数学篇 ·教材辅导 · 《数理化解题研究》2005年第5-,'+tl
浅谈经度纬度 球面距离
★ 山东省莒南县第三中学 (276600) 史纪卿 ●李宝峰
1．对经度与纬度的理解
我们把地球看作一个
标准
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的球体时，地球上某
一 点P的经度是指过这一点的经线 ACD所在的半
平面ACDO，与本初子午线 ABD(即 经线)所在平
面ABDO(即参照面)的二面角 的度数(如图1)；
某一点P的纬度是指过这一点的纬线圈(图2中与
赤道平面平行的圆 0 )上的任意一点 Q与球心 0
的连线OQ，和赤道 ACB(O"度纬线 )所在平面的线面
角0．
图1 图2
说明：①(如图 1)点 P的经度角
栅 = COB= ．
② (如图2)点P的纬度角 POB= QOC=0
③ (如图2)由内错角相等得
POB= OPO =0， QOC= OQO =0
这对解题中的转化是十分重要的．
2．球面上两点间距离的求法
(1)两点在同一纬线圆上
例 l 设地球半径为R，在北纬60。圆上有 、B
两城市， 位于东经 90。，B位于东经 15(1D，求城市
与B的距离．
解题注意 (如图 3)这里 与 B的距离是指球
面上 、B所在大圆的劣弧 AS的长，易错为纬线圆
劣弧AB的长或弦AB的长．
思路分析 (如图 3)① 先求
出 、B两点的经度差LAO B的
度数；② 再解 0 B，求出弦AB
的长；③ 再解AAOB求出球心角
LAOB的弧度数；④由弧度数，求
LAOB所对大圆弧 AB的长． 图3
解 设北纬 60~圆的圆心为 O ，半，倥为 r，则
AO B=150。一90~=60~．
在 Rt A AO，D中，r=R·o0s 60o= R，
所以 AB= 1 R
．
在 DB中，由余弦定理得∞s 0B=詈，
所以 AOB=arc螂专·
因此城市 与B的距离为Rarco0 7
．
(2)两点在同一经线圆上
可直接由这两点的纬度求出球心角的弧度数，计
的弦 AC； 图5
③解AAOC，求得球心角 AOC的弧度数，从
而求得 、C两点的球面距离；
④ 由 、C两点的纬度角求得球心角 肋 C的
弧度数，即可求得 B、C两点的球面距离．
解 把 、B、C看作球面上的三个点，
设M 是赤道上(东经 30。)的点，球心为 0，半径
为R，北纬 45~圆和南纬 30~圆的圆心分别为0．、0 ．
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数学篇 ·教学随笔· 《数理化解题研究》2005年第5期
数学中值得注意的貌合神离
☆ 河北省邯郸市新兴铸管子弟学校 (056300) 侯麦占 ★
在中学数学中，有这样一类题 目，它们与函数形
似而神非，实际上是错题，但在各种资料中，仍屡屡
出现，深值读者注意．
例 已知函数f(sinx)=COSX，求f(cos30。)的值．
解法①： (c。s30。)= (sin60。)=COS60D_÷．
记作Y= (g()c))，x6E ，或 =(f。g)()c)，．x∈E ，称为
由函数 g经过复合运算得到的复合函数．这里
称为外函数，g称为内函数，其中的U称为中间变
量．所以两个函数的合成称作复合函数．
我们再来回顾例题 f(sinx)=cosx，xeR，f(sinx)=
法②： s30~)=f(sinl2o。)=cos120o一}． cos)c：
上面两种解法，两个不同结果，哪个正确呢?分
析计算过程，没有任何错误，那么我们可以断定：此
题有误．误在那里?上面例题中具有 ．厂 )的形式，可
以说是函数问题．
在中学数学中，函数是指特殊的映射，亦即对定
义域内的每一个 自变量)c的值，在值域中都有唯一
的函数值 Y与之对应．
在 某些问题 中，函数的自变量与因变量通过
另外一些变量才建立起来它们之间的对应关系：
设有两个函数 = )，ueD；“= ， E．若F：
{xlg(x)eD，xeE)≠ ，则对每一个xeE ，可通过函
数 g对应 D中唯一一个值 U，而 U又通过函数 ．厂
对应唯一一个值 Y．这样就确定了一个定义在 E’
上，以 )c为 自变量，Y为因变量 (函数值 )的函数，
尢 一 号，2k尢+号) z，
2七尢+号 尢+孚)，
∈Z．
令 U=sinx，)c∈R，贝Ⅱ：
)： 1
．
-- U2
, Uq
“
-
∈(
1
一
,
l
1)
，
’
l】，
~Pf(u)=-4 1一U ，“∈卜1，1】．
可见，“=sinx，xeR是函数，但 )=4-、／广而 ，
“∈卜 1，1】不是函数．因此“f(sinx)=COSX 根本不
是函数，只是和复合函数“貌合神离 ．
与此类似的题目还有：
①函数 Y=f(sinx)：coskx，k=2n+1，neZ；
② 函数 Y=f(C,OSX)=sinkx，keZ且 k≠0．
等等都是错误的表示方法，深值读者注意 !
在 Rt△O01C中，凼为 OCO1 COM 45。，
所以 01c：Rcos45。： R．
又因为 AO C=120。一30。=90。，
所以，在 Rt△ AO C中，AC=R，所 以AAOC
为等边三角形，球，5"I~~AOC= ．因此 A、C两地
的球面距离为 R．
男_方面， DC：45D+30~=75。’卺，
所以B、c两点间的球面距离为卺R’
因此飞机的航程为：÷R+ R=-- 2-尢R．
j l上 叶
由例 2可从地图上找到类似的练习，同学们可
一 试，例如飞机从北京 (约北纬 、东经 120。)起 飞，
向西飞到希腊首都雅典(约北纬40。、东经 30o)，然后
向南飞到南非首都约翰内斯堡(南纬30o、东经30o)，
求飞机飞行距离。
说明：此题容易错把纬线圆的弦长Ae或其劣
弧Ad的长当作球面距离．
当两点不在同一纬度圆上，也不在同一经度圆
上时，由于高考不作要求，这里不再赘述．
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