探讨抛物线对称轴上的定点的性质

探讨抛物线对称轴上的定点的性质 苏立标　 (浙江省杭州师范学院附属高级中学　310030) 　　 抛物线的对称轴上分布着许多特殊的 点, 如焦点、顶点、准线与对称轴的交点等, 这 些“点”蕴涵着抛物线很多引人入胜的几何 特征. 同样地, 与抛物线对称轴上的定点有关 性质也很精彩, 在近几年高考数学及竞赛试 题中频频亮相, 本文试图对其进行总结与归 纳, 为了讨论方便, 本文只讨论抛物线 y 2 = 2p x (p > 0) 的情形. 1　有关定值问题 性质 1　过抛物线 y 2 = 2p x (p > 0) 的 对称轴上任一点 P (m , 0) (m > 0) 作直线与 抛物线交于A ,B 两点, 这两个交点的纵坐标 为 y 1, y 2, 则有 y 1y 2 = - 2pm . 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 　设A B 的方程为 x = ky + m , 代 入抛物线 y 2 = 2p x (p > 0) 得 y 2 - 2p ky - 2pm = 0, 由韦达定理得 y 1y 2 = - 2pm . 性质 2　设 P (- m , 0) (m > 0) 为抛物 线 y 2 = 2p x (p > 0) 的对称轴上任一点, 点Q 是点 P 关于原点的对称点, 点M 在抛物线 上, 设 ∠M PQ = Α, ∠M Q P = Β, 则有 co t2Α - co t2Β = 2mp . 证明 　 设M 的坐标为 (x , y ) , 由题意 知: Q 的 坐 标 为 (m , 0) , 所 以 co t2Α = (x + m ) 2 y 2 , co t2Β = (x - m ) 2 y 2 , 故 co t2Α - co t2Β = (x + m ) 2 - (x - m ) 2 y 2 = 4m x y 2 = 4m x 2p x = 2m p (定值). 2　有关角平分线问题 性质 3　过抛物线 y 2 = 2p x (p > 0) 的 对称轴上任一点 P (m , 0) (m > 0) 作直线与 抛物线交于A ,B 两点, 直线 l: x = - m 交对 称轴于点Q , 则PQ 为∠A QB 的内角平分线. 分析　只要证明 kQA + kQB = 0 即可. 证明　 (1) 当直线A B 的斜率不存在时, 易证明 PQ 平分∠A QB 的内角. (2) 当直线A B 的斜率存在时, 设直线 A B 的方程为 y = k (x - m ) ,A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) , 将直线方程代入抛物线方程得 k 2x 2 - (2m k 2 + 2p ) x + k 2m 2 = 0, 所以 x 1 + x 2 = 2k 2m + 2p k 2 , x 1x 2 = m 2 , 所以 kQA + kQB = y 1 x 1 + m + y 2 x 2 + m = x 1y 2 + x 2y 1 + m (y 1 + y 2) x 1x 2 + m (x 1 + x 2) + m 2 . (3 ) 又 x 1y 2 + x 2y 1 = x 1k (x 2 - m ) + x 2k (x 1 - m ) = k [2x 1x 2 - m (x 1 + x 2) ] = - 2pmk , (1) 另外,m (y 1 + y 2) = m [k (x 1 - m ) + k (x 2 - m ) ] = m k [ (x 1 + x 2) - 2m ] = 2pmk . (2) 把 (1) , (2) 代入 (3 ) 得: kQA + kQB = 0, 命题得证. 引申 　 (2004 年湖南省高考试题) 过抛 物线 y 2 = 2p x (p > 0) 的对称轴上任一点 P (m , 0) (m > 0) 作直线与抛物线交于A ,B 两点, 点Q 是点P 关于原点的对称点. 设点P 分有向线段A B 所成的比为 Κ, 证明: Q P ⊥ (QA - ΚQB ). 证明　过A ,B 两点分别作A M ⊥ x 轴, B N ⊥ x 轴. Q P ⊥ (QA - ΚQB ) Ζ Q P õ (QA - ΚQB ) = 0Ζ û Q P û õ û QA ûco s∠A Q P -Κû Q P ûû QB ûco s∠B Q P = 0Ζû QA ûco s∠A Q P - Κû QB ûco s∠B Q P = 0Ζ û QM û = Κû QN ûΖ û QM ûû QN û = ΚΖ û QM ûû QN û = Κ = û A P ûû PB û = û A M ûû B N û Ζ û QM ûû QN û =û A M ûû B N û Ζ û QM ûû A M û = û QN ûû B N û Ζ tan∠A Q P = ·32·2006 年第10 期 　　　　　　　　　　　　中学数学月刊　　　　　　　　　　　　　　 © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net tan∠B Q P Ζ ∠A Q P = ∠B Q P. 此证明方法使我们从向量与几何的视角 去考虑问题, 也从本质上看清楚“引申”与性 质 3 是等价的. 另外也可以直接利用性质 3 来证明“引申”, 如下: 由性质 3 知: Q P 为 ∠A QB 的内角平分线, 所以由内角平分线定 理知: û QA ûû QB û = û A P ûû PB û , 又 û A P ûû PB û = Κ, 故û QA ûû QB û = Κ] û QA û = Κû QB û ] û QA ûû Q P û = Κû QB ûû Q P û. 又因为∠A Q P = ∠B Q P , 所以 û Q P ûõû QA ûco s∠A Q P - Κû Q P ûû QB û õ co s∠B Q P = 0Ζ Q P õ (QA - ΚQB ) = 0. 性质 4　过抛物线 y 2 = 2p x (p > 0) 的 对称轴上任一点 P (- m , 0) (m > 0) 作直线 与抛物线交于A ,B 两点,Q 是 P 关于原点的 对称点, 则 PQ 为∠A QB 的外角平分线. 分析　只要证明 kA Q + kB Q = 0 即可. 证明　设直线A B 的方程为 y = k (x + m ) ,A (x 1, y 1) ,B (x 2, y 2) , 将直线方程代入抛 物线方程得 k 2x 2 + (2m k 2 - 2p ) x + k 2m 2 = 0, 所以 x 1 + x 2 = - 2k 2 m - 2p k 2 , x 1x 2 = m 2 , 所以 kA Q + kB Q = y 1 x 1 - m + y 2 x 2 - m = x 1y 2 + x 2y 1 - m (y 1 + y 2) x 1x 2 - m (x 1 + x 2) + m 2 . (3 ) 又 x 1y 2 + x 2y 1 = x 1k (x 2 + m ) + x 2k (x 1 + m ) = k [2x 1x 2 + m (x 1 + x 2) ] = 2pmk , (1) 另外,m (y 1 + y 2) = m [k (x 1 + m ) + k (x 2 + m ) ] = m k [ (x 1 + x 2) + 2m ] = 2pmk . (2) 把 (1) , (2) 代入 (3 ) 得: kA Q + kB Q = 0, 命题得证. 引申　过抛物线 y 2 = 2p x (p > 0) 的对 称轴上任一点 P (- m , 0) (m > 0) 作直线与 抛物线交于A ,B 两点, 点Q 是点P 关于原点 的对称点, 过Q 且平行于 y 轴的直线交直线 A B 于C 点, 则CQ 为∠A QB 的内角平分线. 分 析 　 只 要 证 明: ∠PQA = ∠B Q x Ζ kA Q + K BQ = 0, 所以由性质 4 即可 得到证明. 3　有关过定点问题 性质 5　过抛物线 y 2 = 2p x (p > 0) 的 对称轴上任一点 P (m , 0) (m > 0) 作直线与 抛物线交于A ,B 两点, 直线 l: x = - m 交对 称轴于点Q ,B C ∥PQ , 点C 在直线 l上, 则直 线A C 过 PQ 的中点O. 分析　此性质是 2001 年全国高考数学 试题的一个推广. 证明 　 设 A y 2 1 2p , y 1 ,B y 22 2p , y 2 , 得 C (- m , y 2) , 则由性质 1 知: y 1y 2 = - 2pm . 又因为 kOA = y 1y 21 2p = 2p y 1 , kOC = y 2 - m = 2p y 2 - 2pm = 2p y 2 y 1y 2 = 2p y 1 , 故 kOA = kOC , 所以A , C ,O 三点共线, 即直线A C 过 PQ 的中点O. 性质 6　 过定点 P (m , 0) (m < 0) 作一 直线 l 交抛物线C: y 2 = 2p x (p > 0) 于A ,B 两点, 又B 关于 x 轴的对称点为B 1, 连结A B 1 交 x 轴于点Q , 则直线A B 1 恒过一定点. 图 1 证明　如图 1 所示, 设A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) , 而B 1 与 B 关于x 轴对称, 则 B 1 (x 2, - y 2) , 直线 A B 的方程为: y - y 1 = kA B (x - x 1) , 其中 kA B = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = 2p y 1 + y 2 , 则A B : y = 2p xy 1 + y 2 + y 1y 2 y 1 + y 2 , 同理A B 1: y = 2p xy 1 - y 2 - y 1y 2 y 1 - y 2 . 又 A B 过点 (m , 0) , 则 0 = 2pmy 1 + y 2 + y 1y 2 y 1 + y 2 , 于是 y 1y 2 = - 2pm. 因此直线 A B 1 的方程可改写为: y = 2p x y 1 - y 2 + 2pm y 1 - y 2 , 即: y = 2py 1 - y 2 (x + m ). 所以可知直线A B 1 恒过点 (- m , 0). ·42·　　　　　　　　　　　　　　　中学数学月刊　　　　　　　　　　 2006 年第10 期 © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net