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首页 高考数学解题方法探讨 数学破题36计(1-9计)-高中生家园 20081107_3987865…

高考数学解题方法探讨 数学破题36计(1-9计)-高中生家园 20081107_3987865_0

高考数学解题方法探讨 数学破题36计(1-9计)-高中生家园 …

丽水和
2008-12-27 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高考数学解题方法探讨 数学破题36计(1-9计)-高中生家园 20081107_3987865_0doc》,可适用于求职/职场领域

考网|精品资料共享wwwokshacom你的分享大家共享第计芝麻开门点到成功●计名释义七品芝麻官说的是这个官很小就是芝麻那么小的一点《阿里巴巴》用“芝麻开门”讲的是“以小见大”就是那点芝麻竟把那个庞然大门给“点”开了数学中以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等这些足以说明“点”的重要性因此以点破题点到成功就成了自然之中、情理之中的事了●典例示范[例题](年鄂卷第题)将杨辉三角中的每一个数都换成分数就得到一个如下图所示的分数三角形称来莱布尼茨三角形从莱布尼茨三角形可以看出其中令则[分析]一看此题图文并举篇幅很大还有省略号省去的有无穷之多真乃是个庞然大物从何处破门呢?我们仍然在“点”上打主意莱布三角形它虽然没有底边但有个顶点我们就打这个顶点的主意[解Ⅰ]将等式与右边的顶点三角形对应(图右)自然有对此心算可以得到:n=r=x=对一般情况讲就是x=r这就是本题第空的答案[插语]本题是填空题只要结果不讲道理因此没有必要就一般情况进行解析而是以点带面点到成功要点明的是这个顶点也可以不选大三角形的顶点因为三角形中任一个数都等于对应的“脚下”两数之和所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形都能解出x=r第道填空仍考虑以点带面先抓无穷数列的首项[解Ⅱ]在三角形中先找到了数列首项并将和数列中的各项依次“以点连线”(图右实线)实线所串各数之和就是an这个an就等于首项左上角的那个因为在向下一分为二进行依次列项时我们总是“取右舍左”而舍去的各项(虚线所串)所成数列的极限是因此得到EMBEDEquation这就是本题第空的答案[点评]解题的关键是“以点破门”这里的点是一个具体的数采用的方法是以点串线三角形中的实线实线上端折线所对的那个数就是问题的答案事实上三角形中的任何一个数(点)都有这个性质例如从这个数开始向左下连线(无穷射线)所连各数之和(的极限)就是这个数的左上角的那个数用等式表示就是[链接]本题型为填空题若改编成解答题那就不是只有分的小题而是一个分以上的大题有关解答附录如下[法]由知可用合项的办法将的和式逐步合项EMBEDEquationEMBEDEquationEMBEDEquationEMBEDEquation[法]第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和即根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和结合给出的数表可逐次向上求和为故从而[法]()将代入条件式并变形得取令得………以上诸式两边分别相加得[说明]以上三法都是对解答题而言如果用在以上填空题中则是杀鸡动用了牛刀为此我们认识到“芝麻开门点到成功”在使用对象上的真正意义●对应训练.如图把椭圆的长轴AB分成份过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于PP…P七个点F是椭圆的一个焦点则|PF||PF|……|PF|=.如图所示直三棱柱ABCABC中PQ分别是侧棱AACC上的点且AP=CQ则四棱锥BAPQC的体积与多面体ABCPBQ的体积比值为●参考解答.找“点”椭圆的另一个焦点F连接PF、PF、…、PF由椭圆的定义FPPF=a=如此类推FPPF=FPPF=…=FPPF=×=由椭圆的对称性可知本题的答案是的一半即.找“点”动点P、Q的极限点如图所示令AP=CQ=即动点P与A重合动点Q与C重合则多面体蜕变为四棱锥CAABB四棱锥蜕化为三棱锥CABC显然V棱柱∴∶=于是奇兵天降答案为[点评]“点到成功”的点都是非一般的特殊点它能以点带面揭示整体制约全局这些特殊点在没被认识之前往往是人们的盲点只是在经过点示之后成为亮点的这个“点”字既是名词又是动词是“点亮”和“亮点”的合一第计西瓜开门滚到成功●计名释义比起“芝麻”来“西瓜”则不是一个“点”而一个球因为它能够“滚”所以靠“滚到成功”球能不断地变换碰撞面在滚动中能选出有效的“触面”数学命题是二维的一是知识内容二是思想方法基本的数学思想并不多只有五种:①函数方程思想②数形结合思想③划分讨论思想④等价交换思想⑤特殊一般思想数学破题不妨将这五种思想“滚动”一遍总有一种思想方法能与题目对上号●典例示范[题](年赣卷第题)对于R上可导的任意函数f(x)若满足(x-)f((x)(则必有Af()+f()<f()Bf()+f()≤f()Cf()+f()≥f()Df()+f()(f()[分析] 用五种数学思想进行“滚动”最容易找到感觉应是③:分类讨论思想 这点在已条件(x)f'(x)≥中暗示得极为显目其一对f'(x)有大于、等于和小于三种情况其二对x也有大于、等于、小于三种情况因此本题破门首先想到的是划分讨论[解一](i)若f'(x)≡时则f(x)为常数:此时选项B、C符合条件(ii)若f'(x)不恒为时则f'(x)≥时有x≥f(x)在上为增函数f'(x)≤时x≤即f(x)在上为减函数此时选项C、D符合条件综合(i)(ii)本题的正确答案为C[插语]考场上多见的错误是选D忽略了f'(x)≡的可能以为(x)f'(x)≥中等号成立的条件只是x=其实x=与f'(x)=的意义是不同的:前者只涉x的一个值即x=而后是对x的所有可取值有f'(x)≡[再析]本题f(x)是种抽象函数或者说是满足本题条件的一类函数的集合而选择支中又是一些具体的函数值f()f()f() 因此容易使人联想到数学⑤:一般特殊思想[解二](i)若f'(x)=可设f(x)=1 选项B、C符合条件(ii)f'(x)≠可设f(x)=(x)又 f'(x)=(x)满足 (x)f'(x)=(x)≥而对f(x)=(x)有f()=f()=f()=选项CD符合条件综合(i)(ii)答案为C[插语]在这类f(x)的函数中我们找到了简单的特殊函数(x)如果在同类中找到了(x)(x)自然要麻烦些由此看到特殊化就是简单化[再析]本题以函数(及导数)为载体数学思想①“函数方程(不等式)思想”贯穿始终如由f((x)=找最值点x=由f((x)>(<)找单调区间最后的问题是函数比大小的问题由于函数与图象相联因此数形结合思想也容易想到[解三](i)若f()=f()=f()即选BC则常数f(x)=符合条件(右图水平直线)(ii)若f()=f()<f()对应选项A(右图上拱曲线)但不满足条件(x)f((x)≥若f()=f()>f()对应选项CD(右图下拱曲线)则满足条件(x)f((x)≥[探索]本题涉及的抽象函数f(x)没有给出解析式只给出了它的一个性质:(x)f((x)≥并由此可以判定f()f()≥f()自然有这种性质的具体函数是很多的我们希望再找到一些这样的函数[变题]以下函数f(x)具有性质(x)f((x)≥从而有f()f()≥f()的函数是Af(x)=(x)Bf(x)=(x)Cf(x)=(x)Df(x)=(x)[解析]对Af()=f()=f()=不符合要求对Bf()无意义对Cf()=f()=f()=不符合要求答案只能是D对Df()=f()=f()=且f((x)=(x)使得(x)f'(x)=(x)(x)≥[说明]以x=为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数如f((x)=(x)其中mn都是正整数且n≥m[点评]解决抽象函数的办法切忌“一般解决”只须按给定的具体性质“就事论事”抽象函数具体化这是“一般特殊思想”在解题中具体应用[题]已知实数xy满足等式试求分式的最值。[分析]“最值”涉及函数“等式”连接方程函数方程思想最易想到[解一](函数方程思想运用)令EMBEDEquationy=k(x)与方程联立消y得:根据x的范围应用根的分布得不等式组:解得即≤≤即所求的最小值为最大值为[插语]解出≤≤谈何易!十人九错早就应该“滚开”用别的思想方法试试[解二](数形结合思想运用)由得椭圆方程看成是过椭圆上的点(xy)()的直线斜率(图右)联立得令得故的最小值为最大值为[插语]这就是“滚动”的好处解二比解一容易多了因此滚动开门不仅要善于“滚到”还要善于“滚开”[点评]“西瓜开门”把运动学带进了考场解题滚动能克服解题的思维定势解题时要打破思维固化在思想方法上要“滚动”在知识链接上要“滚动”在基本技能技巧上也要“滚动”总之面对考题在看法、想法和办法上要注意“滚动”●对应训练若动点P的坐标为(x,y)且lgylg|x|lg成等差数列则动点P的轨迹应为图中的()函数y=(≤x<)的反函数是()Ay=(<x≤)By=(<x≤)Cy=(≤x<)Dy=(≤x<)设a,b,c∈R,且abc>,abc<,则下列结论中正确的是()Ab≤acBb>acCb>ac且a>Db>ac且a<●参考答案【思考】利用题设的隐含条件由条件知x≠,y>且y>x选项B中无x<的图像选项D中无x>的图像均应否定当x=y∈R时lg无意义否定A,选C.【点评】上面的解法中条件与选项一并使用滚滚碰碰中终于找到了正确的选项本题的常规解法是:当x≠且y>x时由lgylg=lg|x|化简可得(xy)(xy)=∴y=x或y=x(x≠,y>)【思考】分析各选项仅解析式符号有区别定义域中等号的位置有区别所以拟从这两方面滚动着手排除错误的选项原函数定义域为≤x<∴其反函数值域为≤y<排除B、D∵原函数中f()=,∴反函数中f()=,即x=时f(x)有定义,排除C,∴选A.解析一分析四个选择支之间的逻辑关系知,若C真,则B也真若D真,则B也真,故C、D皆假取符合条件abc>,abc<的实数a=,b=,c=检验知选B解析二由选择支,联想到二次函数的判别式令f(x)=axbxc,则f()=abc>,f()=abc<,故Δ=bac>,即b>ac,故选B【点评】在解题时易受题设条件的干扰,企图从已知不等式出发:b<ac,①b<ac,②①×②不等号的方向无法确定,思维受阻用逻辑分析法和特殊值检验的方法两种方法滚动使用简便明快,如解析一用判别式法逻辑性强但思路难寻,如解析二一般在做题时,为了使选择题解题速度变快,推荐学生使用解析一第计诸葛开门扇到成功●计名释义诸葛亮既不会舞刀也不会射箭他的兵器就是他手中的那把扇子草船借箭用扇子借东风也是用扇子有人把“借东风”的意思弄肤浅了以为东风就是东边来的风其实这里真正所指是“东吴”的风在赤壁大战中刘备哪是曹操的对手后来能把曹兵打败借的就是东吴的力量数学解题的高手们都会“借力打力”这就是数学“化归转换思想”的典型应用●典例示范[题]已知f(x)=试求f()f()…f()…f()的值[分析] 若分别求f(x)在x=……时的个值然后相加这不是不行只是工作量太大有没有简单的办法?我们想“借用”等差数列求和时“倒序相加”的办法于是我们关心f(x)f(x)的结果[解析]因为f(x)f(x)===所以f()f()…f()…f()=[(f()f())(f()f())…(f()f())]=[f(x)f(x)]×=[点评]这里“借来”的不是等差数列本身的性质而是等差数列求和时曾用过的办法倒序相加法●对应训练已知sinαsinβsinγ=(α、β、γ均为锐角)那么cosαcosβcosγ的最大值等于求已知离心率e=,过点(,)且与直线l:xy=相切于点P(),长轴平行于y轴的椭圆方程若椭圆(a>)与连结A(,),B(,)两点的线段没有公共点,求a的取值范围●参考答案命sinα=sinβ=sinγ=,则cosα=cosβ=cosγ=α、β、γ为锐角时cosα=cosβ=cosγ=∴cosαcosβcosγ=(注:根据解题常识最大值应在cosα=cosβ=cosγ时取得)解析按常规,设椭圆中心为(x,y),并列出过已知点P的切线方程,联立消参可求得椭圆方程若借极限思想,将点椭圆视为椭圆的极限情况,则可简化运算过程已知e=,则a=b设长轴平行于y轴且离心率e=的椭圆系为(x把点P(看做当k→时的极限情形(点椭圆),则与直线l:xy=相切于该点的椭圆系即为过直线l与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程:(x又所求的椭圆过()点,代入求得λ=因此所求椭圆方程为x=点评将点椭圆视为椭圆的极限情况处理问题,减少了运算量,简化了运算过程解析若按常规,需分两种情况考虑:①A,B两点都在椭圆外②A,B两点都在椭圆内若借用补集思想则避免了分情况讨论,使计算简洁设a的允许值的集合为全集I={a|a∈R,a>},先求椭圆和线段AB有公共点时的取值范围易得线段AB的方程为y=x,x∈[,],由方程组,x∈[,],a的值在[,]内递增,且x=和x=时分别得a=或a=,故≤a≤∵a>,∴≤a≤故当椭圆与线段AB无公共点时,a的取值范围为<a<或a>第计关羽开门刀举成功●计名释义关羽不同于诸葛诸葛是智星靠着扇子关羽是武士用的大刀“过关斩将”用这大刀“水淹七军”用这大刀数学上的“分析”、“分解”、“分割”等讲的都是刀工关羽的“切瓜分片”是什么意思?切者七刀也分者八刀也!再难的数学题经过这七刀、八刀最后不就粉碎了吗!●典例示范[例](年四川卷第题)如图在长方体ABCDABCD中E、P分别是BC、AD的中点M、N分别是AE、CD的中点AD=AA=aAB=a(Ⅰ)求证:MN∥面ADDA(Ⅱ)求二面角PAED的大小(Ⅲ)求三棱锥PDEN的体积[分析]这是个长方体而“长”正好是“宽”和“高”的倍这正是“关羽开门”的对象:用刀从中一劈则分成个相等的正方体对于正方体我们该多么熟悉啊!有关线段的长度各线段间的位置关系我们都了如指掌[解Ⅰ]取DC的中点Q过Q和MN作平面QRST显然M、N都在这平面里易知QN和SM都平行于平面BCCBMN∥BCCBMN∥面ADDA(证毕)[插语]其所以这么简单是因为我们对正方体熟悉正方体从何而来感谢关羽的大刀之功以后的(Ⅱ)和(Ⅲ)都可转化到正方体里进行(从略)【例】(·重庆卷题)设p>是一常数过点Q(p)的直线与抛物线y=px交于相异两点A、B以线段AB为直径作圆H(H为圆心)(Ⅰ)试证:抛物线顶点在圆H的圆周上(Ⅱ)并求圆H的面积最小时直线AB的方程【分析】(Ⅰ)AB是圆H的直径欲证抛物线的顶点在圆上有如下各种对策:()证|OH|=|AB|()证|OA||OB|=|AB|()证∠AOB=°,即OA⊥OB等显然利用向量知识证=,当为明智之举【解答】(Ⅰ)当AB⊥x轴时直线AB的方程为x=p,代入y=pxy=p,y=±p,∴|AB|=|yy|=p显然满足|OQ|=|AB|,此时Q、H重合,∴点Q在⊙H上如直线AB与x轴不垂直设直线AB:y=tanα(xp),x=,代入:y=tanα·ptanα即tanα·ypyptanα=此方程有不同二实根yy,∴yy=,yy=p∵=xxyy=yy=p=∴,故点O仍在以AB为直径的圆上【分析】(Ⅱ)为使圆面积最小只须圆半径取到最小值为此不可避免的要给出直径AB之长的函数表达式直观上我们已可推测到当AB⊥x轴时弦AB之长最短(这就是论证方向)为此又有多种途径:()用直线的点斜式与抛物线方程联立得关于x(或y)的一元二次方程利用韦达定理写出|AB|的函数式再用二次函数或均值不等式的知识求其最值()用直线的参数方程与抛物线方程联立得关于参数t的一元二次方程利用韦达定理写出|AB|=(tt)的函数表达式再依正、余弦函数的有界性求其最值这两种方法各有优长但都须牵涉到两个变量x,y,以下我们推荐利用投影公式得出的|AB|函数式只牵涉一个变量【解答】(Ⅱ)直线AB的倾角为α,当α=°时⊙H的半径为p,S⊙H=πp当α≠°时不妨设α∈[,)则综上|AB|min=p,当且仅当α=°时(S⊙H)min=πp,相应的直线AB的方程为:x=p别解:由()知恒有∠AOB=°∴||=|=≥xxp(xx)≥xxp∵yy=p,∴xx=于是||≥p,||min=p当且仅当x=x=p时S⊙H=πp【点评】斧子开门只要你说要进去直接在墙上打洞最直接了●对应训练已知函数f(x)=axaxax…anxn,n∈N,且a,a,…an构成一个数列{an},满足f()=n()求数列{an}的通项公式并求之值()证明<f<矩形ABCD中,AB=,BC=,沿对角线BD将△ABD向上折起使点A移到点P,并使点P在平面BCD上的射影O在DC上(如图所示)()求证:PD⊥PC()求二面角PDBC的大小●参考答案分析:(){an}的各项是f(x)展开式中各项的系数故其各项和Sn=f()()可以预见:f展开式的各项是系数成等差字母成等比的综合数列这种数列的求和方法是“错项相减”()f的解析式必含变量n,为判断其范围可考虑用求导法判断其单调性解答:()∵f()=aa…an=n,即Sn=n,∴an=SnSn=n,=EMBEDEquation()由()知an=n∴f=×①②①②:f====设g(x)=,∵g′(x)=x(x)·xln·()=∴g(x)是R上的减函数从而g(n)是N上的减函数[g(n)]max=g()=,又当n→∞时,g(n)→,∴∈,从而f∈分析:图形经过翻折(或平移、旋转)只是位置改变而有关线段的长度、角度及原来的平行、垂直等关系在位置改变前后都没有改变紧扣这一点就能悟出解题门道()为证PD⊥PC,须先证PD⊥平面PBC,已有PD⊥PB(翻折前为AD⊥AB),还须PD⊥BC()求二面角的要点是找出二面角的平面角已有PO⊥平面BCD于O,且O∈CD,只须作OM⊥BD即可解答:()由条件知PO⊥平面BCD于O,且O∈CD,BC⊥CD,∴BC⊥PD(三垂线定理),但PD⊥PB,∴PD⊥面PBC,从而PD⊥PC()作OM⊥BD于M连接PM,则BD⊥PM(三垂线定理),∴∠PMO是二面角PBDC的平面角,∵PB=,PD=,∴BD=,PM==,已证PD⊥PC,∴PC=,PO=sin∠PMO=,∠PMO=arcsin,即所求二面角PDBC的大小为arcsin第计才子开门风情万种●计名释义所谓才子就是才思繁捷的弟子数学才子也像画学才子一样胡洒乱泼墨皆成画这里人们看到的“胡乱”只是外表在里手看来科学的规律艺术的工夫全藏肘后别人肩上的重负移到他的掌上都成了玩意儿●典例示范[引例]试比较以下三数的大小:[解一]建构函数法设f(x)=EMBEDEquationf'(x)=ln≤f(x)为减函数>>[旁白]才子一看发现是个错解于是有以下的评语[评语]学了导数可糟糕杀鸡到处用牛刀单调区间不清楚乱用函数比大小[解二] 作差比较法=<=>[旁白]才子一看答案虽是对的但解题人有点过于得意因此得到以下评语[评语]解题成本你不管别人求近你走远作差通分太费力面对结果向回转[旁白]大家听才子这么说纷纷要求才子本人拿出自己的解法来于是有了以下的奇解[奇解]×=<×=>>>[旁白]大家一看十分惊喜但对解法的来历有点奇怪于是才子有了如下的自评[自评]标新本来在立意别人作商我作积结果可由心算出不用花费纸和笔[旁白]这时上面那位提供解法一的人有点不服气:难道“求导法”就不能解出此题吗?才子回答:当然能!不过需要“统一单调区间”请看下解[正解]f(x)=EMBEDEquationf'(x)=ln<(x≥)EMBEDEquation>>>>[旁白]大家一看齐声说妙要求才子再评说一下于是又有了下面的奇文[评语]因为数比e大单调区间从划数也在本区间故把数搬个家【例】已知向量a=()b是不平行于x轴的单位向量且a·b=则b=()A.()B.(,)C()D.()【特解】由|b|=排除C又b与x轴不平行排除D易知b与a不平行排除A答案只能为B【评说】本解看似简单但想时不易要看出向量b与A()是平行向量一般考生不能做到【别解】因为b是不平行于x轴的单位向量可排除C、D两项又a·b=,将A代入不满足题意,所以答案只能为B【评说】本题通过三次筛选才得出正确答案,思维量很大,到A、B选项时还需动手计算真是淘尽黄沙始是金啊!【另解】设b=(cosα,sinα),则a·b=(,)·(cosα,sinα)=cosαsinα=sin(°α)=在区间(π)上解α得:α=°故b=()【评说】本题涉及解三角方程并确定解答区间这不是一个小题的份量【错解】选A者,误在(a选C者,误在|(EMBEDEquation)·a|=选D者没有考虑到()与x轴平行【评说】本题三个假支的设计其质量很高各有各的错因相信各有各的“选择人”●对应训练若奇函数f(x)在(,∞)上是增函数,又f()=,则{x|x·f(x)<}等于()A{x|x>或<x<}B{x|<x<或x<}C{x|x>或x<}D{x|<x<或<x<}某工程队有项工程需要先后单独完成其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行工程丙必须在工程乙完成后才能进行又工程丁必须在工程丙完成后立即进行那么安排这项工程的不同排法种数是(用数字作答)●参考答案分析由函数的奇偶性和单调性概念入手结合其草图即可写出所求答案解析一由f(x)为奇函数且f()=,得f()=又f(x)在(,∞)上是增函数,据上述条件作出满足题意的y=f(x)草图(如图()),在图中找出f(x)与x异号的部分,可以看出x·f(x)<的解集为{x|<x<或<x<},选D()()解析二由f()=得f()=,又f(x)在(,∞)上为增函数,∴作出y=f(x)(x>)的草图(如图()),∵x、f(x)均为R上的奇函数,∴x·f(x)为偶函数,∴不等式x·f(x)<的解集关于原点对称,故先解借助图象得<x<,由对称性得x·f(x)<的解集为{x|<x<或<x<},故选D解析三借助图()或图(),取特殊值x=,知适合不等式x·f(x)<,排除A、C又奇·奇=偶,∴x·f(x)为偶函数,解集关于原点对称,又可排除B,故选D【点评】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的有关内容正确理解,掌握相关性质,是解题的基础与关键在选择题中,如果出现抽象函数,一般用特殊值法会比较快捷,如解析三,判断抽象函数单调性的基本方法是定义法,如果掌握了一些基本规律,可简化解题过程,如解析二奇(偶)±奇(偶)=奇(偶),奇(偶)·奇(偶)=偶数形结合是解题的常用技巧,对于某些题目,做题时无需精确作图,只要勾画出图象的大体结构,作出草图即可【分析】排列组合解应用题个元素作有限制的排列,其中个元素有先后顺序并且CD捆绑之后成为一个元素问题有一定的难度加法原理和乘法原理都能考虑【通解】考查有条件限制的排列问题其中要求部分元素间的相对顺序确定:据题意由于丁必须在丙完成后立即进行故可把两个视为一个大元素先不管其它的限制条件使其与其他四人进行排列共有A种排法在所有的这些排法中甲、乙、丙相对顺序共有A种故满足条件的排法种数共有=【正解】个元素设作A,B,(C,D),x,y将排列种数分两类:第一类,x,y相连,在A,B,(C,D)之间或两头插位,有C=种方法第二类,x,y不连,在A,B,(C,D)之间或两头插位,有C=种方法【评说】先分类:“相连”与“不连”为完全划分后分步:第步组合第步排列也是完全划分【另解】个元素设作AB(CD)x,y五个时位设作a,b,(c,d),e,f第步考虑元素x到位有种可能第步考虑元素y到位有种可能第步AB(CD)按顺序到位只种可能由乘法原理方法总数为×=种【评说】“另解”比“正解”简便但思维要求高在元素x和y已到位之后在留下的个位置上AB(CD)按序到位情况只种这点一般学生不易想通【别解】设所求的排法总数为x种在每个排好的队列中取消AB(CD)元素的限序则有xP=Px==×=【评说】别解也是“想得好算得省”用的是乘法原理P=P=P第计勇士开门手脚咚咚●计名释义一个妇女立在衙门前的大鼓旁边在哭一勇士过来问其故妇女说:“我敲鼓半天了衙门还不开”勇士说:“你太斯文这么秀气的鼓捶能敲出多大声音?你看我的!”说完勇士扑向大鼓拳打脚踢一会儿果然衙门大开衙役们高呼:“有人击鼓请老爷升堂!”考场解题何尝不是如此:面对考题特别是难题斯文不得秀气不得三教九流不拘一格唯分是图雅的俗的一并上阵●典例示范【例】已知x,y∈,a∈R且,则cos(xy)的值为()ABCD【思考】代数方程中渗入了三角函数不可能用初等方法“正规”地求出它的解但两个方程有较多的形似之处能否通过适当的变形使之由“形似”到“神似”呢?解:由条件得:∴x,y是方程tsinta=之二根【插语】这是勇士之举采用手脚并用谁会想到用方程根来解决它呢设f(t)=tsinta当t∈时均为增函数而a为常数∴上的单调增函数∵f(x)=f(y)=∴只能x=y,即xy=于是cos(xy)=选B【点评】想到方程根使所给个式子合二为一是本题一个难点之一判断函数是单调函数又是一个难点【例】已知向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(,)则|ab|的最大值、最小值分别是()A,B,C,D,【解答】如图点A(cosθ,sinθ)在圆上运动时延OA到C使==a,求的最值显然当与反向时有最大值,与同向时有最小值∴选D【点评】本例选自·湖南卷(文)解题思想很简单谁不知道“三角形两边之和大于第三边两边之差小于第三边”呢例题解图为求极值我们的勇士勇敢地到极地当△BOC不复存在时才有可能取得【例】设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数当x<时f′(x)g(x)f(x)g′(x)>且g()=,则不等式f(x)g(x)<的解集是()A(,)∪(,∞)B(,)∪(,)C(∞,)∪(,∞)D(∞,)∪(,)【解答】设F(x)=f(x)g(x),当x<时∵F′(x)=f′(x)g(x)f(x)g′(x)>∴F(x)在R上为增函数∵F(x)=f(x)g(x)=f(x)·g(x)=F(x)故F(x)为(∞,)∪(,∞)上的奇函数∴F(x)在R上亦为增函数已知g()=,必有F()=F()=构造如图的F(x)的图象可知例题解图F(x)<的解集为x∈(∞,)∪(,)【点评】本例选自·湖南卷题,是小题中的压轴题显然不懂得导数基本知识对待本例是无能为力的高中代数在导数中得到升华导数也是初数的“极地”本题还构造了图形使问题更有说服力●对应训练下列命题正确的是()A若{an}和{bn}的极限都不存在则{anbn}的极值一定不存在B若{an}和{bn}的极限都存在则{anbn}的极限一定存在C若{anbn}的极限不存在则{an}和{bn}的极限都一定不存在D若{anbn}的极限存在则{an}和{bn}的极限要么都存在要么都不存在过定点M(,)且斜率为k的直线与圆xxy=在第一象限内的部分有交点则k的取值范围是()A<k<B<k<C<k<D<k<若(x)展开式的第项为则的值是()ABCD●参考答案D(正反推证)若{anbn}:,,,,…的极限存在而推出{an}:,,,,,…,{bn}:,,,,,…,极限都不存在但若{an}:,,,…,{bn}:,,,…,极限又都存在故D正确同理可排除A、B、CA(数形并用)如图以C(,)为圆心r=为半径的⊙C交x、y正半轴于A(,),B(,),而M(,)在⊙C内部当N∈时显然kMN>kMA=kMN<kMB=故知,k∈(,),选A第题解图AT=C(x)=(x)=∴x=x=,=∈(,)∴数列{}是首项与公比均为的无穷递缩等比数列原式==选A第计模特开门见一知众●计名释义一时装模特在表演时自己笑了台下一片喝彩声她自感成功下去向老板索奖谁知老板不仅没奖反而把她炒了冤枉不?不冤枉!模特二字特是幌子模是目的模特表演是不能笑的试想模特一笑只能显示模特本人的特色谁还去看她身上的服装呢?所以模特一笑特在模掉!数学的特殊性(特值)解题既要注意模特的特殊性更要注意模特的模式性(代表性)这样才能做到“一点动众”特值一旦确定要研究的是特值的共性选择题中的“特值否定”填空题中的“特值肯定”解答题中的“特值检验”都是“一点动众”的例子●典例示范【例】如果<a<,那么下列不等式中正确的是()A(a)>(a)Blog(a)(a)>C(a)>(a)D(a)a>【思考】本题关键点在a,我们一个特殊数值作为本题的模特令a=,各选项依次化为:()A.BC.D显然有且仅有A是正确的选A【点评】本题是一个选择题因此可以选一个模特数代表一类数一点动众你还需要讲“道理”吗?为减函数logEMBEDEquation,B不对也是减函数,D不对直接计算C也不对只有A是对的【例】已知定义在实数集R上的函数y=f(x)恒不为零同时满足:f(xy)=f(x)·f(y),且当x>时f(x)>,那么当x<时一定有()A.f(x)<B<f(x)<Cf(x)>D<f(x)<【思考】本题是一个抽象函数,破题之处在于取特殊函数,一点动众设f(x)=x,显然满足f(xy)=f(x)·f(y)(即xy=x·y),且满足x>时f(x)>,根据指数函数的性质当x<时<x<即<f(x)<选D【点评】题干中的函数抽象先选定特殊的指数函数使之具体而指数函数无穷无尽地多索性再特殊到底选定最简单且又符合题意的函数y=x,这就是我们这题的模特,结果是轻而易举地找出了正确答案在考场上分分秒秒值千金你还愿意纠缠在“为什么”上无谓地牺牲自己宝贵的时间吗?【思考】取特值令x=,y=,有f()=[f()(f(x)≠),则f()=,f()=f(xx)=f(x)f(x),即,当x<时x>由条件:f(x)>,故x<时,<f(x)<【例】若A,B,C是△ABC的三个内角且A<B<C(C≠),则下列结论中正确的是()AsinA<sinCBcosA<cosCCtanA<tanCDcotA<cotC【思考】本题的模特是取特殊角令A=°,B=°,C=°,则cosC<,tanC<,cotC<B、C、D都不能成立故选A【点评】此题用常法论证也不难但是谁能断言:本解比之常法不具有更大的优越性呢?●对应训练设f(x)=xxxxx,则f(x)的反函数的解析式是()A.BC.D下列命题中命题M是命题N的充要条件的一组是()A.BCD已知两函数y=f(x)与y=g(x)的图像如图()所示则y=f(x)·g(x)的大致图像为()第题图()第题图()●参考答案B取特殊的对称点∵f()=,∴(,)在f(x)的图像上()在f(x)的图像上将()代入各选项仅B适合∴选B点评题干和选项都那么复杂解法却如此简明你能发现()就能找出()解题就需要这种悟性说到底还是能力D取特殊值令c=,否定AB、C都不能倒推条件不必要B取特殊的区间由图像知f(x)为偶函数(图()中图像关于y轴对称)g(x)为奇函数(图()中图像关于原点对称)∴y=f(x)·g(x)为奇函数其图像应关于原点对称排除A、C取x∈(,),由图()知f(x)>,由图()知g(x)<,故当x∈(,)时应有y=f(x)·g(x)<选B点评无须弄清图()、图()到底表示什么函数不必要也不可能仅凭已有的图像信息去“精确描绘”y=f(x)·g(x)的图像只须鉴别四类图像哪一个符合题意选定特殊区间()一次检验即解决问题第计小姐开门何等轻松●计名释义有一大汉想进某屋门上并未加锁但他久推不开弄得满头大汗后面传来一位小姐轻轻的声音:“先生别推请向后拉!”大汉真的向后一拉果然门就轻轻地开了大汉奇怪地问:“这门上并没有写拉字你怎么知道是拉门的呢?”小姐答:“因为我看到你推了半天门还不动那就只有拉了!”数学上的“正难则反”就是这位小姐说的意思既然正面遇上困难那就回头是岸向反方向走去●典例示范【例】求证:抛物线没有渐近线【分析】二次曲线中仅有双曲线有渐近线什么是渐近线?人们的解释是与曲线可以无限接近却又没有公共点的直线抛物线是否有这样的直线?我们无法直接给予证明怎么办?“正难反收”假定抛物线有渐近线是否会导出不合理的结果?【证明】不妨设抛物线方程为y=px假定此抛物线有渐近线y=kxb,∵x=,代入直线方程化简得:kypypb=①可以认为:曲线与其渐近线相切于无穷远处即如方程①有实根y,那么y→∞,或,方程①化为:pby′py′k=②方程②应有唯一的零根,y′=代入②得:k=于是抛物线的渐近线应为y=b这是不可能的因为任意一条与x轴平行的直线y=b,都和抛物线有唯一公共点(),因而y=b不是抛物线的渐近线这就证明了:抛物线不可能有渐近线【例】设A、B、C是平面上的任意三个整点(即坐标都是整数的点)求证:△ABC不是正三角形【分析】平面上的整数点无穷无尽的多可以组成无穷无尽个各不相同的三角形要想逐一证明这些三角形都不是正三角形是不可能的怎么办?正难反做!【解答】假定△ABC为正三角形且A(x,y),B(x,y),C(x,y)均为整点不妨设x≠x,∵kAB=,∴直线AB的方程为:即x(yy)y(xx)xyxy=点C(x,y)到AB的距离但是|AB|=∴S△ABC==(xyxy)(xyxy)(xyxy)即S△ABC为有理数另一方面S△ABC=①∵|AB|≠,∴S△ABC为无理数②①与②矛盾故不存在三个顶点都是整数点的正三角形【例】设f(x)=xaxa为实系数二次函数,证明:|f()|,|f()|,|f()|中至少有一个不小于【分析】三数中至少有一个不小于的情况有七种而三数中“都小于”的情况只有一种可见“正面”繁杂“反面”简明也应走“正难反收”的道路【解答】假定同时有:|f()|<、|f()|<、|f()|<,那么:①③:<aa<④②×:<aa<⑤④与⑤矛盾从而结论成立【小结】“正难反收”中的“难”有两种含义一是头绪繁多所以难于处理因为“繁”所以“难”处理不当即陷入“剪不断理还乱”的困境二是试题的正面设置使人感到无法可求无章可循从而找不到破解的头绪从而无从下

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