《勾股定理》练习题及答案

1八年级上数学专题训练一《勾股定理》典型题练习 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 解析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2。公式的变形：a2=c2b2，b2=c2a2。2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2+b2=c2，那么三角形ABC是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。3、勾股数满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。注意：勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：3，4，5）(5，12，13)(6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9，12，15)常用勾股数口诀记忆常见勾股数3，4，5：勾三股四弦五5，12，13：我要爱一生6，8，10：连续的偶数7，24，25：企鹅是二百五8，15，17：八月十五在一起特殊勾股数连续的勾股数只有3，4，5连续的偶数勾股数只有6，8，104、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：1）阴影部分是正方形；2）阴影部分是长方形；3）阴影部分是半2圆．2.如图，以RtABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是）A.S1S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3<S1D.S2S3=S1【类型题总结】a）如图1）分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积b）如图分别用 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示S1、S2、S3则它们有S2+S3=S1关系．2）分别以直角三角形ABC三边向外作三个正方形，其面积表示S1、S2、S3．则它们有S2+S3=S1关系．c）如图3）分别以直角三角形ABC三边向外作三个正三角形，面积表示S1、S2、S3，则它们有S2+S3=S1关系．并选择其中一个命题证明．考点：勾股定理．专题：计算题．分析：a）分别用AB、BC和AC表示出S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系；b）分别用AB、BC和AC表示出S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系；c）分别用AB、BC和AC表示出S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系．解答：解：1）S3=81πAC2，S2=81πBC2S1=81AB2S3S2S13S2+S3=S1．2）S2+S3=S1,4分）由三个四边形都是正方形则：S3=AC2，S2=BC2，S1=AB2，,8分）三角形ABC是直角三角形，又AC2+BC2=AB2,10分）S2+S3=S1．3）S1=43AB2S2=43BC2S3=43AC2S2+S3=S1．点评：此题主要涉及的知识点：三角形、正方形、圆的面积计算以及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式，难度一般．4、四边形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。S=36）5、在直线l上依次摆放着七个正方形如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是SS12、、此题为2012?庆阳中考题）SSSSSS341234、，则=4。考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质．专题：规律型．分析：运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．解答：解：观察发现，AB=BE，ACB=BDE=90°，ABC+BAC=90°，ABC+EBD=90°，4BAC=EBD，ABCBDEAAS），BC=ED，AB2=AC2+BC2，AB2=AC2+ED2=S1+S2，即S1+S2=1，同理S3+S4=3．则S1+S2+S3+S4=1+3=4．故答案为：4．点评：运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为5cm．2．易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是5或13分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：2是直角边，3是斜边；②2、3均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12那么根据勾股定理斜边为13然后根据等面积法21×5×12=21×13×高高=60134、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的）A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍解:设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c.则a2+b2=c2;另一直角三角形直角边为2a、2b，则根据勾股定理知斜边为cba2)2()2(22即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍，故选A.5、在RtABC中，C=90°若a=5，b=12，则c=；②若a=15，c=25，则b=；5③若c=61，b=60，则a=；④若a∶b=3∶4，c=10则RtABC的面积是=。6、如果直角三角形的两直角边长分别为1n2，2nn>1），那么它的斜边长是D）A、2nB、n+1C、n2－1D、1n27、在RtABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是）A.222abcB.222acbC.222cbaD.以上都有可能8、已知RtABC中，C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则RtABC的面积是A）A、242cmB、362cmC、482cmD、602cm【解析】本题考查的是勾股定理，完全平方公式，直角三角形的面积公式要求RtABC的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，得a2+b2=c2=100．根据勾股定理就可以求出ab的值，进而得到三角形的面积．a+b=14a+b）2=1962ab=196a2+b2）=96，则RtABC的面积是9、已知x、y为正数，且│x24│+y23）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为C．）A、5B、25C、7D、15【解析】 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 分析：本题可根据“两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0”解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长．斜边长的平方即为正方形的面积．依题意得：，，斜边长，所以正方形的面积．故选C．6考点：本题综合考查了勾股定理与非负数的性质点评：解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高1、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求AD的长；②ΔABC的面积．考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是）A.4，5，6B.2，3，4C.11，12，13D.8，15，172、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为）A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶73、下面的三角形中：ABC中，C=A－B；②ABC中，A：B：C=1：2：3；③ABC中，a：b：c=3：4：5；④ABC中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有D）．A．1个B．2个C．3个D．4个4、若三角形的三边之比为21::122，则这个三角形一定是）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等边三角形5、已知a，b，c为ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为C）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形76、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是(C)A．钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形7、若ABC的三边长a,b,c满足222abc20012a16b20c，试判断ABC的形状。a2+b2+c2+200=12a+16b+20ca6）2+b8）2+(c10)2200+200=0a6）2+b8）2+(c10)2=0则a6=0、b8=0、c10=0,得a=6、b=8、c=10,a2+b2=c2,三角形是直角三角形。8、ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为，此三角形为。考点：勾股定理的逆定理．分析：根据三角形的三边关系知，求得第三边c应满足125=7＜c＜5+12=17，又因为这个数与a+b的和又是3的倍数，则可求得此数，再根据直角三角形的判定 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 判定三角形．解答：解：125=7＜c＜5+12=17，c又为奇数，满足从7到17的奇数有9，11，13，15，与a+b的和又是3的倍数，a+b+c=30，c=1352+122=132，ABC是直角三角形．点评：本题考查了由三角形的三边关系确定第三边的能力，还考查直角三角形的判定．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．9：求1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是90度。考点：勾股定理的逆定理．分析：根据三角形的三条边长，由勾股定理的逆定理判定此三角形为直角三角形，则可求得这个三角形的最大内角度数．解答：解：三角形三条边的长分别为7，24，25，72+242=252，这个三角形为直角三角形，最大角为90°．这个三角形的最大内角是90度．8点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．2）已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为300。考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题1、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为2+23）米．分析：如何利用所学知识，把折线问题转化成直线问题，是问题解决的关键。仔细观察图形，不难发现，所有台阶的高度之和恰好是直角三角形ABC的直角边BC的长度，所有台阶的宽度之和恰好是直角三角形ABC的直角边AC的长度，只需利用勾股定理，求得这两条线段的长即可。考点六、利用列方程求线段的长方程思想）１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？设旗杆高度h(h+1)2=52+h2h=12旗杆高12米2、一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动0.8米ABC9利用勾股定理计算原来墙高。根号下2.520.72）=2.4米下移0.4,2.40.4=2米根号下2.5222）=1.5米1.50.7=0.8米。梯足将向外移0.8米3、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离大于”1米，答:解:底端滑动大于1(1分)，理由:在RtACB中，BC2+AC2=AB2，BC=681022(2分)又AA′=1，A′C=7，在RtA′CB′中，B′C=5171022，(2分)BB′=B′CBC=51676=1，底端滑动大于1m.(1分)4、在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；?另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？分析：如图所示，其中一只猴子从共30m，另一只猴子从也共走了30m。并且树垂直于地面，于是此问题可化归到直角三角形解决。解：如图，设，由题意知中，，解之得答：这棵树高15m。【点拨】：本题的关键是依题意正确地画出图形，在此基础上，再运用勾股定理及方程的思想使问题得以解决。5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为100mm60120B60ACCADB10AC=12060=60BC=14060=80AB=100mm6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了10米．从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．解：过点D作DEAB于E，连接BD．在RtBDE中，DE=8米，BE=82=6米．根据勾股定理得BD=10米7、如图1815所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北方走到5km处往东一拐，仅1km?就找到了宝藏，问：登陆点A处）到宝藏埋藏点B处）的直线距离是多少？解析：试题分析：要求AB的长，需要构造到直角三角形中．连接AB，作BC垂直于过A的水平线于C．在直角三角形ABC中，得AC=83+1=6，BC=5+2=7．再运用勾股定理计算即可．过点B作BCAC，垂足为C观察图形可知AC=AFMF+MC=83+1=6，BC=2+5=7答：登陆点到宝藏埋藏点的直线距离是考点：勾股定理的应用点评：解此类题目的关键是构造直角三角形，利用勾股定理直接求解．注意所求距离实际上就是AB的长．考点七：折叠问题1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将ABC折叠，使点B与点A重合，11折痕为DE，则CD等于）讲完知识点梳理后作做问题延伸题举一反三）：BE的长？求折痕DE的长？A.425B.322C.47D.35解：由题意得DB=AD；设CD=xcm，则AD=DB=8x）cm，C=90°，，解得x=，即CD=cm．故选C．知识点梳理1、翻折变换折叠问题）2、等腰三角形的性质3、勾股定理的性质一、翻折变换折叠问题）1、折叠问题翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．二、等腰三角形的性质定理：1.等腰三角形的两个底角相等简写成“等边对等角”）。2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合简写成“等腰三角形的三线合一”）。3.等腰三角形的两底角的平分线相等两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。126.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高。7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。9.等腰三角形中腰大于高。10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高。2、如图所示，已知ABC中，C=90°，AB的垂直平分线交BC?于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长．解：连接AMMN是AB的垂直平分线，AMNBMN，MA=MB，B=BAMMB=2MC，MA=2MC，CAM=30°，即CMA=60°CMA=B+BAM且B=BAM，B=30°，AB=2AC=163、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF和EC。解：由翻折的性质可得：AD=AF=BC=10，在RtABF中可得：BF==6，FC=BCBF=4，设CE=x，EF=DE=8x，则在RtECF中，EF2=EC2+CF2，即x2+16=8x）2，解可得x=3，故CE=3cm．解析：根据翻折的性质，先在RTABF中求出BF，进而得出FC的长，然后设CE=x，EF=8x，从而在RTCFE中应用勾股定理可解出x的值，即ABCEFD13举一反三：1、BF的长？2、ECF的面积？3、求折痕AE的长．知识点梳理1、翻折变换折叠问题）2、矩形的性质3、勾股定理的性质矩形的性质定理：1.矩形具有平行四边形的一切性质。2.矩形的四个角都是直角。3.矩形的对角线相等。4.矩形是轴对称图形，它有2条对称轴。4、如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若ABF的面积为30，求折叠的AED的面积分析：根据三角形的面积求得BF的长，再根据勾股定理求得AF的长，即为AD的长；设DE=x，则EC=5x，EF=x．根据勾股定理列方程求得x的值，进而求得AED的面积．解：由折叠的对称性，得AD=AF，DE=EF．由SABF=BF?AB=30，AB=5，得BF=12．在RtABF中，由勾股定理，得．所以AD=13．设DE=x，则EC=5x，EF=x，FC=1，在RtECF中，EC2+FC2=EF2，即5x）2+12=x2．解得．故．14点评：此题主要是能够根据轴对称的性质得到相等的线段，能够熟练根据勾股定理列方程求得未知的线段．5、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？举一反三：题干不变，求折痕EF的长？）利用直角三角形ABE可求得BE，也就是DE长，构造EF为斜边的直角三角形，进而利用勾股定理求解．解：连接BD交EF于点O，连接DF．根据折叠，知BD垂直平分EF．根据ASA可以证明DOEBOF，得OD=OB．则四边形BEDF是菱形．设DE=x，则CF=9x．在直角三角形DCF中，根据勾股定理，得：x2=9x）2+9．解得：x=5．在直角三角形BCD中，根据勾股定理，得BD=3，则OB=．在直角三角形BOF中，根据勾股定理，得OF==，则EF=．6、如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。1）试说明：AF=FC；2）如果AB=3，BC=4，求AF的长举一反三：试说明EF=DF．)试题分析：1）观察图形，可得AE=DC，又FEA=DFC，AEF=CDF，由全等三角形判定方法证AEFCDF，即得EF=DF，从而得到AF＝FC.2）在RtCDF中应用勾股定理即可得.试题解析：1）证明：由矩形性质可知，AE=AB=DC，根据对顶角相等得，EFA=DFC，15而E=D=90°，由AAS可得，AEFCDF。AF＝FC.2）设FA=x，则FC=x，FD=，在RtCDF中，CF2=CD2+DF2，即，解得x=.考点:1.翻折变换折叠问题）;2.矩形的性质;3.全等三角形的判定与性质;4勾股定理.7、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为．原题图不标准重新画一个图）解：设AD=x，则AF=x在RtABF中，解得8、如图23，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=?3，BC=7，重合部分EBD的面积为．举一反三：若AD=8，AB=4，求重叠部分即BED的面积？=10)SBED=DE?AB，所以需求DE的长．根据C′BD=DBC=BDA得DE=BE，设DE=x，则AE=7x．根据勾股定理求BE即DE的长．16解：AD∥BC矩形的性质），DBC=BDA两直线平行，内错角相等）；C′BD=DBC反折的性质），C′BD=BDA等量代换），DE=BE等角对等边）；设DE=x，则AE=7x．在ABE中，x2=32+7x）2．解得x=729．SDBE=21×729×3=1487故答案是：1487．9、如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5举一反三：如果DM：MC=3：2，则DE：DM：EM=()=8：15：17．）析：1）正方形的证明题有时用计算方法证明比几何方法简单，此题设正方形边长为a，DE为x，则根据折叠知道DM=，EM=EA=ax，然后在RtDEM中就可以求出x，这样DE，DN，EM就都用a表示了，就可以求出它们的比值了；解：1）证明：设正方形边长为a，DE为x，则DM=，EM=EA=ax在RtDEM中，D=90°，DE2+DM2=EM2x2+）2=ax）2x=EM=DE：DM：EM=3：4：5；知识点梳理17正方形的性质:1.正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。2.正方形的四条边都相等，邻边垂直，对边平行。3.正方形的四个角都是直角。4.正方形的对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。5.正方形是轴对称图形，它有4条对称轴。6.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°。10、如图25，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，?则折叠后痕迹EF的长为B）A．3.74B．3.75C．3.76D．3.77分析：先连接AF，由于矩形关于EF折叠，所以EF垂直平分AC，那么就有AF=CF，又ABCD是矩形，那么AB=CD，AD=BC，在RtABF中，设CF=x），利用勾股定理可求出CF=，在RtABC中，利用勾股定理可求AC=5，在RtCOF中再利用勾股定理可求出OF=，同理可求OE=，所以EF=OE+OF=．解答：解：连接AF．点C与点A重合，折痕为EF，即EF垂直平分AC，AF=CF，AO=CO，FOC=90°．又四边形ABCD为矩形，B=90°，AB=CD=3，AD=BC=4．设CF=x，则AF=x，BF=4x，在RtABC中，由勾股定理得AC2=BC2+AB2=52，且O为AC中点，AC=5，OC=AC=．AB2+BF2=AF21832+4x）2=x2x=．FOC=90°，OF2=FC2OC2=）2）2=）2OF=．同理OE=．即EF=OE+OF=．点评：本题利用了折叠的对应点关于折痕垂直平分，以及矩形性质，勾股定理等知识．11、如图1311，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.1）设两直角边PH，PF能分别通过点B与点C，HPF=90°，PB2+PC2=BC2=100又设PA=x，A=D=90°，在ABP，PDC中PA2+AB2=PB2，PD2+CD2=PC2PA+PD=AD=10，AB=CD=4x2+16+(10x)2+16=PB2+PC2=100化简得:x210x+16=0即(x5)2＝9，所以x5＝±3，解之得:x1=2，x2=82<10，8<10当PA=2cm或8cm时，三角板两直角边PH，PF分别通过点B，C.2）如图2），过点E作EGAD于点G，PGE=90°根据题意得：DG=CE=2，EG=CD=4BE+CE=BC=10BC=819在PBE中，BPE=90°PB2+PE2=BE2=64又A=D=90°AP2+AB2=PB2，PG2+PG2+EG2=PE2而AB=EG=4，设AP=X，则PG=8xx2+16+(8x)2+16=64化简得:x28x+16=0解之得:x1=x2=4答：当AP=4时，PH经过点B，PF与BC交于点E，且CE=2cm.12、如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。举一反三：如图，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF。(1)请说明：DE=DF；(2)请说明：BE2+CF2=EF2；(3)若BE=6，CF=8，求DEF的面积。(直接写结果)20答案：解：1）连接AD因为ABC是等腰直角三角形，且D为斜边BC中点所以，ADBC且AD平分BAC，AD=BD=CD所以，DAE=C=45°又已知DEDF所以，EDA+FDA=90°而，CDF+FDA=90°所以，EDA=CDF那么，在ADE和CDF中：DAE=DCFC）=45°已证）DA=DC已证）EDA=CDF已证）所以，ADECDF所以，AE=CF，DE=DF。2）因为AE=CF，AB=AC所以ABAE=ACCF即BE=CFRtAEF中，A=90度所以所以。3）DEF的面积为25。13、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18kmh，那么学校受影响的时间为多少秒？【答案】分析：作AHMN于H，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AH=PA=80m，由于这个距离小于100m，所以可判断拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；然后以点A为圆心，100m为半径作A交MN于B、C，根据垂径定理得到BH=CH，再根据勾股定理计算出BH=60m，则BC=2BH=120m，然后根据速度公式计算出拖拉机在线段BC上行驶所需要的时间．解答：解：学校受到噪音影响．理由如下：21作AHMN于H，如图，PA=160m，QPN=30°，AH=PA=80m，而80m＜100m，拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响，以点A为圆心，100m为半径作A交MN于B、C，如图，AHBC，BH=CH，在RtABH中，AB=100m，AH=80m，BH==60m，BC=2BH=120m，拖拉机的速度=18kmh=5ms，拖拉机在线段BC上行驶所需要的时间==24秒），学校受影响的时间为24秒．点评：本题考查了直线与圆的位置关系：设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和O相交?d＜r；直线l和O相切?d=r；当直线l和O相离?d＞r．也考查了垂径定理、勾股定理以及含30度的直角三角形三边的关系．考点八：应用勾股定理解决勾股树问题1、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为25根据题意仔细观察可得到正方形A，B，C，D的面积的和等于最大的正方形的面积，已知最大的正方形的边长则不难求得其面积．22解：由图可看出，A，B的面积和等于其相邻的直角三角形的斜边的平方，即等于最大正方形上方的三角形的一个直角边的平方；C，D的面积和等于与其相邻的三角形的斜边的平方，即等于最大正方形的另一直角边的平方，则A，B，C，D四个正方形的面积和等于最大的正方形上方的直角三角形的斜边的平方即等于最大的正方形的面积，因为最大的正方形的边长为5，则其面积是25，即正方形A，B，C，D的面积的和为25．故答案为25．2、已知ABC是边长为1的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，,，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是．解：根据勾股定理，第1个等腰直角三角形的斜边长是，第2个等腰直角三角形的斜边长是2=）2，第3个等腰直角三角形的斜边长是2=）3，第n个等腰直角三角形的斜边长是）n．解析：依次、反复运用勾股定理计算，根据计算结果即可得到结论．考点九、图形问题1、如图1，求该四边形的面积ABCDEFG431213BCDA232、如图2，已知，在ABC中，A=45°，AC=2，AB=3+1，则边BC的长为2．3、某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由.注意：答案所标字母顺序与题干不一样）考点：勾股定理．心，OG分析：因为上部是以AB为直径的半圆，O为AB中点，同时也为半圆的圆为半径，OF的长度为货车宽的一半，根据勾股定理可求出GF的长度．EF的长度等于BC的长度．如果EG的长度大于2.5货车可以通过，否则不能通过．解答：解：能通过，理由如下：设点O为半圆的圆心，则O为AB的中点，OG为半圆的半径，如图，直径AB=2已知），半径OG=1，OF=1.6÷2=0.8，在RtOFG中，FG2=OG2OF2=120.82=0.36；FG=0.6EG=0.6+2.3=2.9＞2.5．能通过．24点评：本题考点：勾股定理的应用．首先根据题意化出图形．OG长度为半圆的半径，OF为货车宽的一半，根据勾股定理可求出FG的长度．从而可求出EG的长度．判断EG长度与2.5的大小关系，如果EG大于2.5可以通过，否则不能通过．4、将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围。先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=2412=12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB===13cm，故h=2413=11cm．故h的取值范围是11cm≤h≤12cm．5、如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA?垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，AD2+AE2=BE2+BC2，设AE为x，则BE=25x，将BC=10代入关系式即可求得．解：C、D两村到E站距离相等，CE=DE，在RtDAE和RtCBE中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，AD2+AE2=BE2+BC2．设AE为x，则BE=25x，25将BC=10，DA=15代入关系式为x2+152=25x）2+102，整理得，50x=500，解得x=10，E站应建在距A站10km处．考点十：其他图形与直角三角形1、如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。考点十一：与展开图有关的计算1、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AC1即为最短路线．正方体的边长为1，AC1==．举一反三：、如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是cm．解析：题中由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，有两种爬法，即从前面到上面和从前面到右面，将两种爬法所经过的面分别展开，构成两个长方形，连接AC1，用勾股定理求出距离再比较即可．26解：1）如图2，经过上面，AC1==cm．2）如图3，经过右面，AC1==cm．＜，所以此题答案为cm．如图，长方体的长BE=17cm，宽AB=7cm，高BC=7cm，一只小蚂蚁从长方体表面由A点爬到D点去吃食物，则小蚂蚁走的最短路程是cm．解析：蚂蚁有两种爬法，就是把正视和俯视或正视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短路程．解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是24和7，则所走的最短线段是=25；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是17和14，所以走的最短线段是=；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10和4，所以走的最短线段是=25；三种情况比较而言，第二种情况最短．故答案为：．知识点梳理：平面展开——最短路径问题求解方法：解决此类问题时，要先确定好该路径的起点终点，以及立方体的平面展开图，借助勾股定理来求得路径的长度。由于展开的方法可以多种，因此对于路径的求解也是有多种方法，在这里必定有一个最小值，此值为最短路径。272、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．分析：设正方形的边长为a，计算出各种情况时正方形的面积，然后进行比较从而解得．解答：解：方案4）最省电线，提示：设正方形边长为a，则方案需用线3a，方案②需用线3a，方案③需用线a，如图所示：AD=a，AG=，AE=，GE=，EF=a2GE=a方案④需用线．故方案④最省线．点评：本题考查了正方形的性质，设其正方形边长，分别计算出各自的面积，进行比较而得．AB28考点十二、航海问题1、一轮船以16海里时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距海里．根据题意画出图形，根据题目中AB、AC的夹角可知它为直角三角形，然后根据勾股定理解答．解：如图，由图可知AC=16×1.5=24海里，AB=12×1.5=18海里，在RtABC中，BC===30．2、如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。分析：过点C作CDAD于点D，分别在RTCBD、RTCAD中用式子表示CD、AD，再根据已知求得BD、CD的长，从而再将CD于9比较，若大于9则无危险，否则有危险．解答：解：过点C作CDAD于点D，EAF=60°，FBC=30°，CAB=30°，CBD=60°．在RTCBD中，CD=BD．29在RTCAD中，AD=CD=3BD=24×0.5+BD，BD=6．CD=6．6＞9，货船继续向正东方向行驶无触礁危险．点评：解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．知识点梳理解直角三角形的应用——方向方向角的定义：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角。方位角问题的实际应用题解法：直接或间接把问题放在直角三角形中，解题时应善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题。3、如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15kmh的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？DBCA30考点十三、网格问题1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是C）解：根据题意得：AC==5，AB==，BC==，所以边长为无理数的边数有2个．A．0B．1C．2D．32、如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC是A）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对3、如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是()A．25B.12.5C.9D.8.5解：如图：小方格都是边长为1的正方形，四边形EFGH是正方形，SEFGH=EF?FG=5×5=25SAED=DE?AE=×1×2=1，SDCH=?CH?DH=×2×4=4，SBCG=BG?GC=×2×3=3，SAFB=FB?AF=×3×3=4.5．S四边形ABCD=SEFGHSAEDSDCHSBCGSAFB=251434.5=12.5．故选BBCAABCDCBA图1）图2）图3）314、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：使三角形的三边长分别为3、8、5在图甲中画一个即可）；②使三角形为钝角三角形且面积为4在图乙中画一个即可）．甲乙解：1）如图所示的ABC就是三边分别为3，2，的一个三角形；2）如图所示的ABC，DEF都是符合题意的钝角三角形。