《数理化解题研究)zoo8年第3期 数字篇
求空间
广西浦北县二职校 (535300) 宁明镜 ●
确定空间角的大小是立体几何中的一类重要题型，
也是历年高考数学试题考查的重点 ．本文通过一些典型
范例，介绍用空间向量确定空间角大小的基本
方法
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．
一
、确定异面直线所成的角
方法要点：设异面直线 Z 、Z：所成的角为 ，a、西
分别是 Zl、Z2的方向向量，则 cosO=I COS(a，西)I=
I I．
例 1 如 图 1，在 Rt
AAOB中， OAB= 71"，斜
U
边A =4．RtAAOC可以通
过 Rt AAOB以直线 AO为
轴旋转得到，且二面角 —
AO—C是直二面角，D是 图1
AB的中点 ．求异面直线AO与CD所成角的大小 ．
解 以 0为原点，OC、OB、OA分别为 轴、Y轴、
轴的正方向，建立空间直角坐标系 0一xyz，则 0(0，
0，0)，A(O，0，2 )，C(2，0，0)，D(O，1， )，
．
‘
． OA=(O，0，2√3)，CD=(一2，1， )．
设异面直线AO与CD所成的角为0，则
cos C08( ， ) I= 6 =
‘
．
·
． 异面直线AO与 CD所成角的大小为 arccos ．
二、确定直线与平面所成的角
方法要点：如图2，直线 Z
与平面 成角 0，a是直线 Z
的方向向量，西是平面 的一
个法向量，则
图2
sin cos( )I=I I．
例2 如图3，四棱
锥 S—ABCD 中，底 面
ABCD为平行四边形，侧
面 SBC上底面A CD．已
知 ABC=45。。AB=2．
BC=24Y，SA=SB= ． 图3
求直线SD与平面SAB所成角的大小 ．
解 作SO．LBC，垂足为 0，连结AO，由侧面SBC
上底面ABCD，得．sD上底面ABCD．所以．sD上 ，SD
上OB．又因为SA=SB，所以AO=BO，即AAOB为等
腰三角形 ．又LABC=45。，从而AO上OB．
以0为坐标原点， 为 轴正方向，OB为Y轴
正方向， 为 轴正方向，建立直角坐标系O—xyz，
则
A( ，0，0)，B(O， ，0)，D( ，一2A-，0)，s(o，
0，1)，
： (一 ，2 ，1)，萌：( ，0，一1)， ：
(一√2，√2，0)．
设，l=( ，Y，=)与平面SAB垂直，则
f，l·AB’=0， f fx
,y． )·(一 ， ，0)=0， i
，1 ．萌：0 l(x,y,z)．( ，0，一1)：0
{ 二 取 =1，得平面SAB的一个法向量为，l= I
=42 ．
(1，1， )．
设直线5D与平面SAB所成的角为 ，则
sin cos )I_- 簧-=鲁，
所以，直线 SD与平面 SAB所成的角的大小为
． ,／22
c甜 n ‘
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2 数学篇 《数理化解题研~}2008年第3翔
为坐标原点，AB、AD、 P分别为 轴、Y轴、z轴的正
方向，建立直角坐标系A—xyz．
-~F'A：。，~lJa(o，o，o)， (。，o，o)，c( 1。
， ，
0)，O(O， 。，0)，P(O，0，。)．
．
·
．
一PB：(。，0，一。)， ：(一 1。
，
√3T-口，0)，一CD：
(一÷口， 0)，一PD=(0，2了4g
设向量 聆=( ，Y。， )与平面 PBC垂直，向量 J，l
= ( 2，Y2，2J2)与平面PCD垂直，则
rn．一PB：0
，
，)，∥1)。(。，0，一。)=0，
1 ·赢=0 y1． ．(_ 1, g 0
说明
关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书
确定斜线的方向向量和平面的法向量时，
无需考虑向量的方向 ．
例 3 在图4所示的几何
体中，EA上平面ABC，DB上平
面 ABC，AC上BC，且 AC=BC
= BD=2AE。M是AB的中点 ．
求 DE与平面 EMC所成的角
的正切值 ． 图4
解 以点 c为原点，cA，
CB分别为 轴和Y轴的正方向，过点 C作与平面
ABC垂直的直线为2J轴，建立直角坐标系 C一 ．设
EA=0，则 C(0，0，0)， (2a，0，0)，D(0，2a，2a)，M
(0，0，0)，
．
。
。 EM=(一0，0，一0)，CM=(0，0，0)，DE(20，
一 2a．一0)．
设向量聆=( ，y,Z)与平面EMC垂直，则
f聆‘EM=0， f( ，)，，z)·(一0，0，一0)=0，
i聆． ：0 j i( ，z)．(。 0)：0 j
{y 一 ’取 ：1，得平面 的一个法向量为聆： L孑=
一 二 ’
(1，一1，一2)．设DE与平面EMC所成的角为0，则
sin cos(聆， ) I一3．
所以 tan0：_ = ： ．
,／l—sin 0
三、确定平面与平面所成的角
方法要点：如图5，向量
a,b分别是二面角0c— —jB
的两个半平面的法向量，其
中一个向量的方向指向内
侧，另一个向量的方向指向 图5
外侧，则向量a,b的夹角就是二面角0c—Z—jB的平面
角 0．
再由公式c。s口=c。s(口，6)= 青 可确定 ．
例4 如图 6，在 四棱
锥P—ABCD中，PA上底面
ABCD，AB 上 D，AC 上 CD，
仰 C=60。．PA=AB =BC ．
求二面角B—PC—D的大
小 ． 图6
解 由题意可知 PA，AB，AD两两垂直 ．以点
一P1)-0， ．(0筝， -o’ i
J，l。 =。 争i( ，y2，： )．(一Tl a' T8，。)：。 争
f)，2=43 2，
【 =2x2．
令Y =1， 2=一1，得平面PBC与平面PCD的一
个法向量分别为
聆l=(√3，1，√3)，J，ll=(一1，一√ ，一2)．
设二面角B—PC—D的平面角为 ，则
cos0~-COS( 肌1)=备 一孚．
所以二面角 一Pc— 的大／J 71"--flreeo$ 竽．
说明 确定平面 PBC与平面PCD的法向量时，
必须注意向量的方向，否则，求出的角度有可能是平
面角的补角 ．
= =
l
1
Z
，●●●J、 L
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