数学解
题
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方法之换元法探讨3～8讲，我们对数学思想方法进行了探讨，从第九讲开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中，常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。换元的实质是转化，关键是构造元或设元，理论依据是等量代换，目的是通过引进新的变量，把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来，把条件与结论联系起来，把不熟悉的形式变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化，把非
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型问题标准化等。通过换元，可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，化代数式为三角式等。在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元，三角换元，均值换元。结合2012年全国各地高考的实例，我们从下面三方面探讨换元法的应用：（1）局部换元法的应用；（2）三角换元法的应用；（3）均值换元法的应用。一、局部换元法的应用：局部换元，又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。典型例题：例1.方程的解是▲【答案】。【考点】解指数方程。【解析】方程，化简为。令，则原方程可化为，解得或（舍去）。∴。∴原方程的解为。【点评】通过设，将原方程变为熟悉的一元二次方程和指数方程的问题。例2.已知函数；则的图像大致为【】【答案】。【考点】导数的应用。【解析】设，则。∵时，；时，，∴。∴或均有。因此排除。故选。【点评】通过设，将原函数变为较为简单的函数，讨论其单调性得到原函数的单调性，从而作出正确的判断。例3.设（I）求在上的最小值；（II）设曲线在点的切线方程为；求的值。【答案】解：（I）设，则。∴。①当时，。∴在上是增函数。∴当时，的最小值为。②当时，∴当且仅当时，的最小值为。（II）∵，∴。由题意得：，即，解得。【考点】复合函数的应用，导数的应用，函数的增减性，基本不等式的应用。【解析】（I）根据导数的的性质分和求解。（II）根据切线的几何意义列方程组求解。【点评】通过设，将原函数变为较为简单的函数，讨论其单调性得到原函数的单调性。例4.数列满足，则的前60项和为【】（A）3690（B）3660（C）1845（D）1830【答案】D。【考点】分类归纳（数字的变化类），数列。【解析】求出的通项：由得，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；······当时，；当时，；当时，；当时，（）。∵，∴的四项之和为（）。设（）。则的前项和等于的前15项和，而是首项为10，公差为16的等差数列，∴的前项和=的前15项和=。故选D。【点评】通过设（），将原数列前项和变为简单的等差数列前15项和的问题。例5.设函数，是公差不为0的等差数列，，则【】A、0B、7C、14D、21【答案】D。【考点】高次函数的性质，等差数列性质。【解析】∵是公差不为0的等差数列，记公差为。∴。则。∵，∴。设，则。∴。故选D。【点评】通过设，使方程变得简单。例6.已知正数满足：则的取值范围是▲．【答案】。【考点】可行域。【解析】条件可化为：。设，则题目转化为：已知满足，求的取值范围。作出（）所在平面区域（如图）。求出的切线的斜率，设过切点的切线为，则，要使它最小，须。∴的最小值在处，为。此时，点在上之间。当（）对应点时，，∴的最大值在处，为7。∴的取值范围为，即的取值范围是。【点评】通过设，将问题变为可行域问题求解。二、三角换元法的应用：三角换元，是利用已知代数式中与三角知识中的联系进行换元，直角坐标与极坐标的互化就是典型的三角换元。典型例题：例1.）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是▲【答案】。【考点】极坐标与直角坐标的转换，点到直线的距离公式。【解析】将化为直角坐标方程：，其圆心坐标为。将化为直角坐标方程：。∴根据点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离是。【点评】通过极坐标方程化直角坐标方程（本质是三角换元），将问题变为熟悉的求解直角坐标系中点到直线的距离问题。例2.在极坐标系中，曲线：与曲线：EMBEDEquation.DSMT4的一个交点在极轴上，则a= ▲ .【答案】。【考点】直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系。【解析】曲线的直角坐标方程是，曲线的普通方程是直角坐标方程，∵曲线C1：与曲线C2：EMBEDEquation.DSMT4的一个交点在极轴上，∴与轴交点横坐标与值相等。由，知＝。【点评】通过极坐标方程化直角坐标方程（本质是三角换元），将问题变为熟悉的求解直角坐标问题。例3.直线与圆相交的弦长为▲【答案】。【考点】极坐标方程，圆和直线的关系。【解析】将极坐标方程化为普通方程为与，联立方程组成方程组求出两交点的坐标和，故弦长等于。【点评】通过极坐标方程化直角坐标方程（本质是三角换元），将问题变为熟悉的求解直角坐标问题。例4.已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为(Ｉ)求点的直角坐标；(Ⅱ)设为上任意一点，求的取值范围。【答案】解：(Ｉ)∵正方形的顶点都在：上，∴点的极坐标为。∴点的直角坐标为：，即。(Ⅱ)设，则。∵，，，，∴。∵，∴的取值范围。【考点】参数方程和极坐标方程，极坐标和直角坐标的转换，三角函数值的范围。【解析】(Ｉ)由正方形的性质，首先求得的极坐标，再转换成直角坐标，两点间距离公式。(Ⅱ)根据两点间距离公式，求出的表达式即可求出其取值范围。【点评】通过利用参数方程（本质是三角换元），将问题变为三角函数求范围问题。三、均值换元法的应用：均值换元，是利用两个量的平均值和一个字母元，沟通原来两个量之间的关系，从而简便计算，即形如形式时，设进行换元，其中是的平均值，是新元。典型例题：例1.中，内角、、成等差数列，其对边、、满足，求A．【答案】解：∵中，内角、、成等差数列，∴。∴，。又∵，∴根据正弦定理，得。∴。由“”进行均值换元，设，。则，化简，得。∴。∴或。【考点】解三角形的运用，等差数列的性质，三角形的内角和定理，正弦定理，两角和的三角函数。【解析】根据角、、成等差数列和三角形内角和定理可得，。运用均值换元法，由应用正弦定理和两角和的三角函数，化简等式，求出答案。【点评】通过均值换元，将问题变为简单三角函数问题。和“均值换元法”类似，还有一种换元法，即在题中有两个变量时，可以设，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。最后换元后勿忘还原。3
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