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上传者: 胡胡 2009-02-28 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《行测数学问题整理doc》,可适用于考试题库领域,主题内容包含写在前面的话、朋友们的热心是qzzn(求职指南论坛)行政职业能力测试版发展的动力!也是加入到qzzn的各位朋友共有的财富!、所有汇编资料免费提供仅供符等。

写在前面的话、朋友们的热心是qzzn(求职指南论坛)行政职业能力测试版发展的动力!也是加入到qzzn的各位朋友共有的财富!、所有汇编资料免费提供仅供大家交流和学习。请在学习结束后自行删除!、严禁用于商业用途!、希望在公务员考试的道路上有qzzn有行政职业能力测试版的陪伴大家能同进步、共发展!、最后祝愿大家在即将的考试中金榜题名马到成功!qzzn(求职指南论坛)行政职业能力测试版版主westwood年月日做人要厚到知白守黑年龄问题  解年龄问题一般要抓住以下三条规律:  ()不论在哪一年两个人的年龄差总是确定不变的  ()随着时间向前(过去)或向后(将来)推移两个人或两个以上人的年龄一定减少或增加相等的数量  ()随着时间的变化两个人年龄之间的倍数关系一定会改变。【例】妈妈今年岁女儿今年岁几年后妈妈的年龄是女儿的倍?几年前妈妈的年龄是女儿的倍?  【分析】无论在哪一年妈妈和女儿的年龄总是相差  =(岁)  当妈妈的年龄是女儿的倍时女儿的年龄为  ()()=(岁)  =(岁)  说明那时是在年后。  同样道理由  ()()=(年)  可知妈妈年龄是女儿的倍是在年前。  【例】今年父亲的年龄是女儿的倍年前父亲和女儿年龄的和是岁。父亲、女儿今年各是多少岁?  【分析】从年前到今年父亲、女儿都长了岁他们今年的年龄之和为  =(岁)  由“()”可算出女儿今年岁从而父亲今年岁。  【例】陈辉问王老师今年有多少岁王老师说:“当我像你这么大时你才岁当你像我这么大时我已经岁了。”问王老师今年多少岁?  【分析】我们先要明白:如果我比你大a岁那么“当我像你这么大时”就是在a年前“当你像我这么大时”就在a年后。这样便可根据题意画出下图:  从图上可看出a=进一步推算得王老师今年岁。排列组合问题I一、知识点:分类计数原理:做一件事情完成它可以有n类办法在第一类办法中有种不同的方法在第二类办法中有种不同的方法……在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法分步计数原理:做一件事情完成它需要分成n个步骤做第一步有种不同的方法做第二步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法那么完成这件事有种不同的方法.排列的概念:从个不同元素中任取()个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.排列数的定义:从个不同元素中任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数用符号表示.排列数公式:()阶乘:表示正整数到的连乘积叫做的阶乘规定..排列数的另一个计算公式:=组合的概念:一般地从个不同元素中取出个元素并成一组叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.组合数的概念:从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数叫做从个不同元素中取出个元素的组合数.用符号表示..组合数公式:或组合数的性质:.规定::=二、解题思路:解排列组合问题首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成对于元素之间的关系还要考虑“是有序”的还是“无序的”也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义其次对一些复杂的带有附加条件的问题需掌握以下几种常用的解题方法:特殊优先法对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题我们可以从这些特殊的东西入手先解决特殊元素或特殊位置再去解决其它元素或位置这种解法叫做特殊优先法例如:用、、、、这个数字组成没有重复数字的三位数其中偶数共有个(答案:个)科学分类法对于较复杂的排列组合问题由于情况繁多因此要对各种不同情况进行科学分类以便有条不紊地进行解答避免重复或遗漏现象发生例如:从台原装计算机和台组装计算机中任取台其中至少有原装与组装计算机各两台则不同的选取法有种(答案:)插空法解决一些不相邻问题时可以先排一些元素然后插入其余元素使问题得以解决例如:人站成一行如果甲乙两人不相邻则不同排法种数是(答案:)捆绑法相邻元素的排列可以采用“整体到局部”的排法即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列然后再局部排列例如:名同学坐成一排其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是种(答案:)排除法从总体中排除不符合条件的方法数这是一种间接解题的方法b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系从而增加了问题的综合性解答这类应用题时要注意使用相关知识对答案进行取舍例如:从集合{}中任取个元素分别作为直线方程AxByC=中的A、B、C所得的经过坐标原点的直线有条(答案:)三、讲解范例:例由数字1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数()求三个偶数必相邻的七位数的个数()求三个偶数互不相邻的七位数的个数解():因为三个偶数2、4、6必须相邻所以要得到一个符合条件的七位数可以分为如下三步:第一步将1、3、5、7四个数字排好有种不同的排法第二步将2、4、6三个数字“捆绑”在一起有种不同的“捆绑”方法第三步将第二步“捆绑”的这个整体“插入”到第一步所排的四个不同数字的五个“间隙”(包括两端的两个位置)中的其中一个位置上,有种不同的“插入”方法根据乘法原理共有=种不同的排法所以共有个符合条件的七位数解():因为三个偶数2、4、6互不相邻所以要得到符合条件的七位数可以分为如下两步:第一步将1、3、5、7四个数字排好有种不同的排法第二步将2、4、6分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙”(包括两端的两个位置)中的三个位置上有种“插入”方法根据乘法原理共有=种不同的排法所以共有个符合条件的七位数例2将A、B、C、D、E、F分成三组共有多少种不同的分法?解:要将A、B、C、D、E、F分成三组可以分为三类办法:(1-1-4)分法、(1-2-3)分法、(2-2-2)分法下面分别计算每一类的方法数:第一类(1-1-4)分法这是一类整体不等分局部等分的问题可以采用两种解法解法一:从六个元素中取出四个不同的元素构成一个组余下的两个元素各作为一个组有种不同的分法解法二:从六个元素中先取出一个元素作为一个组有种选法再从余下的五个元素中取出一个元素作为一个组有种选法最后余下的四个元素自然作为一个组由于第一步和第二步各选取出一个元素分别作为一个组有先后之分产生了重复计算应除以所以共有=种不同的分组方法第二类(1-2-3)分法这是一类整体和局部均不等分的问题首先从六个不同的元素中选取出一个元素作为一个组有种不同的选法再从余下的五个不同元素中选取出两个不同的元素作为一个组有种不同的选法余下的最后三个元素自然作为一个组根据乘法原理共有=种不同的分组方法第三类(2-2-2)分法这是一类整体“等分”的问题首先从六个不同元素中选取出两个不同元素作为一个组有种不同的取法再从余下的四个元素中取出两个不同的元素作为一个组有种不同的取法最后余下的两个元素自然作为一个组由于三组等分存在先后选取的不同的顺序所以应除以因此共有=种不同的分组方法根据加法原理将A、B、C、D、E、F六个元素分成三组共有:++=种不同的方法例3一排九个坐位有六个人坐若每个空位两边都坐有人共有多少种不同的坐法?解:九个坐位六个人坐空了三个坐位每个空位两边都有人等价于三个空位互不相邻可以看做将六个人先依次坐好有种不同的坐法再将三个空坐位“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙”(不包括两端)之中的三个不同的位置上有种不同的“插入”方法根据乘法原理共有=种不同的坐法排列组合问题II一、相临问题整体捆绑法例.名学生站成一排甲、乙必须站在一起有多少不同排法?解:两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列并考虑甲乙二人的顺序所以共有种。捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列一般地:个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决共有种排法。练习:个男生个女生排成一排,个女生要排在一起,有多少种不同的排法分析此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题解因为女生要排在一起,所以可以将个女生看成是一个人,与个男生作全排列,有种排法,其中女生内部也有种排法,根据乘法原理,共有种不同的排法二、不相临问题选空插入法例.名学生站成一排甲乙互不相邻有多少不同排法?解:甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为:INCLUDEPICTURE"mhtml:file:C:DocumentsandSettingsedward桌面新建文件夹()排列组合问题mht!http:wwwycycomcnfxzdwordhtmgif"*MERGEFORMATINET种插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可若个人站成一排其中个人不相邻可用“插空”法解决共有种排法。练习:学校组织老师学生一起看电影同一排电影票张。个学生个老师要求老师在学生中间且老师互不相邻共有多少种不同的坐法?分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待所涉及问题是排列问题解先排学生共有种排法,然后把老师插入学生之间的空档共有个空档可插,选其中的个空档,共有种选法根据乘法原理,共有的不同坐法为种三、复杂问题总体排除法或排异法有些问题直接法考虑比较难比较复杂或分类不清或多种时而它的反面往往比较简捷可考虑用“排除法”先求出它的反面,再从整体中排除解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。例(年全国高考题)正六边形的中心和顶点共个点以其中个点为顶点的三角形共有  个解:从个点中取个点的取法有种但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形有条所以满足条件的三角形共有-=个练习:我们班里有位同学,从中任抽人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种分析此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便这样就可以简化计算过程解人中任抽人的方法有种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有种,所以正副班长,团支部书记至少有人在内的抽法有种四、特殊元素优先考虑法  对于含有限定条件的排列组合应用题可以考虑优先安排特殊位置然后再考虑其他位置的安排。例.(年上海高考题)名老师和名获奖学生排成一排照像留念若老师不排在两端则共有不同的排法   种.解:先考虑特殊元素(老师)的排法因老师不排在两端故可在中间三个位置上任选一个位置有种而其余学生的排法有种所以共有INCLUDEPICTURE"mhtml:file:C:DocumentsandSettingsedward桌面新建文件夹()排列组合问题mht!http:wwwycycomcnfxzdwordhtmgif"*MERGEFORMATINET=种不同的排法例.(年全国高考题)乒乓球队的名队员中有名主力队员派名队员参加比赛名主力队员要安排在第一、三、五位置其余名队员选名安排在第二、四位置那么不同的出场安排共有   种解:由于第一、三、五位置特殊只能安排主力队员有种排法而其余名队员选出名安排在第二、四位置有种排法所以不同的出场安排共有INCLUDEPICTURE"mhtml:file:C:DocumentsandSettingsedward桌面新建文件夹()排列组合问题mht!http:wwwycycomcnfxzdwordhtmgif"*MERGEFORMATINET=种五、多元问题分类讨论法对于元素多选取情况多可按要求进行分类讨论最后总计。例.(年北京春招)某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单开演前又增加了两个新节目如果将这两个节目插入原节目单中那么不同插法的种数为(A)A.B.C.D.解:增加的两个新节目可分为相临与不相临两种情况:不相临:共有A种相临:共有AA种。故不同插法的种数为:AAA=故选A。例.(年全国高考试题)如图一个地区分为个行政区域现给地图着色要求相邻地区不得使用同一颜色现有种颜色可供选择则不同的着色方法共有种(以数字作答)解:区域1与其他四个区域相邻而其他每个区域都与三个区域相邻因此可以涂三种或四种颜色.用三种颜色着色有=种方法,用四种颜色着色有=种方法,从而共有=种方法,应填六、混合问题先选后排法对于排列组合的混合应用题可采取先选取元素后进行排列的策略.例.(年北京高考)名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查若每个路口人则不同的分配方案共有()A.种B.种C.种D.种解:本试题属于均分组问题。则名同学均分成组共有种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有:种故选A。例.(年北京高考试题)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆种蔬菜品种中选出种分别种在不同土质的三块土地上其中黄瓜必须种植不同的种植方法共有()   A.种         B.种         C.种              D.种   解:先选后排,分步实施由题意不同的选法有:C种,不同的排法有:AA,故不同的种植方法共有ACA=故应选C七.相同元素分配档板分隔法例.把本相同的书发给编号为、、的三个学生阅览室每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解并思考这些方法是否适合更一般的情况?本题考查组合问题。解:先让、号阅览室依次分得本书、本书再对余下的本书进行分配保证每个阅览室至少得一本书这相当于在本相同书之间的个“空档”内插入两个相同“I”(一般可视为“隔板”)共有种插法即有种分法。八.转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解例高二年级个班,组织一个个人的年级学生分会,每班要求至少人,名额分配方案有多少种分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解解:此题可以转化为:将个相同的白球分成份,有多少种不同的分法问题,因此须把这个白球排成一排,在个空档中放上个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成份,显然有种不同的放法,所以名额分配方案有种九.剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法例袋中有分硬币个,角硬币个,如果从袋中取出元钱,有多少种取法分析此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题解把所有的硬币全部取出来,将得到=元,所以比元多元,所以剩下元即剩下个分或个分与个角,所以共有种取法十.对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一在求解中只要求出全体,就可以得到所求例期中安排考试科目门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序分析对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了并且也避免了问题的复杂性解不加任何限制条件,整个排法有种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有种十.平均分组问题:例.本不同的书按下列要求各有多少种不同的选法:()分给甲、乙、丙三人每人本()分为三份每份本()分为三份一份本一份本一份本()分给甲、乙、丙三人一人本一人本一人本()分给甲、乙、丙三人每人至少本。解:()根据分步计数原理得到:种()分给甲、乙、丙三人每人两本有种方法这个过程可以分两步完成:第一步分为三份每份两本设有x种方法第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法.根据分步计数原理可得:所以.因此分为三份每份两本一共有种方法。()这是“不均匀分组”问题一共有种方法.()在()的基础上再进行全排列所以一共有种方法.()可以分为三类情况:“、、型”即()中的分配情况有种方法“、、型”即()中的分配情况有种方法“、、型”有种方法所以一共有=种方法.总之排列、组合应用题的解题思路可总结为:排组分清加乘明确有序排列无序组合分类为加分步为乘。具体说解排列组合的应用题通常有以下途径:()以元素为主体即先满足特殊元素的要求再考虑其他元素。()以位置为主体即先满足特殊位置的要求再考虑其他位置。()先不考虑附加条件计算出排列或组合数再减去不合要求的排列组合数。鸡兔同笼一、基本问题   “鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题最早出现在《孙子算经》中许多小学算术应用题都可以转化成这类问题或者用解它的典型解法“假设法”来求解因此很有必要学会它的解法和思路  例有若干只鸡和兔子它们共有个头只脚鸡和兔各有多少只?  解:我们设想每只鸡都是“金鸡独立”一只脚站着而每只兔子都用两条后腿像人一样用两只脚站着现在地面上出现脚的总数的一半也就是  =(只)  在这个数里鸡的头数算了一次兔子的头数相当于算了两次因此从减去总头数剩下的就是兔子头数  =  有只兔子当然鸡就有只  答:有兔子只鸡只  上面的计算可以归结为下面算式:  总脚数总头数=兔子数  上面的解法是《孙子算经》中记载的做一次除法和一次减法马上能求出兔子数多简单!能够这样算主要利用了兔和鸡的脚数分别是和又是的倍可是当其他问题转化成这类问题时“脚数”就不一定是和上面的计算方法就行不通因此我们对这类问题给出一种一般解法  还说例  如果设想只都是兔子那么就有只脚比只脚多了  =(只)  每只鸡比兔子少()只脚所以共有鸡  ()()=(只)  说明我们设想的只“兔子”中有只不是兔子而是鸡因此可以列出公式鸡数=(兔脚数总头数总脚数)(兔脚数鸡脚数)  当然我们也可以设想只都是“鸡”那么共有脚=(只)比只脚少了  =(只)  每只鸡比每只兔子少()只脚  =(只)  说明设想中的“鸡”有只是兔子也可以列出公式兔数=(总脚数鸡脚数总头数)(兔脚数鸡脚数)  上面两个公式不必都用用其中一个算出兔数或鸡数再用总头数去减就知道另一个数  假设全是鸡或者全是兔通常用这样的思路求解有人称为“假设法”  现在拿一个具体问题来试试上面的公式  例红铅笔每支元蓝铅笔每支元两种铅笔共买了支花了元问红、蓝铅笔各买几支?  解:以“分”作为钱的单位我们设想一种“鸡”有只脚一种“兔子”有只脚它们共有个头只脚  现在已经把买铅笔问题转化成“鸡兔同笼”问题了利用上面算兔数公式就有  蓝笔数=()()  =  =(支)  红笔数==(支)  答:买了支红铅笔和支蓝铅笔  对于这类问题的计算常常可以利用已知脚数的特殊性例中的“脚数”与之和是我们也可以设想只中只是“兔子”只是“鸡”根据这一设想脚数是  ()=  比少  ()=  就知道设想中的只“鸡”应少只也就是“鸡”(蓝铅笔)数是  比或要容易计算些利用已知数的特殊性靠心算来完成计算  实际上可以任意设想一个方便的兔数或鸡数例如设想只中“兔数”为“鸡数”为就有脚数  =  比少  ()=  就知道设想只“鸡”要少只  要使设想的数能给计算带来方便常常取决于你的心算本领  下面再举四个稍有难度的例子  例一份稿件甲单独打字需小时完成乙单独打字需小时完成现在甲单独打若干小时后因有事由乙接着打完共用了小时甲打字用了多少小时?  解:我们把这份稿件平均分成份(是和的最小公倍数)甲每小时打=(份)乙每小时打=(份)  现在把甲打字的时间看成“兔”头数乙打字的时间看成“鸡”头数总头数是“兔”的脚数是“鸡”的脚数是总脚数是就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了  根据前面的公式  “兔”数=()()  =  “鸡”数=  =  也就是甲打字用了小时乙打字用了小时  答:甲打字用了小时分  例今年是年父母年龄(整数)和是岁兄弟的年龄和是岁四年后(年)父的年龄是弟的年龄的倍母的年龄是兄的年龄的倍那么当父的年龄是兄的年龄的倍时是公元哪一年?  解:年后两人年龄和都要加此时兄弟年龄之和是=父母年龄之和是=我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数弟的年龄看作“兔”头数是“总头数”是“总脚数”根据公式兄的年龄是  ()()=(岁)  年兄年龄是  =(岁)  父年龄是  ()=(岁)  因此当父的年龄是兄的年龄的倍时兄的年龄是  ()()=(岁)  这是年  答:公元年时父年龄是兄年龄的倍  例蜘蛛有条腿蜻蜓有条腿和对翅膀蝉有条腿和对翅膀现在这三种小虫共只有条腿和对翅膀每种小虫各几只?  解:因为蜻蜓和蝉都有条腿所以从腿的数目来考虑可以把小虫分成“条腿”与“条腿”两种利用公式就可以算出条腿的  蜘蛛数=()()  =(只)  因此就知道条腿的小虫共  =(只)  也就是蜻蜓和蝉共有只它们共有对翅膀再利用一次公式  蝉数=()()=(只)  因此蜻蜓数是=(只)  答:有只蜘蛛只蜻蜓只蝉  例某次数学考试考五道题全班人参加共做对道题已知每人至少做对道题做对道的有人道全对的有人做对道和道的人数一样多那么做对道的人数有多少人?  解:对道、道、道题的人共有  =(人)  他们共做对  =(道)  由于对道和道题的人数一样多我们就可以把他们看作是对道题的人(()=)这样  兔脚数=鸡脚数=  总脚数=总头数=  对道题的有  ()()=(人)  答:做对道题的有人二、“两数之差”的问题  鸡兔同笼中的总头数是“两数之和”如果把条件换成“两数之差”又应该怎样去解呢?  例买一些分和分的邮票共花元角已知分的邮票比分的邮票多张那么两种邮票各买了多少张?  解一:如果拿出张分的邮票余下的邮票中分与分的张数就一样多  ()()=(张)  这就知道余下的邮票中分和分的各有张  因此分邮票有  =(张)  答:买了分的邮票张分的邮票张  也可以用任意假设一个数的办法  解二:譬如假设有张分根据条件“分比分多张”那么应有张分以“分”作为计算单位此时邮票总值是  =  比少因此还要增加邮票为了保持“差”是每增加张分就要增加张分每种要增加的张数是  ()()=(张)  因此分有=(张)分有=(张)  例一项工程如果全是晴天天可以完成倘若下雨雨天一天  工程要多少天才能完成?  解:类似于例我们设工程的全部工作量是份晴天每天完成份雨天每天完成份用上一例题解一的方法晴天有  ()()=(天)  雨天是=天总共  =(天)  答:这项工程天完成  请注意如果把“雨天比晴天多天”去掉而换成已知工程是天完成由此又回到上一节的问题差是与和是知道其一就能推算出另一个这说明了例、例与上一节基本问题之间的关系  总脚数是“两数之和”如果把条件换成“两数之差”又应该怎样去解呢?  例鸡与兔共只鸡的脚数比兔的脚数少问鸡与兔各几只?  解一:假如再补上只鸡脚也就是再有鸡=(只)鸡与兔脚数就相等兔的脚是鸡的脚=(倍)于是鸡的只数是兔的只数的倍兔的只数是  ()()=(只)  鸡是  =(只)  答:鸡只兔只  当然也可以去掉兔=(只)兔的只数是  ()()=(只)  也可以用任意假设一个数的办法  解二:假设有只鸡就有兔=(只)此时脚数之差是  =  比多了就说明假设的兔数多了(鸡数少了)为了保持总数是一只兔换成一只鸡少了只兔脚多了只鸡脚相差为只(千万注意不是)因此要减少的兔数是  ()()=(只)  兔只数是  =(只)  另外还存在下面这样的问题:总头数换成“两数之差”总脚数也换成“两数之差”  例古诗中五言绝句是四句诗每句都是五个字七言绝句是四句诗每句都是七个字有一诗选集其中五言绝句比七言绝句多首总字数却反而少了个字问两种诗各多少首  解一:如果去掉首五言绝句两种诗首数就相等此时字数相差  =(字)  每首字数相差  =(字)  因此七言绝句有  ()=(首)  五言绝句有  =(首)  答:五言绝句首七言绝句首  解二:假设五言绝句是首那么根据相差首七言绝句是首字数分别是=(字)=(字)五言绝句的字数反而多了  =(字)  与题目中“少字”相差  =(字)  说明假设诗的首数少了为了保持相差首增加一首五言绝句也要增一首七言绝句而字数相差增加因此五言绝句的首数要比假设增加  =(首)  五言绝句有  =(首)  七言绝句有  =(首)  在写出“鸡兔同笼”公式的时候我们假设都是兔或者都是鸡对于例、例和例三个问题当然也可以这样假设现在来具体做一下把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对照一下就会发现非常有趣的事  例假设都是分邮票分邮票张数是  ()()=(张)  例假设都是兔鸡的只数是  ()()=(只)  假设都是五言绝句七言绝句的首数是  ()()=(首)  首先请读者先弄明白上面三个算式的由来然后与“鸡兔同笼”公式比较这三个算式只是有一处“”成了“”其奥妙何在呢?  当你进入初中有了负数的概念并会列二元一次方程组就会明白从数学上说这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事  例有一辆货车运输只玻璃瓶运费按到达时完好的瓶子数目计算每只角如有破损破损瓶子不给运费还要每只赔偿元结果得到运费元问这次搬运中玻璃瓶破损了几只?  解:如果没有破损运费应是元但破损一只要减少=(元)因此破损只数是  ()()=(只)  答:这次搬运中破损了只玻璃瓶  请你想一想这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗?  例有两次自然测验第一次道题答对题得分答错(包含不答)题倒扣分第二次道题答对题分答错或不答题倒扣分小明两次测验共答对道题但第一次测验得分比第二次测验得分多分问小明两次测验各得多少分?  解一:如果小明第一次测验题全对得=(分)那么第二次只做对=(题)得分是  ()=(分)  两次相差  =(分)  比题目中条件相差分多了分说明假设的第一次答对题数多了要减少第一次答对减少一题少得=(分)而第二次答对增加一题不但不倒扣分还可得分因此增加=分两者两差数就可减少  =(分)  ()()=(题)  因此第一次答对题数要比假设(全对)减少题也就是第一次答对题第二次答对=(题)  第一次得分  ()=  第二次得分  ()=  答:第一次得分第二次得分  解二:答对题也就是两次共答错  =(题)  第一次答错一题要从满分中扣去=(分)第二次答错一题要从满分中扣去=(分)答错题互换一下两次得分要相差=(分)  如果答错题都是第一次要从满分中扣去但两次满分都是分比题目中条件“第一次得分多分”要少了因此第二次答错题数是  ()()=(题)  第一次答错=(题)  第一次得分()=(分)  第二次得分()=(分)三、从“三”到“二”   “鸡”和“兔”是两种东西实际上还有三种或者更多种东西的类似问题在第一节例和例就都有三种东西从这两个例子的解法也可以看出要把“三种”转化成“二种”来考虑这一节要通过一些例题告诉大家两类转化的方法  例学校组织新年游艺晚会用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共支共花了元其中铅笔数量是圆珠笔的倍已知铅笔每支元圆珠笔每支元钢笔每支元问三种笔各有多少支?  解:从条件“铅笔数量是圆珠笔的倍”这两种笔可并成一种笔四支铅笔和一支圆珠笔成一组这一组的笔每支价格算作  ()=(元)  现在转化成价格为和两种笔用“鸡兔同笼”公式可算出钢笔支数是  ()()=(支)  铅笔和圆珠笔共  -=(支)  其中圆珠笔  ()=(支)  铅笔  =(支)  答:其中钢笔支圆珠笔支铅笔支  例商店出售大、中、小气球大球每个元中球每个元小球每个元张老师用元共买了个球其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多问每种球各买几个?  解:因为总钱数是整数大、小球的价钱也都是整数所以买中球的钱数是整数而且还是的整数倍我们设想买中球、小球钱中各出元就可买个中球个小球因此可以把这两种球看作一种每个价钱是  ()()=(元)  从公式可算出大球个数是  ()()=(个)  买中、小球钱数各是  ()=(元)  可买个中球个小球  答:买大球个、中球个、小球个  例是从两种东西的个数之间倍数关系例是从两种东西的总钱数之间相等关系(倍数关系也可用类似方法)把两种东西合井成一种考虑实质上都是求两种东西的平均价就把“三”转化成“二”了  例是为例作准备  例某人去时上坡速度为每小时走千米回来时下坡速度为每小时走千米求他的平均速度是多少?  解:去和回来走的距离一样多这是我们考虑问题的前提  平均速度=所行距离所用时间  去时走千米要用分钟回来时走千米要用分钟来回共走千米用了分钟即半小时平均速度是每小时走千米  千万注意平均速度不是两个速度的平均值:每小时走()=千米  例从甲地至乙地全长千米有上坡路、平路、下坡路李强上坡速度是每小时千米平路上速度是每小时千米下坡速度是每小时千米从甲地到乙地李强行走了小时从乙地到甲地李强行走了小时问从甲地到乙地各种路段分别是多少千米?  解:把来回路程=(千米)算作全程去时上坡回来是下坡去时下坡回来时上坡把上坡和下坡合并成“一种”路程根据例平均速度是每小时千米现在形成一个非常简单的“鸡兔同笼”问题头数=总脚数鸡、兔脚数分别是和因此平路所用时间是  ()()=(小时)  单程平路行走时间是=(小时)  从甲地至乙地上坡和下坡用了=(小时)行走路程是  =(千米)  又是一个“鸡兔同笼”问题从甲地至乙地上坡行走的时间是  ()()=(小时)  行走路程是=(千米)  下坡行走的时间是=(小时)行走路程是=(千米)  答:从甲地至乙地上坡千米平路千米下坡千米  做两次“鸡兔同笼”的解法也可以叫“两重鸡兔同笼问题”例是非常典型的例题  例某种考试已举行了次共出了题每次出的题数有题或者题或者题那么其中考题的有多少次?  解:如果每次都考题=比少道题  每次考道题就要多=(道)  每次考道题就要多=(道)  就有  考题的次数考题的次数=  请注意和都是偶数考题次数也必须是偶数因此考题的次数是偶数由=比大考题的次数只能是这三个数由于不能被整除和都不合适只能是考题有次(考题有次)  答:其中考题有次  例有位同学前往参观乘电车前往每人元乘小巴前往每人元乘地下铁路前往每人元这些同学共用了车费元问其中乘小巴的同学有多少位?  解:由于总钱数元是整数小巴和地铁票也都是整数因此乘电车前往的人数一定是的整数倍  如果有人乘电车  =(元)  还余下=(人)都乘小巴钱也不够说明假设的乘电车人数少了  如果有人乘电车  =(元)  还余下=(人)都乘地下铁路前往钱还有多(>)说明假设的乘电车人数又多了至之间只有是的整数倍  现在又可以转化成“鸡兔同笼”了:  总头数=  总脚数=  因此乘小巴前往的人数是  ()()=  答:乘小巴前往的同学有位  在“三”转化为“二”时例、例、例是一种类型利用题目中数量比例关系把两种东西合并组成一种例、例是另一种类型充分利用所求个数是整数以及总量的限制其中某一个数只能是几个数值对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件确定了一个个数也就变成“二”的问题了在小学算术的范围内学习这两种类型已足够了更复杂的问题只能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解容斥问题一、知识点、集合与元素:把一类事物的全体放在一起就形成一个集合。每个集合总是由一些成员组成的集合的这些成员叫做这个集合的元素。如:集合A={……}其中…为A的元素。、并集:由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合叫做AB的并集记作AB记号“”读作“并”。AB读作“A并B”用图表示为图中阴影部分表示集合AB的并集AB。例:已知的约数集合为A={}的约数集合为B={}则AB={}、交集:A、B两个集合公共的元素也就是那些既属于A又属于B的元素它们组成的集合叫做A和B的交集记作“AB”读作“A交B”如图阴影表示:例:已知的约数集合A={}的约数集合B={}则AB={}。、容斥原理(包含与排除原理):(用|A|表示集合A中元素的个数如A={}则|A|=)原理一:给定两个集合A和B要计算AB中元素的个数可以分成两步进行:第一步:先求出AB(或者说把AB的一切元素都“包含”进来加在一起)第二步:减去AB(即“排除”加了两次的元素)总结为公式:|AB|=ABAB原理二:给定三个集合ABC。要计算ABC中元素的个数可以分三步进行:第一步:先求ABC第二步:减去ABBCCA第三步:再加上ABC。即有以下公式:ABC=ABCABBC|CA||ABC二、例题分析:例求不超过的正整数中是的倍数或的倍数的数共有多少个。分析:设A={以内的倍数}B={以内的倍数}显然要求计算或的倍数个数即求AB。解:A={…}共有个元素即|A|=B={…}共有个元素即|B|=AB={既是的倍数又是的倍数}={}共有个元素即|AB|=所以AB=ABAB==即AB中共有个元素。解:本题可直观地用图示法解答如图,其中,圆A中放的是不超过的正整数中的倍数的全体圆B中放的是不超过的正整数中的倍数的全体,其中阴影部分的数,,是既是的倍数又是的倍数的数(即AB中的数)只要数一数集合AB中的数的个数即可。例某班统计考试成绩数学得分上的有人语文得分以上的有人两科中至少有一科在分以上的有人。问两科都在分以上的有多少人?解:设A={数学成绩分以上的学生}B={语文成绩分以上的学生}那么集合AB表示两科中至少有一科在分以上的学生由题意知A=B=AB=现要求两科均在分以上的学生人数即求AB由容斥原理得AB=ABAB==点评:解决本题首先要根据题意设出集合AB并且会表示ABAB再利用容斥原理求解。例某班同学中有人打篮球人跑步人既打篮球又跑步问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少?解:设A={打篮球的同学}B={跑步的同学}则AB={既打篮球又跑步的同学}AB={参加打篮球或跑步的同学}应用容斥原理AB=ABAB==(人)例求在不超过的自然数中不是的倍数也不是的倍数有多少个?分析:这个问题与前几个例题看似不相同不能直接运用容斥原理要计算的是“既不是的倍数也不是的倍数的数的个数。”但是只要同学们仔细分析题意这只需先算出“以内的的倍数或的倍数的数的个数。”再从中减去就行了。解:设A={以内的的倍数}B={以内的的倍数}AB={以内的的倍数}AB={以内的的倍数或的倍数}则有A=B=AB=由容斥原理一有:AB=ABAB==因此不是的倍数也不是的倍数的数的个数是:=(个)点评:从以上的解答可体会出一种重要的解题思想:有些问题表面上看好象很不一样但经过细心的推敲就会发现它们之间有着紧密的联系应当善于将一个问题转化为另一个问题。例某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组参加数学小组的有人参加语文小组的有人参加外语小组的有人同时参加数学、语文两个小组的有人同时参加数学、外语小组的有人同时参加语文、外语小组的有人三个小组都参加的有人。问:这个年级参加课外学科小组共有多少人?解:设A={数学小组的同学}B={语文小组的同学}C={外语小组的同学}AB={数学、语文小组的同学}AC={参加数学、外语小组的同学}BC={参加语文、外语小组的同学}ABC={三个小组都参加的同学}由题意知:A=B=C=AB=AC=BC=ABC=根据容斥原理二得:ABC=ABCABAC|BC||ABC=()=(人)解:利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数然后求出最后结果。设A、B、C分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合其图分割成七个互不相交的区域区域Ⅶ(即ABC)表示三个小组都参加的同学的集合由题意应填。区域Ⅳ表示仅参加数学与语文小组的同学的集合其人数为=(人)。区域Ⅵ表示仅参加数学与外语小组的同学的集合其人数为=(人)。区域Ⅴ表示仅参加语文、外语小组的同学的集合其人数为=(人)。区域Ⅰ表示只参加数学小组的同学的集合其人数为=(人)。同理可把区域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人数逐个算出分别填入相应的区域内则参加课外小组的人数为=(人)点评:解法简单直观不易出错。由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来了因此提供了较多的信息易于回答各种方式的提问。例学校教导处对名同学进行调查结果有人喜欢看球赛有人喜欢看戏剧有

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