求二面角大小问题的一题多解

· 18· 中学教研 (数学) 2008年第9期 求 二 面 角 大 小 问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的 一 题 多 解 ●李春雷 (北京师范大学良乡附属中学 北京 102488) 求二面角大小问题的方法比较多，学生往往使用其中 的一种方法，发现“不可行”后 ，就匆匆换了另一种方法，导 致解题半途而废．如何才能使学生思如泉涌，且方法可行 ， 并能得到最后结果 呢?充分调动学生的积极性，让学生打 开心扉，畅所欲言，互相补充是一种行之有效的方法．笔者 在课堂上尝试了这种方法，效果良好．现把师生共同总结出 的可行解法呈现出来，以期与大家共同分享． 例1 如图1，在正四面体ABCD中，点E，F分别是棱 AD，CD的中点，求二面角A．BE-F的大小． 。 图 1 策略 1 定义法 解法 1 如图 2，过点 E在平面 BEF内作 EG上BE，交 直线 BF于点 G 由点 E是棱 AD的中点 ，AABD是正三角 形，可得 AE&BE，因此 LAEG是二面角A—BE—F的平面角． 连结AF，AG，设正四面体ABCD的棱长为 1，则 AE= D=÷， = c= 1，BE= =AF= ， 从而 COSLEBF= ±里 = 一 2BE ．BF 一 6 ’ 得 肚 =譬· 6CO8／z,／~ =学， ， Z ) ) 因此 厢 = I4 = 又因为 。os ABF= =字， 祷 AG=√ +B 一2AB·BGLcosABF ,／22 — 5 ’ 所以 cos~．AEG= 一鲁， 故二面角 A—BF-F的大小为 ⋯ s(一 ⋯一s鲁． 评注 该种解法首先注意到了AE_LBE，因此只要再过 点 E在平面 BEF内作 EG上BE，依据二面角平面角的定义 立即可知 AEG是二面角 A．BE．F的平 面角．通过解斜 AAEG，即可求出二面角的大小． 解法 2 如图 3，过点 F在 平面 BEF内作 FP上BE于点 P，过点 P在平 面ABE内作 QP上BE交直线 船 于点 Q，则 Q是二 面角 A—BE—F的平面 角．连结 AF，设正四面体ABCD的棱长 为 1，则 图 3 AE= 。=÷， = c=丁1，BE=BF=AF=42c~， 从而 cosLEBF= B +B 一E 5 2BE ·BF 一 6 ’ 得 =BF·c。s EBF=鱼 2 · 5 = ， 因此 =厨 =鲁． 又因为 QP上BE，AD上BE，得 QP／／AD，从而 ／~Sr,Q— Z~BEA，因此 =丽BP，B0 QP=A · =吾所以 即= =詈． 因为 cos A = =孚， 得 QF=,／SQ + 一28Q·BFcosLABF √ 6 ’ ~jft：2 cos／_FPQ= 一鲁， 故二面角A—BE—F的大小为 ⋯ s(一 一⋯s鲁． 评注 该种解法首先过点 ，在平面 BEF内作 即 上 BE，然后再过点P在平面ABE内作QP_1_BE，依据二面角平 面角的定义立即可知LFPQ是二面角 A—BE—F的平面角．通 过解斜AFI：'Q即可求出二面角的大小． 策略 2 三垂线法 解法3 如图4，取 AB的中点 ， 连结 MD，设 kiDf'3BE=0．又因为点 E 是棱 AD的中点，所以点 0是正 AABD B 的中心 ，则由ABCD是正四面体 ，可知 CO上面 ABD．取 OD的中点 Ⅳ，连结 ^ |7、， 又点 F是 cD的中点，所以 rN／／ 图4 CO，从而 刚 -L面 ABD．作 NH上BE，垂足为 日，连结 删 ，则 NH是 刚 在面 ABD上的射影．由三垂线定理得 FH上BE， 因此LFHN是二面角A—BE—F的平面角的补角．设正四面体 。 维普资讯 http://www.cqvip.com 2008年第9期 中学教研 (数学) ·19· ABCD的棱长为 1，由NH上BE，DE J_BE，得 删 ∥DE，从 而 Nil是△ODE的中位线，所以 NH= = D=÷． 又 删：+OC： 1、佤 =吉√ 一( ) = ， 所以 tanLFHN= Nil=学， 即 删 ：眦 t ， 故二面角 A-BE—F的大小为 竹一arctan ． 评注 欲从点 F出发由三垂线法作 出二面角 A—BE—F 的补角，则首先应从点A向面ABD作垂线，但垂足落在何 处是个难点问题．注意到点 C与正 AABD中心 0的连线 CO上面ABD，因而过点 F引出的“参照线”CO的平行线即 垂直于面 ABD．还可 以进一步分析出该垂足即为 OD的中 点，从而准确找到垂足位置，为后面的计算做好了铺垫．再 由点 Ⅳ作 上BE，由三垂线定理得 删 上BE，因此 FHN 是二面角A—BE—F平面角的补角．通过解 Rt△ W 即可求 出二面角的大小． 解法 4 如 图 5，因为 AB=BD， AE=ED，所 以 BE上AD．作 AL上面 BEF，垂足为 ￡，连结 皿 ，则 皿 是 AE B 在平面 BEF上的射影．由三垂线定理 的逆定理得 EL上BE，因此 A皿 是二 面角A—BE—F的平面角的补角． 设正四面体ABCD的棱长为1，连 结 AF，则 C 图 5 A = D=÷，EF= c=丁1，BE= =AF=- if-， 因此 ．肿= =÷ = 椰， ． =÷·丁1 s ·FD=1S 胛 =古· B· 一( 曰) =吉·÷小 丽 √2 — — 48’ 又 v似 s F·AL ： · EF· B 一I E ·AL = 6 · 2 ·√( 2)2_( 2- 2) · ￡ ，＼／I J ＼ J ⋯ = ， 所以 = ， 得 A =丝 11 ， 从而 sin AEL= AL= 11 ， 故 AEL⋯ sin 。 因此二面角 A．BE．F的大小为 订一arcsin ． 评注 欲想从点 A出发由三垂线法作出二面角A—BE—F 的补角，则首先应从点 A向面 BEF作垂线 ，但垂足 落 在何处是个难点问题．注意到我们关心的是点 A到面 BEF 的距离，用体积转换法可以求出这个距离 ，从而避免了考虑 垂足位置的确定问题．又AE上BE，由三垂线定理的逆定理 可得 上BE，所以 A砚 是二面角A—BE．F平面角的补角． 诵 讨懈 Rt△AEL即可求 H{二面角 的大小． 策略 3 空间向量法 解法 5 如图 6，以点A在面 BCD 的射影 0为坐标原点，有向直线 OA为 轴，有向直线BF为Y轴， 轴为过点 B 0与DC平行的有向直线．设正四面体 ABCD的棱长为 1，可以求出各点的坐 标依次为： C 图 6 0co，o，0 ，A(o，o， )， (0，一孚，0)c(1， ，0)， D(一÷， ，0)，E(一÷， ， )，F(o，一g -，0)． 则 =(0，一了,g-，一 )， =(一丁1， 6，一 )． 设平面ABD的一个法向量为 肋=( ，y2，z )，则由 A B ． 肋 ：0， ． 肋 ：0， 可得 肋 ：(一 ，一 ，1)，同理可以求出平面 BEF的一 个法向量F肿 =(2,／g，0，3)．因为 · F⋯ = 一9，IF⋯ I=3，IF⋯ I= 、， ． 所以 c。 = = ， l1 ’ 故二面角 A一雎 一F的大小为 竹一aI℃cos ． 1 l 评注 该种解法通过建立空间直角坐标系 ，以向量为 工具，利用空间向量的坐标和数量积解决了问题．利用空间 向量的坐标运算来解决问题可以避开复杂的空间想象，比 用传统立体几何的方法解决更加简捷． 小结 该例采用了 3种策略加以解决．策略 1采用定 义法，需要运用余弦定理解斜三角形，运算量相对较大；策 略 2采用三垂线法 ，将平面角置于直角三角形中求解 ，运算 量相对较小，但需要巧妙作出这个平面角；策略3采用空间 向量法，建立空间直角坐标系 ，套用公式直接计算即可． 维普资讯 http://www.cqvip.com