球面距离公式及其应用

第 7朝 球面距离公式及其应用 丁 佩’ (江苏省扬州中学树人集团，225002) 球面距离的概念和球面距离的求法是中 学数学教学中颇感棘手的问题 《全 日制普通 高级中学教科书(试验修订本 ·必修)》对于这 一 知识点的处理方法是就题论题，许多教学 参考书也未给 出详细的球面距离计算公式． 为此本文介绍球面距离公式并举例说明其应 用 ． 一 、球面距离的概念 经过球面上两点的大圆在这两点间的一 段劣孤的长度叫做两点的球面距离 ，即球面 上两点间的最短距离． 二、球面距离公式的推导 如图 1，如果球 O的半径为R，球面上两 点A、B的经度分别 aA、aB，纬度分别为 、 岛，那么 A、B两点间的球面距离为 ～ AB= RarccosEsinflnsin岛 +c0s c0s岛COS(口^ 一aB)]． C 图 l 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 作 BE、AF垂直于赤道平面，垂足 E、F分别在半径 OD及 OC上，则 BOE ： 岛， AOF= ． 在 RtZXB0E中， BE ： Rsin岛 ，OE = Rcos 岛 在 RtZxAOF中， AF = Rsin ，OF = Rcos 在 ／',EOF中，_．_LEOF=~lA—aB 高中擞学教 与学 ’EF = OE + OF — 2OE ·OFcosLEOF = (Rcos 岛) +(Rcos ) 一 2R COS岛COS COS(aA—aB)． 在直角梯形 ABEF中， AB2= EF0+(BE —AF) = EF2+AF + BE —2AF ·BE = 2R 一2R。COS岛COS COS(aa — aB)一2R sin段sin岛 在等腰 △AOB中， A∞ = =∞6陬∞6岛∞6(aa—aB)十sin sin岛 又 ‘．’ AoB∈ (0， )， ．‘ AOB = arccos[sin PAsin 岛 + COS COS岛COS(aA一 B)]． 因此，A、B两点间的球面距离为 ～ AB = Rarccoslsin sin岛 +cos ‘ COS岛COS(aA一 B)J． 此式对A、B两点处于球面上任何位置都 成立．公式中的 aA、aB、 、岛 都是有向角，东 经经度为正，西经经度为负，北纬纬度为正， 南纬纬度为负 特别地： ～ (1)若 A、B在 同一经线上，则AB = RarccoslCOS( 一岛)]； ～ (2)若 A、B在 同一纬线上，则AB = R~rccOSEsinz +cosz cos(aa—aB)] 三、球面距离公式的应用 例 1 赤道上有经度差为120。的两点A、 B，求这两点的球面距离． · 9 · 维普资讯 http://www.cqvip.com 高中数学教与学 解 ．1l赤 道 是 0。纬 线，． ．A(aA，0)、 B(nB、0)， =岛 =0，且经度差 口A一口B= 120 ． ． 。 ． AB=Rarcm4si~2 +∞s2 oa~(aa 一 口B)] = Rarccos(sin20 +∞sz0。cc~120。) = = Ratccos(一吉)=胁一一s吉) ： 号 例 2 东经 65。上分别有北纬 27。和南纬 33。的两点A、B，求两点的球面距离． 解 ’． 口A= 。B= 65。， = 27。， ： 一 33。 ． ’ ． AB=Rarccos[cos( 一岛)] =Raztec,s[oas(27 +33 )] ： Rexccos = { 例3 已知A点位于东经号，北纬号，B 点位于西经吾，北纬ar商n辽 ，求A、B两 点的球面距离． 解 口A=号，凡：号，a =一号，岛= 一 1 一 ～ ’ 。 ． =Rares[sin号sin(一 ) ．’．AB= l { l aH n = l ‘ +o。s号o。s( 垣 )o。s(号+号)] =R 一(譬× ) = R一 ： 例 4 (2002年第六届北京高中数学知识 应用竞赛试题)北京时间2002年9月27日14 点 ，国航 CA981航班从首都国际机场准时起 飞，当地时间9月27日15点30分，该航班正 点平稳降落在纽约肯尼迪机场；北京时间 10 月 1日19点 14分，CA982航班在经过 13个小 时的飞行后，准点降落在北京首都国际机场， ， 10 · 2005 § 至此国航北京 —— 纽约直飞首航成功完成， 这是中国承运人第一次经极地经营北京 —— 纽约直飞航线，从北京至纽约原来的航线飞 经上海(北纬 33。，东经 122 )，东京(北纬 36。， 东经 140 )和旧金山(北纬 37 ，西经 123 )等 处，如果飞机飞行的高度为 l0千米，并假设地 球是半径为 6371千米的球体，试分析计算新 航线的空中航程较原航线缩短了多少． 解 本题应计算北京到上海，上海到东 京 、东京到旧会山、旧金山到纽约各段大圆劣 弧}乏度和；再计算以北京，纽约为端点的大圆 劣弧长、然唇求它们的差 (1)计算原航线的距离 。 ． ’ sin 40*sirl 31。 CO-"；40。COS 31 COS 6。= 0．98， arcd (Sill 40 in 31。十 c 40。o0s 31。· cus 6 )= 10。． ． · ． 北京到上海的距离为量 = l 113．69(kin)． ’ ． 。 Sill 3】osin 36 +cOS 31 cos 36 OO8 l8。 = 0 96， ar )s( n 31。sin 36。+ c0s 31 36。· COS18。)= 16。． ． _ ． 上海到东京的距离为兀_ — = l 781 91(kin)． 1l_sin 36 sin37。+∞s36 CO~'q37。oDs263。= 0．27． 8／'CL"C~(sin 36。sin 37 + COS 36。COS 37。 ， 263。)= 74。． ． · ． 东京到旧金山的距离为生 ： 8 241．34(km)． ’ ． ’sin 37 sin 4O + 37。o0s 40。o0s 49。= 0 78． arcco~(sin 37。sin 40。+ cos 37。c。s 40。， COS 49。)： 38。． ． · ． 旧金山到纽约的距离为兀。 = 4 232．04(kin)． 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 7辆 用函数的观点看数列 徐爱国 (江苏省泰兴市第一高级中学，225400) 函数思想是基本的数学思想，函数方法 是数学中的基本方法，在学习中，我们不能忘 记用函数的观点看问题，用 函数方法解决问 题 数列可以看成正整数集上的函数．在解决 数列问题时常常可以用函数方法来解决．本 文着重探讨 函数与数列的内在联系，从函数 观点认清公式本质． 一 、a 及S 与 的函数关系 数列的通项及前 7l项和的作用在于刻画 n 及s 与7l之间的函数关系，因而等差 、等比 数列的通项及前 ”项和都可以看作关于7l的 函数，其图象都是一系列离散的点． (1)等差数列的通项公式为 a =n +( 一 1)d，这 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明点( ，a )在直线Y=dr+(a ～ d)上，其图象是该直线上一系列离散的点 (2)等差数列的前7l项和公式为S =7l(2 + d：导 z+(。 鲁) ，这表明， 当d≠0时，点( ，S )在抛物线Y=詈 + (n。一詈l 上，其图象是该抛物线上一系列 离散的点． 另外，s，=鲁 +(口l一鲁) 还可以变 高中戡学教与学 形为S n：手 +(n。等)，这表明点 ( ， )在直线 ：譬 +(n。一譬)上．其图 象是直线上一系列离散的点 (3)等比数列的通项公式为 n =nl q = Ul矿，这表明当q≠ 1时，点( ，n )在函数 Y= q 图象上，类似于指数函数式的结构特 征，其图象是指数函数图象上的一系列离散 的点 (4)等 比数 列的前 项 和公式 S = q = -_1 q一 1 qq (q≠ 1)，这表 l 一 一 一 ” ⋯ ⋯ 明点( ，S， )在函数 =r 一 旷(q≠ 1)图象上，类似于指数函数式的结构特征，其 图象是指数函数图象上的一系列离散的点． 二、S 与 a 的函数关 系 对于等差、等比数列的通项及前 项和公 式，经过变换，不仅可以得到一系列关于 的 函数，而且还可以得到一系列关于 a 的函数． (1)等差数列的前 项和公式 S ： + d： ，① ． ’ ． 原航线的距离为 1 113．69+1 781．91 +8 241 34+4 232．04= 15 368．98(km) (2)计算新航线的距离 ．_．sin 40。sin 40。+cos40 cos40。cos190。= 0 17， arccos(sin 40。sin 40。+ COS 40。COS 40。c0s 190。)= 100。， ． · ．新航线的距离为生 { 11 136．95(km) (3)新航线 比原航线飞行距离缩短 了 4 232．03(km) 维普资讯 http://www.cqvip.com