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新东方在线考研数学基础班--高等数学讲义

新东方在线考研数学基础班--高等数学讲义

joylee3
2009-02-27 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《新东方在线考研数学基础班--高等数学讲义doc》,可适用于高等教育领域

新东方在线wwwstudycomwwwTOLcom网络课堂电子教材系列新东方在线考研数学基础班网络课程电子版教材高等数学引言我们根据考研数学的考试大纲和历年真题归纳出所需的数学概念、方法和技巧分为(甲)内容要点和(乙)典型例题两大部分来体现。又分为基础班、强化班和冲刺班三个阶段。这次基础班偏重于基本概念和基本方法以及一般性技巧其内容安排如下:第一章函数、极限、连续(全体)第二章一元函数微分学(全体)第三章一元函数积分学(全体)常微分方程(全体)第五章向量代数与空间解析几何(数学一)第六章多元函数微分学(全体)第七章多元函数积分学§.二重积分(全体)§.三重积分§.曲线积分§.曲面积分(数学一)第八章无穷级数(数学一和数学三)参考书:《新东方考研数学直通车》第I卷《高等数学》汪诚义编北京新东方大愚文化传播有限公司出版(年月)考研数学基础班高等数学第一章函数、极限、连续§.函数甲内容要点一.函数的概念.函数的定义设是一个非空的实数集如果有一个对应规则对每一个都能对应唯一的一个实数则这个对应规则称为定义在上的一个函数记以称为函数的自变量为函数的因变量或函数值称为函数的定义域并把实数集称为函数的值域.分段函数如果自变量在定义域内不同的值函数不能用同一个表达式表示而要用两个或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。例如是一个分段函数它有两个分段点和它们两侧的函数表达式不同因此讨论函数在分段点处的极限、连续、导数等问题时必须分别先讨论左、右极限左、右连续性和左、右导数需要强调:分段函数不是初等函数不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。又都是分段函数.隐函数形如的函数称为显函数由方程确定称为隐函数有些隐函数可以化为显函数例如(不一定一个单值函数)而有些隐函数则不能化为显函数。.反函数如果可以解出是一个函数(单值)则称它为的反函数记以。有时也用表示例如解出而解出二.基本初等函数.常值函数(常数).幂函数(常数).指数函数(,常数)(无理数).对数函数(常数)常用对数自然对数.三角函数。.反三角函数。关于基本初等函数的概念性质及其图象非常重要影响深远。例如以后经常会用等等。就需要关于的图象很清晰。三.复合函数与初等函数.复合函数设定义域定义域值域如果则是定义在上的一个复合函数。其中称为中间变量。.初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称为初等函数。四.考研数学中常出现的非初等函数.用极限表示的函数()().用变上、下限积分表示的函数()其中连续则()其中可导连续则五.函数的几种性质.有界性:设函数在内有定义若存在正数使都有则称在上是有界的。.奇偶性:设区间关于原点对称若对都有则称在上是奇函数若对都有则称在上是偶函数、奇函数的图象关于原点对称偶函数图象关于轴对称。.单调性:设在上有定义若对任意都有则称在上是单调增加的单调减少的若对任意都有则称在上是单调不减单调不增。(注意:有些书上把这里单调增加称为严格单调增加把这里单调不减称为单调增加。).周期性:设在上有定义如果存在常数使得任意都有则称是周期函数称为的周期。由此可见周期函数有无穷多个周期一般我们把其中最小正周期称为周期。乙典型例题一.求函数的定义域例.求函数的定义域例.求的定义域例.设的定义域为求的定义域例.设求的定义域并求。二.求函数的值域例.求的值域例.求的值域并求它的反函数三.求复合函数有关表达式.已知和求例.已知求例.设求例.设求.已知和求例.设求例.已知且求例.设求例.已知求证.已知和求例.已知求解:实际上为求反函数问题.有关复合函数方程例.设求四.有关四种性质例.设则下列结论正确的是(A)若为奇函数则为偶函数。(B)若为偶函数则为奇函数。(C)若为周期函数则为周期函数。(D)若为单调函数则为单调函数。解:(B)不成立反例(C)不成立反例(D)不成立反例在内(A)成立。证明:为奇函数为偶函数。例.求§极限甲内容要点一.极限的概念与基本性质.极限的定义()(称数列收敛于)任给存在正整数当时就有。()任给存在正整当时就有。()任给存在正数当时就有()任给存在正数当时就有()任给存在正数当时就有()(用表示在的右极限值)任给存在正数当时就有()(用表示在的左极限值)任给存在正数当时就有其中称为在处右极限值称为在处左极限值。有时我们用表示上述六类函数的极限它具有的性质上述六类函数极限皆具有这种性质有时我们把把数列极限也看作这种抽象的变量的极限的特例以便于讨论。.极限的基本性质定理.(极限的唯一性)设则定理.(极限的不等式性质)设若变化一定以后总有则反之则变化一定以后有(注:当情形也称为极限的保号性)定理.(极限的局部有界性)设则当变化一定以后是有界的。定理.设则()()()()()EMBEDEquation二.无穷小.无穷小定义若则称为无穷小(注:无穷小与的变化过程有关当时为无穷小而或其它时不是无穷小).无穷大定义任给当变化一定以后总有则称为无穷大。记以.无穷小与无穷大的关系在的同一个变化过程中若为无穷大则为无穷小若为无穷小且则为无穷大.无穷小与极限的关系其中.两个无穷小的比较设且()称是比高阶的无穷小记以称是比低阶的无穷小。()称与是同阶无穷小。()称与是等价无穷小记以.常见的等价无穷小当时.无穷小的重要性质有界变量乘无穷小仍是无穷小三.求极限的方法.利用极限的四则运算和幂指数运算法则.两个准则准则.单调有界数列极限一定存在()若(为正整数)又(为正整数)则存在且()若(为正整数)又(为正整数)则存在且准则.(夹逼定理)设若则.两个重要公式公式.公式..用无穷小重要性质和等价无穷小代换.用泰勒公式(比用等价无穷小更深刻)(数学一和数学二)当时.洛必达法则法则.(型)设()()变化过程中皆存在()(或)则(或)(注:如果不存在且不是无穷大量情形则不能得出不存在且不是无穷大量情形)法则.(型)设()()变化过程中皆存在()(或)则(或).利用导数定义求极限基本公式:如果存在.利用定积分定义求极限基本公式如果存在.其它综合方法.求极限的反问题有关方法乙典型例题一.通过各种基本技巧化简后直接求出极限例.设求例.设当解:特例()求解:例中取可知原式()例.求例.设是正整数求特例:()()例.设是正整数求特例:()()例.设为常数求例.求下列各极限()()()()二.用两个重要公式例.求例.求解一:原式解二:原式例.求例.求下列极限()()()()例.求下列极限()()()()三.用夹逼定理求极限例.求解:令则于是由夹逼定理可知于是原极限为。例.求下列极限四.用洛必达法则求极限.“”型和“”型例.求解:离散型不能直接用洛必达法则故考虑原式例.求.“”型和“”型。例.求例.求例.求例.设常数求.“”型“”型和“”型这类都是形式可化为而都是“”型按的情形处理例.求例.求(前面已用重要公式的方法)解:令(“”型)=例.求五.用无穷小重要性质和等价无穷小代换例.求解:根据有界变量乘无穷小仍是无穷小可知原式例.求例.求解:这个极限虽是“”型但分子分母分别求导数后的极限不存在因此不能用洛必达法则。原式例.设为正整数求六.求分段函数的极限例.求下列函数在分段点处的极限()()解:()()因为故不存在。例.求七.求极限的反问题例.设求和例.设求和。§连续甲内容要点一.函数连续的概念.函数在点处连续定义.设函数在点的某个邻域内有定义如果当自变量的改变量(初值为)趋近于时相应的函数改变量也趋近于即或则称函数在点处连续。函数在点处连续也可作如下定义。定义.设函数在点的某个领域内有定义如果当时函数的极限值存在且等于处的函数值即则称函数在点处连续此时有并且有即如果函数在点处连续则在点处可以交换极限号和函数号的顺序。定义.设函数如果则称函数在点处左连续如果则称函数在点处右连续。由上述定义可知如果函数在点处连续则在处既左连续也右连续。.函数在区间内(上)连续的定义如果函数在开区间内的每一点都连续则称在内连续。如果在开区间内连续在区间端点右连续在区间端点左连续则称在闭区间上连续。二.函数的间断点及其分类.函数的间断点的定义如果函数在点不连续则称为的间断点。.函数的间断点的分类函数的间断点分为两类:()第一类间断点设是函数的间断点。如果在间断点处的左、右极限都存在则称是的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。()第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。例如.是的可去间断点是的跳跃间断点是的无穷间断点是的振荡间断点。三.初等函数的连续性.在区间连续的函数的和、差、积及商(分母不为零)在区间仍是连续的。.由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。.在区间连续且单调的函数的反函数在对应区间仍连续且单调。.基本初等函数在它的定义域内是连续的。.初等函数在它的定义区间内是连续的。四.闭区间上连续函数的性质在闭区间上连续的函数有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。定理.(有界定理)如果函数在闭区间上连续则必在上有界。定理.(最大值和最小值定理)如果函数在闭区间上连续则在这个区间上一定存在最大值和最小值。其中最大值和最小值的定义如下:定义设是区间上某点处的函数值如果对于区间上的任一点总有则称为函数在上的最大值。同样可以定义最小值。定理.(介值定理)如果函数在闭区间上连续且其最大值和最小值分别为和则对于介于和之间的任何实数在上至少存在一个使得推论:如果函数在闭区间上连续且与异号则在内至少存在一个点使得这个推论也称为零点定理思考题:什么情况下能保证推论中的是唯一的?乙典型例题一.讨论函数的连续性由于初等函数在它的定义区间内总是连续的所以函数的连续性讨论多是指分段函数在分段点处的连续性。对于分段函数在分段点处的连续性若函数在分段点两侧表达式不同时需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。例.讨论函数在点处的连续性。解:因即有故在点连续。例.讨论函数在点的连续性。二.已知函数的连续性求未知参数例.设在处连续求常数例.如果函数在处连续求常数和。例.设在内连续求常数和解:由的连续性可知得由的连续性可知得所以三.求函数的间断点并确定其类型例.求函数的间断点并确定其类型例.求函数的间断点并确定其类型。例.求函数的间断点并确定其类型。解:这是初等函数在它的定义区间内函数都是连续的此函数在及无定义所以它的间断点是和下面确定它们的类型。当时由于所以是第一类间断点且是可去间断点。当时由于所以是第二类间断点且是无穷间断点。例.求函数的间断点并确定其类型。四.求连续函数的极限分两种情形:.如果是初等函数是定义区间内的一点则即只需在函数的表达式中把自变量换成它的极限值就行了。例.求解:是初等函数是它的定义区间内的一点所以.如果而函数在点连续则例.求解:因而函数在点连续所以例.求例.设在处连续且求五.利用介值定理的推论判断方程的根例.证明五次代数方程在区间内至少有一个根。例.证明至少有一个不超过的实根例.设在上连续且第二章一元函数微分学§导数与微分甲内容要点一.导数与微分概念.导数的定义设函数在点的某邻域内有定义自变量在处有增量相应地函数增量。如果极限存在则称此极限值为函数在处的导数(也称微商)记作或等。并称函数在点处可导。如果上面的极限不存在则称函数在点处不可导。导数定义的另一等价形式令则我们也引进单侧导数概念。右导数:左导数:则有在点处可导在点处左、右导数皆存在且相等。.导数的几何意义与物理意义如果函数在点处导数存在则在几何上表示曲线在点处的切线的斜率。切线方程:法线方程:EMBEDEquation设物体作直线运动时路程与时间的函数关系为如果存在则表示物体在时刻时的瞬时速度。.函数的可导性与连续性之间的关系如果函数在点处可导则在点处一定连续反之不然即函数在点处连续却不一定在点处可导。例如在处连续却不可导。.微分的定义设函数在点处有增量时如果函数的增量有下面的表达式EMBEDEquation其中为与无关是时比高阶的无穷小。则称在处可微并把中的主要线性部分称为在处的微分记以或我们定义自变量的微分就是。.微分的几何意义是曲线在点处相应于自变量增量的纵坐标的增量微分是曲线在点处切线的纵坐标相应的增量(见图)。.可微与可导的关系在处可微在处可导。且一般地则所以导数也称为微商就是微分之商的含义。.高阶导数的概念如果函数的导数在点处仍是可导的则把在点处的导数称为在点处的二阶导数记以或或等也称在点处二阶可导。如果的阶导数的导数称为的阶导数记以等这时也称是阶可导。二.导数与微分计算.导数与微分表(实常数)(实常数)EMBEDEquationEMBEDEquationEMBEDEquationEMBEDEquation.四则运算法则.复合函数运算法则设如果在处可导在对应点处可导则复合函数在处可导且有对应地由于公式不管是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。.由参数方程确定函数的运算法则设确定函数其中存在且则二阶导数.反函数求导法则设的反函数两者皆可导且则二阶导数.隐函数运算法则设是由方程所确定求的方法如下:把两边的各项对求导把看作中间变量用复合函数求导公式计算然后再解出的表达式(允许出现变量)例:.对数求导法则先对所给函数式的两边取对数然后再用隐函数求导方法得出导数。对数求导法主要用于:①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数关于幂指函数常用的一种方法这样就可以直接用复合函数运算法则进行。关于分段函数求分段点处的导数常常要先讨论它的左、右两侧的导数。乙典型例题一.用导数定义求导数例.设其中在点处连续求。解:没有假设可导所以不能用导数的乘法公式我们就用导数的定义例.设(为正整数)求例.设在内有定义且满足其中为常数求。二.分段函数在分段点处可导性例.讨论函数在处的连续性与可导性。解:函数在处连续因为则但是在处没有导数因为曲线在原点的切线不存在。(见上图)例.讨论函数在点处的连续性与可导性。例.设函数试确定、的值使在点处可导。例.设问和为何值时可导且求。例.设在内求。例.设求。三.用各种运算法则求导数.运用四则运算和复合函数求导法则例.求下列函数的导数:()()()解:()()()。例.求下列函数的微分()()()。例.设求例.设可导求例.设可微求例.设可微求.运用隐函数求导法则例.设由方程所确定求和解:对方程两边关于求导看作的函数按中间变量处理于是.运用对数求导法则例.求的导数解:对求导得因此例.设求例.设由方程所确定求.运用参数方程求导法则例.设求例.设求例.设可导连续求五.高阶导数.求二阶导数例.设求例.设求例.设由方程所确定求解:.求阶导数(正整数)先求出总结出规律性然后写出最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的阶导数公式()()()()()两个函数乘积的阶导数有莱布尼兹公式其中假设和都是阶可导。例.设(正整数)求(正整数)解:例.设求(正整数)例.设求(正整数)例.设求(正整数)§微分中值定理本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理:罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理和泰勒定理(泰勒公式)注:数学三不考泰勒定理数学四不考柯西中值定理和泰勒定理这部分有关考题主要是证明题其中技巧性比较高因此典型例题比较多讨论比较详细。甲内容要点一.罗尔定理设函数满足()在闭区间上连续()在开区间内可导()则存在使得几何意义:条件()说明曲线在和之间是连续曲线包括点和点条件()说明曲线在之间是光滑曲线也即每一点都有不垂直于轴的切线不包括点和点条件()说明曲线在端点和处纵坐标相等。结论说明曲线在点和点之间不包括点和点至少有一点它的切线平行于轴。(注:如果要证明这样的还是唯一的那么需要证明在内是单调增加或单调减少一般就需要证明在内或)二.拉格朗日中值定理设函数满足()在闭区间上连续()在开区间内可导则存在使得或写成有时也写成这里相当或都可以可正可负。几何意义:条件()说明曲线在点和点之间包括点和点是连续曲线条件()说明曲线不包括点和点是光滑曲线。结论说明曲线在之间不包括点和点至少有一点它的切线与割线是平行的。推论.若在内可导且则在内为常数。推论.若在内皆可导且则在内其中为一个常数。(注:拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广当特殊情形就是罗尔定理)三.柯西中值定理(数学四不要)设函数和满足:()在闭区间上皆连续()在开区间内皆可导且则存在使得(注:柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广特殊情形时柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。)几何意义:考虑曲线的参数方程点点曲线在上是连续曲线除端点外是光滑曲线那么在曲线上至少有一点它的切线平行于割线。值得注意:在数学理论上拉格朗日中值定理最重要有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理柯西中值定理虽然更广但用得不太多。在考研数学命题中用罗尔定理最多其次是用拉格朗日中值定理而用柯西中值定理也是较少。四.泰勒定理(泰勒公式)(数学一和数学二)定理.(皮亚诺余项的阶泰勒公式)设在处有阶导数则有公式其中称为皮亚诺余项。前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形根据不同情形取适当的所以对常用的初等函数如和(为实常数)等的阶泰勒公式都要熟记。定理(拉格朗日余项的阶泰勒公式)设在包含的区间内有阶导数在上有阶连续导数则对有公式其中(在与之间)称为拉格朗日余项。上面展开式称为以为中心的阶泰勒公式。当时也称为阶麦克劳林公式。如果那么泰勒公式就转化为泰勒级数这在后面无穷级数中再讨论。乙典型例题一.用罗尔定理的有关方法例.设在上连续在内可导且试证:必存在使证:在上连续在上连续且有最大值和最小值于是故由连续函数介值定理可知至少存在一点使得因此且在上连续内可导由罗尔定理得出必存在使得例.设在上连续内可导且求证:存在使例.设在上连续内可导对任意有求证存在使二.用拉格朗日中值定理和柯西中值定理的有关方法.用拉格朗日中值定理的有关方法例.设试证例.设是周期为的连续函数在内可导且又设是在上的最大值证明:存在使得例.设不恒为常数的函数在上连续内可导且证明内至少有一点使得。证:由题意可知存在使得如果则在上用拉格朗日中值定理存在使如果是在上用拉格朗日中值定理存在使得因此必有使得成立例.设证明对任意恒有§导数的应用甲内容要点一.判断函数的单调性定理:设函数在内可导如果恒有EMBEDEquation则在内单调增加(单调减少)如果恒有EMBEDEquation则在内单调不减(单调不增)。基本应用模型:设在内连续在内可导且EMBEDEquation又则当时恒有EMBEDEquation。二.函数的极值.定义设函数在内有定义是内的某一点则如果点存在一个邻域使得对此邻域内的任一点总有则称为函数的一个极大值称为函数的一个极大值点如果点存在一个邻域使得对此邻域内的任一点总有则称为函数的一个极小值称为函数的一个极小值点。函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。.必要条件(可导情形)设函数在处可导且为的一个极值点则。我们称满足的为的驻点可导函数的极值点一定是驻点反之不然。极值点只能是驻点或不可导点所以只要从这两种点中进一步去判断。.第一充分条件设在处连续在内可导不存在或。如果在内的任一点处有而在内的任一点处有则为极大值为极大值点如果在内的任一点处有而在内的任一点处有则为极小值为极小值点如果在内与内的任一点处的符号相同那么不是极值不是极值点。.第二充分条件设函数在处有二阶导数且则当时为极大值为极大值点。当时为极小值为极小值点。三.函数的最大值和最小值.求函数在上的最大值和最小值的方法首先求出在内所有驻点和不可导点其次计算。最后比较其中最大者就是在上的最大值其中最小者就是在上的最小值。.最大(小)值的应用问题首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间然后再求出目标函数在区间内的最大(小)值。四.凹凸性与拐点.凹凸的定义设在区间上连续若对任意不同的两点恒有则称在上是凸(凹)的。在几何上曲线上任意两点的割线在曲线下(上)面则是凸(凹)的。如果曲线有切线的话每一点的切线都在曲线之上(下)则是凸(凹)的。.拐点的定义曲线上凹与凸的分界点称为曲线的拐点。.凹凸性的判别和拐点的求法设函数在内具有二阶导数如果在内的每一点恒有则曲线在内是凹的如果在内的每一点恒有则曲线在内是凸的。求曲线的拐点的方法步骤是:第一步:求出二阶导数第二步:求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点、、…、第三步:对于以上的连续点检验各点两边二阶导数的符号如果符号不同该点就是拐点的横坐标第四步:求出拐点的纵坐标。五.渐近线的求法.垂直渐近线若或则为曲线的一条垂直渐近线。.水平渐近线若或则是曲线的一条水平渐近线。.斜渐近线若或则是曲线的一条斜渐近线。六.函数作图的一般步骤()求出的定义域判定函数的奇偶性和周期性。()求出令求出驻点确定导数不存在的点再根据的符号找出函数的单调区间与极值。()求出确定的全部零点及不存在的点再根据的符号找出曲线的凹凸区间及拐点。()求出曲线的渐近线。()将上述“增减、极值、凹凸、拐”等特性综合列表必要时可用补充曲线上某些特殊点(如与坐标轴的交点)依据表中性态作出函数的图形。七.曲率(数学一和数学二)设曲线它在点处的曲率若则称为点处的曲率半径在点的法线上凹向这一边取一点使则称为曲率中心以为圆心为半径的圆周称为曲率圆。乙典型例题一.判别函数的单调性例.设在上则或的大小顺序是(A)(B)(C)(D)解:选(B)根据拉格朗日中值定理其中又单调增加因此例.设函数在上连续在内可导且满足如果单调增加求证在内单调增加。例.证明函数在内单调增加二.有关函数的极值例.设函数在内连续其导函数的图形如图所示则有(A)一个极小值点和两个极大值点。(B)两个极小值点和一个极大值点。(C)两个极小值点和两个极大值点。(D)三个极小值点和一个极大值点。解:有三个驻点和一个不可导点考察它们两侧导数的符号用第一充分判别法可知最小驻点为极大值点另一个较小驻点为极小值点原点为不可导点是极大值点最大的驻点为极小值点故应选C。例.讨论的极值解:为极小值例.设则(A)是的极值点但不是曲线的拐点(B)不是的极值点但是曲线的拐点(C)是的极值点是曲线的拐点(D)不是的极值点也不是曲线的拐点例.求的极值例.已知函数在点处取得极值试确定的值并问它是极大值还是极小值?且求出此极值。三.求函数的最值例.用面积为的一块铁皮做一个有盖圆柱形油桶。问油桶的直径为多长时油桶的容积最大?又这时油桶的高是多少?解:设油桶的直径为高为容积为则由后一式解出代入前一式得目标函数()求导有令即解得驻点(负根舍去)又故是的唯一极大值点它也是最大值点即圆柱油桶的直径为时其容积最大。这时油桶的高()例.某窗的形状为半圆置于矩形之上若此窗框的周长为一定值试确定半圆的半径和矩形的高使所能通过的光线最为充足。例.把一根长为的铅丝切成两段一段围成圆形一段围成正方形问这两段铅丝各长多少时圆形面积与正方形面积之和最小?例.在椭圆位于第一象限的部分上求一点使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小(其中)。分析:先写出如图所示阴影部分面积的表达式然后再求其最小值。四.函数作图及有关问题例.作函数的图形。解:()此函数的定义域为()令得令得()点把的定义域分成部分区间。考察在每个部分区间内、的符号并由此确定函数图形的升降与凹凸、极值点与拐点填入下表。---+没定义--++++的图形拐点极小渐近线水平:垂直:()计算得函数图形与轴的交点为又图形过点。由上面得到的各种几何信息可以画出函数的图形。例.作函数的图形。解:()此函数的定义域为()令得令得。()点把函数的定义域分成部分区间。考察在每个部分区间内、的符号并由此确定函数图形的升降与凹凸、极值点与拐点填入下表。+------+的图形极大拐点渐近线水平:垂直:()计算得函数的图形与轴的交点为。由上面获得的各种几何信息可作出函数的图形如图。例.已知曲线上点处有水平切线且原点为该曲线的拐点求的值并写出此曲线的方程。例.设填写下表并作函数图形。.增区间.极值点.减区间.拐点.凸()区间.水平渐近线.凹()区间第三章一元函数积分学§不定积分甲内容要点一.基本概念与性质.原函数与不定积分的概念设函数和在区间上有定义若在区间上成立则称为在区间上的原函数在区间中的全体原函数称为在区间的不定积分记以。其中称为积分号称为积分变量称为被积函数称为被积表达式。.不定积分的性质设其中为的一个原函数为任意常数。则()或()或()().原函数的存在性设在区间上连续则在区间上原函数一定存在但初等函数的原函数不一定是初等函数。例如等。被积函数有原函数但不能用初等函数表示故这些不定积分均称为积不出来。二.基本积分公式.................三.换元积分法和分部积分法.第一换元积分法(凑微分法)设又可导则这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”也就是非常熟练地凑出微分。常用的几种凑微分形式:()()()()()()()()()()()()()()()()()()()().第二换元积分法设可导且若则其中为的反函数。第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数通过换元把根式去掉其常见的变量替换分为两大类:第一类:被积函数是与或与或由构成的代数式的根式例如等。只要令根式解出已经不再有根式那么就作这种变量替换即可。第二类:被积函数含有如果仍令解出仍是根号那么这样变量替换不行要作特殊处理将时先化为时先化为然后再作下列三种三角替换之一:根式的形式所作替换三角形示意图(求反函数用)值得注意:如果既能用上述第二换元积分法又可以用第一换元积分法那么一般用第一换元积分法比较简单。例.例.例..分部积分法设均有连续的导数则或使用分部积分法时被积函数中谁看作谁看作有一定规律。()情形为次多项式为常数要进行次分部积分法每次均取为多项式部分为。()情形为次多项式取为而为用分部积分法一次被积函数的形式发生变化再考虑其它方法。()情形进行二次分部积分法后要移项合并。()比较复杂的被积函数使用分部积分法要用凑微分法使尽量多的因子和凑成。乙典型例题一.直接积分法所谓直接积分法就是用代数或三角恒等式并用积分的性质和基本积分公式能直接求出不定积分它要求初等数学有关公式很熟练。例.求解:原式例.求下列不定积分()()()()例.求例.求下列不定积分()()例.求下列不定积分

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