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学篇★ 塑．里 垦研究 l 2000#-~5期
想
方法
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．
I．函数思想
我们可以利用离心率和相关元素之间的关系建
立目标函数，通过对函数性质的研究去求解离心率
的范围 ．
j．j利用函数值域求解
例 l 一组椭圆的长轴长均为 8，都以Y轴为左准
线，且椭圆左顶点都在抛物线 =X一2上，求这些椭
圆离心率 P的变化范围．
解 设椭圆左顶点为 ，y)．左焦点为F，则
IeFI=a-c=a(1 则 4—4e=ex，P= ．
而 ≥2．从而 0
6>0j
的左．右焦点，P为椭圆上异于长轴两端点的任一
点，i~~LPFlF2=％LPFrF ： ，若了1o 2~oe[4，号】解不等式得 6>0)上一
点，且 尸 =90~、其中 F．、 是椭圆的两个焦点、
求椭圆离心率 e的取值范围
解 由椭圆定义知 lPF {+IP l=2a，S(ZF PF =
90口，则l l +lPF2l =lF F2r=4d，从而可得lPF．1．1 l
= 2(a 一 ．可见l尸 l，l尸F-l是方程产一2at+2( 一，)=
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★教学篇★ 数 理 化 解 题 研 究 2000年第5期
0的两实根，则△=一4a2+8d>~0 (三
a
≥ 2号P=音
≥ 呈 又e6>0)的长
轴两端点是 A，B，若 C上存在点 P使 APB 120。，
求椭圆 的离心率 e的取值范围．
解 根据椭圆的对称性，不妨设 ， 的坐标
满足 o≤ <口，0b>O)iN一点P
y )．使 0P = ，其中A为椭圆的右顶点，0
为坐标原点，求椭圆离心率 e的取值范围．
解 由 0PA=900，知 0、P、A三点确定圆的
方程为 +y 一口 =0① ，又点 P(x ， ．)在椭圆上，
则6 x +幻 ~=aZb ②．联立①、②得出(6 一4 ) +口
一 n 0又 ≠Ⅱ-则 — < 解得詈> -
一(告) c{一 一P2 ÷一e 半．又e ，则
(半 1)．
2．4利用图形特征列不等式
'
1r 例 8 已知双曲线
Ⅱ
x -
一 寺 l的左 右焦点为
，I、 ，左准线为 ，P是双曲线左半支上一点，并且
有 lPF．I是P到 j的距离 d与 jP l的比例中项，求双
21
曲线离心率 e的范围．
解 由已知得而IPFzl=丁IPFtl=e IPF I=eI l
，
又l删一 I_2 得 I 告 ，l l 普
在 △ 尸，．F 中，由 图形 性 质 可 知 l ．1+} l≥IF F2l
=2c 三掣 >12c 兰 ≥P P2—2e一1≤0，又
P>1，则 1，√ +lJ．
以上介绍了解决求圆锥曲线离心离范围常用的
两种数学思想和八种具体操作方法．当然也可以用
其它数学思想和方法处理此类问题，限于篇幅．本文
不再介绍 (收稿日期：2000-01一l0’
(上接 13页)
例 6 五个人排成一排照像，要求 与B不相
邻 ，且 与 C也不相邻的不同排法有多少种?
解析 分两类情形求解．① 、B C两两均不相
邻，先排其余 2人有 碍种方法，这2人之间及两头有 3
个空档，排列 、B、c即可，有 种方法．于是，有
=12种；② B、C相邻．但均与A不相邻，也是先安
排其余 2人有 种方法，把 B．C看成一个“新元
素 ，从 3个空档中任选一个排列这个 新元素’有 c
种方法，最后从余下的 2个空档中任选一个安排
有 种方法，于是有 c C =24种．因此，共计有
12+14=36种 ．
5．剔除法
解较复杂的排列，组合问题，除了从正面考虑之
外，有时，我们也可从问题的反面人手，先求出不符
合条件的排列、组合种数，然后从整体中减去这些不
符合条件的种数，剩下的就是符合条件的种数，这种
思考问题的方法就是剔除法，
例 7 四面体的顶点和各棱中点共 10个点，在
其中取 4个不共面的点，不同的取法共有多少种?
解析 10个点中任取 4个点的取法有 c 种，其
中一个嘶内的6个点中任取 4个点都共面，有 种
取法，同理在其余 3个面内的类似情形也各有 种
取法；每条棱与相对棱中点共面有 6种；各棱中点中4
点共面的有 3种．故 lO个点中取 4点，不共面的取法
共有 c 一(4 +6+3)=141种．
剔除法是一种 正难则反 的思 维策略．有些 复
杂的排列组合问题，当从正面考虑不易人手时 甩此
法往往能奏效，该方法也是 检验解题结果是否正确
的好
办法
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(收稿耳期 1999-】2一弱
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