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数学科普读物:数学智能趣味训练

数学科普读物:数学智能趣味训练

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2008-06-24 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《数学科普读物:数学智能趣味训练pdf》,可适用于教育、出版领域

序大家知道衡量一个学生是否聪明除了智力因素外非智力因素也很重要。非智力因素的内容很多其中有一条就是对知识的爱好。只有对知识发生兴趣才会喜爱它吸收它从而把它化为自己的智慧。然而现在许多供学生阅读的课外书往往是枯燥的习题辅导引不起学生的兴趣。这种书谈不上爱好它有的甚至成了学生的负担。因此同学们迫切需要一种有趣、又能启发智力的书希望这种书既能活跃他们的课外生活又可以丰富他们的课内学习。我向大家推荐的这本智能趣味训练就是这样的一种书。这本书内也包括了许多数学题但是这些题不是死板地罗列在书中而是通过许多有趣而且十分科学的方式活灵活现地呈现在读者的眼前轻轻松松地进入到读者的脑海里。这本书有两大特点。第一它摆脱了现行数学课本的故有模式根据同学们的心理特点从思维方式上对数学内容进行了新的组合。这不仅给同学们一个新颖而特别的感觉迎合了他们追求新鲜事物的兴趣而且无形中为他们综合各种知识、融会贯通提供了可能。第二它采用了许多形象化的手段来化解数学题中的知识“硬块”。把“死”的题目变成“活”的迷团因此激发了他们寻根揭底的渴望。这些形象化的手段形式也很多样有的是在故事中藏问题就是叫动画人物演示题目有的是用生动的图画展现题解。这样的数学题大家自然会喜欢它而且会发挥出自己的全部的积极性去解决它。这本书的作者吴胜雄是一位知识丰富的高级工程师他又是一位业余的“动脑筋”问题的研究专家和画家。这本书中的大多题目都是他自己设计和绘制的因此你不会有似曾相识的感觉。这本书的许多内容曾经在少儿报刊上介绍过受到少年读者普遍欢迎。现在许多学校都在开展“欢乐的教育”活动这本书可以供各校作为类似活动的教材也可以作为数学课外兴趣小组的资料。余俊雄与同学、老师、家长说几句话我想写一写小学生如何通过课程学习开发智力反过来通过开发智力促进课程学习的书已经酝酿了很长的时间大约在我的两个孩子读小学时就萌发了这个念头。现在大儿子已大学毕业走上了工作岗位小儿子也快念完大学了这想法就更加具体、更加成熟了。想当年孩子放学归来总要和我谈起许多有关学习的问题如考试啦、复习啦哪些同学认真刻苦、哪些同学成绩优秀啦哪些课上得生动有趣、哪些课上得枯燥乏味啦等等。有时候他们还邀来一些同学与我讨论学习中的问题我也总是很有兴趣地与同学们交谈。同时由于进行儿童文学创作的需要我也经常跑附近的几所学校“体验生活”。这样就使我有更多的机会了解学生、老师以及教学情况。通过了解我发现一个问题:题海战术、死记硬背不仅影响学生成绩而且影响学生智力和身体。考试时正巧碰上死记硬背的几道题时就能侥幸抓点分数要是遇上需要综合分析的“活”题往往就只能望题兴叹、目瞪口呆了。尤其令学生、老师和家长都十分关注的问题是现在的升学考试无论是考初中、高中还是考大学考查学生综合分析能力的“活”题越来越多已成了“现代化”要求的一种趋势。当然开发智能的目的并不单纯是为了升学。然而即使是不再升学提早参加工作的人无论干哪一行就是做点小生意要使生意“活起来”也都离不开观察、思维等智能的开发训练。在指导年代乃至下世纪初我国教育工作的《中国教育改革和发展纲要》中就曾明确地提出了“加强基本知识、基础理论和基本技能的培养和训练重视培养学生分析问题和解决问题的能力”的要求。所以对于小学生来说无论将来干什么都迫切需要在学习中开发智能、增长才干以适应现代社会对人才的需求。我是一名建筑设计高级工程师又是湖南省科普作家协会会员当我了解和认识到上面这些问题以后感到了自己在培养青少年方面的一份责任。于是我把科普创作的重点由小说、童话、小品转向了智能开拓。当我的近十万字(图)的《中小学生基本智能趣味训练》在《少年科普报》连载以后一些学校和团组织曾以它为基础开办少年儿童“智能培训班”。该文被辽宁科技出版社收编进《金钥匙》一书后又被国家教委列为学年度“红领巾读书活动”推荐书目之一。我因此收到许多读者来信希望我能写出与小学课程配合更加紧密的开发学生智能的书。使写出的作品既能从培养人才的角度全面开发智能又能从配合教学的角度直接有助于课程学习。让孩子们看了高兴老师和家长们看了也高兴。愿望当然不错问题是怎样下笔。特别是关于基本智能的归纳与选定究竟采哪家之学说?想来想去我还是决定从实际出发从自己培养和辅导孩子的实践中寻求答案。于是便有了基本智能训练的六节标题即:一观察力、二推理判断、三创造性思维、四抓主要矛盾、五总结规律、六勤动手与非智力因素。现在我的书出版了。它的质量如何仍需接受实践的检验。我将虚心听取广大小学生朋友、老师、家长以及该书发行工作者的意见以便再版时进行修改和补正。在本书出版过程中得到了《我们爱科学》杂志主编、中国科普作协少儿委员会副主任委员、著名科普作家余俊雄先生的热情鼓励与支持得到了中国少年儿童出版社副编审陈效师先生的具体指导与帮助同时还承蒙我的一些朋友、热心的老师提出宝贵意见均在此一并致谢!吴胜雄一九九三年于长沙数学智能趣味训练第一部分基本智能训练一观察力观察力的培养涉及到注意力、记忆力、想象力、思维判断力等诸多方面。从这个意义上说观察力的培养实际上是一种综合能力的培养。观察力的训练与后面将要进行的其他智能训练是相互渗透、相互交叉、相互促进的。同学们在进行训练的时候切不可将各项智能训练截然分开。而要将它们有机地结合起来全面掌握、灵活运用以收到最大的训练效果。【训练题】图案换鸡请你仔细观察图中的各个图案然后判断将A、B、C、D中的哪个图案去换鸡(即放到鸡的位置)才能符合方框中原有图案的排列规律?【智能训练】本题的图案初看确实有点“怪”又像汉字又不像汉字又像图画又不像图画似乎什么规律也没有。但我们进一步观察或者说从多方面观察就会发现这个图案的共同特征它们是轴对称图形。那么组合成轴对称图形的左、右两半又是什么图形呢?取每个图案的左半边进行观察则会出现阿拉伯数字、、、、、、、(见图)。这就是说每个图案都是由正、反两个阿拉伯数字组成的轴对称图形并按照自然数的大小顺序排列着。所以换鸡的图案应是C。【训练题】五彩缤纷的画板在画满横线、竖线和大小圆圈的画板上隐藏着个数字。现在请你回答把这个数字相加所得的和大呢还是把这个数字相乘所得的积大?秒钟内能正确回答者为优超过秒者为良超过秒者为及格。【智能训练】和大还是积大?一般情况下数字相乘的积总是比相加的和大。但也有特殊情况例如××=而++也等于这是积等于和的例子。还有×××=而+++=的情况这是积小于和的例子。也就是说积小于和的情况的确存在关键是看乘数中是否有“”。如果你的眼睛敏锐能从五彩缤纷的图案中一眼看出藏在左下角位置的“”那么你就会迅速回答:“和”大于“积”。是一个很特殊的数它有许多不同于自然数(指、、、⋯⋯)的性质同学们可要好好记住它。【训练题】放水果梨子、桃子和苹果按照不同的排列顺序摆放在六张小桌上。请你仔细看看图然后在第张小桌上把三种水果的排列顺序画出来。【训练题】第张小桌上三种水果的排列顺序如何完全决定于前五张小桌上的排列顺序因为第种排列不能与前面的五种排列相同。我们把梨、桃、苹果分别以A、B、C表示并作如下比较则不难找到答案。第桌A、B、C第桌A、C、B第桌B、C、A第桌B、A、C第桌C、A、B第桌只能是:C、B、A所以第张小桌上三种水果的排列顺序是苹果、桃、梨(见图)。【训练题】数积木请你数一数这堆积木一共有多少块?看谁数得快。【智能训练】如果一块一块地数肯定数不快。一是积木较多二是受观察角度(视角)的局限有些积木是看不到的。所以像这种情况的观察还得从总体出发先求一堆积木(假定是完整的一堆)的总数然后减去缺少的积木数(这是能直接观察到的)就知道了实际的积木数。这堆积木从总体上看是一个规则的长方体这个长方体所含的总积木数是:××=(块)减去缺少的块得:-=(块)【训练题】钟盘上的三角板钟盘上如图摆放了三块直角三角板。请你想一想哪块三角板的斜边长一些?【智能训练】如果我们的观察仅停留在三条斜边上那就很难找到准确的解答。因为三条斜边的长短关系并没有直观地表现出来。这样就需要我们把观察的面扩大一些思路更开阔一些想出一些办法来求解。我们把钟面简化如上图这时可以看出三角形的两条直角边与钟面上的另二条直线构成一个长方形三角形的斜边成为长方形的一条对角线另一条对角线则如虚线所示。很明显几条对角线都是相等的(同一圆的半径相等)所以三条斜边也相等。或是把钟盘看成一个立体的、指针可以转动的圆形物体而不是把它看成是一幅平面的不能活动的图画。这样我们可以让指针转动起来。很明显指针的尖端将落到每个三角形的直角顶点上。这样指针和三角形的斜边就成了长方形的两条对角线。既然指针长度相等那么三条斜边的长度也相等。如果用数学语言来说解这道题的关键在于作“辅助线”。只要能正确地画出辅助线往往就使问题变得清晰明白起来能较直观地看出它们之间的相互关系。所以同学们在解题的时候要养成多动手的习惯(参看后面的〔动手训练〕)。【训练题】对面的数字有一个立方体它的六个面上写有、、、、、这几个数字。图A、B、C是从三个不同角度观察立方体时见到的情形。请你想一想立方体上数字、、的对面分别是什么数?【智能训练】观察离不开思维活动(综合分析、推理判断)在这道训练题中充分体现了这一点。“”对面是什么?让我们作如下观察分析:从图A看与“”相邻的两个面是“”、“”从C图看与“”相邻的两个面是“”、“”。这就是说与“”相邻的四个面上的数字是、、、那么与“”相对的面上的数字只能是。同理从图A、B可知与“”相对的面上的数字只能是。既然“”、“”相对、“”、“”相对那么与“”相对的只能是“”。【训练题】三个方向看模型请你想一想当你从顶上、左边、右边三个方向去看左上角的立体模型时见到的平面图形分别是A、B、C中的哪一个?【智能训练】从顶上看应是第一横行的B从左边看应是第二横行的C从右边看应是第三横行的C。一个正立方体无论从哪个面去看都是一个正方形。但如果不是正立方体则从不同侧面观察会得出不同的图形。立体图形都是由平面图形组成的由立体图形想象出不同侧面的平面图形反过来由不同侧面的平面图形想象出立体图形来可以锻炼我们的空间想象能力而空间想象能力的培养对于我们学习几何和解答某些应用题是十分重要的。本训练一开始就给出了答案是因为这种训练有一定的难度。但同学们决不要满足于现成答案而要仔细观察分辨找出错误图形与正确图形的区别来。【训练题】先找后算从前面的《三个方向看模型》一题我们已经学会了从不同侧面看同一个物体的方法。在本题中图A、B、C就是分别从顶上、正面、侧面去看同一个物体时所得到的平面图形。现在请你找一找这个物体是、、图中的哪一个?并请你算一算这个物体的体积是多少?(A、B、C图中的数字表示两点间的长度)【智能训练】此题的训练不仅在培养观察力和空间想象能力而且培养我们将平面图形与立体图形相结合进行实际计算的能力。仔细比较从顶面、正面、侧面观察到的A、B、C图与物体、、相应各面的异同得到的答案是:A、B、C是物体的三个不同面的平面图形。怎样计算物体的体积呢?我们可以把物体分成三部分一部分是个侧面是三角形立方体它的体积是:×××=(立方单位)二部分是个正立方体它的体积是:××=(立方单位)三部分是个圆锥体它的体积是:π()××=π(立方单位)(圆锥体体积=底圆面积×高×)物体的总体积是:“一部分”+“二部分”-“三部分”=+-π=-π(立方单位)求这种较复杂物体的体积往往采用“化整为零”的方法先恰当地划分出几部分然后把几部分相加减。重要的是“划分”要恰当使各部分相对规则完整从而简化计算。【训练题】请你看仔细请你仔细看看图图A和图B上的直线分别平行吗?图C的三角形边线直不直?图D的圆形圆不圆?从图E中能见到几个立方体?【智能训练】按照我们看图以后的直觉来说图A的斜线互不平行图B的横线也不平行图C三角形的边线不直图D的圆圈不圆。但实际情况怎样呢?图A的斜线和图B的横线是分别用两块三角板相靠推移着画出来的当然应当是平行线图C的三角形每边都是靠着直尺画的当然会是直的图D的圆圈是用圆规画的也一定是圆的。为什么眼睛看到的与实际情况会有这么大的出入呢?这就是人们常说的“错觉”。错觉产生的原因是多种多样的这里产生的原因是因为观察物画在影响视觉的背景图形上。也就是说背景图形使眼睛产生了错觉从而作出错误的判断。所以我们在作数学练习特别是考试的时候草稿纸一定不要乱涂乱画尤其不要在写过的草稿纸上画几何图防止错觉使你作出错误的判断。图E中能见到几个立方体呢?眼睛盯着小圆圈会见到三个平放着的立方体眼睛盯着小黑点会见到三个仰放着的立方体。这说明从不同角度观察会得出不同的结论。这一点我们既要“利用”它学会全面地、多角度地看问题又要“警惕”它防止因观察角度错误(特别是在解应用题的时候)而作出错误判断或是钻进牛角尖里白白浪费时间。二推理判断判断力的培养训练实际上就是逻辑思维和推理能力的培养训练。而我们的学习是完全离不开逻辑思维和推理判断的。对于数学来说计算题也好应用题也好在解题过程中只要哪一步出现了逻辑错误(或叫“不合逻辑”)就不能得出正确的答案。所以我们在作这项训练的时候要特别认真要有耐心要循序渐进地步步推理不能望题生畏也不能急于求成。通过训练固然可以学到些推理判断的一般方法但更重要的还是养成推理判断的好习惯。【训练题】有辫子的和没有辫子的春天到了百花盛开。小红和班上同学一起去郊游。回家后姐姐问小红:“你们一共去了几位同学?”小红想了想调皮地说:“去的同学中有的有辫子有的没辫子。没辫子的加上有辫子的再加上没辫子的与有辫子的人数相乘的积所得的结果是。”聪明的姐姐想了想笑笑说:“哈我已经知道了你们一共去了十位同学对不对?”“对姐姐真聪明。”小红跑过去抱住了姐姐。亲爱的小读者请你想想姐姐是怎样推算出来的?【智能训练】首先我们可以根据题意肯定有辫子的和没辫子的人数必为正整数。也就是说这两个数不可能是或负数。同时进一步推理可以肯定这两个数均为偶数:因为如果这两个数均为奇数虽然他们的和为偶数但是他们的积必为奇数。这样由偶数加奇数所得的和不可能出现偶数这两个数也不可能是一个为偶数一个为奇数因为偶数与奇数之积虽然为偶数但是偶数与奇数之和(“没辫子的加上有辫子的”)必为奇数这样奇数“再加上”偶数也不可能出现偶数。所以我们可以判断:有辫子的和没辫子的人数不仅为正整数而且是两个偶数。既是两个偶数两个数就必为的倍数两个数的积则必为的倍数。根据以上的逻辑推理我们现将分解成一个偶数与的倍数之和以便从中发现可供进一步推理判断的线索:=+×=+×=+×=+×=+×=+×=+×=+×在这八个等式中只有=+×可以继续分解为符合题意的“两数和与该两数积相加等于”的算式即:(+)+×=而其他个等式都不可能做到。所以可以准确地判断出:一共去了位同学(+)。【训练题】小熊、刺猬与小兔请你想一想小熊、刺猬和小兔分别代表什么数时能使这个有趣的乘法竖式成立?【智能训练】我们先选取竖式的一部分(图中虚线范围)来进行推理则有:将、、、、、、、、分别代进A只有当A=时才能使乘积出现两个相同数(BB)即:既然如此小刺猬就只能是才能使乘积的百位数为。整个算式为:用具体数字替代未知数然后看演算结果是否符合题意是进行数学推理的一种手段。运用这一手段时要注意全面性将可能出现的情况都要考虑到然后排除掉不符合题意的部分使推理判断准确可靠。【训练题】动物与数字仔细看看图然后想一想每种动物各代表什么数时能使五项等式都成立?【智能训练】乍一看图有点复杂。其实经过观察分析后并不复杂总共只有种动物兔、鸡、羊、马也就是说只求个数字。题图第二行是个减法等式从这个式中我们可以推知马代表因为等量相减其差必为。再看第四行的除法等式从这个式中我们可以推知鸡代表因为等量相除其商必为。再看整个加法竖式的个位数从上往下数是:羊、马、鸡、鸡、马。因为已知马代表、鸡代表所以可推知羊代表。这样题图的第一横行可写成“兔+兔=”第三横行可写成“兔×兔=”无论从哪个式中都可知推知兔代表。【训练题】借还爱开玩笑的小红对小惠说“如果你借了别人本书只还给别人本书就够了因为最近我有了一个重大发现:等于。”小惠连连摇头:“那怎么可能呢?”小红说:“我举个例子给你看。”并拿出纸笔写了起来:甲有本书乙有本书丙的书减去甲的书刚好等于丙的书的倍减去乙的书。用算式表式就是:丙书-甲书=丙书×-乙书即:丙书-=丙书×-丙书-=丙书×-×丙书-=(丙书-)×(等式右边的变化依据是乘法分配律)把等式两边同时除以(丙书-)则可得:=(等式两边同时乘以或除以一个数其值不变)。小红写完诡秘地一笑:“你看这不是等于吗?我可不是瞎说是按照逻辑推理的方式一步步推导出来的你说是吗?”小惠想:谁都知道不等于。但按这么推导结果又必然是等于问题究竟出在哪里呢?【智能训练】我们在进行推理判断时总是依据一些已知条件(公认的常识或定理、定律等)进行逻辑推导的。如果引用了错误的已知条件或是错误地引用了已知条件得出的结论都将是错误的。我们这道题之所以得出了等于的错误结论问题就在推导过程中引用已知条件时出了错。请看:“丙书(丙书-)×把等式两边同时除以(丙书-)”“把等式两边同时除以(丙书-)”按照数学的一般定理等式两边同时扩大或缩小多少倍(即将等式两边同时乘以或除以一个数)时该等式仍然成立。但是可别忘了引用这一已知条件时等式两边同时乘以或除以的这个数不能是。特别是除以一个数时无论被除数是算式或单个的数这个数(除数)都不能是因为做除数是没有意义的。应当说这也是已知条件之一必须同时作为推导的依据。而我们这道题中同时除以的这个数(丙书-)恰好等于所以就出现了错误的结论。怎么知道“丙书-=”呢?这只要稍加计算就行了:丙书-=丙书×-移项(或作算术推导)得:-=丙书×-丙书即:=丙书×所以:丙书=÷=(本)代入:丙书-=-=这道题实际上是一道“诡辩题”表面上看来逻辑推理是正确的但实际上却存在着错误。多进行这种训练可以使我们的逻辑思维更周密、更严谨。【训练题】说谎国里问讯难话说唐僧师徒四人去西天取经的路上经过一个“说谎国”按照这个“国”的规定男人在每星期一、二、三说谎女人在每星期四、五、六说谎其他日子则都说真话。对于“说谎国”的规定他们早有耳闻。可一路上只顾昼夜兼程谁都忘记了今天是星期几。要是搞不清今天是星期几就很难与这个“国”的人打交道因为你无法判断他(她)们说的是真话还是假话。为此唐僧命八戒先去打听一下问问今天究竟是星期几。八戒领命而去。不一会遇到一个男人便连忙上前施礼打问。那男子望了八戒一眼并不直接回答只说:“昨天是我说谎的日子。”说完头也不回径自走了。八戒无奈只得再往前走忽见一女子飘然而至连忙上前施礼喝喏:“女菩萨开恩能告知我今天是星期几么?”岂料女子“扑哧”一笑:“昨天是我说谎的日子。”说完扬长而去。这下可难住了八戒!他急忙去找悟空。悟空听罢抓耳挠腮双眉紧皱⋯⋯忽然眼睛一亮:“哦原来今天是星期⋯⋯”八戒听了好不高兴禁不住问道:“猴哥你是怎么推算出来的呢?”亲爱的小同学你能回答吗?【智能训练】我们先假定今天是星期一。按照题意星期一是男人说谎、女人说真话的日子。女人说“昨天是我说谎的日子”而按照假设昨天是星期天应是男、女都说真话的日子。显然假设与题意发生矛盾故此假设不能成立。如果假定今天是星期二或三同样也会发生假设与题意不相符的矛盾所以这两种假设也不能成立。于是我们很自然地假设今天是星期四。女人说“昨天是我说谎的日子”按假设昨天是星期三按题意星期三是女人说真话的日子。那么女人说的“昨天是我说谎的日子”就是谎话这又符合女人在星期四说谎的题意。所以今天是星期四的假设用女人的话来验证是成立的。那么用男人的话来验证是否也成立呢?按题意男人在星期四应说真话男人说“昨天是我说谎的日子”昨天是星期三按题意确是男人说谎的日子。可见男人说的是真话这就与今天是星期四的假设相一致。至此可以知道当假设今天是星期四时无论从男人或女人的话来分析结论都不会与假设相矛盾。因此可以肯定今天是星期四。当然作为训练你不妨再分别假设一下今天是星期五、六、日仿照上述方法逐一进行分析看看假设与题意是否发生矛盾。三创造性思维所谓创造性思维是与前面所说的逻辑思维相对而言的两者既有联系又有区别。逻辑思维比较强调循序渐进、按部就班。就像学书法时先强调要学好“楷书”一样一笔一画都要交代清楚。应当说这是学好功课、开发智力的基本功。但是世界上的事物是十分复杂的学习功课的内容也越来越复杂还需要在加强逻辑思维训练的同时加强创造性思维的锻炼。创造性思维之中有一种发散型思维通俗点说就是多角度思维。一件事或一道题有时候从这个角度去考虑行不通而改换一个角度或改换一种方式去考虑问题就解决了。当然创造性思维比逻辑思维要难一些。就说“改换一个角度或改换一种方式”吧说起来容易到时候就是“改换”不了。原因有二一是受习惯的束缚二是受智能和知识的局限。所以我们要提高创造性思维能力一要敢于突破框框使思路开阔起来二要加强联想(包括空间想象)和一题多解等智能训练三要不断扩大自己的知识面(包括读书和实践两方面)。【训练题】紧急通知小强在环形公路上练长跑。过了一小时小明接到一项紧急通知必须尽快送给小强。现在知道:环形公路全长千米小强每小时跑千米小明骑自行车每小时千米。请你想一想小明把“通知”送到小强手中至少需要多少时间?【智能训练】按照常规思考方法小强在前面跑小明在后面追需要的时间是:小明比小强每小时快()千米。小强先跑小时的路程为千米。小明追上小强的时间为:÷(-)=(小时)也就是说小明追上小强需要小时分钟。如果我们改换一种思考方法呢让小明不去“追”小强而是沿着环形公路去“迎”小强效果如何呢?小明去迎小强其距离为:-=(千米)小明、小强每小时的速度和为:+=(千米小时)那么小明、小强碰面需要的时间为:÷=(小时)也就是说这种反过来去“迎”的方法比常规去“追”的方法节约时间小时()。一“追”一“迎”只一字之差但却把计算方法由“同向”而追变成了“相向”而迎(因是在环形公路上也可以说是“背向”)就把“距离÷速度差”变成了“距离÷速度和”当然就节省时间了。【训练题】直线连点把九个排列成正方形的小圆圈用直线段连起来有许多种不同的连法。小红在图上画了一种用了六根直线段。后来小红又分别用五根、四根、三根直线段去连结果都连成了。亲爱的小读者你知道小红是怎么连的吗?问题看似简单你可不能轻视它哟。【智能训练】用五根直线把九个小圆圈连起来比较容易只要如图A所示就行了。用四根直线段去连就不那么容易了。当你去连接各圈的时候总是遇到四个角上的圈时就不由自主地拐了弯不敢往前画了更不敢突破小圈所在的画纸往前画。这样就无法用四根直线把九个圈连起来。为什么题目中并没有对线段长短作出限制而我们自己却给自己套上一个线段不能超越小圈所形成的正方形和线段不能画出画纸边线的“框框”呢?这就是习惯思维所形成的思维定势化作一个看不见、摸不着的思维框框束缚着人们的思想。以至看问题或在进行速算、竞赛以及一题多解时都“不敢越雷池一步”不能有所突破和创见更谈不上有所发明有所发现有所前进了。所以我们要突破有形的框框(九个圈所形成的正方形轮廓和画纸边线)先要突破无形的框框(头脑中的思维障碍)。突破了这两个框框答案就不难出来了(图B)。用三根直线段把九个小圆圈连起来难度就更大了。一方面需要突破前面所说的框框另一方面还要进一步突破框框:按照常规思维直线段都是穿过每个小圆圈的圆心而连起来的但这样做完不成“任务”。为了完成“任务”(在符合题意的情况下)可不可以像图C那样画三根直线段呢?回答应当是肯定的。【训练题】圣诞树上的灯泡华丽的圣诞树上装点着个灯泡每个灯泡上都编了号(从编至)。有趣的是编完号一看线段相连的两个灯泡上的编号之差刚好出现-十个自然数。更有趣的是好几棵圣诞树上的灯泡编号方式各不相同可相连的两个灯泡上的编号之差却都是十个自然数。亲爱的小读者你知道圣诞树上的灯泡编号是怎样编的吗?你能用多少种方法来编呢?【智能训练】这是有意出的一道“一题多解”训练题。我们在做习题时经常会遇到一题多解的情况但有的同学却不习惯于一题多解只用一种方法求得答案就算完事了。这样就失去了多角度思维锻炼的好机会。如果我们能自觉地“一题多解”而且善于将“多解”加以比较就不仅能使我们头脑变得灵活考虑问题比较全面而且能从“多解”中得到启示寻找到最佳解题途径或发现解题规律。对于以后解同类题就能收到事半功倍之效。图A、B、c、D是四种不同解法(还有一些解法让同学们自己去完成)把这些解法加以比较就能使我们获得意想不到的收获。你看如果我们只用一种解法就很难得出以下结论:()编号与必须相连()按C、D两种解法较为方便。规律是:先将差数依次写在十条线段旁然后往差数两端的圆圈中写上和往下则以此类推即可较快地填出全部编号来。()倘若“圣诞树”不断加高使灯泡数(编号数)相应增加但只要仍为每层三个灯泡则可应用上述规律先将灯泡间的差数x依次写在各条线段旁边然后往差数x两端的圆圈中写上和最大数(x+)往下以此类推即可。【训练题】猴子捡桃子每间小房里都放着一只鲜艳艳的桃子请你想一想猴子从中的哪个门进去才能不走重复路线(即每间房只许进出一次)一次捡完所有的桃子然后从箭头所示的房里出来?告诉你一个个门去试可不是好办法因为只给你分钟时间。【智能训练】八个门如果一个个门去试的确不是好办法一来容易出错二来时间不允许(只有分钟)。那么怎样才能一次选准那个门呢?仔细看看图并略作分析:虽然有八个进口(八个门)但只有一个出口。猴子捡桃的路线不论从哪个门进都必须从箭头所示的房间出来。如果反过来找从箭头所示的房间(出口)往回找必能找到那个进口。这样就把可能要试八次才能找到的路线变为只试一次就能找到了(见图)。这道训练题比较形象直观地说明了“逆向思维”在解决某些问题时的重要作用。“逆向思维”顾名思义就是“反过来想”。这种从事物的相反(或相对)的功能去思考问题的方法对于防止“钻牛犄角尖”迅速获取解题途径是很有效的。而且这种反面思索不仅有助于在原有知识基础上的发现和突破同时还能加强对原有知识的理解并巩固记忆。请回过去看看前面的《紧急通知》一题你一定会有新的解法。【训练题】奇怪的火柴等式按照通常的数学法则无论如何图中这个用火柴摆成的等式是不能成立的。但事情也有例外如果你从某个特定的角度去看它这个等式也能解释得通。亲爱的小读者请你想想看该怎样看这个奇怪的等式它才是成立的呢?【智能训练】-=-=与是怎么也不相等的。如果移动一下火柴是可以使等式两边数值相等的但题目不允许这样做。将等式倒过来看也是改换角度的一种方法。但倒过来看的结果仍然是两边不相等。这样就只有另想办法了。我们再想想这个等式必竟是火柴摆成的有必要在火柴杆上多做文章。从火柴杆摆成的“”里拿走(减去)一个火柴杆摆成的“”还剩根火柴杆从火柴杆摆成的“”里拿走(减去)一个火柴杆摆成的“”同样剩根火柴杆。你看从这个意义上说等式两边都剩根火柴杆不就解释得通了吗。【训练题】镜中电子表镜子里的这块电子表走时是准确的。请你判断一下现在的真实时间是几时几分?【智能训练】镜中映像与实际物体是相反的。反过来看镜中的“:”就成了“:”也就是说表上的实际数字应是“:”。但生活常识告诉我们一块走时准确的表是不会出现“:”这么个数的。分析原因只可能是这块电子表倒放了。我们倒过来再看这个数目就成了“:”。所以真实时间应是点零分。这种训练把多角度思维与逻辑思维巧妙地结合起来了。进行多角度思维时必须敢于突破常规思维的束缚(如反过来看、倒过来看)但是对于每个角度的分析我们又必须遵守逻辑思维的法则(不违反生活常识或定理)这样才能使我们的多角度思维成为解决实际问题的钥匙而并非不着边际的空想。【训练题】横、竖相等请你数一数图中的动物棋横行有多少颗竖行有多少颗?你能不能只移动一颗棋子使横行和竖行的棋数相等?【智能训练】横数是颗竖数是颗数起来十分容易。但怎样移动一颗棋子使横、竖行的棋数相等呢?要使横、竖行上的棋数都是颗我们可以移动横、竖行交叉点上的那颗棋子把它移到横行的任一端去这样竖行也就只有颗棋了。能不能移动一颗棋子使横、竖行上的棋数都是呢?我们可以把竖行两端的任一颗棋子移到横、竖行交叉点上的那颗棋子上(两颗棋重叠)这样横行上也有颗棋了。第一种移法是平面移动第二种移法则变为立体(空间)移动了。想出第二种移法看似简单实际上却不容易。它把平面想象变成了立体(空间)想象是很需要开拓创造性思维的。【训练题】金色的天鹅有一只金色的天鹅它是用黄金铸成的。小红想知道它的体积可量来量去还是计算不出来因为天鹅的形体太不规则了。小红的姐姐搬来了一个比金天鹅大一些的方形量简量简上面还画了计量刻度。姐姐对小红说:“这个量筒可以帮助你量出天鹅的体积来。至于怎样量就请你自己想办法了。”小红转动着两颗智慧的眼珠不一会儿就想出了好办法量出了金天鹅的体积。亲爱的小读者你知道小红采用的办法吗?【智能训练】办法很简单想出来可得费些脑筋。小红把金天鹅放进量筒然后往量筒里倒水直到淹没金天鹅的位置。记住这个位置的刻度并把金天鹅从水中拿出来再看看水面降到了什么刻度。把先后两次刻度相减就知道了金天鹅的体积。按照一般常识量体积是用尺来量的而这里却变成了用水来“量”这是需要转换一个很大的思维角度的。由不规则的金天鹅体积想到没有一定形状的水由量筒想到液体这是联想的结果。但这种联想必须为解题“服务”就需要一定的知识作基础例如水的重量与水的体积之关系物体排开水的量(指体积)等于物体的体积等。所以说知识越丰富越有助于联想越能促进创造性思维反过来创造性思维越活跃越能促进联想越有利于知识的吸收和巩固。四抓主要矛盾“抓主要矛盾”是一个哲学词语。把它“翻译”成通俗的话就是抓关键或抓要领、抓要点、抓重点。做一件事情也好解一道数学题也好遇上稍微复杂点的就有许多问题需要全面考虑。但在这些问题当中必有一个是最主要的。抓住了这个主要问题(关键)其他问题就“迎刃而解”了。然而主要问题往往被许多次要问题掩盖着需要发挥观察力、判断力和创造性思维等多方面智能才能准确而又迅速地抓住它。【训练题】找纸片有一张透明纸上面写了九个数字(见A图)。现在将这张透明纸翻过面来并任意转动角度我们见到的当然是透明纸的反面了(见图)。给你分钟时间你能准确地从图中找到这张透明纸吗?【智能训练】只有分钟时间看来一张一张、一个字一个字地去与图A对照不是好办法因为这样肯定费时间。我们不妨这样想图A有九个数字不论它翻面也好转动角度也好中间那个数字()的位置是怎么也改变不了的也就是说这张翻过面的透明纸中间那个数字必然仍是“”凡中间数字不是“”的都应排除掉。按照这个思路去找很快就能找到这张透明纸右下角那张。从这里可以看出抓住了中间位置的数字()就抓住了解题的关键。抓住了关键解题的效率就大大提高了。【训练题】缸里的金鱼小明家养了条金鱼。一天小明回到家里一看有一条金鱼肚皮朝天死了。请你想想缸里还有多少条金鱼?【智能训练】这里的关键是弄清提问的含义究竟是什么是指还活着的金鱼数还是全部金鱼数?弄清了题意我们就可以正确回答缸里还有条金鱼(包括死了的那条)。这就告诉我们认真看题(作文时叫审题)多么重要。千万不要粗枝大叶答非所问。丢分了固然可惜但更重要的是不能让粗心马虎形成习惯否则干什么事情都会干不好。【训练题】有趣的小狗星期天小红、小花、小明相约练长跑。小红第一个出发过分钟后小花出发再过分钟小明出发。有趣的是小明出发的时候把一只可爱的小黄狗也带上了。小黄狗跑得快一会儿追上小花一会儿又追上小红。追上小红后又立刻往回跑跑到小明身边时又掉头往前追。就这样小黄狗在他们三人之间不停地跑来跑去。现在知道小红、小花、小明的跑步速度分别为每小时里、里、里(里=米)小黄狗的速度是每小时里。请你想想看在小明追上小红的这段时间里这只不停地跑来跑去的小黄狗一共跑了多少里路?【智能训练】问题看来有点复杂小黄狗一会儿跑这儿一会儿跑那儿这路程如何算呢?但如果你能抓住关键问题就变得十分容易了。我们知道计算路程的基本公式是:路程=速度×时间。现在小黄狗的速度已经知道了(每小时里)只要求得小黄狗跑的时间就可以了。这里小黄狗跑的时间就成了解题的关键与此无关的问题或数据都不必考虑它。小黄狗跑的时间即是小明追上小红所需要的时间:小红比小明先出发分钟(+)即小时则两人相距×=(里)。小明每小时比小红快-=(里)所以追上小红需要时间÷=(小时)。这就是说无论小黄狗如何在三人之间跑来跑去到小明追上小红这段时间小黄狗刚好跑了小时。所以小黄狗跑的路程为:×=(里)同学们也许注意到按题意求解答案时题目中的有些已知条件(如小花跑的速度每小时里)并没有应用上。情况的确是这样。从这里我们也可以得到启发抓关键时必须头脑清醒敢于排除某些与求解答案无关或关系不大的因素善于从多种因素中抓住一个最主要的因素以求收到“纲举目张”的效果。【训练题】走出迷宫请为图中的小黄狗设计一条走出迷宫的路线。对这条路线的要求只有一个那就是它所通过的缺口上的算式必须是方程。【智能训练】迷宫共有四层每层有四个缺口每个缺口上都有一个算式:有等式有不等式还有计算式有的含一个未知数(x)有的含两个未知数有的一个未知数也没有。那么怎样判断呢?这里的关键是掌握方程的定义:“含有未知数的等式”。这就是说一是等式二要含有未知数(多少不限)。抓住这个重点那些不符合要求的缺口上的等式就可以排除了(见图)。有一点需要指出的是图中的“x=”它虽然是等式也含有未知数但却不能算作方程。因为该等式左边出现了“作除数”的情况而“”是不能作除数的。【训练题】变输为赢春秋战国时期齐国大将田忌与齐威王赛马。田忌用自己的上等马去赛齐威王的上等马用中等马去赛齐威王的中等马用下等马去赛齐威王的下等马。结果田忌以∶输给了齐威王尽管每场比赛田忌的马都只比齐威王的马落后一点点。后来田忌采纳了军事家孙膑教给他的方法再赛结果田忌三战二胜以∶赢了齐威王。亲爱的小读者你知道孙膑教给田忌的赛马方法吗?【智能训练】当齐威王出上等马的时候田忌却出下等马当然这一场必败。当齐威王出中等马时田忌则出上等马当齐威王出下等马时田忌则出中等马。于是后两场必胜。这里抓住“三战二胜”的比赛规则就抓住了关键。只有抓住这个关键才能统筹全局制定出宁可主动输一场而争取最后胜利的策略。【训练题】蜜蜂采花这只蜜蜂飞进每间花室采花但每间花室都只允许进出一次。亲爱的小读者你能帮助这只采花的蜜蜂设计出这条路线来吗?【智能训练】按照常规来设计这条路线从一个口子进去走经图示的花室不是有个别花室没有走到就是有的花室要进出二次但这都不符合题目的要求。当然吃一堑长一智既然这样走不通我们就得另想办法。是否能像前面的《猴子捡桃子》一题那样反过来从“终点”开始去寻找“起点”呢看来也不行因为此题的“终点”与“起点”并没有区别。于是我们就设计了如上页下图所示的路线。尽管这条路线初看有些不习惯(因为“开始”和“结束”分别从一个门进去又从同一个门出来)但是它是完全符合题意的因为它紧紧扣住了“进出一次”这个要点。【训练题】大小正方形数一数图中共有多少个正方形?想一想当最小正方形面积为平方单位时最大正方形的面积是多少?【智能训练】共有大小正方形个。最大正方形面积为平方单位。求得答案的关键是将最小正方形连同外接圆旋转°(见右图)这样就能够直观地看出来外面正方形的面积为里面正方形面积的二倍。采用同样的方法可以知道第三个正方形(以最小正方形为第一个其余依次类推)的面积为第二个正方形的二倍第四个为第三个的二倍⋯⋯第六个为第五个的二倍。所以最大正方形的面积为:×××××=(平方单位)这道题的训练也可以说是开阔思路、转换角度的训练解题的技巧形象地说明了转换角度看问题是多么重要。当然也可以这样说在这里转换角度就成了解题的关键。五总结规律规律单从数学解题的角度说它指的即是解同类题普遍适用的方法。掌握了这个方法对于解同类题就十分容易了。但是规律这东西常常“躲藏”起来不是一下就能从表面看出来的往往需要我们调动多项智力因素(如观察力、判断力、多角度思维和抓关键的能力等)才能把它“挖”出来。万事开头难但只要我们养成遇事寻找和总结规律的习惯就一定会尝到甜头。【训练题】加减乘除与这四道加、减、乘、除计算题相似的计算题我们经常可以遇到。请你想一想这类题如何计算最简便?【智能训练】算术中的一些计算法则或定理其实也是一种“规律”这种规律课本上已经为我们总结出来了我们只需要重视它和灵活运用它就行了。+=(-)+(+)=+=(两个加数同时加、减同一个数其和不变)-=(+)-(+)=-=(被减数与减数同加一个数其差不变)×=(÷)×(×)=×=(一个乘数缩小多少倍另一个乘数扩大相同的倍数其积不变)÷=(×)÷(×)=÷=(被除数扩大多少倍除数也扩大多少倍其商不变)【训练题】速算猪羊牛马请你算一算图中的猪、羊、牛、马各等于多少?看谁算得快。【智能训练】求猪、羊、牛三数不难因为算式不长也许你认为没有找计算规律的必要。但求“马”这个数就比较复杂了它等于个分数之和呀!如果按照通常方法计算首先通分然后一个一个数相加真不知加到何年何月去!如果我们能找到它们的计算规律那无疑将大大提高学习效率。比较一下四道式子不难发现:第一四道式中第一个加数都是×第二任意相邻的两个加数都可以用下列基本式表示:所以说它们的加数都是按一定规律排列的。那么得出的答数是否也有规律呢?猪=××=羊=×××=牛=××××=比较一下每个答案与最后一个加数的关系都具有下式的规律:×⋯⋯Pq×=Pq根据上述规律我们不难求得:马=×⋯⋯×=你看发现和总结规律进而运用规律解题是多么有助于学习。值得指出的是发现和总结规律也需要一定的时间。同学们切不要因怕耽误这点时间而放弃寻找规律的机会。“磨刀不误砍柴工”这句话是很有道理的。【训练题】小狗是啥数请你仔细看看图根据上面四个等式中乘数与积的关系推算出小狗该是什么数。【智能训练】几道等式左边乘数的数位是按规律增加的而右边得数的相应规律也很明显留待同学们自己去发现和总结。下面介绍一种规律供同学们参考:前面四个式的答数依次是、、、位数所以小狗代表的数应是一个位数这个位数的中间一个数应是左、右对称效应为即⑤。【训练题】蝴蝶与小兔图中有五道等式请你按照前四道等式的规律判断第五道等式中的蝴蝶和小兔各代表什么数?【智能训练】前四道等式的规律是:两乘数的十位上的数字相同、个位上的数字为互补数(两数字之和为)积的千、百位上的数字(或百位上的数字)为乘数十位上的数字加后乘以十位上的数字积的十、个位上的数字为两个乘数个位上数字的积。据此可以推断:蝴蝶这个数十位上的数字为(与另一乘数十位上的数字相同)个位上的数字也为(与另一乘数个位上的数字互补)。小兔这个数千、百位上的数字为(+)×=十、个位上的数字为×=。所以蝴蝶代表小兔代表。【训练题】算得巧想一想图中四道算式怎样计算最快?【智能训练】××(×+×)=×××(+)(乘法分配律)=×××(+)(乘法交换律)=××=×(+++)=×〔(+)+(+)〕(加法交换律、结合律)=×(+)=×l+×l(乘法分配律)=+=×-=×ll-×l(一个数乘等于原数)=×(-)(乘法分配律)=×=÷÷=÷(×)(三个数连除如果先算后面二=÷个数则将后二个数括起来后=括号里的除号要变成乘号)请仔细注意算式后括号里的文字它已经把各题速算的方法(或规律)了。记住了它以后遇到同类问题就可“举一反三”了。【训练题】揭开奥秘请你画一画图中六个图案哪些能一笔画成哪些不能一笔画成?画成和不能画成奥秘在哪里?【智能训练】我们先从一笔画的规律谈起。这个问题早在世纪即为著名数学家欧拉提出并圆满解决了。问题的提起首先是因为当时的哥尼斯堡城有一条河河中有两个岛在两岛之间架有一座桥两岛与两岸之间架有六座桥(见图左)要想不重复地一次走遍所有的七座桥而后又回到原出发点能行吗?欧拉把两岛和两岸看作个点然后用根线(代替座桥)把这个点连起来(见图右)。这样就把当时闻名于世的“七桥问题”变成了一笔画问题:只要能不重复地一笔画完这个图也就能按要求一次走完七座桥。欧拉经过研究最后得出结论:这个图不能一笔画成。并总结出了能够一笔画成和不能一笔画成的规律:首先应该懂得一笔画图案中的连接点分为奇点和偶点。所谓奇点就是与奇数根线条相连的点所谓偶点就是与偶数根线条相连的点。如果这个图案上的点全部是偶点则可一笔画成并能从任意一点出发最后又回到这个点如果这个图案上的点仅有个奇点也可一笔画成但必须从一个奇点出发最后在另一个奇点上结束如果这个图案上的奇数点在个以上(包括个)则不能一笔画成。现在我们再回过头来看欧拉的一笔画图案这图案上的A、B、

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