174个常用积分表

常 用 积 分 公 式 （一）含有 的积分( ) ax b+ 0a ≠ 1． dx ax b+∫ ＝ 1 ln ax b Ca + + 2． ＝( )ax b xμ+∫ d 11 ( )( 1) ax b Ca μμ ++ ++ （ 1μ ≠ − ） 3． dx x ax b+∫ ＝ 21 ( ln )ax b b ax b Ca + − + + 4． 2 dx x ax b+∫ ＝ 2 231 1 ( ) 2 ( ) ln2 ax b b ax b b ax b Ca ⎡ ⎤+ − + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ 5． d ( ) x x ax b+∫ ＝ 1 ln ax b Cb x+− + 6． 2 d ( ) x x ax b+∫ ＝ 21 lna ax b Cbx b x+− + + 7． 2d( ) x x ax b+∫ ＝ 21 (ln )bax b Ca ax+ + ++ b 8． 2 2d( ) x x ax b+∫ ＝ 2 3 1 ( 2 ln )bax b b ax b C a ax b + − + − + + 9． 2 d ( ) x x ax b+∫ ＝ 21 1 ln( ) ax b Cb ax b b x+− ++ （二）含有 ax b+ 的积分 10． dax b x+∫ ＝ 32 ( )3 ax b Ca + + 11． dx ax b x+∫ ＝ 322 (3 2 ) ( )15 ax b ax b Ca − + + 1 12． 2 dx ax b x+∫ ＝ 2 2 2 332 (15 12 8 ) ( )105 a x abx b ax b Ca − + + + 13． dx x ax b+∫ ＝ 22 ( 2 )3 ax b ax b Ca − + + 14． 2 dx x ax b+∫ ＝ 2 2 232 (3 4 8 )15 a x abx b ax b Ca − + + + 15． dx x ax b+∫ ＝ 1 ln ( 0) 2 arctan ( 0) ax b b C b b ax b b ax b C b bb ⎧ + − + >⎪ + +⎪⎨⎪ + + <⎪ −−⎩ 16． 2 dx x ax b+∫ ＝ d2ax b a xbx b x ax b+− − +∫ 17． dax b x x +∫ ＝ d2 xax b b x ax b+ + +∫ 18． 2 d ax b x x +∫ ＝ d2ax b a xx x ax b+− + +∫ （三）含有 2 2x a± 的积分 19． 2 2 dx x a+∫ = 1 arctan x Ca a + 20． 2 2 d ( )n x x a+∫ = 2 2 2 1 2 2 2 12 3 d2( 1) ( ) 2( 1) ( )n nx nn a x a n a x a− −x−+− + − +∫ 21． 2 2 dx x a−∫ = 1 ln2 x a Ca x a− ++ （四）含有 的积分 2 ( 0ax b a+ > ) 2 22． 2 dx ax b+∫ ＝ 1 arctan ( 0) 1 ln ( 0) 2 a x C b bab ax b C b ab ax b ⎧ + >⎪⎪⎨ − −⎪ + <⎪ − + −⎩ 23． 2 d x x ax b+∫ ＝ 21 ln2 ax b Ca + + 24． 2 2 d x x ax b+∫ ＝ 2dx b xa a ax b− +∫ 25． 2 d ( ) x x ax b+∫ ＝ 2 2 1 ln 2 x C b ax b ++ 26． 2 2 d ( ) x x ax b+∫ ＝ 21 da xbx b ax b− − +∫ 27． 3 2 d ( ) x x ax b+∫ ＝ 2 2 2 2 1ln 2 2 ax ba C b x bx + − + 28． 2 2 d ( ) x ax b+∫ ＝ 2 21 d2 ( ) 2x xb ax b b ax b++ +∫ （五）含有 的积分 2ax bx c+ + ( 0a > ) 29． 2 dx ax bx c+ +∫ ＝ 2 2 2 2 2 2 2 2 2arctan ( 4 ) 4 4 1 2 4ln ( 4 ) 4 2 4 ax b C b ac b ac b ax b b ac C b ac b ac ax b b ac +⎧ + <⎪ − −⎪⎨ + − −⎪ + >⎪ − + + −⎩ ac 30． 2 d x x ax bx c+ +∫ ＝ 2 21 dln2 2b xax bx ca a ax bx c+ + − + +∫ （六）含有 2 2x a+ ( 0a > )的积分 31． 2 2 dx x a+∫ ＝ 1arsh x C a + ＝ 2 2ln( )x x a C+ + + 3 32． 2 2 3 d ( ) x x a+∫ ＝ 2 2 2 x C a x a ++ 33． 2 2 dx x x a+∫ ＝ 2 2x a C+ + 34． 2 2 3 d ( ) x x x a+∫ ＝ 2 2 1 C x a − ++ 35． 2 2 2 dx x x a+∫ ＝ 2 2 2 2 2ln( ) 2 2 x ax a x x a+ − + + +C 36． 2 2 2 3 d ( ) x x x a+∫ ＝ 2 22 2 ln( ) x x x a C x a − + + + ++ 37． 2 2 dx x x a+∫ ＝ 2 21 ln x a a C a x + − + 38． 2 2 2 dx x x a+∫ ＝ 2 2 2 x a C a x +− + 39． 2 2 dx a x+∫ ＝ 22 2 2 2ln( )2 2x ax a x x a+ + + + +C 40． 2 2 3( ) dx a x+∫ ＝ 2 2 2 2 4 2 23(2 5 ) ln( )8 8x x a x a a x x a C+ + + + + + 41． 2 2dx x a+∫ x ＝ 2 2 31 ( )3 x a C+ + 42． 2 2 2dx x a+∫ x ＝ 42 2 2 2 2 2(2 ) ln( )8 8x ax a x a x x a C+ + − + + + 43． 2 2 dx a x x +∫ ＝ 2 22 2 ln x a ax a a Cx+ −+ + + 44． 2 2 2 d x a x x +∫ ＝ 2 2 2 2ln( )x a x x a Cx+− + + + + 4 （七）含有 2 2x a− ( 0a > )的积分 45． 2 2 dx x a−∫ ＝ 1arch xx C x a + = 2 2ln x x a C+ − + 46． 2 2 d ( ) x 3x a−∫ ＝ 2 2 2 x C a x a − +− 47． 2 2 dx x x a−∫ ＝ 2 2x a C− + 48． 2 2 3 d ( ) x x x a−∫ ＝ 2 2 1 C x a − +− 49． 2 2 2 dx x x a−∫ ＝ 2 2 2 2 2ln 2 2 x ax a x x a− + + − +C 50． 2 2 2 3 d ( ) x x x a−∫ ＝ 2 22 2 ln x x x a C x a − + + − +− 51． 2 2 dx x x a−∫ ＝ 1 arccos a C a x + 52． 2 2 2 dx x x a−∫ ＝ 2 2 2 x a C a x − + 53． 2 2dx a x−∫ ＝ 22 2 2 2ln2 2x ax a x x a− − + − +C 54． 2 2 3( ) dx a x−∫ ＝ 2 2 2 2 4 2 23(2 5 ) ln8 8x x a x a a x x a C− − + + − + 55． 2 2dx x a−∫ x ＝ 2 2 31 ( )3 x a C− + 56． 2 2 2dx x a−∫ x ＝ 42 2 2 2 2 2(2 ) ln8 8x ax a x a x x a C− − − + − + 5 57． 2 2 dx a x x −∫ ＝ 2 2 arccos ax a a Cx− − + 58． 2 2 2 d x a x x −∫ ＝ 2 2 2 2lnx a x x a Cx−− + + − + （八）含有 2 2a x− ( 0a > )的积分 59． 2 2 dx a x−∫ ＝arcsin x C a + 60． 2 2 d ( ) x a x−∫ 3 ＝ 2 2 2 x C a a x +− 61． 2 2 dx x a x−∫ ＝ 2 2a x C− − + 62． 2 2 3 d ( ) x x a x−∫ ＝ 2 2 1 C a x +− 63． 2 2 2 dx x a x−∫ ＝ 2 2 2 arcsin 2 2 x aa x C a x− − + + 64． 2 2 2 3 d ( ) x x a x−∫ ＝ 2 2 arcsin x x C aa x − +− 65． 2 2 dx x a x−∫ ＝ 2 21 ln a a x C a x − − + 66． 2 2 2 dx x a x−∫ ＝ 2 2 2 a x C a x −− + 6 67． 2 2da x−∫ x＝ 22 2 arcsin2 2x aa x Ca− + +x 68． 2 2 3( )a x−∫ dx＝ 2 2 2 2 43(5 2 ) arcsin8 8x xa x a x a a C− − + + 69． 2 2dx a x−∫ x ＝ 2 2 31 ( )3 a x C− − + 7 70． 2 2 2dx a x−∫ x ＝ 42 2 2 2(2 ) arcsin8 8x a xx a a x Ca− − + + 71． 2 2 da x x x −∫ ＝ 2 22 2 ln a a xa x a Cx− −− + + 72． 2 2 2 d a x x x −∫ ＝ 2 2 arcsina x x Cx a−− − + （九）含有 2ax bx c± + + ( 0a > )的积分 73． 2 dx ax bx c+ +∫ ＝ 2 1 ln 2 2ax b a ax bx c C a + + + + + 74． 2 dax bx c x+ +∫ ＝ 22 4ax b ax bx ca+ + + 2 2 3 4 ln 2 2 8 ac b ax b a ax bx c C a −+ + + + + + 75． 2 dx x ax bx c+ +∫ ＝ 2 1 ax bx c a + + 2 3 ln 2 2 2 b ax b a ax bx c C a − + + + + + 76． 2 dx c bx ax+ −∫ ＝ 2 1 2arcsin 4 ax b C a b ac −− ++ 77． 2dc bx ax x+ −∫ ＝ 22 3 22 4 arcsin4 8 4 ax b b ac ax bc bx ax C a a b ac − ++ − + ++ 2 − 78． 2 dx x c bx ax+ −∫ ＝ 2 3 2 1 2arcsin 2 4 b ax bc bx ax C a a b ac −− + − + ++ （十）含有 x a x b −± − 或 ( )( )x a b x− − 的积分 79． dx a x x b − −∫ ＝ ( ) ( ) ln( )x ax b b a x a x bx b− C− + − − + − +− 80． dx a x b x − −∫ ＝ ( ) ( )arcsinx a x ax b b ab x b x− − C− + − +− − 81． d ( )( x )x a b x− −∫ ＝2arcsin x a Cb x− +− ( )a b< 82． ( )( )dx a b x x− −∫ ＝ 22 ( )( )( ) arcsin4 4x a b b a x ax a b x Cb x− − − −− − + +− ( )a b< （十一）含有三角函数的积分 83． sin dx x∫ ＝ cos x C− + 84． cos dx x∫ ＝sin x C+ 85． tan dx x∫ ＝ ln cos x C− + 86． cot dx x∫ ＝ ln sin x C+ 87． sec dx x∫ ＝ ln tan( )4 2x Cπ + + ＝ ln sec tanx x C+ + 88． csc dx x∫ ＝ ln tan 2x C+ ＝ ln csc cotx x C− + 89． 2sec dx x∫ ＝ tan x C+ 90． 2csc dx x∫ ＝ cot x C− + 91． sec tan dx x x∫ ＝ sec x C+ 92． csc cot dx x x∫ ＝ csc x C− + 8 93． 2sin dx x∫ ＝ 1 sin 22 4x x C− + 94． 2cos dx x∫ ＝ 1 sin 22 4x x C+ + 95． sin dn x x∫ ＝ 1 21 1sin cos sin dn nnx x xn n− −−− + ∫ x 96． cos dn x x∫ ＝ 1 21 1cos sin cos dn nnx x xn n− −−+ ∫ x 97． d sinn x x∫ ＝ 1 21 cos 2 d1 sin 1 sinn nx n xn x n− −−− ⋅ +− − ∫ x 98． d cosn x x∫ ＝ 1 21 sin 2 d1 cos 1 cosn nx n xn x n− −−⋅ +− − ∫ x 99． cos sin dm nx x x∫ ＝ 1 1 21 1cos sin cos sin dm n m nmx x xm n m n− + − x x−++ + ∫ ＝ 1 1 21 1cos sin cos sin dm n m nnx x x m n m n + − − x x−− ++ + ∫ 100． ＝sin cos dax bx x∫ 1 1cos( ) cos( )2( ) 2( )a b x a b x Ca b a b− + − − ++ − 101． ＝sin sin dax bx x∫ 1 1sin( ) sin( )2( ) 2( )a b x a b x Ca b a b− + + − ++ − 102． ＝cos cos dax bx x∫ 1 1sin( ) sin( )2( ) 2( )a b x a b x Ca b a b+ + − ++ − 103． d sin x a b x+∫ ＝ 2 2 2 2 tan2 2arctan xa b C a b a b + +− − 2 2( )a b> 9 104． d sin x a b x+∫ ＝ 2 2 2 2 2 2 tan1 2ln tan 2 xa b b a Cxb a a b b a + − − +− + + − 2 2( )a b< 105． d cos x a b x+∫ ＝ 2 arctan( tan )2a b a b x Ca b a b a b+ − ++ − + 2 2( )a b> 106． d cos x a b x+∫ ＝ tan1 2ln tan 2 x a b a b b a C a b b a x a b b a +++ − ++ − +− − 2 2( )a b< 107． 2 2 2 2 d cos sin x a x b x 10 +∫ ＝ 1 arctan( tan )b x Cab a + 108． 2 2 2 2 d cos sin x a x b x 1 tanln 2 tan b x a C ab b x a + −∫ ＝ + − 109． sin dx ax x∫ ＝ 21 1sin cosax x ax Ca a− + 110． 2 sin dx ax x∫ ＝ 2 2 31 2 2cos sin cosx ax x ax ax Ca a a− + + + 111． cos dx ax x∫ ＝ 21 1cos sinax x ax Ca a+ + 112． 2 cos dx ax x∫ ＝ 2 2 31 2 2sin cos sinx ax x ax ax Ca a a+ − + （十二）含有反三角函数的积分（其中 ） 0a > 113． arcsin dx x a∫ ＝ 2 2arcsin xx a x Ca + − + 114． arcsin dxx x a∫ ＝ 2 2 2 2( )arcsin 2 4 4 x a x x a x C a − + − + 115． 2 arcsin dxx x a∫ ＝ 3 2 2 2 21arcsin ( 2 ) 3 9 x x x a a x C a + + − + 116． arccos dx x a∫ ＝ 2 2arccos xx a x Ca − − + 117． arccos dxx x a∫ ＝ 2 2 2 2( )arccos 2 4 4 x a x x a x C a − − − + 118． 2 arccos dxx x a∫ ＝ 3 2 2 2 21arccos ( 2 ) 3 9 x x x a a x C a − + − + 119． arctan dx x a∫ ＝ 2 2arctan ln( )2x ax a x Ca − + + 120． arctan dxx x a∫ ＝ 2 21 ( )arctan2 2x aa x x Ca+ − + 121． 2 arctan dxx x a∫ ＝ 3 3 2 2 2arctan ln( ) 3 6 6 x x a ax a x C a − + + + （十三）含有指数函数的积分 122． ＝dxa x∫ 1ln xa Ca + 123． e dax x∫ ＝ 1 eax Ca + 124． e daxx x∫ ＝ 21 ( 1)eaxax Ca − + 125． e dn axx x∫ ＝ 11 e en ax n axn dx x xa a −− ∫ 126． dxxa x∫ ＝ 21ln (ln )x xx a aa a C− + 127． dn xx a x∫ ＝ 11 dln lnn x n xnx a x aa a −− ∫ x 128． ＝e sin dax bx x∫ 2 21 e ( sin cos )ax a bx b bx Ca b − ++ 11 129． ＝e cos dax bx x∫ 2 21 e ( sin cos )ax b bx a bx Ca b + ++ 130． ＝e sin dax n bx x∫ 12 2 21 e sin ( sin cos )ax n bx a bx nb bxa b n − −+ 2 2 2 2 2 ( 1) e sin dax nn n b bx x a b n −−+ + ∫ 131． ＝e cos dax n bx x∫ 12 2 21 e cos ( cos sin )ax n bx a bx nb bxa b n − ++ 2 2 2 2 2 ( 1) e cos dax nn n b bx x a b n −−+ + ∫ （十四）含有对数函数的积分 132． ln dx x∫ ＝ lnx x x C− + 133． d ln x x x∫ ＝ ln ln x C+ 134． ln dnx x x∫ ＝ 11 1(ln )1 1nx x Cn n+ − ++ + 135． (ln ) dnx x∫ ＝ 1(ln ) (ln ) dnnx x n x −− ∫ x 136． (ln ) dm nx x x∫ ＝ 1 11 (ln ) (ln ) d1 1m n m nnx x x xm m+ −−+ + ∫ x （十五）含有双曲函数的积分 137． sh dx x∫ ＝chx C+ 138． ch dx x∫ ＝shx C+ 139． th dx x∫ ＝ lnchx C+ 140． 2sh dx x∫ ＝ 1 sh22 4x x C− + + 12 141． 2ch dx x∫ ＝ 1 sh22 4x x C+ + （十六）定积分 142． ＝ ＝0 cos dnx xπ−π∫ sin dnx xπ−π∫ 143． ＝0 cos sin dmx nx xπ−π∫ 144． ＝ cos cos dmx nx xπ−π∫ 0,, m n m n ≠⎧⎨π =⎩ 145． ＝ sin sin dmx nx xπ−π∫ 0,, m n m n ≠⎧⎨π =⎩ 146． ＝ ＝ 0 sin sin dmx nx x π∫ 0 cos cos dmx nx xπ∫ 0, , 2 m n m n ≠⎧⎪⎨ π =⎪⎩ 147． ＝nI 20 sin d n x x π∫ ＝ 20 cos dn x x π∫ ＝nI 2 1 n n I n − − 1 3 4 2 5n n nI n n − −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− L 2 3 （ 为大于 1 的正奇数）， ＝1 n 1I 1 3 3 1 2 4 2 2n n nI n n − − π= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− L n（ 为正偶数）， ＝0I 2 π 13