利用轴对称变换求最小值在中考中的应用举例
原型：要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。 修在河边什么地方，可使所用水管最短？
分析：在河岸l上找一点C，使AC＋BC最短，利用轴对称把A点或B点变换到l的另一侧，而不改变路径的总长度，从而利用“两点之间，线段最短”使问题得到解决。
解：设张村为点A，李庄为点B，张村和李庄这一侧的河岸为直线l。
（1）作点B关于直线l的对称点B'，
（2）连结AB'，交直线l于点C，
点C就是所求的水泵站的位置。 （如图所示）
变形一：如图（3），∠AOB内有一点P，在OA和OB边上分别找出M、N，使ΔPMN的周长最小。
解：如图（4），只要画出P点关于OB、OA的对称点P1，P2 ，连结P1、P2交OB、OA于M、N，此时ΔPMN的周长PM+PN+MN=P1P2为最小。（证明略）
变形二：(温州2003年中考题)如图（5），在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a，∠BAD=1200,点P在BD上，则PE+PC的最小值是（ ）
（A） 6a , (B) 5a , (C) 4a , (D) 2a 。
解：如图（6），因为菱形是轴对称图形，所以BC中点E关于对角线BD的对称点E一定落在AB的中点E1，只要连结CE1，CE1即为PC+PE的最小值。这时三角形CBE1是含有300角的直角三角形，PC+PE=CE1=2a 。所以选（D）。
变形三：（2001年全国数学竞赛题）如图（7），在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（X，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标X=——————————。
解：如图（8），只要画出点Q关于X轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1 交X于点M，则M点即为所求。点M的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（Y=2X-5），令Y=0，求得X=5/2。（也可以用勾股定理和相似三角形求出答案）。
变形四：如图（16），AB是☉O的直径，AB=2，OC是☉O的半径，OC⊥AB，点D在
变形五：（08年河北中招试题）
在一平直河岸同侧有两个村庄，到的距离分别是3km和2km，
．现
计划
项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载
在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水．
方案
气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点关于对称，与交于点）．
观察计算
（1）在方案一中， km（用含的式子
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示）；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算， km（用含的式子表示）．
探索归纳
（1）①当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（2）请你参考右边方框中的方法指导，
就（当时）的所有取值情况进
行分析，要使铺设的管道长度较短，
应选择方案一还是方案二？
答案:
（1）；
（2）．
探索归纳
（1）①；②；
（2）．
①当，即时，，．；
②当，即时，，．；
③当，即时，，．．
综上可知：当时，选方案二；
当时，选方案一或方案二；
当（缺不扣分）时，选方案一
图（8）
图（7）
A�
�
B�
�
P�
�
l�
�
l�
�
A�
�
B�
�
P�
�
��
�
C�
�
图13-1�
�
图13-2�
�
l�
�
A�
�
B�
�
P�
�
��
�
C�
�
图13-3�
�
K�
�
方法指导
当不易直接比较两个正数�与�的大小时，可以对它们的平方进行比较：
�，�，
�与�的符号相同．
当�时，�，即�；
当�时，�，即�；
当�时，�，即�；�
�
浙公网安备 33021202002483