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首页 高考数学解题方法探讨 数学破题36计(10-18计)-高中生家园 20081107_39878…

高考数学解题方法探讨 数学破题36计(10-18计)-高中生家园 20081107_3987866

高考数学解题方法探讨 数学破题36计(10-18计)-高中生家…

丽水和
2008-12-27 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高考数学解题方法探讨 数学破题36计(10-18计)-高中生家园 20081107_3987866doc》,可适用于求职/职场领域

考网|精品资料共享wwwokshacom你的分享大家共享第计聋子开门慧眼识钟●计名释义一群人到庙里上香其中有一个聋子还有一个小孩上香完毕发现小孩不见了半天找不到影子后大家来“问”这聋子聋子把手一指发现小孩藏在大钟底下而且还在用手拍钟大家奇怪连我们都没有听见小孩拍钟的声音聋子怎么听着了呢?其实大伙把事情想错了聋子哪里听到了钟声只是凭着他的亮眼发现大钟底下是好藏小孩的地方聋子的直觉感往往超过常人数学家黎曼是个聋子据说他所以能创立他的黎曼几何主要受益于他的超人的直觉看图为了增强直觉思维建议大家在解数学题时不妨装装聋子此时难题的入口处可能闪出耀眼的灯光●典例示范【例】若(x)=aaxax…ax(x∈R),则(aa)(aa)(aa)…(aa)=(用数字作答)【思考】显然a=,且当x=时aa…a=,∴原式=aaa…a=(aa…a)==【点评】本例的易错点是:必须将a拆成aa,否则若得出=就错了【例】对于定义在R上的函数f(x)有下述命题:①若f(x)是奇函数则f(x)的图象关于点A()对称②若对x∈R,有f(x)=f(x),则f(x)的图象关于直线x=对称③若函数f(x)的图象关于直线x=对称则f(x)是偶函数④函数f(x)与f(x)的图象关于直线x=对称其中正确命题的序号为【思考】奇函数的图象关于原点对称原点右移一单位得()故f(x)的图象关于点A()对称①正确f(x)=f[(x)]=f(x)只能说明f(x)为周期函数②不对f(x)右移一单位得f(x)直线x=左移一单位得y轴故f(x)的图象关于y轴对称即为偶函数③正确④显然不对应改为关于y轴对称例如设f(x)=x,则f(x)=x,f(x)=x,两图象关于y轴对称【点评】本例的陷沟是:容易将f(x)与f(x)误认为f(x)=f(x)这是容易鱼目混珠的地方,而后者才是R上的函数f(x)的图象关于直线x=对称的充要条件【例】关于函数f(x)=xx(x∈R)有下列三个结论:①f(x)的值域为R②f(x)是R上的增函数③对任意x∈R,都有f(x)f(x)=成立其中正确命题的序号是(注:把你认为正确命题的序号都填上)【解答】由y(x)y·x=关于x的方程中恒有Δ=y>∴y∈R①真∵y=x,y=都是R上的增函数∴y=yy=x也是R上的增函数②真∵f(x)=x=(x)=f(x),∴当x∈R时恒有f(x)f(x)=(即f(x)为R上的奇函数)③真【点评】高考试题中的小题已出现了多项选择的苗头其基本形式如本例所示多选题中的正确答案可能都是也可能不都是还有可能都不是(这种形式多反映在选择题中其正确答案为零个)由于许多考生的思维定势是以为多选题只有“不都是”一种情况往往难以相信“都是”或“都不是”这也是这种题型的陷阱所在正确的对策:不受选项多少的干扰只要你能证明某项必真则选否则即不选本例是“全选”(即“都是”)的题型●对应训练设F是椭圆的右焦点且椭圆上至少有个不同的点Pi(i=,,,…),使|FP||FP|,|FP|,…,组成公差为d的等差数列则d的取值范围是●参考答案椭圆中:a=,b=,c=∴e=,设Pi的横坐标为xi,则|FPi|=(xi),其中右准线x=∵|FPn|=|FP|(n)d∴d=∵|xxn|≤,∴|d|≤已知n≥,∴|d|≤,但d≠∴d∈[)∪(]点评:本题有两处陷沟一是d≠,二是可以d<,解题时考生切勿疏忽第计耗子开门就地打洞●计名释义《说唐》中有这样一个故事唐太宗征北困在木阳城绝粮军师献计沿着鼠洞挖去可能找到粮食结果真的在地下深处发现了粮仓太宗嘉奖耗子的牙啃立功并题诗曰:鼠郎个小本能高日夜磨牙得宝刀唯恐孤王难遇见宫门凿出九条槽庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的你可知道前万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的七位数字对数表也是这样啃出来的数学解题当你无计可施或者一口难吞时那就决定“啃”吧●典例示范【例】已知f(x)=判定其单调区间【分析】用求导法研究单调性当然可行但未必简便直接从单调定义出发循序渐进也可将“单调区间”啃出来【解答】设x<xf(x)f(x)=【插语】xx都在根号底下想法把它们啃出来有办法将“分子有理化”【续解】KF(SxKF)KF(SxKF)=易知=△>故有原式=<故f(x)=的增区间为(∞,∞)【点评】耗子开门是一个“以小克大以弱克强”的策略函数的单调法即不等式的比较法方法基础可靠只要有“啃”的精神则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷【例】(·天津卷)从名男生和名女生中任选人参加演讲比赛设随机变量ξ表示所选人中女生的人数(Ⅰ)求ξ的分布列(Ⅱ)求ξ的数学期望(Ⅲ)求“所选人中女生人数ξ≤”的概率【思考】本题设问简单方向明确无须反推倒算只要像耗子开门牙啃立功就是了【解答】(Ⅰ)人中任选人其中女生可以是个个或个P(ξ=)=P(ξ=)=P(ξ=)=故ξ的分布列是:ξP(Ⅱ)ξ的数学期望是:Eξ=×××=(Ⅲ)由(Ⅰ)所选人中女生人数ξ≤的概率是:P(ξ≤)=P(ξ=)P(=)=【例】(·上海文)如图直线y=x与抛物线y=x交于A、B两点线段AB的垂直平分线与直线y=交于点Q()求点Q的坐标()当P为抛物线上位于AB下方(含点A、B)的动点时求△OPQ的面积的最大值【思考】同例一样本题设问明确例题图思路并不复杂只须按所设条件逐一完成就是只是要严防计算失误【解答】()由设AB中点为M(xy)则x=y=x=故有M()又AB⊥MQ∴MQ的方程是:y=(x)令y=得x=点Q的坐标为(,)()由()知|OQ|=为定值设P(xx)为抛物线上上一点由()知xx≤得x∈[,]又直线OQ的方程为:xy=点P到直线OQ的距离:d=显然d≠(否则△POQ不存在)即x≠为使△POQ面积最大只须d最大当x=时dmax=∴(S△POQ)max=·|OQ|·dmax=··=【例】O为锐角△ABC的外心若S△BOCS△COAS△AOB成等差数列求tanA·tanC的值【解答】如图有:S△BOCS△AOB=S△COA不妨设△ABC外接圆半径为令∠BOC=α=A,∠AOC=β=B∠AOB=r=C则有:sinαsinγ=sinβ即sinAsinC=sinBsin(AC)cos(AC)=sinBcosB例题解图∵sin(AC)=sinB≠,cosB=cos(AC)∴cos(AC)cos(AC)=,cosAcosCsinAsinC(cosAcosC–sinAsinC)=cosAcosC=sinAsinC故tanAtanC=【点评】本例中的“门”不少其中“同圆半径相等”是“门”由此将面积关系转换成有关角的关系以下通过圆心角与圆周角的转换和差化积与倍角公式诱导公式、和角公式、同角三角函数关系等依次转换这便是一连串的“门”逐一啃来从而最终达到解题目的●对应训练在棱长为的正方体ABCDABCD中O是正方形ABCD的中心点P在棱CC上且CC=CP(Ⅰ)求直线AP与平面BCCB所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)(Ⅱ)设O点在平面DAP上的射影是H求证:DH⊥AP(Ⅲ)求点P到平面ABD的距离第题图证明不等式:(n∈N)设x∈f(x)=求f(x)的最大值与最小值若xyz∈R且xyz=求函数u=的最小值●参考答案建立如图的空间直角坐标系有:A(,,)P(,,)B(,,)B(,,)D(,,)(Ⅰ)连BP∵AB⊥平面BCCB∴AB⊥BP∠APB是直线AP与平面BBCC的夹角∵=∴tan∠APB=∴AP与平面BBCC所成角为arctan(Ⅱ)连DB则O∈DB∵=(,,)=(,,),∴·==即⊥也就是⊥第题解图已知OH⊥面ADP∴AP⊥DO(三垂线定理)(Ⅲ)在DD上取||=有Q(,,)作QR⊥AD于R∵RQ∥AB∴PQ∥面ABD∵AB⊥面AADD∴AB⊥QR则QR⊥面ABDQR之长是Q到平面ABD的距离∵S△ADQ=||·||=||·||即:·||=×∴||=已证PQ∥ABD∴点P到平面ABP的距离为点评:虽是“综合法”证题但也并非“巷子里赶猪直来直去”特别(Ⅱ),(Ⅲ)两问本解都用到了若干转换手法只须证右式===∴成立从而先将f(x)化为同一个角的单一三角函数得f(x)=sin当x∈时,x故f(x)为上的减函数,当x=时,[f(x)]min=当x=时,[f(x)]max=注意到同理:∴u≥=第计小刀开门切口启封●计名释义西餐宴上摆着漂亮的什锦比萨众人虽然都在称好但没有一人动手原来这东西罩在一个透明的“玻璃盒”里不知从哪儿打开大家只好故作谦让互相叫“请”一小孩不顾礼节拿着餐刀往“盒”上直戳七戳八戳戳到了“玻璃盒”的花纹处此时盒子竟像莲花一样自动地启开了大家惊喜夸这孩子有见识其实这孩子的成功在他的“敢于一试”在试试中碰到了盒子的入口数学解题何尝没遇上这种情境?我们有时苦心焦虑地寻找破题的入口其实自己此时正站在入题的大门口前只是不敢动手一试●典例示范【例】已知sinβ=sin(αβ)求证:【分析】题型是条件等式的证明内容是三角函数的变换条件和结论都是三角等式正宗解法(大刀开门)首先考虑的是三角函数及和角变换能否找到另外的切入口呢?比如说“抛开函数看常数”我们找到了这个数试一试就打的主意!【解答】化条件为考察结论的右式与的数量关系知EMBEDEquation那么由合分比定理能使问题获得解决即而左端分子、分母分别进行和差化积即为于是等式成立【点评】这才是真正的“小刀开门”首先考虑了常数而常数在函数面前自然是“小玩意”首先考虑比例变换比例变换在三角变换的面前也是“小玩意”!数学解题时在“入口对号”的情况下小刀比大刀更管用【例】设m为正整数,方程mx(m)xm=(x为未知量)至少有一个整数根,求m的值【分析】若根据求根公式得到x=,讨论至少有一个整数根相当复杂如果把常量m(m是一个待求的常量)与变量x相互转化,则解决此问题就简单了【解答】原方程可化为(xx)m=x,即m=,【插语】m是本题的破题小刀因为所给方程中m的最高次数是使得问题简化了【续解】由于x为整数且m为正整数,则x≠且≥,得≤x≤,于是x=,,,,代入原方程求出符合条件的m值为或,即m=或m=时,原方程至少有一个整数根【点评】有些数学问题中的常量具有特殊性,常常暗示着某种巧妙的解题思路,如能充分挖掘,巧妙转化,便可以将问题轻松解决【例】设函数f(x)=xxa(a∈R*)满足f(n)<,试判断f(n)的符号【分析】这道题看似代数题但如果打开几何的大门就可以找到条件与结论的联系思路才会应运而生【解答】因为f(n)<所以函数f(x)=xxa的图像与与x轴有个相异交点如图所示设横坐标为x、x且x<x方程xxa=有个不等的实根x、x则所以<x<n<x<,从而n>,例题图于是f(n)=(n)(n)a>(a>)【点评】利用数形结合,数形结合是构建解题思路的重要立足点灵活运用常使解题化难为易化繁为简【例】过抛物线y=px的顶点O作条互相垂直的弦OA、OB求证:直线AB过定点【解答】因为OA⊥OB所以OA与OB的斜率成负倒数关系设OA的斜率为k将OA的方程:y=kx代入抛物线y=px中求得A点坐标为,将OB方程代入抛物线方程求B点坐标时只有斜率发生变化因此以置换A点坐标中的k,即得B点坐标为(pk,pk)因而lAB:y=故直线AB过定点(p,)容易验证斜率k=±时结论也成立【点评】找寻对等关系,挖掘命题中元素之间的对等关系常能找到简洁的解题思路【例】已知x、y、z∈R,xyz=求证:xyz≥【解答】运用均值代换法令x=EMBEDEquation,则αβγ=,所以xyz=(当且仅当α=β=γ=即x=y=z=时“=”成立)【点评】运用等价代换,运用等价代换作切入点探究解题思路是中学数学的重要技能●对应训练已知M是椭圆上的动点椭圆内有一定点A(,),F是椭圆的右焦点试求|MA||MF|的最小值并求这时点M的坐标已知函数f(x)=ax,其中a>求a的取值范围使函数f(x)在区间[,∞)上是单调函数如图所示已知梯形ABCD中|AB|=|CD|,点E分有向线段所成的比为λ双曲线过C,D,E三点且以AB为焦点当时求双曲线离心率e的取值范围第题图已知a、b>,并且ab=,求证:.如图所示三棱柱ABCABC中侧面ABBA的面积为S侧棱CC到此面的距离为a求这个三棱柱的体积第题图●参考答案.解析挖掘隐含条件的数量关系即可为简洁解题铺平道路注意到椭圆的离心率与结论中线段|MF|的系数之间的数量关系作MB垂直于右准线l垂足为B如图所示则即|MB|=|MF|,所以|MA||MF|=|MA||MB|第题解图易知点M在线段AB上时|MA||MF|取最小值这时点M的坐标为()解析探究a的值应倒过来思考设x<x,且x、x∈[,∞),f(x)f(x)=(xx)·因为所以得注意到xx<,所以只要a≥就有f(x)f(x)>即a≥时函数f(x)在区间[,∞)上是单调减函数显然<a<时f(x)在区间[,∞)上不是单调函点评运用逆向思维,当直接由条件探究结果难以凑效时那就反过来由果索因这是建立解题思路的一个重要策略解析很多学生对本题无从下手然而注意题中图案给予的启示解题思路的就赫然可见了事实上由图形的对称性可设直线AB为x轴AB得中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy注意到|AB|=|CD|设OC=依题意记A(c,)C,E(x,y)由定比分点坐标公式得设双曲线方程为将点CE坐标代入方程得①②将①代入②且用e代入得e=又由题设可知e∈[,]所以离心率e的范围是点评挖掘题图信息,从题中图案的启示切入往往易得解题灵感解析容易估计a=b=时等号成立由此可以获得巧妙的证法构造同理两式相乘注意到ab≤所以≥,故(a)(b)≥(当且仅当a=b=时取“=”号)从等号成立的条件切入是独具匠心的思考方法点评启用特例联想,从数学命题成立的特殊情形入手常可找到巧妙的解题思路解析将这个三棱柱补成如图所示的平行六面体可知这个平行六面体的体积等于aS很明显三棱柱ABCABC与三棱柱ACDACD体积相等所以三棱柱ABCABC的体积等于用这种方法求解一些几何问题效果十分明显点评看清分分合合,通过分割或整合将数学问题化为熟悉的结论或易于解决的形式也是建立解题思路的重要途径第计钥匙开门各归各用●计名释义开门的钥匙应有“个性”如果你的钥匙有“通性”则将把所有的邻居吓跑所有的知识具有个性一切犯有“相混症”的人都因没有把握知识的个性数学知识的根基是数学定义它的个性在于只有它揭示了概念的本质介定了概念的范畴在看似模糊的边缘它能判定是与非定义本身蕴含着方法由“线面垂直的定义直接导出线面垂直的判定定理由椭圆的定义可直接导出椭圆方程这里判定定理也好方程也好只不过是其对应的定义在定义之外开设的一个“代办处”当你的问题本身离定义很近时何必要跑到遥远的地方去找“代办处”呢?由此引出了“回归定义”的解题之说●典例示范【例】F、F是椭圆的两个焦点|FF|=c,椭圆上的点P(x,y)到F(c,),F(c,)的距离之和为a求证:|PF|=|PF|=【分析】一定要搬动椭圆方程吗?这里的已知条件只有c无b而椭圆方程却有b无c搬动椭圆方程肯定是舍近求远【解答】对|PF|和|PF|用距离公式结合椭圆的定义得关于|PF|=r,|PF|=r的方程组②③消y,x和c得rEMBEDEquationr④①④联立解得故|PF|=|PF|=【点评】快捷清晰是因为此题的已知条件靠定义近而离方程远【例】设数列{an}的前n项和Sn=anlgb,求使成立的b的取值范围【思考】应首先分清{an}是什么数列再根据数列的性质与极限的定义解题【解答】a=algb,若lgb=,即b=时a=S=与矛盾∴b≠,于是a=而an=(anlgb)(anlgb)∴an(lgb)=anlgb,=为常数{an}是首项为公比q=的无穷递缩等比数列(已知存在)∴q=∈(,)∪(,)由>,即>,得lgb<或lgb>,又<<lgb<,于是<lgb<∴b∈(,)①由<<EMBEDEquation∴b∈(,)②综合①、②取并集所求b的取值范围为b∈()∪(,)【例】某商场为了促销当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可通过抽奖的方法获奖箱中有只红球和只白球当抽到红球时奖励元的商品当抽到白球时奖励元的商品(当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后即将小球全部放回箱中)()当顾客购买金额超过元而少于元时可抽取个小球求其中至少有一个红球的概率()当顾客购买金额超过元时可抽取个小球设他所获奖商品的金额为ξ(ξ=,,,)元求ξ的概率分布和期望【思考】解本题不能不清楚与概率统计有关的概念与定义否则即使知道有关计算公式也无法准确解题例如:()随机事件A发生的概率≤P(A)≤,其计算方法为P(A)=,其中mn分别表示事件A发生的次数和基本事件总数()不可能同时发生的事件称为互斥事件由于A与必有一个发生故A与既是互斥事件又是对立事件对立事件满足P(A)P()=()离散型随机变量的期望Eξ=xpxp…xnpn…,这个概念的实质是加权平均数期望反映了离散型随机变量的平均水平()离散型随机变量的方差Dξ=(xEξ)p(xEξ)p…(xnEξ)pn…方差反映了离散型随机变量发生的稳定性【解答】()基本事件总数n=C=,设事件A={任取球至少有一个红球}则事件={任取球全是白球}∵A与为对立事件而Card=(任取球全是白球仅一种可能)∴P()=,于是P(A)=P()=即该顾客任取球至少有一个红球的概率为()ξ=表示所取球为白红(∵××=),∴P(ξ=)=ξ=表示所取球为白红(∵××=),∴P(ξ=)=ξ=表示所取球为红白(∵××=),∴P(ξ=)=ξ=表示所取球全为红球,∴P(ξ=)=于是ξ的分布列为:ξP∴Dξ=××××=(元)即该顾客获奖的期望是≈(元)●对应训练M为双曲线上任意一点F为左焦点求证:以MF为直径的圆与圆xy=a相切求证:以椭圆上任意一点的一条焦半径为直径作圆这个圆必和以椭圆长轴为直径的圆相切在离散型随机变量中证明其期望与方差分别具有性质:()E(aξb)=aEξb()Dξ=EξEξM为抛物线y=px上任意一点F为焦点证明以MF为直径的圆必与y轴相切●参考答案如图所示MF的中点为P,设|PF|=r,连接PO、MF,∵|PO|=|MF|(中位线性质)∴|PF||PO|=(|MF||MF|)=·a=a,即|PO|=ra,故以MF为直径的圆与圆xy=a内切如图所示设M为椭圆上任一点MF为焦半径MF的中点为P,设|PF|=r,连OP、MF则|OP|=|MF|=(a|MF|)=ar∴以MF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切第题解图第题解图.()∵Eξ=xpxp…xnpn,∴E(aξb)=(axb)p(axb)p…(axnb)pn=a(xpxp…xnpn)b(pp…pn)=aEξb(∵pp…pn=)()Dξ=(xEξ)·p(xEξ)p…(xnEξ)pn…=(xpxp…xpn…)Eξ(xpxp…xnpn…)Eξ(pp…pn…)=EξEξ·EξEξ·=EξEξ如图所示抛物线焦点F准线l:x=,作MH⊥l于HFM中点为P设圆P的半径|PF|=r作PQ⊥y轴于Q则PQ为梯形MNOF的中位线∴|PQ|=∴以MF为直径的圆与y轴相切第题解图第计鲜花开门情有独钟●计名释义冬天的梅花非常耀眼其实梅花开的并不艳丽只是因为你喜欢她所以才心明眼亮如果到了百花盛开的春天你能身在花丛眼不花还能看到淡淡素素的梅花吗?数学解题也经常遇到这种情景有时已知条件非常之多提供的信息诱惑也非常之泛此时你能“情有独钟”地筛选出你需要的她吗?●典例示范【例】P点在平面内作匀速直线运动速度向量v=(,)(P点沿v方向运动每秒移动的距离是|v|)开始时P()求秒后P点的位置【分析】本质是对P点运动的速度向量v=()的理解:因为P点按匀速直线运动每秒位移是从速度分解观点看例题图每秒P向右移向下移【解答】秒P向右移下移设P点秒后到P′(x,y)x==,y==所以P′()【点评】这样解题很轻松善于抓住数学本质的理性思维习惯是在学习数学的过程中累积形成的而不是在“题海战术”式的“强化训练”、“大练兵”中形成的【插语】如果不按上述方式而是从寻找=v=(,),再求=当然也能求出结果但是并不省时间众所周知高考中的时间就是分数【例】(·全国Ⅰ卷)函数y=(x≥)的反函数是()A.y=xx(x<)By=xx(x≥)C.y=xx(x<)Dy=xx(x≥)【解答】本题的鲜花是利用互反函数的性质原函数x≥时y≥∴反函数的定义域为x≥排除A、C∵点()在f(x)的图象上∴点()必在f(x)的图象上而点()适合B不适合D,∴选B【点评】与反函数有关的选择题要注意利用其“定义域与值域互易对应法则互逆图象关于直线y=x对称”等特点前呼后拥【例】下列各式中最小值为的是()A.BCD【思考】利用均值不等式“取等”的条件这朵鲜花去开门用均值不等式求最值必须满足两个条件:()参与运算的量必须是正数()只有当有关量可以“取等”时才有最值∵故故否定A当a,b异号时否定C当sinx<时亦有<,否定D∴选B【点评】可用直接法证明∵存在且在分母中出现∴ab>又ab=(a)(b)≥∴≥当且仅当a=b=时【例】已知四边形ABCD为矩形且AB≠BC,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则以下各组向量中,数量积不为零的是()A.BCD例题图【思考】利用图形的特点这朵花来打开解题之门互相垂直的两向量,其数量积为零同理,C∵PA⊥平面ABCD,∴排除D选A【点评】可用反证法证明不垂直,假定∵PA⊥平面ABCD,∴,四边形ABCD是正方形,这与题设AB≠BC矛盾●对应训练若f(x)sinx是周期为π的偶函数则f(x)可以是①sinx,②cosx③cotx④tan中的()A①②B①④C③④D①下列五个命题:①|a|=a②③(a·b)=a·b④(ab)=aabb⑤若a·b=,则a=或b=其中正确命题的序号是()A①②③B①④C①③④D②⑤已知等比数列{an}的公比为q,下列命题正确的是()A若q>,则{an}为递增数列B若<q<,则{an}为递减数列C若q<,则{an}为无穷递减等比数列D以上都不对●参考答案D【思考】利用选项的结构特点选项中有三项含①故先检验①设F(x)=f(x)sinx如果f(x)=sinx则F(x)=sinx=(cosx)∵cosx(从而F(x))是周期为π的偶函数∴f(x)可以是①否定C(无须检验③)如果f(x)=cosx则F(x)=sinxcosx=sinx是周期为π的奇函数与要求不符否定A如果f(x)=tan=则F(x)=cosx是周期为π的偶函数也与要求不符,否定B于是f(x)仅可以是①,选D.【点评】排除法解选择题也要讲求效率设法使工作量减到最少B利用向量运算的性质∵a与b共线其夹角为∴a=a·a=|a||a|cos=|a|①正确排除D设a,b夹角为θ则而向量运算中不含除法运算②不能成立排除A若a⊥b且a≠b则(a·b)=而a·b≠,∴③不能成立排除CD选用特殊值取q=>时a=<,则{an}为递减数列排除A当<q=<时若a=<则{an}为递增数列排除B取q=<,a=则{an}为摆动等比数列排除C第计驿站开门望蜀得陇●计名释义一商人要去蜀国做生意因栈道难行结果到了陇西正当他发愁之时来了一位远客把他的货全部买走了商人大喜对伙计们说这客人说的蜀国话赶快回关中运货去我们还是按原计划去南蜀等第二批货运到陇西时又遇上这位客人一交谈他没有把货运往南蜀而是运往西域去了伙计们问商人:我们还是按原计划去南蜀吗?商人笑着说“我们在这儿望望南蜀就行了”接着在驿站里把生意做得火红数学解题有时也遇上这种情景原来计划的解题方案在进行中遇到了一匹黑马中途变阵之后成果意外这时你不要埋怨原来的计划是错的:不“望蜀”怎能“得陇”?●典例示范【例】图中BC和DB分别是棱长为的正方体ABCDABCD的一条面对角线和体对角线例题图试求它们的距离【解答】连AC、CB和BA得边长为的正三角形ACB易知体对角线DB过△ACB的中心G易得GB=GC再作BC的中点H猜想GH是DB和BC的公垂线为此只须证明HG⊥DB易知GB=HB=GH=··例题解图因为所以GH⊥GB即GH⊥DB【说明】此处证GH⊥DB就是我们的“望蜀”其实DB⊥面ABC而GH是面ABC中的线段当然GH⊥DB由此我们“得陇”【续解】故HG是BG与DB的公垂线且长度为它们的距离【点评】这两条对角线异面在不知(或不易作出)它们的公垂线时属于难题解题的方法是按“定义”用垂直相交法作辅助线(面)●对应训练已知关于x的一元二次方程axbxc=,其中abc是非零平面向量且a与b不共线则该方()A可能有无数多个实数解B至多有两个实数解C至少有一个实数解D至多有一个实数解空间(填:“存在”或“不存在”)这样的四个点A、B、C、D使得AB=CD=cmAC=BD=cmAD=BC=cm●参考答案D由于a与b不共线所以可设c=manb(其中mn∈R)代入方程axbxc=得axbx(manb)=即(xm)a(xn)b=,又a与b不共线故有即显然当m>时原方程无实数解当n=m≥时有一个实数解故应选D【说明】此题容易简单想象成一元二次方程根的存在性问题用判别式来判定导致出现思维定势的错误对于向量的相关知识的考查在近年来的高考试题中常出现并且有关向量的题目也在不断地创新不再是书本知识的简单重复基于此而创作了此题.要去寻找这样的点是很难叙述的但我们可以虚拟一些特殊的图形去模拟运动判断结果细看题目有四个点显然可以从四边形旋转所构成的三棱锥模型结构看一下这些长度关系是否合理来得出需要的结论在空间中分别以、、为边长作如图所示平面四边形它由△ABC和△BCD组成公共边为BC=cmAC=BD=cmAB=CD=cm固定△ABC所在的平面令△BCD绕着边BC旋转显然当D位于第题解图△ABC所在的平面时AD最大由BC=cmAC=cmAB=cm可得cos∠BAC=,即可知∠BAC是钝角故对于平行四边形(即D在平面ABC内时)ABDC对角线AD的长小于对角线BC的长即AD<BC=cm显然当点D不在面ABC内时都有AD<BC=cm因此按题目要求分布的四个点是不可能的故知题目要求的四个点不存在【点评】这是一个探索型开放题其存在与否取决于分析的过程该题题型无论从结论上还是从方法的探究上都具有一定的开放性因此我们开始做它时选定一个方向直奔过去到那儿时才发现此路不通第计摆渡开门萍水相逢●计名释义有道数学题求证π>很多学生不知所措时却有一学生说此题非常简单不过需找个第三者现在他已经指定了一个第三者就是整数因为π>又>所以π>这里的第三者如同一个渡船它能把“无关”的两岸经过自己连接起来这就是数学上的“过渡法”它是一个“三者牵线截迂为直”的策略在不等式中具体表现为传递法过渡法所用的渡船形式多样可以是参数可以是图形当然也可以是函数、方程、不等式等●典例示范【例】已知曲线C:求曲线C关于直线xy=的对称曲线C的方程【分析】一般解法为“轨迹转移法”:()设P(x,y)是C上的动点()求出P(x,y)关于直线xy=的对称点Q(x′,y′)()将Q点坐标代入C的方程()用xy表示x′y′即得C的方程此法甚繁考虑到这里的对称轴直线的斜率为因此可以直接从中得到替换式【解答】由xy=得代入C的方程得即得C的方程得【点评】对称轴xy=本为一条参照定位直线现在拿来充当替代式成了名符其实第三者“摆渡”【例】长为的线段AB在抛物线y=x上滑动求AB中点的轨迹方程【解答】设A(xy)B(xy)为抛物线y=x上两点那么:设AB中点为M(x,y)那么:有:∴|AB|=(xx)(yy)=(x)(xx)=(x)[(xx)xx]=(x)[x(xy)]已知|AB|=∴(x)(yx)=所求点M的轨迹方程为:y=x【点评】本解说明:当直线与曲线相交,若已知弦的长度,而目的是求弦中点的轨迹,可以对其两端的坐标实施“设而不求”【例】椭圆(a>b>)的右准线是x=倾斜角为α=的直线l交椭圆于A、B两点已知AB的中点为M()求椭圆的方程()若P、Q是椭圆上满足|OP||OQ|=的两点求证:|kOP·kOQ|为定值【分析】按常规应设直线的斜截式方程并代入椭圆方程用韦达定理依中点的条件先求直线的截距而后确定椭圆方程这样也算设而不求可这种方法计算量仍然太大请欣赏如下解法:【解】()椭圆的右准线为x=即∴a=cb=ac=cc所求椭圆应为:也就是(c)xy=c(c)①设弦AB的两端分别为A(xy)B(xy)则:∵kAB=又AB中点为M∴xx=yy=以上全代入②:=,∴c=c=代入①:xy=所求椭圆方程为:xy=()由()知椭圆方程:xy=设P、Q的坐标依次为(xy)(xy)有:③∴|OP||OQ|=,∴(xy)(xy)=④③代入④:xx(xx)=,∴xx=∵故|kOP·kOQ|=为定值【点评】本解的优点是:为确定椭圆方程须求两个参数a与b这里先由准线的条件归为只须求一个参数c无论求椭圆方程或证斜率之积的绝对值为定值都需要利用弦AB或PQ的端点这里只是抽象的设定而并不真的去求它在解题过程中都自然地逐一消失使“设而不求”的技术达到最佳效果【例】(湖北卷题)设A、B是椭圆xy=λ上的两点点N()是线段AB的中点线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点(Ⅰ)确定λ的取值范围并求直线AB的方程(Ⅱ)试判断是否存在这样的λ使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由【分析】()已知弦的中点求弦所在直线的方程故()可以实施“设而不求”()判断“四点共圆”的最佳方法,是引入平面几何的相应知识【解答】()∵点N()在椭圆xy=λ内∴·<λ即λ>∴λ∈(∞)设AB两端点为A(xy)B(xy)则有:()():(xx)(xx)(yy)(yy)=()∵N()是线段AB的中点∴xx=yy=代入():例题解图(xx)(yy)=于是kAB=故直线AB的方程为:y=(x)即xy=()解法:CD为AB的垂直平分线且kAB=∴kCD=直线CD:y=·(x)即xy=直线AB的参数方程方程是:∴代入椭圆方程得:即tλ=(由()知λ>)设此方程之二根为tAtB则tA·tB=直线CD的参数方程方程是:代入椭圆方程得:即ttλ=设此方程之二根为tCtD则tC·tD=由()()知|tA·tB|=|tC·tD|也就是│AN│·│BN│=│CN│·│DN│这就是说存在λ>使得A、B、C、D四点总在同一个圆上【小结】按理说,解数学题避免不了“求”,其最终目的(不论是计算题还是证明题),都是要“求”出最后的结果的这里说的“不求”,专指可以简化的解题中间过程,用“设”去代替“求”从宏观上说,“设而不求”是解析几何解题的基本手段“设而不求”的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度的减少因此需要做到:()凡是不必直接计算就能更简洁的解决问题的,都尽可能实施“设而不求”()“设而不求”不可避免的要设参,消参而设参的原则是宜少不宜多()“设而不求”的思想还可以应用到三角、立几、代数等数学的其他领域中去,限于篇幅,这里不再多讲有心的读者,不妨在解题中留心运用●对应训练长为的线段AB在抛物线y=x上滑动求AB中点的轨迹方程求过圆xyx=和直线xy=的交点且和直线xy=相切的圆的方程已知直线y=x与椭圆(a>b>)交于A、B两点且线段AB的中点在直线l:xy=上()求此椭圆的离心率()若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆xy=上求此椭圆的方程已知(a>a≠x>)判断f(x)的单调性并证明你的结论如图,已知直线l:xny=(n∈N)圆M:(x)(y)=,抛物线φ:y=(x)l交M于A、B交φ于C、D求第题图●参考答案无须设直线的点斜式解方程组设A(xy)B(xy)为抛物线y=x上两点那么:设AB中点为M(xy)那么:有:∴|AB|=(xx)(yy)=(x)(xx)=(x)[(xx)xx]=(x)[x(xy)]已知|AB|=∴(x)(yx)=所求点M的轨迹方程为:y=无须求直线与圆的交点设所求圆的方程为:xyxλ(xy)=即xy(λ)xλyλ=①此圆的圆心为D半径R=∵直线xy=与圆相切∴化简得:λλ=,∴λ=代入①:xyy=②②即为所求圆的方程无须先求直线与椭圆交点的坐标由得AB中点为M,∵点M在直线xy=上∴a=b即a=(ac)∴a=c,e=容易求得F(c,)关于直线l:xy=的对称点为F′代入xy=得c=从而a=c=b=c=则所求椭圆方程为无须先求函数的解析式设logax=t则x=at(t∈R)原函数式变形为:f(t)=或(x∈R)∵这里a≠无论a>或<a<都有f′(x)>故f(x)从而原函数在其定义域内是增函数无须分别求直线与曲线的交点再求弦长如图圆心M()到直线xny=的距离为:∴|AB|=(=第题解图由设此方程之二根为xCxD则|CD|=(xCxD)

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