厦门大学《应用多元统计分析》第06章--主成分分析

第六章主成分 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 第一节引言 多元统计分析处理的是多变量（多指标）问题。由于变量较多，增加了分析问题的复杂性。但在实际问题中，变量之间可能存在一定的相关性，因此，多变量中可能存在信息的重叠。人们自然希望通过克服相关性、重叠性，用较少的变量来代替原来较多的变量，而这种代替可以反映原来多个变量的大部分信息，这实际上是一种“降维”的思想。 主成分分析也称主分量分析，是由Hotelling于1933年首先提出的。由于多个变量之间往往存在着一定程度的相关性。人们自然希望通过线性组合的方式，从这些指标中尽可能快地提取信息。当第一个线性组合不能提取更多的信息时，再考虑用第二个线性组合继续这个快速提取的过程，……，直到所提取的信息与原指标相差不多时为止。这就是主成分分析的思想。一般说来，在主成分分析适用的场合，用较少的主成分就可以得到较多的信息量。以各个主成分为分量，就得到一个更低维的随机向量；因此，通过主成分既可以降低数据“维数”又保留了原数据的大部分信息。 我们知道，当一个变量只取一个数据时，这个变量（数据）提供的信息量是非常有限的，当这个变量取一系列不同数据时，我们可以从中读出最大值、最小值、平均数等信息。变量的变异性越大，说明它对各种场景的“遍历性”越强，提供的信息就更加充分，信息量就越大。主成分分析中的信息，就是指标的变异性，用 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差或方差表示它。 主成分分析的数学模型是，设p个变量构成的p维随机向量为X=（X1，…，Xp）′。对X作正交变换，令Y=T′X，其中T为正交阵，要求Y的各分量是不相关的，并且Y的第一个分量的方差是最大的，第二个分量的方差次之，……，等等。为了保持信息不丢失，Y的各分量方差和与X的各分量方差和相等。第二节主成分的几何意义及数 学推导一、主成分的几何意义 主成分分析数学模型中的正交变换，在几何上就是作一个坐标旋转。因此，主成分分析在二维空间中有明显的几何意义。假设共有n个样品，每个样品都测量了两个指标（X1， X2），它们大致分布在一个椭圆内如图6.1所示。事实上，散点的分布总有可能沿着某一个方向略显扩张，这个方向就把它看作椭圆的长轴方向。显然，在坐标系x1Ox2中，单独 看这n个点的分量X1和X2，它们沿着x1方向和x2方向都具有 较大的离散性，其离散的程度可以分别用的X1方差和X2的方 差测定。如果仅考虑X1或X2中的任何一个分量，那么包含在 另一分量中的信息将会损失，因此，直接舍弃某个分量不是“降维”的有效办法。图6.1主成分的几何意义 如果我们将该坐标系按逆时针方向旋转某个角度变成新坐标系，这里是椭圆的长轴方向，是椭圆的短轴方向。旋转公式为(6.1）我们看到新变量和是原变量和的线性组合，它的矩阵表示形式为：(6.2）其中，为旋转变换矩阵，它是正交矩阵，即有或。_1174506736.unknown_1181654683.unknown_1188068149.unknown_1188068262.unknown_1188068273.unknown_1188068173.unknown_1181654694.unknown_1181654651.unknown_1181654673.unknown_1181654591.unknown_1174506714.unknown_1174506727.unknown_1174506701.unknown 易见，n个点在新坐标系下的坐标Y1和Y2几乎不相关。称它 们为原始变量X1和X2的综合变量，n个点y1在轴上的方差达 到最大，即在此方向上包含了有关n个样品的最大量信息。 因此，欲将二维空间的点投影到某个一维方向上，则选择y1 轴方向能使信息的损失最小。我们称Y1为第一主成分，称Y2 为第二主成分。第一主成分的效果与椭圆的形状有很大的关 系，椭圆越是扁平，n个点在y1轴上的方差就相对越大，在y2 轴上的方差就相对越小，用第一主成分代替所有样品所造成 的信息损失也就越小。 考虑两种极端的情形： 一种是椭圆的长轴与短轴的长度相等，即椭圆变成圆，第一主成分只含有二维空间点的约一半信息，若仅用这一个综合变量，则将损失约50％的信息，这显然是不可取的。造成它的原因是，原始变量X1和X2的相关程度几乎为零，也就是说，它们所包含的信息几乎不重迭，因此无法用一个一维的综合变量来代替。 另一种是椭圆扁平到了极限，变成y1轴上的一条线，第一主成分包含有二维空间点的全部信息，仅用这一个综合变量代替原始数据不会有任何的信息损失，此时的主成分分析效果是非常理想的，其原因是，第二主成分不包含任何信息，舍弃它当然没有信息损失。二、主成分的数学推导 设为一个维随机向量，并假定存在二阶矩，其均值向量与协差阵分别记为：,(6.3）考虑如下的线性变换(6.4）用矩阵表示为其中，。_1188277888.unknown_1206281763.unknown_1206281834.unknown_1206282767.unknown_1200510231.unknown_1188068869.unknown_1188069383.unknown_1182175912.unknown 我们希望寻找一组新的变量（），这组新的变量要求充分地反映原变量的信息，而且相互独立。这里我们应该注意到，对于有这样，我们所要解决的问题就转化为，在新的变量相互独立的条件下，求使得，,达到最大。_1200510398.unknown_1200510816.unknown_1200511495.unknown_1200511520.unknown_1200510965.unknown_1200510695.unknown_1200509546.unknown_1200509585.unknown_1181539482.unknown 我们下面将借助投影寻踪（ProjectionPursuit）的思想来解决这一问题。首先应该注意到，使得达到最大的线性组合，显然用常数乘以后，也随之增大，为了消除这种不确定性，不妨假设满足或者。那么，问题可以更加明确。第一主成分为，满足，使得达到最大的。第二主成分为，满足，且，使得达到最大的。一般情形，第主成分为，满足，且（），使得达到最大的。_1200548843.unknown_1200589444.unknown_1200589474.unknown_1200589585.unknown_1200589598.unknown_1200589575.unknown_1200589451.unknown_1200548970.unknown_1200548984.unknown_1200548887.unknown_1200548264.unknown_1200548735.unknown_1200548772.unknown_1200548695.unknown_1200547794.unknown_1200547968.unknown_1200511495.unknown 求第一主成分，构造目标函数为：(6.5)对目标函数求导数有：(6.6)即(6.7)由6.7式两边左乘得到(6.8)由于的协差阵为非负定的，其特征方程(6.7)的根均大于零，不妨设。由(6.8)知道的方差为。那么，的最大方差值为，其相应的单位化特征向量为。_1200573836.unknown_1200574912.unknown_1200575266.unknown_1200575424.unknown_1200575493.unknown_1200575620.unknown_1200575304.unknown_1200575247.unknown_1200574598.unknown_1200574859.unknown_1200574535.unknown_1200573640.unknown_1200573669.unknown_1200573132.unknown 在求第二主成分之前，我们首先明确，由(6.6)知。那么，如果与相互独立，即有或。这时，我们可以构造求第二主成分的目标函数，即(6.9)对目标函数求导数有：(6.10)用左乘(6.10)式有由于，，那么，，即有。从而(6.11)而且(6.12)_1200588394.unknown_1200588668.unknown_1200588721.unknown_1200588830.unknown_1200588902.unknown_1200588776.unknown_1200588685.unknown_1200588526.unknown_1200588584.unknown_1200588415.unknown_1200577955.unknown_1200578104.unknown_1200588114.unknown_1200578013.unknown_1200577842.unknown_1200577946.unknown_1200577828.unknown 这样说明，如果的协差阵的特征根为。由(6.12)知道的最大方差值为第二大特征根，其相应的单位化的特征向量为。针对一般情形，第主成分应该是在且或（）的条件下，使得达到最大的。这样我们构造目标函数为(6.13)对目标函数求导数有：(6.14)_1200589070.unknown_1200589451.unknown_1200589729.unknown_1200589973.unknown_1200590797.unknown_1200590816.unknown_1200589768.unknown_1200589585.unknown_1200589598.unknown_1200589575.unknown_1200589119.unknown_1200589444.unknown_1200589108.unknown_1200574598.unknown_1200575424.unknown_1200574535.unknown 用左乘(6.14)式有即有，那么，（）。从而(6.15)而且(6.16)对于的协差阵的特征根。由(6.15)和(6.16)知道的最大方差值为第大特征根，其相应的单位化的特征向量为。综上所述，设的协差阵为，其特征根为，相应的单位化的特征向量为。那么，由此所确定的主成分为，，，，其方差分别为的特征根。_1200591327.unknown_1200591552.unknown_1200591740.unknown_1200592060.unknown_1200592456.unknown_1200592481.unknown_1200592492.unknown_1200592163.unknown_1200592045.unknown_1200591711.unknown_1200591727.unknown_1200591684.unknown_1200591414.unknown_1200591546.unknown_1200591383.unknown_1200574598.unknown_1200591031.unknown_1200591158.unknown_1200575424.unknown_1200548772.unknown_1200574535.unknown_1188068869.unknown第三节主成分的性质一、主成分的一般性质 设是的主成分，由的所有特征根构成的对角阵为(6.17）主成分可表示为(6.18）性质1主成分的协方差矩阵是对角阵。证明：实际上，由（6.3）式知(6.19）_1188241967.unknown_1188242026.unknown_1188277815.unknown_1188277904.unknown_1188242035.unknown_1188241976.unknown_1188241958.unknown性质2主成分的总方差等于原始变量的总方差。证明：由矩阵“迹”的性质知所以(6.20）或(6.21）性质3主成分与原始变量的相关系数为(6.22）并称之为因子负荷量（或因子载荷量）。_1186235120.unknown_1206105303.unknown_1206105537.unknown_1206107520.unknown_1188278087.unknown_1186235074.unknown证明：事实上其中的，它是除第个元素为1外其他元素均为0的单位向量。而所以。性质4，（）。证明：只须将(6.22）代入左边式子整理化简即可。_1186293344.unknown_1204307730.unknown_1206107519.unknown_1209669221.unknown_1206107518.unknown_1188278573.unknown_1186293033.unknown二、主成分的方差贡献率 由主成分的性质2可以看出，主成分分析把个原始变量的总方差分解成了个相互独立的变量的方差之和。主成分分析的目的是减少变量的个数，所以一般不会使用所有个主成分的，忽略一些带有较小方差的主成分将不会给总方差带来太大的影响。这里我们称(6.23）_1182175026.unknown_1182175049.unknown_1182337610.unknown_1188280895.unknown_1182175038.unknown_1181627854.unknown_1182175003.unknown_1181627768.unknown 为第个主成分的贡献率。第一主成分的贡献率最大，这表明综合原始变量的能力最强，而的综合能力依次递减。若只取个主成分，则称(6.24）为主成分的累计贡献率，累计贡献率表明综合的能力。通常取，使得累计贡献率达到一个较高的百分数（如85％以上）。_1181648739.unknown_1181648771.unknown_1182176184.unknown_1188281215.unknown_1200593743.unknown_1182337643.unknown_1182175093.unknown_1181648765.unknown_1181627991.unknown_1181627992.unknown_1181627879.unknown第四节主成分方法应用中应注 意的问题一、实际应用中主成分分析的出发点 我们前面讨论的主成分计算是从协方差矩阵出发的，其结果受变量单位的影响。不同的变量往往有不同的单位，对同一变量单位的改变会产生不同的主成分，主成分倾向于多归纳方差大的变量的信息，对于方差小的变量就可能体现得不够，也存在“大数吃小数”的问题。为使主成分分析能够均等地对待每一个原始变量，消除由于单位的不同可能带来的影响，我们常常将各原始变量作标准化处理，即令(6.25）显然，的协方差矩阵就是的相关系数矩阵。实际应用中，的相关系数矩阵可以通过（2.13）式，利用 样本 保单样本pdf木马病毒样本下载上虞风机样本下载直线导轨样本下载电脑病毒样本下载 数据来估计。_1188282328.unknown_1188282375.unknown_1188282383.unknown_1204307729.unknown_1188282337.unknown_1188282271.unknown_1188282315.unknown_1188282171.unknown 这里我们需要进一步强调的是，从相关阵求得的主成分与协差阵求得的主成分一般情况是不相同的。实际表明，这种差异有时很大。我们认为，如果各指标之间的数量级相差悬殊，特别是各指标有不同的物理量纲的话，较为合理的做法是使用R代替∑。对于研究经济问题所涉及的变量单位大都不统一，采用R代替∑后，可以看作是用标准化的数据做分析，这样使得主成分有现实经济意义，不仅便于剖析实际问题，又可以避免突出数值大的变量。 因此，在实际应用中，主成分分析的具体步骤可以归纳为：1.将原始数据标准化；2.建立变量的相关系数阵；3.求的特征根为，相应的特征向量为；4.由累积方差贡献率确定主成分的个数（），并写出主成分为，_1188282337.unknown_1188286578.unknown_1200596348.unknown_1200596377.unknown_1188286523.unknown_1182175301.unknown二、如何利用主成分分析进行综合评价 人们在对某个单位或某个系统进行综合评价时都会遇到如何选择评价指标体系和如何对这些指标进行综合的困难。一般情况下，选择评价指标体系后通过对各指标加权的办法来进行综合。但是，如何对指标加权是一项具有挑战性的工作。指标加权的依据是指标的重要性，指标在评价中的重要性判断难免带有一定的主观性，这影响了综合评价的客观性和准确性。由于主成分分析能从选定的指标体系中归纳出大部分信息，根据主成分提供的信息进行综合评价，不失为一个可行的选择。这个方法是根据指标间的相对重要性进行客观加权，可以避免综合评价者的主观影响，在实际应用中越来越受到人们的重视。 对主成分进行加权综合。我们利用主成分进行综合评价时，主要是将原有的信息进行综合，因此，要充分的利用原始变量提供的信息。将主成分的权数根据它们的方差贡献率来确定，因为方差贡献率反映了各个主成分的信息含量多少。 设是所求出的个主成分，它们的特征根分别是，将特征根“归一化”即有记为，由，构造综合评价函数为(6.26）令，并代入(6.26）式，有(6.27)这里我们应该注意，从本质上说综合评价函数是对原始指标的线性综合，从计算主成分到对之加权，经过两次线性运算后得到综合评价函数。_1188291570.unknown_1188292317.unknown_1190121730.unknown_1190121939.unknown_1208369511.unknown_1190119978.unknown_1188291595.unknown_1188241399.unknown_1188291528.unknown_1186295778.unknown第五节实例分析与计算机实现一、主成分分析实例 表6.1是某市工业部门13个行业的8项重要经济指标的数据，这8项经济指标分别是： X1：年末固定资产净值，单位：万元； X2：职工人数据，单位：人； X3：工业总产值，单位：万元； X4：全员劳动生产率，单位：元/人年； X5：百元固定资产原值实现产值，单位：元； X6：资金利税率，单位：%； X7：标准燃料消费量，单位：吨； X8：能源利用效果，单位：万元/吨。表6.1某市工业部门13个行业8项指标 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 冶金 90342 52455 101091 19272 82 16.1 197435 0.172 电力 4903 1973 2035 10313 34.2 7.1 592077 0.003 煤炭 6735 21139 3767 1780 36.1 8.2 726396 0.003 化学 49454 36241 81557 22504 98.1 25.9 348226 0.985 机器 139190 203505 215898 10609 93.2 12.6 139572 0.628 建材 12215 16219 10351 6382 62.5 8.7 145818 0.066 森工 2372 6572 8103 12329 184.4 22.2 20921 0.152 食品 11062 23078 54935 23804 370.4 41 65486 0.263 纺织 17111 23907 52108 21796 221.5 21.5 63806 0.276 缝纫 1206 3930 6126 15586 330.4 29.5 1840 0.437 皮革 2150 5704 6200 10870 184.2 12 8913 0.274 造纸 5251 6155 10383 16875 146.4 27.5 78796 0.151 文教 14341 13203 19396 14691 94.6 17.8 6354 1.574 我们要考虑的是：如何从这些经济指标出发，对各工业部门进行综合评价与排序？ 我们先计算这些指标的主成分，然后通过主成分的大小进行排序。表6.2和表6.3分别是特征根（累计贡献率）和特征向量的信息。 利用主成分得分进行综合评价时，从特征向量我们可以写出所有8个主成分的具体形式：……_1208437328.unknown_1208437382.unknown表6.2特征根和累计贡献率 序号 特征根 方差贡献率% 累计贡献率% 1 3.1049 38.8114 38.8114 2 2.8974 36.2180 75.0294 3 0.9302 11.6277 86.6571 4 0.6421 8.0265 94.6836 5 0.3041 3.8011 98.4847 6 0.0866 1.0825 99.5672 7 0.0322 0.4023 99.9695 8 0.0024 0.0305 100.0000表6.3特征向量 特征向量1 特征向量2 特征向量3 特征向量4 特征向量5 特征向量6 特征向量7 特征向量8 1 0.477 0.296 0.104 0.045 -0.184 -0.066 0.758 0.245 2 0.473 0.278 0.163 -0.174 0.305 -0.048 -0.518 0.527 3 0.424 0.378 0.156 0.059 0.017 0.099 -0.174 -0.781 4 -0.213 0.451 -0.009 0.516 -0.539 0.288 -0.249 0.220 5 -0.388 0.331 0.321 -0.199 0.450 0.582 0.233 0.031 6 -0.352 0.403 0.145 0.279 0.317 -0.714 0.056 -0.042 7 0.215 -0.377 0.140 0.758 0.418 0.194 0.053 0.041 8 0.055 0.273 -0.891 0.072 0.322 0.122 0.067 -0.003表6.4各行业主成分得分及排序 行业 Y1 Y2 …… Y8 综合得分 排序 冶金 1.475 0.759 …… 0.004 0.911 2 电力 0.498 -2.592 …… 0.067 -0.654 12 煤炭 1.056 -3.226 …… -0.024 -0.629 11 化学 0.460 1.184 …… -0.052 0.618 3 机器 4.528 2.262 …… 0.023 2.589 1 建材 0.330 -1.774 …… -0.067 -0.602 10 森工 -1.103 -0.318 …… -0.035 -0.573 9 食品 -2.195 2.244 …… -0.052 0.155 4 纺织 -0.841 0.896 …… -0.001 0.033 5 缝纫 -2.032 0.825 …… 0.073 -0.476 8 皮革 -0.713 -0.756 …… -0.030 -0.659 13 造纸 -1.201 0.030 …… 0.079 -0.437 7 文教 -0.263 0.464 …… 0.015 -0.276 6 我们以特征根为权，对8个主成分进行加权综合，得出各工业部门的综合得分，具体数据见表6.4。 综合得分的计算公式是： 根据上式可计算出各工业部门的综合得分，并可据此排序。 从上表可以看出，机器行业在该地区的综合评价排在第一，原始数据也反映出机器行业存在明显的规模优势，另外从前两个主成分得分上看，该行业也排在第一位，同样存在效益优势；而排在最后三位的分别是皮革行业、电力行业和煤炭行业。二、利用SPSS进行主成分分析 SPSS没有提供主成分分析的专用功能，只有因子分析的功能。但是因子分析和主成分分析有着密切的联系。因子分析的重要步骤——因子的提取最常用的方法就是“主成分法”。利用因子分析的结果，可以很容易地实现主成分分析。具体来讲，就是利用因子载荷阵和相关系数矩阵的特征根来计算特征向量。即： 其中，zij为第j个特征向量的第i个元素；aij为因子载荷阵第i 行第j列的元素；λj为第j个因子对应的特征根。然后再利用 计算出的特征向量来计算主成分。 以下是我国2005年第1、2季度分地区城镇居民家庭收支基本情况。通过这个例子，介绍如何利用SPSS软件实现主成分分析。表6.5分地区城镇居民家庭收支基本情况 地区 平均每户人口（人） 平均每户就业人口（人） 平均每一就业者负担人数（人） 平均每人实际可支配收入（元） 平均每人消费性支出（元） 北京 2.9 1.6 1.8 8845.1 6249.3 天津 2.9 1.4 2 6189.1 4549.1 河北 2.9 1.5 1.9 4582.9 3317.3 山西 3 1.5 2 4359.7 3066.8 内蒙 2.9 1.5 1.9 4712.1 3557.8 辽宁 2.9 1.4 2 4501.2 3530.7 吉林 3 1.5 1.9 4293.7 3271.5 黑龙江 2.8 1.3 2.2 3902.3 2858.7 上海 3 1.6 1.9 9656.5 6623.3 江苏 2.9 1.4 2.1 6371.1 4222.1 浙江 2.8 1.4 1.9 8921.2 6127.5 安徽 3 1.6 1.9 4311.6 3121.4 福建 3.1 1.6 1.9 6471.8 4292.3 江西 2.9 1.5 1.9 4369.7 2945.1 山东 2.9 1.7 1.7 5357.7 3517.6表6.5分地区城镇居民家庭收支基本情况 地区 平均每户人口（人） 平均每户就业人口（人） 平均每一就业者负担人数（人） 平均每人实际可支配收入（元） 平均每人消费性支出（元） 湖南 3 1.5 2 4558.5 3338.1 湖北 2.9 1.4 2.1 5010.7 3616.4 广东 3.3 1.7 1.9 7828.8 5941.7 广西 3 1.5 2 4876.8 3508.5 海南 3.6 1.6 2.3 4323 2975.4 重庆 3.1 1.6 1.9 5283.8 4187.8 四川 2.9 1.4 2 4333.5 3326.7 贵州 3.1 1.4 2.1 4177.4 3066.3 云南 3 1.3 2.2 4619.8 3415.4 西藏 3.4 1.7 2 4668.8 4467.1 陕西 3 1.5 2 4342.7 3186.6 甘肃 2.9 1.5 1.9 4031.8 3113.2 青海 3 1.3 2.3 3971.8 3070.3 宁夏 2.9 1.3 2.2 4078.3 3133.7 新疆 3 1.5 2.1 4018.4 3015.1 （一）利用SPSS进行因子分析 将原始数据输入SPSS数据编辑窗口，将5个变量分别命名为X1～X5。在SPSS窗口中选择Analyze→DataReduction→Factor菜单项，调出因子分析主界面，并将变量X1～X5移入Variables框中，其他均保持系统默认选项，单击OK按钮，执行因子分析过程（关于因子分子在SPSS中实现的详细过程，参见第7章实例）。得到如表6.6所示的特征根和方差贡献率表和表6.7所示的因子载荷阵。 表6.6中Total列为各因子对应的特征根，本例中共提取两个公因子；%ofVariance列为各因子的方差贡献率；Cumulative%列为各因子累积方差贡献率，由表中可以看出，前两个因子已经可以解释79.31%的方差图6.2因子分析主界面表6.6特征根和方差贡献率表 （二）利用因子分析结果进行主成分分析 1.将表6.7中因子载荷阵中的数据输入SPSS数据编辑窗口，分别命名为a1和a2。表6.7因子载荷阵 2.为了计算第一个特征向量，点击菜单项中的Transform→Compute，调出Computevariable对话框，在对话框中输入等式：z1=a1/SQRT(2.576) 点击OK按钮，即可在数据编辑窗口中得到以z1为变量名的第一特征向量。 再次调出Computevariable对话框，在对话框中输入等式：z2=a2/SQRT(1.389) 点击OK按钮，得到以z2为变量名第二特征向量。这样，我们得到了如表6.8所示的特征向量矩阵。图6.3Computevariable对话框 根据表6.8可以得到主成分的表达式： 3.再次使用Compute命令，就可以计算得到两个主成分。表6.8特征向量矩阵 Z1 Z2 X1 0.075 0.787 X2 0.441 0.519 X3 -0.450 0.106 X4 0.544 -0.254 X5 0.550 -0.187_1205432086.unknown_1205432144.unknown本章结束