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数学科普读物:逻辑与知识

数学科普读物:逻辑与知识

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2008-06-24 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《数学科普读物:逻辑与知识pdf》,可适用于人文社科领域

序言本书的十篇论文体现了我们时代的一位伟大哲学家一生中连续五十年的成就。所有这些文章都具有代表性我们可以将其中几篇视作他的一些最重要的著述。尽管如此这里只有一篇是先前经罗素勋爵的允许出过精装本并且是通过图书行业的正常渠道发行的。而实际上其中大部分文章先前仅仅在那些藏有不常见的全套期刊的图书馆才见得到。这种情况本身就表明理所当然应以书的形式重印这些文章。迄今为止我们只有两本内容上有部分重复的论文集:《哲学论文集》(年)和《神秘主义与逻辑》()它们保留了罗素在逻辑、数学和知识论方面最多产的几十年研究成果中的短篇著述本书并不包括以上两本书的选文。而倘若要全面理解罗素在本世纪初撰写的那些论文则有必要对上述全部三本书进行考查。标志着罗素向《心的分析》(年)一书的中立一元论过渡的这个时期或者说罗素在年战争期间和战争刚一结束这段时间的哲学活动(不包括他的社会哲学)先前一直是很难进行研究的。本书发表的这一时期的三篇论文(没有一篇以前在正式的版本中出现过)可以填补罗素著述年表中这一令人困惑的空白。本编者相信:人们最终需要的是罗素的这些论文按照其题目的年代排列的一个完整版本只要删去期刊编者的那些无甚意义的附注。这样一项事业很可能不会吸引一位以营利为目的的出版商但却应当受到那些有志于以合适的形式保留这些著述的人们的重视而这些著述其中的绝大部分已把我们的这位最杰出的当代人与他的读者们联结在一起。编选文章一向是很难做的事我并不期望每个人都会赞同我的挑选。我在本书中重印了罗素的三篇论文()它们在丘奇(Church)的《符号逻辑文献》中也被列为该书的重点。这三篇文章虽然是技术性的但是它们十分重要。为了将它们编入本书我不得不删去最初以法文发表在《道德形而上学评论》杂志上的一组论文。它们目前仍然是对它们所提问题所作的最好的一般性讨论。很遗憾我不得不作这样的选择但是我并不为这个选择感到后悔。不管怎样那些不愿钻研数理逻辑的读者也会在本书里看到其他的清晰易读的文章就像罗素所有的更通俗的著述一样。年在西北大学阿瑟·H内瑟科特教授(ArthurHNethercot)向我推荐了罗素哲学。年我以评论罗素哲学的论文获得了哈佛大学博士学位。从那时起我有幸时常与罗素勋爵本人讨论哲学问题。在本书的编辑中关字全书的内容和每篇文章开头的导论中所表述的观点由我本人独自负责而与文章正文有关的所有问题上我都向罗素勋爵作了请教和协商。我竭尽全力以他所希望的最终确定的形式来发表这些论文。承蒙他的协助以及其他种种的好意我谨致以极大的感谢。第一篇论文没有全部重排大部分符号是从原版照像制版的。由于这个理由在英文正文和符号原形的印刷上可以看见一些小的变动因为不可能完全严格地复制皮亚诺(Peano)的意大利印刷机的铅字版面。然而也不存在这样一来可能引入一种模糊因素的情况。关于第二篇论文的重新排印我们遵循了《数学原理》的风格而不是罗素在这篇文章最初发表时使用的早期印刷约定。我们利用这篇文章的重新排印介绍这些微小的变动这也正是罗素勋爵的愿望。本书论文所注的日期是最初发表的日期。绝大多数情况下论文是在发表的同年或仅先于发表前一年撰写的。现在使人们能普遍地在本书中看到的这些论文其中有一些在当时是很罕见的。这种现象见于下列事实:据说当时在整个剑桥罗素论逻辑原子主义的讲演稿复本仅有唯一的一册。而在本书的准备过程中这一复本从剑桥大学图书馆遗失了。我不得不从布里斯托尔大学图书馆借用失踪件的原本。承蒙布里斯托尔对我表示的关怀使我能自由地使用这些讲演稿的原本对此我深表谢意由于他们的这番好意今后研究哲学的学生将会避免图书馆之间借书的不方便也避免了使用盗窃手段的必要性。年我第一次来剑桥后不久就计划出版这本文集。年我第二次在剑桥期间终于看到这本书的出版全过程。我会永远铭记剑桥所体现的一种超脱于本位主义的令人感佩的见识使得我可以不作为一名哲学家、音乐家或教育家而作为一名有权做他感到重要的一切事情的思想家来发挥作用。乔治·艾伦和昂温公司的比尔德先生(WalterBeard)承担了印制这本书的监督工作。他不得不处理某些棘手的问题我们绝不可低估他对于本书的贡献。我感谢他给予我的帮助感谢他处理疑难问题时的那种讲究实效而又不冒然从事的作风。罗伯特·查里斯·马什于剑桥三一学院由于罗伯特·马什先生在以下我的一些不大出名的著述再版中所表现的勤奋、坚韧和力求精确我谨向他表示衷心的感谢。对于这本书中相当大的一部分内容他从事了费力的核对各种版本的工作这些版本由于战争时期的审查制度带来的各种困难而有所不同。许多文章的复本已不易见到他历尽烦冗寻找原件。照我看来马什先生在挑选重印的内容以及每篇文章的说明引荐方面显示出很好的评判力。判断永久保存我在不同时期的思想记录是否有价值这本来不应当由我来做但是倘若任何一位研究以往刻苦钻研之作的历史学家要想研究我本人的思想发展他会发现这本书对他既可靠又有帮助。伯特兰·罗素汉译世界学术名著丛书出版说明我馆历来重视移译世界各国学术名著。从五十年代起更致力于翻译出版马克思主义诞生以前的古典学术著作同时适当介绍当代具有定评的各派代表作品。幸赖著译界鼎力襄助三十年来印行不下三百余种。我们确信只有用人类创造的全部知识财富来丰富自己的头脑才能够建成现代化的社会主义社会。这些书籍所蕴藏的思想财富和学术价值为学人所熟知毋需赘述。这些译本过去以单行本印行难见系统汇编为丛书才能相得益彰蔚为大观既便于研读查考又利于文化积累。为此我们从年至年先后分六辑印行了名著二百六十种。现继续编印第七辑。到年出版至种。今后在积累单本著作的基础上仍将陆续以名著版印行。由于采用原纸型译文未能重新校订体例也不完全统一凡是原来译本可用的序跋都一仍其旧个别序跋予以订正或删除。读书界完全懂得要用正确的分析态度去研读这些著作汲取其对我有用的精华剔除其不合时宜的糟粕这一点也无需我们多说。希望海内外读书界、著译界给我们批评、建议帮助我们把这套丛书出好。商务印书馆编辑部年月逻辑与知识关系逻辑在其自传《我的精神发展》一文里罗素说:“我的理智生活中最重要的一年是年而那一年最重要的事件是我参加了在巴黎召开的国际哲学会议。”他与他从前的老师、当时的同事怀特海(Whitehead)一同旅行去巴黎。在皮亚诺和他的学生们提出的数学和逻辑问题的讨论中所显示的那种技巧深深地打动了他俩。罗素带着很深刻的印象回回后钻研了皮亚诺的著作尤其研究了他的记法。人们可以相当容易地看到这种记法对后来罗素、怀特海在《数学原理》中所使用的记法的影响。《关系逻辑》一文写于年并在下一年发表。这篇文章是用皮亚诺的记法排印的虽然它代表与《数学的原则》的大部分著述同时代的成果:在《数学的原则》中罗素使用了后来在《数学原理》里得到充分发展的那种记法的早期形式。那些不熟悉皮亚诺记法的人将在约根森(forgenforgensen)的标准著作(《形式逻辑通论》哥本哈根和伦敦年第一卷第页后)中看到对皮亚诺系统的简明而令人钦佩的讨论。倘若你了解《数学原理》的记法实际上皮亚诺的记法并不难看懂所以这篇文章是以其原初形式复制的。罗素的第一篇论文发表于年随后是他在剑桥居住的第一时期随后四年的数学研究使他发表了一些为通过考试而写的论文但这些论文并不具有特殊的重要性。然而正是本篇论文使我们清楚地看到哲学上出现了具有第一流水准的创造性思想而且由于本文的发表(当时他年仅岁)罗素作为“享有盛名的思想家”的最终地位似乎就已经确立。有人间他现在觉得这篇论文最重要的观点是什么罗素答复的是“我的关于基数的定义”这一定义第一次发表在本文中。主要根据本篇论文和本书的第二篇论文使罗素在年当选为皇家学会会员。关系逻辑以及对序列理论的一些应用年这篇论文最初以法文形式发表在皮亚诺的《数学评论》〔RevuedeMathématiques〕第卷第页(图林年)。这里是RC马什的译文。罗素勋爵对此译文作了修改和更正。目录关系的一般理论基数序级有穷与无穷紧致序列①《伯特兰·罗素的哲学》伊文斯顿和剑桥年参见第页。一个紧致序列中的基本序列我们在皮尔士(Peirce)和施罗德(SchrÖder)的著作中看到的关系逻辑其困难和复杂的程度如此之大以致人们很有可能怀疑其实用性。既然他们忽略了在∈和É之间的差别这两位作者就把一个类看成个体的简单相加之和。鉴于这一理由在他们看来关系就像是一对对个体的总和。从这一点可以得出:关系的基本特性通过相当长的求和公式来表述而公式的意义从记法来看并不十分明显。但是正是这种关系逻辑必须作为数学的基础因为在符号推理的过程中所考虑的总是关系的类型这就是说我们不需要考察某种特殊关系(除了那些对于逻辑是基本的关系(像∈和É)〕而要考察某一类型的关系例如传递的和不对称的关系或者一一关系。在目前这篇论文里我指出:通过使用皮亚诺的记法(在下文中这种记法知识得到采用)很有可能大幅度地简化关系逻辑。但是看起来似乎是这样:倘若没有明确引入关系皮亚诺的逻辑几乎不能是完全的。我们可以举基本概念中的函项定义()为例子。在这个定义的右边出现的符号xu和ux并不由于前文而成为自明的。两个字母的并列迄今除表示逻辑乘法外不具有任何意义而这里不涉及这种乘法。事实在于:只有通过知道一个。新的初始观念即关系的观念关于函项的定义才是可能的。例如我们可以观察下列的结果。从所引用的定义和第节命题·、第节命题·、第节命题··我们推出a,beN·O·ab=ab=a×b这个结果表明:所采用的记法需要修改。我将给出一种更复杂的记法由此我们不能推出一个等价的结论。此外我认为关系的引入可以为许多数学理论的简化和概括提供机会这种引入也使得我们在可能定义之时给出唯名定义。在下文中我采用了施罗德的一些符号例如■o’I’。我没有成功地使自己遵守公式表示的规则让所有符号都排成一行就关系而言我必须区分RP和R∩P。在其他方面我已经采用了皮亚诺的逻辑中给出的全部符号同时也采用了由帕都亚(Padoa)提出的Elm(单元)的记法[《数学评论》第卷第页但是我已经区分了eu(这里u是包含在一个关系R的域之内的一个类)和e∩u。鉴于以上理由一个类u和由一个希腊字母代表的一个类的逻辑积总是由e∩u或者π∩u等等来表示而不是由eu或者ue来表示。参见第节命题····。〕关系的一般理论*·初始观念:Rel=关系如果R是一种关系e可以称作关系R的前域就是说与单个项或者几个项具有那种关系的一些项的类我总是使用大写字母代表关系(除了在公式汇编里所碰到的那些关系)而用相对应的小写希腊字母代表这些关系的前域。在定义·中R这个字母被假定为变项。就是说a将是一个关系A的前域β将是一个关系B的前域以此类推。我将$看作这样一个初始观念它允许我将这个符号放在一些命题的前面倘若没有这个符号的帮助这些命题就不可归约为xÎa这个形式。以上这个初始命题尤其在算术中很重要①。它肯定在两个个体之间存在一种对任意其他一对个体并不成立的关系。既然x和y不受任何限制这个关系也就不需要一种假设。但是人们可以将这一关系限制在x和y是不同的情形因为x和y是相同的情形可以通过关系的乘法从这一点推论出来。我们有必要对RÇR(表示逻辑积)和RR(表示关系积)作出区别。我们有RÇR=R但一般没有RR=R我们有RÇR=RÇR但一般没有RR=RR。例如祖父(或外祖父)是父亲和父亲的、或者母亲和父亲的关系积但不是父亲和母亲的关系积。如果R是产生一个序列的一种关系(这个序列要求R是传递的并包含在相异(不等同)关系之中)R=R给出该序列为紧致序列的条件就是说这个序列在它的任何两个项之间含有一个项。(参见下面第节)我看不出皮尔士和施罗德的关系加法是必不可少的。这里是关系加法的定义:令R和S是关系:它们的关系之和是像下述这样的一种关系这个初始命题说明Î是一种关系。这样一来我已经被迫放弃使用大写字母表示关系的规定。上述这个命题证明:如果uv是两个非空的类在所有的u的项和所有的v的项之间就有一种能够成立的关系但是这种关系在任何其他一对项之间不成立。这个关系Îu是只对于类u的关系∈。它是通过∈与只在u和u之间成立的那种关系的关系积而形成的。*·初始观念:I’=等同关系这个符号是在施罗德的符号记法里给出的。我不用=这个符号代表个体之间的等同关系因为它另外用来表达类之间、命题之间和关系之间的等价性。’eRelNc+是多对一关系的类。符号Nc+表示:如果我们有xRy当给出x时只有一个可能的y。但是当给出y时就有x的某个基数它满足xRy这个条件。同理+Nc是多对一关系的逆的类而+是一一关系的类。①本文逻辑公式中出现的“Cls”意为“类”“Elm”意为“单元”“prop”意为“命题”“Induct”意为“归纳”“sim”意为“相似”“fin”意为“有穷”“infin”意为“无穷”“transp”意为“移项”“seq”意为“后续”“Dem”意为“证明”“Cls·rel”意为“类的关系”“ClsCls”意为“类的类”“Hp”意为“假设”。译者你不会有R■=’因为R■的前域和R的前域相同它一般只是’的前域的一部分。命题·是·的逆。它断定:所有的传递的、对称的和非空的关系都可以分析成为一种多对一关系和其逆的积并且这个论证给出我们有能力做到这一点的一种方式并没有证明不存在其他的做到这一点的方式。命题·为使用抽象方式的定义所预设而它说明:这些定义一般不给出单一的个体只给出一个类因为关系S的类一般不是一个元素。对于这个类的每个关系S和对于R的所有的项x来说存在一个为抽象方式的定义所指明的个体但这个类的其他关系S一般不给出同样的个体在具体的应用中这一点将得到更好的解释例如下一节里的例子。同时我们总可以把■x这个类(它在命题的论证中出现)作为通过抽象方式的定义所指明的个体举例来说一个类u的基数一定是相似于U的许多类的那个类。基数为了肯定具有常值的一个项(诸如“sim”)属于这个或那个类我们总是需要某个初始命题。参见第节结束时的注释。如果我们想要用抽象方式定义基数我们只能将它定义为许多类的一个类而许多类中每一类都与“基数”这个类有一一对应关系而具有这样一种对应关系的每一个类都属于这个基数类这一点来自下面的命题·和·。命题·和·证明:所有那些构成类S的不同关系的前域的类都是相似的(sim)而所有的相似于这些类之一的类都属于这个类的类。基数算术全部适用于这些类的每一类但是为了全面发展有穷数论的理论还需要数学归纳法。(参见第节。)命题··指出:总可能找到一种关系其关系前域是一个给定的关系的前域之有限部分而等值于那个部分中所给定的关系。这个命题以一种形式说明了算术加法的基础这个形式允许无穷数和一些有穷或无穷数的相加。这个定义根据命题·。注意到下面这一点很重要:这个定义规定了具有有穷或无穷数的一个有穷或无穷的类的总和但是对于所有这些数来说它们的差异是必要的否则便不可能将它们定义为数的一个类而只能定义为类的数。鉴于求和中有一些等数的情形就需要不同的思考乘法运算中尤其如此。为了避免篇幅过长我就不在这里展开这个运算。这个定义根据命题·。命题·和·证明:如果一个类的数和另一类的数相等另一类是通过从一给定的类减去一项而得那么这个数也和通过对所给的类加上一项而得的类的数相等反之亦然。既然我们已经证明(·)s与s是不同的我们借此也可以证明:在服从数学归纳法的数的类中从s开始两个连续的数决不相等。为了展开这个主题有必要考查序级(progressions)的理论即关于其序数是ω的序列(series)的理论。序级这是关于序数ω的定义或者毋宁说(如果你愿意)是关于可数的类的类之定义。序数实际上是序列的类。ω这个类是无穷序列的类中最简单的。既然此定义不预设数那么最好是对这一序列的类型(序型)给出一个不含数的名称。因此我称这个序型为序级的类。下面是其书面定义:ω是u类的类这些类具有一一对应关系R使得u被包含在R的前域之中不同的u对其有关系R的那些项的类被包含在u之中而不必与u相同一而且如果s是任何一个至少u的一个项所属于的类(任何u对这个类都不具有关系R)所有的u的项都属于这个类而u和s的共同部分的一个项对这个类具有关系R那么这个类u被包含在类s之中。命题··通过归纳定义了关系的有穷势。这个定义是借助于u的那些项完成的。根据序级的理论倘若没有关系的势你就会寸步难行因此如果希望使这一理论脱离数就十分有必要以不引入数的方式定义这些势。符号’π意谓在类π中的等同和在其他地方的空关系。参见第节命题·。这个命题断定:两个序级永远是两个相似的序列。这就是说你可以找到一种一一对应关系这一关系的前域是两个序级之一这一关系的逆关系具有关于它的前域的另一个序级而这一关系是这样:在一个序列中领先的那些项相当于在另一个序列中领先的那些项反之亦然。在这个命题中我们证明:任何与一个序级相似的类其自身也是一个序级。如果P是在u和u’之间的一一关系而R是u的生成关系那么■RP是u’的生成关系。命题·证明:在序级的开端我们可以任意地去掉许多项而不会使其不再是一个序级。命题·证明:一个序级的任何项都与它的后继完全不同。这个命题证明:相同的项绝不可能在一个序级中再次出现每一项都和所有在先的项完全不同。现在我们已经证明了加法和乘法的形式规则:在命题·中加法的结合律在命题·中加法的交换律在·和·中加法的分配律和在·中乘法的交换律。乘法的结合律立即从(正像对于所有的关系积一样)关于逻辑积的相同规则中得出。在前面的所有证明中我们从未假定数:这全部理论适用于每一个序级。因而在一般形式中可以得出所有的有穷数的算术系统。在数学中我们习惯于谈论运算而不谈多对一关系。定义··就是为了允许使用我们习惯了的语言。在这些定义中一个多对一关系和一个运算之间的关系被解释为:一个相等符号之后出现的运算意谓那种相对应的关系。命题··给出对应于有理数的运算的一般定义。注意到这一点很重要:根据这一定义任何有理数都不能等同于一个整数因为有理数是关于整数的运算反之整数不是关于有理数的运算。这个命题利用命题·的方法得到证明但这个证明太长。为了避免混淆我利用M指谓有理数中较小的那种关系。我们希望说明这种关系与它的平方相等同。这证明它产生一个紧致序列。在第节中我们将展开有关这些序列的一般理论。+ru是正有理数的类而正有理数是对没有符号的有理数的运算。u、ru、+u、+ru这些类互相排斥:这四类中没有一类的项属于另外三类中的任何一类。有穷与无穷可以任意通过数学归纳法定义有穷数并且将定义·视作初始命题。但是我还不能成功地从其他方法推演出这类命题之一。如果你通过包含与自身相似的一部分这个性质而定义了一个无穷的类就不能证实:去掉一个单一的个体而得到的部分与整个类相似而这一点对于有穷数论具有至关重要的结果。一旦通过保持对自身相似的这种性质(当你对这个无穷类添加一个不属于它的项时)而定义一个无穷的类你就排除了所有的个体的那个类(全类)因为你不能够对那个类添加任何东西。鉴于这些理由与两个初始命题·和·一起我采用了定义·。现在我们已经证明:与有穷的基数相似的任何一个类都是一个序级反之亦然从这一点我们推演出:第节的所有的结果都适用于有穷数。关于y<x的定义参见第节命题·。我们推演出:任意一个有穷类都可良序。命题·给出关于无穷的通常定义但是从这一点看起来不能推演出命题·。紧致序列这些命题给出关于一个紧致序列的定义。如果R是一个包含在相异关系中的并且等同于自身平方的连续关系且如果u是关于R的前域与■的前域的逻辑和之中所包含的一个类两个不同的U总有R和■这两种关系之一在两个u之间总存在第三个u那么u是一个FR对于产生这样的序列的所有关系而言类F是所有紧致序列的类。这个命题给出一种方法借助这个方法通过与一个给定紧致序列的对应我们得到一个新的紧致序列。这证明:与一个紧致序列相似的每一类在关于一种关系上自身也是一个紧致序列。我们有更一般性的定理:给定P以及使P■’P■P成立的一种关系像冗一样的序型的序列的类就是P’这些关系的前域的类使得存在P’=■psπ=ο这样的一一对应关系S。这个定理毫无例外地适用于所有类型的序列。为避免篇幅过长我省去了证明。关于RuÇeu的定义参见第节命题·。pu相当于皮亚诺称作节的类《数学评论》第卷第页第节命题·。我把pu称为下节的类pu称为上节的类。关于wt的定义参见第节命题·。这一证明中的命题()和()是初始命题要是我们想制定一种完全的逻辑我们本应当在第节中引入这两个命题命题()肯定类之间的包含是一个关系而命题()肯定了类的相等是一个关系。现在我们已证明:下节的那个类对于T是一个紧致序列。同样也可以证明上节的那个类是一个紧致序列。关于wt的定义参见第节命题·。这个命题证明:如果ω是一个紧致序列的节的类在ω的一个变项中包含的节的这个类就和在许多类ω的类的逻辑和中包含的节的那个类相同。当类ω没有极大值时我们可以推演出凶的逻辑和是ω的上界:因此这个类ω总有极大值或上界。(参见下面的命题···。)同类定理的一半的证明是关于下界和命题·中的逻辑积的。你不能证明т(Ç‘ω)=ωτ。当ω具有极小值时这个定理才能是真的在相反的情形里ω的下界是Ç‘ω并且在某一些情形里将属于类但不属于类τ(Ç‘ω)。命题··证明:pu对于上界是完备的而对下界并非必要。正像刚才定义一样λ′ω不总是一个界限因为如果有一个极大值那么这个界就是极大值。构成类pu的节是由u中所包含的任何类的定义。在下一节我们将考查节和界它们是通过唯一地使用康托尔(Cantor)叫做基本序列的东西而得到的。《数学评论》第卷第页。一个紧致序列中的基本序列基本序列是类型ω的序列这些序列中每一个都在含有它们的紧致序列之内连续地上升或下降。在第一种情形下(·)我称基本序列为序级在第二种情形下(·)我称基本序列为归级·(regression)。紧致序列不从属于任何条件除非它是紧致的。例如我不能确定它是否可数、或者是否连续、或者它既不可数又不连续。如果υ是一个序级Relυ是这个序级(第节命题·)的生成关系的类。在这种情况下你可以承认只有满足所给的条件的关系才是生成关系。这样一种关系如果存在它就是唯一的。我们一定不要混淆ωp和ωπ参见第节命题·。我们一定不要混淆πω和pu(第节命题·〕:pu是u的所有下节的类πω是规定序级的那些下节的类。这两个类在大部分情形中是同一的。但是我不知道关于它们是否永远同一这一点的任何证明。上面这个证明有点复杂所以我再逐字重复一遍。这个命题断定:如旭两个序级n和n’是这样的即在n的任何两个相邻的项之间总能找到至少一个n’的项那么就没有n’的项在所有的n的项之后。令x是n的一个项y是x和x后继之间的n’的一个项。那么那些并不先于x的n的项构成一个序级■xn而那些并不先于y的n’的项构成一个序级■yn’。那么x’只要是■xn的任何一个项y’是x’和x’后继之间的n’的一个项就可以推演出:y’是■yn’的一个项。现在有一个■yn’的项y’’它居于x’后继和x’后继的后继之间而且这样一个项必定是y’后继或者继承y’后继因此y后继必定先于x’后继的后继。由此可知:如果z是一个先于任何n的一个n’那么z后继也是先于任何n的一个n’。但是由假设,存在某个先于n的n’因此n’的第一个项必定先于n。我们通过归纳而推演出:所有的n’的项都先于n的某些项。这就是说没有n’的项在所有的n的项之后。这个命题断定:如果n是在一个紧致序列m中的一个序级且如果ω是包含在u之内的一个类并且后继某些ν的项且如果有一个(并且只有一个)ω的项在任何两个相邻的ν的项之间且如果是所有的ν的项的后继的项最终也是所有ω的项的后继那么ω是在u之中的一个序级。按照刚才的定义’ν和ω是真实的界限而上一节中的λ’v和λv或是界限或是极大值或是极小值。既然’v属ν类νπ’v就不能属于类刀进一步说根据定义l’ν没有极大值。同样ω不属于类ω它没有极小值。如果一个ωP或一个ω■有界则只能有一个界但也可能根本没有界。另一方面在导出类πωωπωππω中正像我们已经看到的一样你可以论证界的存在。这个命题断定:你可以找到一个序级它的所有的项都包含在紧致序列m的两个给定的项之间。在上述证明中先取其生成关系是R的任何序级ν’。再取a和b之间任何一个项并且建立一个关系Rov’这种关系在ν’的第一个项和在a和b之间取的那个项之间唯一地成立。然后通过归纳证明:对于ν’的任何项χ’来说可以找到一种关系Rx这种关系仅仅在x和在a和b之间的单独项之间成立。这个单独项是先于seqx(x后继)与其具有关系Rseqx的那个唯一的项。因此对x的所有的值可取凡关系的逻辑总和R’因为无论哪一个x都是一个ν而且可以证明:■’的前域是U中的一个序级其中所有的项可以在a和b之间得到。你使用的这个程序可以描述为“没有数的计算”。关于T的定义参见第节命题·。这个命题证明:πω的任何一个项(就是说u的所有的下节)是πω的那些项的一个序级的上界如果v是u中的一个序级工是ν的一个变项πν就是πω这些节的界但是这个事实对于·的证明并不充分因为你没有理由相信πω永远属于πω这个类就是说如果x是一个uχ就是在u中的一个序级的上界。正像·来自·一样这个命题来自·。命题·至·的证明类似于命题·的证明。还有另一些同样形式的命题我们不知道怎样证明它们而这些命题看来并不总是真实的。以下就是这样的一个命题:这里也有其他八个形式相似的命题这些命题看来并不总是真实的以下就是这样的一个命题:对第节的评注。现在我们可以总结第节中的主要结论。一个紧致序列(Φ)是一个在其自身的项中任何二个项之间具有一个项的序列。这样一个序列通过传递关系P进行定义这种关系蕴涵相异(不等同)关系而且是这样的关系P=P。如果xPy就可以说χ先于y。如果在所讨论的序列之外存在一些项这些项对其他项具有P或■关系你就总能找到另一种关系在所讨论的这个序列之内等价于P而且使得所有具有那个关系或这关系的逆的项都属于所讨论的这个序列。(第节命题·。)因此我们可以更简单地但仍不失普遍地将一个适当的关系及其逆的整个的前域看成一个紧致序列的类型。令u是一个这样的序列P是它的生成关系。在u中一个序级是包含在u之中具有类型ω的一个序列使得总有χPseqχ如果x是这个序级的一个项。我们称ωP是在u中的序级的类。与此同时ωP是归级的类就是说具有类型ω的序列的类对此有χ■seqχ。可以构造一个ωP和ω■,它们中所有的项都可以在u中的任何二个项之间得到。每个包含在u之中的类v在u中定义四个类:()πν它包含所有的项使得有一个ν是它们的后继()πυ它包含所有的项使得有一个ν是它们的前驱:()υπ它包含所有先于υ的任何一项的项()υπ,它包含所有的后继υ的任何一项的项。如果υ是一个序级()和()都独自具有重要性对一个归级来说()和()都独自具有重要性。如果ν是一个序级u的任何一个项属于()或()而()没有一个最后的项但是你不可能知道(在一般情形里):()是否有第一个项。如果ν是一个归级也可以说类似的话。现在提出节的理论它把实数理论普遍化了有四类节:()类πω它是由所有的类πυ组成的在此υ是任何一个ωP:()类■ω它是由所有的类πω组成的在此υ是任何一个π■()类ωπ它是由所有的类υπ组成的在此υ是任何一个ωP()类ω■它帅所有的类υ■组成的在此υ是任何一个ωP。以上四类的每一类是ф其生成关系是从逻辑包含关系导出的。ω■的任何项都是u和πω的相应的项的否定的积对于πω和ωπ也是一样。类πω和ωπ可以有公共项例如如果u是有理数的类而ν是u中的一个序级它没有有理界那么ν是一个确定相同截(在戴德金(Dedekind)的意义上)的归级如果u是满足戴德金连续性假设的一个序列πω和ωπ没有公共项因为那样会在所有属于类ωπ的类中而不是在πω的类中产生一个第三项。这四类(ωπ■ωω■)的每一类中你都可以构造一个序级或归级它总有一个属于这四类之一的一个界但不是总属于含有同一个序级或归级的那个类。进一步说这四类中的每一类的任何项是某些序级的界或者某一归级的界但不必然都是这两者的界(就外表而言)而那些特定的序级或归级的项不一定属于与那个是它们的界的项一样的类。这些结论总结如下:πω的任何项是ωπ中的序级的界和πω中的序级■ω的任何项是■ω中的序级的界和ω■中的序级ωπ的任何项是πω中的归级的界和ωπ中的序级ω■的任何项是■ω中的归级的界和ω■中的序级πω或ωπ中的所有的序级在πω中有界■ω或ω■中的所有的序级在■ω中有界πω或ωπ中的所有的归级在ωπ中有界■ω或ω■中的所有的归级在ω■中有界因此:ωπ与在πωπ或ωπ中的序级的界的类相同■ω与在■ω或ωπ中的序级的界的类相同ωπ与在πω或ωπ中的归级的界的类相同ω■与在■ω或ω■中的归级的界的类相同我们还未能证明:这四类的每一类都是一个完全完备的序列但每一类不是向左完备就是向右完备。就是说或者是归级完备或者是序级完备。πω和ωπ或者■ω和ω■的逻辑和是一个完备序列。但一般地说这个序列不会是紧致的因为如果在u中存在一个序级v和一个归级v这二者在u中具有相同的界(已知这是可能的)那么πν和v’π在序列πωÈωπ中将是相邻的因为v’π只含有一个不属于πv的单个的项即共同的界。因此πωÈωπ一般不是一个连续的序列。我们未能证明:在u中的任何序级或归级都有界因为我们不知道这样一个紧致序列的例子其任何项都是主元素(康托尔的语言)。我们也未能证明:有一些πω的项这些项是归级的界等等。由于康托尔的工作人们知道:如果u是一个可数的序列怎样证明所有这些定理(《数学评论》第卷第至页)。我们不再展开这个主题因为这个主题早已为康托尔所涉及。在第节我们只希望在不引入其他条件的情况下推演出那些对所有的紧致序列都有效的结果。论指称从表面上看年的这卷《心灵》杂志似乎是过了期的论文汇集。而这类论文常常载满了由学院人士发行并且面向他们的各种刊物。看过这本杂志你将会想象到:观念主义者和实用主义者关于真理性质方面的冲突乃是世界上最重要的事情。在这一哲学论战的上下文之间插进了一篇罗素撰著的十四页的论文。它与其前面的叫做《实用主义与绝对论的对立》的七十八页的专论相比似乎显得有点相形见细。可是罗素却把它称之为自己最好的哲学论文。《心灵》的编者GF斯托特(Stout)教授虽然认为这篇论文既奇异又不合常规但他终究还是作出了刊登该文的正确决定。究竟会有多少读者能理解这篇文章仍然是不得而知的。在当代哲学的发展中《论指称》一文是一个里程碑。它再次揭示了罗素思想上的革新和令人惊奇的独创性。然而令人感到嘲讽的是本文包含了一个微小的错误。GE摩尔(GEMoore)曾经把它指出来了:因为“写”这个动词的歧义性罗素在该文结尾部分的“最简短的陈述”是有缺陷的。因为司各脱(像盲人密尔顿一样)可以是《威弗利》这本书的作者而不是文字上第一次写了该书的人所以“司各脱是《威弗利》的作者”就不会具有和“司各脱写了《威弗利》”同样的意义。罗素“平静地”接受了这一纠正。①降格俯就地对待这种失误的权利按理是留给那些像罗素和摩尔那样对哲学作出贡献的人们的。对这些观点更加全面的发展是著名的摹状词理论而这一理论的详尽陈述见于罗素五年后发表的《数学原理》第一卷。论指称年我用“指称词组”来指下列这类词组中的任意一种:一个人、某人、任何人、每个人、所有人当今的英国国王、当今的法国国王、在二十世纪第一瞬间太阳系的质量中心、地球围绕太阳的旋转、太阳围绕地球的旋转。因此一个词组只是由于它的形式而成为指称词组。我们可以对一个词组区分以下三种情况:()它可以指称但又不指任何东西例如“当今的法国国王”()它可以指一个确定的对象例如“当今的英国国王”指某一个人()它可以不明确地指称例如“一个人”不是指许多人而是指一个不明确的人。对这类词组的解释是相当困难的事:的确很难提出任何一种不能受到形式反驳的理论。我熟知的所有这些困难就我能发现的而言都会被我下面就要阐述的理论所碰到。指称这一课题不仅在逻辑和数学上而且在知识论上都非常重要。例如我们知道太阳系在一个确定瞬间的质量中心是一个确定的点而且我们可以确认一些关于这个点的命题但是我们并没有直接亲知(acquaintance)这个点而只是通过摹状词(description)才间接知道它。亲知什么和间①见《伯特兰·罗素哲学》伊文斯顿和剑桥年版第页。摩尔那篇著名的论文见同书第页后。接知道什么(knowledgeabout)之间的区别就是我们直接见到的事物和只能通过指称词组达到的事物之间的区别。时常有这样的情况虽然我们没有亲知某个词组指称的对象但我们知道它们在明确地指称。上述太阳系质量中心的例子就是如此。在知觉中我们亲知知觉的对象而在思想中我们亲知具有更抽象的逻辑特征的对象。但是我们不一定亲知由我们已经亲知其意义的词构成的词组所指称的对象。举一个很重要的例子鉴于我们不能直接感知其他人的心灵似乎就无理由相信我们亲知过其他人的心灵因而我们对他人的心灵的间接知识是通过指称获得的。尽管所有的思维都不得不始于亲知但思维能够思考关于我们没有亲知的许多事物。下面是我的论证过程。首先阐述我打算主张的理论①然后讨论弗雷格和迈农(Meinong)的理论并证明为什么他们两人的理论都不能使我满意然后提出支持我的理论的依据最后简要地指出我的理论的哲学结论。简单说来我的理论如下:我把变项当作最基本的概念我用“C(χ)”来指以χ作为其中一个成分的命题②在这个命题中变项χ在本质上和整体上都是未定的。这样我们就可以考虑“C(x)恒真”和“C(χ)有时真”③这两个概念这样对于每一东西(everything)、没有东西(nothing)和某个东西(something)(它们都是最初始的指称词组)就可作如下解释:C(每个东西)意谓“C(χ)恒真”C没有东西)意谓“‘C(χ)假’恒真”C(某个东西)意谓“‘C(χ)假’恒真是假的”①。这里“C(χ)恒真”这个概念可视为最终的和不能定义的而其他概念可通过这个概念来定义。对于每个东西、没有东西和某个东西均不假定它们具有任何独立的意义而是把意义指派给它们出现于其中的每一个命题。这就是我想提倡的指称理论的原则:指称词组本身决不具有任何意义但在语词表达式中出现指称词组的每个命题都有意义。我认为有关指称的困难完全是对于其语词表达式包含着指称词组的命题进行错误分析产生的结果。假如我没有搞错的话那么就进一步提出以下的正当分析。假定现在我们想要解释“我遇见一个人”这一命题。如果这命题真那么我遇见过某个确定的人但这并不是我所断定的东西。按照我主张的理论我所断定的是:“‘我遇见χ并且χ是人’并非恒假”。一般说来在将人的类定义为具有谓词人(human)的对象的类时我们可以说:“C(一个人)”意谓“‘C(χ)且x是人’并非恒假”。这就使得“一个人”全然没有它独自的意义而是把意义赋予了在语词表达式中出现“一个人”的每个命题。我们看下一个命题:“所有的人都有死”这个命题①实际上是一个假言①我在《数学的原则》第五宣和第节讨论了这个问题。那里所主张的论点很接近弗雷格而与下面所提倡的理论截然不同。②更精确地说是命题函项。③如果我们用第二个概念来指“‘C(χ)假’恒真这一命题并非真的”那么后者就可以通过前者来定义。①我有时不用这种复杂的词组而用假宁被规定为与这种复杂词组含义相同的词组“C(χ)并非恒假”或“C(χ)有时真”。①这个命题在布莱德霄(Bradley)先生的《逻辑》一书第一卷第二章中已有很好的论证。命题它说的是:如果有什么东西是个人那么他终有一死。也就是说它说的是:如果χ是一个人则χ终有一死不论χ可能是什么。因而用“χ是人”(χishuman)来代入“χ是一个人”(χisaman)我们将看到:“所有的人都有死”意谓“‘如果χ是人则χ终有一死’恒真”。在符号逻辑中这一点是这样表述的:“所有的人都有死”意谓“对χ的所有值而言‘χ是人’蕴涵‘χ终有一死’”。更一般地讲我们说:“C(所有的人)”意谓“‘如果χ是人则C(χ)是真的’恒真”。同样地:“C(没有人)”意谓“‘如果χ是人则C(χ)是假的’恒真”。“C(某些人)”和“C(一个人)”含义相同②且“C(一个人)”意谓“‘C(χ)且x是人’恒假是假的”。“C(每一个人)”和“C(所有的人)”含义相同。还应当对含有冠词the的词组进行解释。这些词组是迄今指称词组中最有趣也是最难处理的。以“查理二世的父亲被处以死刑”(thefatherofCharlesⅡwasexecuted)为例这个命题断定:有一个χ他是查理二世的该父亲且他被处以死刑。如果此命题中的该(the)是严格加以使用的那么它应含有唯一性(uniqueness)的确即使某某人有好几个儿子我们也这样说:“某某人的该儿子”。但在这样的情况下说“某某人的一个儿子”会更正确些。因此就我们的目的来说我们将该(the)视为含有唯一性。所以当我们说“工是查理二世的该父亲”时我们不仅断定了x对查理二世具有某种关系而且断定了其他任何东西不具有这种关系。“χ生了查理二世”表述了以上这种关系但它没有假定唯一性也不包含指称词组。为了得到“x是查理二世的该父亲”的等值式我们就必须添上“如果y不是χ那么y就没有生查理二世”或者添上“如果y生了查理二世那么y与χ相等同”这个等值式。因而“χ是查理二世的该父亲”就变成为“χ生了查理二世且‘如果y生了查理二世那么y与χ相等同’这对于y总是成立的”①。这样“查理二世的父亲被处以死刑”就变成为:“χ生了查理二世且χ被处以死刑并且‘如果y生了查理二世那么y与χ相等同’对于y总是成立的这对于χ并非总是不成立的”。这解释似乎有点难以置信但我暂时并不提出为什么作这种解释的理由而仅仅是在陈述这个理论。为了解释“C(查理二世的父亲)”其中的C代表关于他的任何陈述我们只用C(χ)代入上述的“χ被处以死刑”。应注意根据上述的解释不管C可能是怎样的陈述“C(查理二世的父亲)”都蕴涵:“‘如果y生了查理二世那么y就与χ相等同’对于y总是成立的这对于χ并非总是不成立的”。这就是日常语言“查理二世有一个且仅有一个父亲”所表述的东西。因此假如这个条件不成立那么每一个具有“C(查理二世的父亲)”形式的命题就是假的。所以本文开头时所举的每一个具有“C(当今的法国该国王)”形式的命题就是假的。这是目前这个理论所具有的最大优点。我在后面将证明这一点并不像起初可能会设想的那样与矛盾律相悖。②从心理学上讲“C(一个人)”暗示着唯一一个人而“C(某些人)”则暗示着多干一个人但在初步的概述中我们可以忽视这些暗示。①在这段活中为了说明定冠词“the”的唯一性我们将它译为“该”以下一般不再译出。译者上述分析说明:所有的有指称词组出现的命题都可以还原为不出现这类指称词组的形式。下面的讨论将致力于说明实行这样的还原为什么是绝对必要的。如果我们将指称词组当作代表了在命题的语词表达式中出现它们的命题的真正成分那么困难的产生似乎是不可避免的而上述理论之所以成立则在于它克服了这些困难。在承认指称词组是命题的真正成分的各种可能的理论之中迈农的理论①是最简单的。这一理论把任何在语法上正确的指称词组都当作代表了一个对象(object)。因此“当今的法国国王”、“圆的正方形”等等都被当作真正的对象。这种理论认为:尽管这类对象并不实存(subsist)然而应当把它们看作对象。这观点本身就难以自圆其说而反对这一观点的主要理由在于:众所周知这类对象很容易违反矛盾律。例如这种观点主张:现存的当今法国国王是存在的又是不存在的圆的正方形是圆的又不是圆的诸如此类。然而这种看法是无法令人容忍的如果能发现有什么理论能避免这个结果那么这理论肯定是更可取的。弗雷格(Frege)的理论避免了上述违背矛盾律的情况他在指称词组中区分了我们可以称之为意义(meaning)和所指(denotation)①的两个要素。因此“在二十世纪开始时太阳系的质量中心”这个同组在意义上是非常复杂的但其所指却是简单的某一点太阳系、二十世纪等等是意义的成分而所指根本没有成分。②作出这种区别的一个好处在于:它说明了断定同一性为什么常常是很有价值的。如果我们说“司各脱是《威弗利》的作者”我们便断定了带有意义上的差异的所指的同一性可我不想再重复支持这一理论的依据因为我已经在其他地方(如前引文)强调了它的主张而现在我关心的是对这些主张提出质疑。当我们采取指称词组既表达一个意义又指称一个所指的观点①时我们面对的一个首要困难是关于所指似乎缺乏的情况。假如我们说:“英国国王是秃头”这似乎不是关于“英国国王”这个复合意义的陈述而是关于由此意义所指称的真实的人的陈述。但是我们再来看“法国国王是秃头”这句话由于与“英国国王是秃头”这句话在形式上的一致它也应当是关于“法国国王”这个词组的所指的陈述只要“英国国王”有意义这个词组也就有一个意义但它确实至少在其显而易见的意义上没有所指。因而人们会提出“法国国王是秃头”这句话应该是毫无意义的但因为它明显是假的:所以它并非是一句毫无意义的话。或者我们再看下面这样的命题:“如果u是仅具有一个元的类那么这一个元是u的一个元”或者可以这佯说“如果u是一个单元类那么该u(theu)是一个u”。因为在这个命题中每当前件真则后件亦真所以此命题应是恒真的。但是“该u”是①见《对象理论和心理学研究》(莱比锡年)中头三篇文章(它们分别由迈农、艾默塞德和马利撰著)。①见弗霄格《论意义和所指》载于《哲学与哲学评论》期刊第卷。②弗雷格不仅在指称复合词组中而且在每个地方都区分意义和所指两种元素。因此构成其指弥复合词组的意义的并不是其构成成分的所指而是其成分的意义。按照弗雷格的观点在“勃朗峰高于一千米”这个命题中构成命题意义的成分并不是实际的山而是“勃朗峰”的意义。①按照这一理论我们可以说指称词组表达一个意义也可以说词组和意义都指称一个所指。按照我主张的另一理论不存在意义有时只存在一个所指。一个指称词组被说成是一个u的东西不是它的意义而是它的所指。假如u不是一个单元类那么“该u”看来不指任何东西因而一旦u不是一个单元类我们的命题似乎就会变成毫无意义的了。很显然这类命题不会仅仅因为它们的前件是假的而变成毫无意义的。《暴风雨》剧中的国王或许会说:“如果弗迪南德没有淹

用户评价(2)

  • UC 下不了

    2010-10-12 16:31:58

  • 基地雪狼 可以啊,是罗素的,很好

    2009-04-01 20:13:31

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