向量夹角公式在立体几何中的运用

向量 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 c。s< ， >一 ÷1 在立体几何中的运用 (湖北省老河口市第一中学 441800) 耿玉明 在立体几何中，求角和距离问题历来是教学 的重要 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 ，由于其定义中隐含了作辅助线将 空间问题化归为平面问题的 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 思想，导致对该 知识的掌握成为学生学习的难点．在学了向量知 识后，这些添加辅助线的转化思想就可以借助于 向量角公式而大大简化 ，下 面从 5个侧面介绍向 量公式 c。s(n，6>一 在求角和距离时的 运用功能． 功能一：求异面直线所成的角 例1 如图1，四棱锥P～ABCD中，PD_上-平 面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为6O。，在四 边形ABCD中， D一 DAB一 90。，AB一 4，CD = 1，AD 一2，求异面直线 PA与BC所成的角． 解 ：以 DA，DC，DP 所 在直线分别为z轴，Y轴，z 轴建立空间直角坐标系 因为 D一 DAB一 9O。，AB 一 4，CD 一 1， AD 一 2 所 以 A(2，0，O)，C(O， 1，0)，B(2，4，0) 图 l 由 PD_l-平面ABCD，得 PAD为PA与平 面ABCD所成的角， 即 PAD一 60。，在 Rt△PAD中， 由AD 一 2，得 PD一 2√3 所以 P(O，0，2√3)，从而 一 (2，0，一2 )，又葡 一(一2，一3，o)． 所 s c南，赢 一器 一 2×(一2)+0×(一3)+(一2 )×0 、／／西 4 西 13‘ 所以 PA与BC所成的角为 arccos ． 思维点评：建立坐标系后，构造向量商 与蔚 并求出坐标，然后用公式 cos(n >一 求异面直线所成的角． 功能二 求直线与平面所成的角 例 2 如图2，在正四棱锥 P—ABCD 中，PD 上 底面ABCD，底面 ABCD为正方形 ，PD—DC， E、F分别是AB、PB的中点，求 DB与平面DEF 所成角的大小． 解 ：．以 DA、DC、DP所 在直线分别为z轴、Y轴、2 轴建立空间直角坐标系，设 AD 一 口，则有 A(n，0，O)， B(n，n，O)，C(O，n，0)，P(O， 0，n)，E(a， ，O)， 图 2 F(号，号，号) 所以 =(号，号，号)，磅一(n，号，o) 设平面 DEF的法向量为 n一 (z，y，z) fn． o f号(z+ +z)一。 则由 n D-D---~=。得1 aJc+ 一。’ 取 z一 1，则 Y一一2，z一 1 所以 n一 (1，一2，1)，因此 cos c亩 一 一赤 一,百／g 所以 DB与平面DEF所成角的大小为 号一cc。s譬 arcsin√7 -)． - 00西年11月上半月 ． 刺 1 维普资讯 http://www.cqvip.com 思维点评：建立坐标系后，构造向量亩 求出 坐标，并用待定系数法求出平面DEF的法向量rl， 再利用公式c。s(n，6>一 求直线与平面 所成角的补角． 功能三 ：求二面角的平面角 思路 1：转化成平面内垂直于棱 的两条直线所成 的角 例3 如图3，在直三棱柱ABC—A。B。C。中， ACB一90。，AC一1，CB=、／2，侧面AA1B1B的 两条对角线交点为D，若直线C。D与AB所成的角 为 arccOS ，求平面B。BD与面CBD所成二面角 的大小． 解 ：以 CB、GC。、CA 所 在直线分别为X轴、 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0，0，1)，B( ，0，o)， C(O，0，O)，设 021一 n，则 C1(O，口，O)，A1(O，口，1)， D( ，号，专 ， 所 以向量 一 ( ， ： ( ，0，一 1)． 图 3 n 1、 一 ， ’ 因为直线 C1D与AB所成的角为 arccOS ． n 所以 cos( ， >一 2× +(一号)×。+ 1×(_1) 1 、．后 6 所 以 “一 1，因此 B。( ，1，o)， D(譬 1 1)， 面 一 (一 1 1)，面 一( 1 1)， 代人有面 ·百 =一 1十 1十 1一o， 所以 CD上 BD． 51．~ BD 的中点为 G，连结 B G，则 G( ， ÷， 肃 一(一年，～ 3， 1)， 代入有瓦 ·百 一 1一 3 4 ． _ 1 一 o， 所 以 Bl G上 BD ， 所以亩 与 的夹角即为所求二面角的平 面角 ． 所以cos(面 ， >一 面 ． T 丽 一一了’ l CD l·l B-G l 3 所以所求的二面角的大小为丌一arcc。s譬． 思维点评：建立坐标后，在两个半平面内找 (作)出垂直于棱的两条线 CD 与B。G，并构造向 量萄 与瓦 求出坐标，然后用公式cos(a，6)： 求二面角的大小． 思路 2：转化成平面的两条法向量所成的角 例4 如图4，在直三棱柱ABC—A。B。C1中， AB—AC—AA。一 3a，PC．一 2a，PC．的中点，F 是 Cl C上一点，且 CF一 2a，求平面 ADF与平面 AA。B。B所成的二面角大小． 解 ：以 DA、DB、DD1所 在直线分别为 aT．轴、Y轴、z 轴建立空间直角坐标系(D。 是C。B。的中点)，则 A(2 ，0，o)，B(O，“，O)， C(0，一 口，0)，D(0，0，O)， F(O，一 口，2a)， 图 4 一 (2 ，0，o)，葫 一(2 ，一a，o)， 茚 一(O，一“，2a) 设平面ADF的法向量为n。一 (z。，Y。，z。) 则 一 0，Yl一 2，zl一 1，所 以 nl一 (O，2，1) 又 DD。∥面AA。B。B，所以设平面AA。B。B 的法向量为 ，l = (-z ，y ，O) 维普资讯 http://www.cqvip.com 由，l ．葫 一2 一ay 一0取z 一1， 一 2,／g，所以 ，l 一 (1，2,／g，o) 因 此 cos 一 一 下 5 所以平面 ADF与平面 AA。B。B所成的二面 角大小为 arcc。s 4_ 15 ． 思维点评：建立坐标系后，用待定系数法分别 求出平面ADF与平面AA。B。B的两个法向量，l。， ，lz，再利用公式 c。s(口， 一 求出二面 角． 功能四 求点到平面的距离 例 5 如 图 5，在直平行六面体 ABCD— A。B。ClD。中，BD上 DC，BD： DC一1，点 E在 AA-上，且AE一÷AA-，DC-上BE，求点B到平 面 EDC 的距离． 解 ：以DB、DC、DD。所 在的直线分别为z轴、 轴、 z轴建立空间直角坐标系， 则有 A(1，一 1，O)，B(1，0， O)，C(O，1，O)，D(O，0，O)， 设 AA。一 4a，则 E(1，一1， n)，C。(O，1，4a)，所 以向量 图5 一 (o，1，4a)，菌 一(o，一1，n)， 由 。．菌 一一1+4nz一0得 n一 ， 所以 E(1，一 1， 1) ，Cl(O，1，2)， 向量 。一 (o，1，2)， 窗：(1，一1， 1)，菌：(0，一1，专)， 设平面EDC1的法向量为 ，l一 (z，Y，z)，则 f · 一 + 2z= 0 { ．蔚一z— +专 _o， 一 Y一一 2z，取 ，l= (5，4，一 2)． I『 所以 一 一 1，l 1 1(一1)×4+专×(一2) ~／5 +4 +(一2) ————— ==============—一 ’ 即点 B到平面EDC。的距离为 ． 思维点评：建立坐标系后，构造向量菌 求出 坐标，并用待定系数法求出平面 EDC。的法向量 ，l，然后用公式 一 求出点到平面的距 离． 功能五：求异面直线间的距离 例6 如图6，长方体ABCD—A。B。C。D。中， AB一2，AD一4，AA。=6，E是BC的中点，F是 的中点，求异面直线 B E与 D F的距离． 解 ：以彻 、AD、AA。所在 的直线分别为 z轴、 轴、z轴 建立空间直角坐标系，则A(O， O，0)，B(2，0，0)，C(2，4，0)， Bl(2，0，6)，Cl(2，4，6)，D1(O， 4，6)，E(2，2，O)，F(2，4，3) 向量BlE一 (O，2，一6)， D F一 (2，0，一 3)． 图 6 设瓦 与 的公垂向量为，l一( ，y，z)， ． f，l·B1 E一 2y一 6z一 0 则{，1． 一2z～3z—o 一 6，z一2，则 ，l一(3，6，2)，又亩 一 (o，2，3)， 设异面直线 B。E与D。F的距离为d，则 d一 !墨 ：丝j一 ! 垒± !一 1，l 1 F 干 7‘ 所以异面直线 B1E与D。F的距离为 ． 思维点评：建立坐标系后，构造向量茸 求出 坐标，并用待定系数法求出瓦 与 卞的公垂向 量，l，然后用公式d— 竿— 求出异面直线间 l，l l 的距离． ． oo0年11月上半月 剽 ． 剽 ] 维普资讯 http://www.cqvip.com