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电磁场与电磁波答案

电磁场与电磁波答案

紫铭月
2009-02-17 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《电磁场与电磁波答案pdf》,可适用于其他资料领域

《电磁场与电磁波》习题详解第二章静电场总量为q的电荷均匀分布于球体中分别求球内、外的电场强度。解:设球半径为R则Rqπρ=在球内ερ=⋅∇<ERrv由求对称性利用球坐标得()rCrEErrrErr=⇒=∂∂=⋅∇ερερv当→r时rE为有限值求得=C即RqrrErπεερ==在球外Rr>因=⋅∇Ev同理有()rCEErrrErr=⇒=∂∂=⋅∇v考虑Rr=时应一致连续求得πεqC=所以rqErπε=综上求得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤==rqRrRqrRrEErπεπε方向为矢径方向。半径分别为a、b(ba>)球心距为c(bac−<)的两球面间有密度为ρ的均匀体电荷分布如图所示求半径为b的球面内任一点的电场强度。解:如图所示设loov=′显然rrlvvv′−=本题可等效为半径为a体密习题二度为ρ的带电球体与半径为b体密度为ρ−位置不变所产生的总场因此。rrEEE′−==−vvvvvερερρρ()lellrrvvvvερερερ==′−=lev为o指向o′的单位矢量因此所求场强是匀强电场。一个半径为a的均匀带电圆柱(无限长)的电荷密度是ρ求圆柱体内、外的电场强度。解:用柱坐标系由于带电圆柱为无限长所以电场与z,φ均无关由()zEErrErrEzr∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂=⋅∇ϕϕvερ=得()ερ=∂∂rrErr(球内)求得rCrEr=ερ当→r时rE为有限值求得=CερrEr=在球外()=∂∂rrErr求得rCEr=考虑ar=时应连续求得ερaC=即raErερ=综上圆柱体内、外的电场强度分布为aboo'lrr'图《电磁场与电磁波》习题详解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤==arraarrEErερερ一个半径为a的均匀带电圆盘电荷面密度为Sρ如图所示求轴线上任一点的电场强度。解:()()()SdrrrrrrESS′′−′−′=∫vvvvvvvρπεzezrvv=yxererrvvvsincosφφ′′=′rrsd′′=′ddφ()rzrr′=′−vvyxzererezrrvvvvvsincosφφ′−′−=′−()()rrrzererezrEyxzS′′′′−′−=∫∫ddsincosφφφπερvvvvv()()dcosd=′′′−=∫∫πφφπερaSxrzrrE()dsind=′′′−=∫∫πφφπερrrzrEaSy()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=′′=∫∫ddazzrrzzESaSzερφπερπ上式对>z时成立此时()zSzzeazzeErEvvvv⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==ερ当<z时()zSzzeazzeErEvvvv⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==||ερ已知半径为a的球内、外电场分布为xyzzrRφr'图习题二⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⎟⎠⎞⎜⎝⎛>⎟⎠⎞⎜⎝⎛=arearEareraEErr,,vvv求电荷密度。解:在球外即ar>因为ερ外=⋅∇Ev而()=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅∂∂=⋅∂∂=⋅∇raErrrErrrErv所以=ερ外即=外ρ在球内即ar<ερ内=⋅∇Ev()aEarErrrErrrEr=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅∂∂=⋅∂∂=⋅∇vaE=ερ内即aEερ=内求习题的电位分布。解:由得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤==rqRrRqrRrEErπεπεRr≤时()∫∫∫∞∞=⋅=RRrrrrqrRqrlErdddπεπεϕvv《电磁场与电磁波》习题详解()rRRqRqrRRq−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=πεπεπεRr>时()rqrrqlErrrddπεπεϕ==⋅=∫∫∞∞vv电荷分布如图所示。试证明在lr>>处的电场为rqlEπε=解:建立如图坐标系原点在q−处()()lreqreqlreqExxx−⋅⋅−⋅=vvvvπεπεπε()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−⋅=lrrlrqexπεv⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅=rlrlrqexπεv⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅Lvrlrlrlrqexπε泰勒展开⎥⎦⎤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−LrlrlrlxxxerqlerqlrlrlrqevvLvπεπεπε=≈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅⋅=xllrq-qq图习题二真空中有两个点电荷一个电荷q−位于原点另一个电荷q位于),,(a处求电位为零的等位面方程。解:设电位为零的点的坐标为),,(zyx选择无穷远处为零电势点则()zyxqrrqrq−=′−−⋅=−πεπεϕvvv()zyxqrrqrq=′−⋅=πεπεϕvvv()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=zyxazyxqrπεϕv令()=rvϕ得()zyxzyxa=−化简得()⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⇒=−aaxzyaaxzyx(用极坐标得cossin=−aarrφθ)此方程为球心在⎟⎠⎞⎜⎝⎛a半径为a的球面方程一个圆柱形极化介质的极化强度沿其轴向方向介质柱的高度为L半径为a且均匀极化求束缚体电荷及束缚电荷分布。解:选取圆柱坐标系计算并假设极化强度沿z方向zePPvv=如图所示。由于均匀极化束缚体电荷为=⋅−∇=Pvρ在圆柱的侧面注意介质的外法向半径方向renvv=极化强度在z方向故=⋅=rSPePvvρP图《电磁场与电磁波》习题详解在顶面外法向为zenvv=故PePzSP=⋅=vvρ在底面外法向为zenvv−=故)(PePzSP−=−⋅=vvρ假设<x的区域为空气>x的区域为电介质电介质的介电常数为ε如果空气中的电场强度)(mVeeeEzyxvvvv=求电介质中的电场强度Ev。解:由边界条件知()⎪⎩⎪⎨⎧=−×====⇒=⇒=EEnyozEEEEEEEEDDttxxnnnnnnvvv平面内且切向在即εε可知分界面法线,EEvv在同一平面上从而可知zyzzyyzzyyeeeEeEeEeEvvvvvv==zyxeeeEvvvv=∴一个半径为a的导体球表面套一层厚度为ab−的电介质电介质的介电常数为ε。假设导体球带电q求任意点的电位。解:方法一用电场强度的积分计算。导体球电荷只分布在球外表由高斯定理可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<<=brrqbrarqarEπεπε当ar<时即导体球内电势习题二drrqdrrqldldEbbaarr∫∫∫∫∞∞=⋅=πεπεϕvvv⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=εεεπbbaq当bra<<时即介质内电势。⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==⋅=∫∫∫∞∞εεεππεπεϕbbrqdrrqdrrqldEbbrrvv当br>时rqdrrqldErrπεπεϕ==⋅=∫∫∞∞vv综上得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧><<⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−<⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=brrqbrabbrqarbbaqπεεεεπεεεπϕ方法二用直接积分法求解。由电荷分布的球对称性可以得出电位仅仅是半径r的函数。这样电位的泊松方程就简化为一个变量的常微分方程。设空气中的电位为ϕ介质中电位为ϕ利用球坐标系的泊松方程。当br>时dddd=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∇rrrrϕϕ当bra<<时dddd=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∇rrrrϕϕ解以上方程得CrC=ϕCrC=ϕ四个常数由边界条件确定。当观察点在无穷远处时电位为零故=C。在导体《电磁场与电磁波》习题详解面(ar=)上有均匀分布的面电荷aqSπρ=由arnSrD=∂∂−==ϕερ得到επqC=。其余两个常数由介质与空气的界面边界条件确定。即在br=处ϕϕ=rr∂∂=∂∂ϕεϕε即CbCbC=bCbCεε=代入επqC=得επqC=bqbqCεπεπ−=最后得到电位:当br>时电位为rqπε当bra<<时电位为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−εεεπbbrq证明极化介质中束缚电荷体密度与自由电荷体密度的关系为ρεεερp−−=证明:()⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∇⋅∇⇒=⋅∇=⋅∇⇒=⋅∇ρερεερρPEPEEDvvvvvvρρερε=−⋅⇒pρεεερεεερp−−=−=⇒同轴线内、外导体的半径分别为a和b证明其所储存的电能有一半是在半习题二径为abc=的圆柱内。证明:同轴线内电场由高斯定理可求得rEπελ=又EDEweε=⋅=vv半径为x()bxa<<的圆柱内总能为()()axLrLrrVEVwxWxaVelndddπελπεπλεε=⋅===∫∫∫由题意知acLabLlnlnπελπελ⋅=求得abc=将两个半径为a的雨滴当作导体球当它们带电后电势为U。当此两雨滴并在一起(仍为球形)后求其电位。解:设一个雨滴带电量为q。则有aUqUaqπεπε=⇒=二个雨滴合在一起带电为q设合球体的半径为b可求得ab=电位UaaUbqU=⋅==πεπεπεU≈真空中有两个导体球的半径都是a两球心之间的距离为d且ad>>计算两个导体球之间的电容。解:因为ad>>所以球面电荷可看作是均匀分布的由电位系数的定义可得aPPπε==dPPπε==《电磁场与电磁波》习题详解代入电容器的电容表示式可得adaddaaC−=−=πεπεπεπε四个完全相同的导体球置于正方形的四个顶点并按照顺时针方向排序如图所示。若给球带电然后用细电线依次将它与球、、接触每次接触均达到平衡为止。证明最后球和球上的电荷为ppppqq−−=pppppqq−−=证明:由导体球排列的位置可以知道电位系数有以下的性质:pppp===pppp===pp=设第一次球和球达到平衡时球带电q球带电q则qpqp=ϕqpqpqpqp==ϕ再由ϕϕ=和qqq=可以解出qq=qq=当球和球接触并且平衡以后球带电q′球带电q′则qpqpqpqpqpqp′=′=′ϕqpqpqpqpqpqp′=′=ϕ再由ϕϕ=′和qqq=qq=可以解出qq=′qq=当球和球接触并且平衡以后球带电q′′球带电q则图习题二qpqpqpqpqpqpqpqp′′=′′=′′ϕqpqpqpqpqpqpqpqp′′=′′=ϕ再由ϕϕ=′′和qqq′′=qq=qq=可以解出ppppqq−−=pppppqq−−=′′间距为d的两平行金属板竖直的插入介电常数为ε的液体内板间加电压U。试证明两板间液面升高)(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=dUghεερ式中ρ为液体密度g为重力加速度。证明:设在液体以上部分平行金属板组成的电容器的高度是H液面升高h极板的宽度为l如图所示仅仅考虑这部分极板间的电场能量。液体以上部分的电容为dlhHdhlC)(−=εε(电容并联)能量为)(elhHhlUdCUW−==εε将h看成虚位移时的坐标当电压不变时液体受到的电场力为lUdhWF)(eεε−=∂∂=电场力方向与h增加的方向一致即液体受到的力向上。令电场力与液体的重量相等即gdhlFρ=可以确定液体上升的高度为)(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=dUghεερ图dhH

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