这种方法叫做拆项法.  解由于     所以      说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项这种方法在有理数巧算中很常用.练习一  .计算下列各式的值:  ()…  ()…  ()  ()   ()…   .某小组名同学的数学测验成绩如下试计算他们的平均分.  .

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