去括号与去分母汇东

巴甫洛维奇·契诃夫是19世纪末俄国现实主义代表作家之一，是杰出的短篇小说家与戏剧家．他在上大学期间，就为当时的幽默杂志撰写短篇小说．契诃夫的作品对俄国文学和戏剧的发展有重大影响．他对数学也很感兴趣，在短篇小说《家庭教师》中就有下面一道趣题：　　某商人花540卢布买了黑布料和蓝布料共138俄尺，已知蓝布料每俄尺5卢布，黑布料每俄尺3卢布．请问商人买来黑布料、蓝布料各有几俄尺？　某商人花540卢布买了黑布料和蓝布料共138俄尺，已知蓝布料每俄尺5卢布，黑布料每俄尺3卢布．请问商人买来黑布料、蓝布料各有几俄尺？（卢布和俄尺分别是俄罗斯的货币单位和长度单位）解：设买了蓝布料x俄尺，那么买黑布料（138－x）俄尺,列得方程　　3x＋5（138－x）=540怎样使这个方程转化为x=a的形式？化简下列各式：（1）3a＋2b＋（6a－4b）（2）（－3a＋2b）＋3（a－b）（3）－5a＋4b－（－3a＋b）9a－2b－b－2a＋3b想一想去括号时符号变化规律．去括号法则:1．括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．2．括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．解这个方程：解：去括号移项合并同类项系数化为1去括号法则答：顾客买蓝布料75俄尺．所以买黑布料：138－75＝63（俄尺）．讨论：解一元一次方程的步骤是什么？（1）去括号（去括号法则）（2）移项（等式性质1）（3）合并同类项（分配律逆运算）（4）系数化成１（等式性质2）练习：下列变形对吗？若不对，请说明理由，并改正：解方程去括号，得移项，得合并同类项，得两边同除以-0.2得去括号变形错，有一项没变号，改正如下：例1解方程（1）x＋5（2x－1）=3－2（－x－5）（1）解：去括号，得：x＋10x－5＝3＋2x＋10移项，得：x＋10x－2x＝3＋10＋5合并同类项，得：9x＝18系数化为1,得：x＝2．（2）4x－3（15－x）＝6x－7（11－x）完成《启航》变式训练1、2、3、4化简多重括号：可以从内向外去括号，也可以从外到内去括号。例2完成《启航》变式训练6题（1）、（2）例3：一艘轮船从甲码头到乙码头顺流航行，用了2h，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h，水流的速度是3km/h，求轮船在静水中的行驶速度．分析：已知两个码头之间的距离相等所以：顺流速度×顺流时间＝逆流速度×逆流时间常用的关系式顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度-水流速度1．某校准备将2000元奖金全部发给20名三好生，其中市级三好生每人得奖金200元，校级三好生每人得奖金50元，请问全校市级三好生、校级三好生各有多少人？解：高全校市级三好生x人，列方程　　200x＋50（20－x）＝2000　　解，得x＝5．　　所以校级三好生：20－x＝15（人）答：市级三好生5人；校级三好生15人．2．一个笼中装有鸡、兔若干只，从上面看，共有21个头；从下面看，共有66只脚，问鸡、兔各有多少只．解：设鸡x只，列方程　　2x＋4（21-x）＝66　　解，得x＝9　　所以兔的个数为：21－x＝12（只）答：笼中有鸡9只，兔12只．（3）李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗;三遇店和花，喝光壶中酒，试问酒壶中原有多少酒?斗：古代的一个计量单位；1斗=10升．解：设酒壶中原有x斗酒，列方程得：　你知道如何解吗？1．解一元一次方程的步骤:（1）去括号；（2）移项；（3）合并同类项，化为最简方程ax＝b（a≠0）的形式；（4）系数化为1．2．用一元一次方程解决实际问题方面．（1）一艘轮船从一码头逆流而上，再顺流而下．如果轮船在静水中的速度为每小时15千米，水流速度为每小时3千米，那么这艘轮船最多开出多远然后返回才能保证在7．5小时内回到原码头？　　解：设这艘轮船开出x小时后多返回，才能保证在7.5小时内回到原码头．列方程　　（15－3）x＝（15＋3）×（7.5－x）　　解，得：x＝4.5　　即轮船开出后：（15－3）x＝54（千米）后，返回才能保证在7.5小时内回到原码头．（2）甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步．甲的速度是360米/分，乙的速度是240米/分．1.两人同时同地同向跑，多长时间两人第一次相遇，此时两人一共跑了几圈？2.两人同时同地反向跑，几秒后两人第一次相遇？3.两人同时同向跑，甲先跑30秒，问还要多长时间两人第一次相遇？4.两人同时同向跑，乙先跑30秒，问还要多长时间两人第一次相遇？54011秒26秒（3）一小船由A港到B港顺流行驶航行需6h，由B港到A港逆流航行需要8h，一天,小船从早晨6时由A港出发顺流到达B港时，发现救生圈在途中掉落了水中，立即返回,1h后找到救生圈．1.若小船按水流速度由A港漂流到B港,需要多长时间?2.救生圈是在什么时候掉入水中的?48小时11时例3：（1）某工厂 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 用26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时不但完成了任务，而且比原计划多生产了60件，问原计划生产多少件零件？分析：原计划生产x件零件，所以计划每小时生产零件数×26＝实际每小时生产零件数×24－60．解：设原计划每小时生产x件零件，列方程   24x×（x+5）－60＝26x去括号，得      24x+120-60＝26x移项及合并同类项，得         2x＝60系数化成1,得         x＝30          所以原计划26×30＝780（件）答：原计划生产780件零件．（2）一个服装车间，共有90人，每人每小时加工1件衣服或2条裤子，问怎样安排工作才能使衣服和裤子正好配套？（一件衣服配一条裤子）分析：为了使每天生产的衣服和裤子正好配套，应使生产的衣服和裤子数量相等．解：设做衣服人数为x人，则做裤子的人数为（90－x）人．列方程　　x=2（90－x）　　去括号，得　　x＝180－2x  　　移项及合并同类项，得　　3x＝180　　系数化为1,得　　x＝60．　　所以做裤子的人数为：60－x＝20（人）．　　答：做衣服人的人数为40人，做裤子的人为20人．（1）某车间每天能生产甲种零件100个，或者乙种零件100个．甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套．要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？解：设生产甲种零件x天，列方程：　　2×100x＝3×100（30－x）　　解，得：　　x＝18　　则生产乙种零件的天数为：30－x＝12（天）答：应安排生产甲种零件18天，乙种零件12天．（2）某水利工地派40人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？解：设每天派x人挖土，列方程5x＝3（40－x）解，得x＝15所以每天运土人数为:40－x＝25（人）答：每天派15人挖土，25人运土，正好能使挖出的土及时运走．（3）用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身16个或制盒底45个一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有100张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以既使做出的盒身和盒底配套，又能充分地利用白铁皮？解：设x张白铁皮做盒身,列方程2×16x＝45×（100－x）解，得x＝60则做盒底的铁皮为：100－x＝40（张）答：用60张白铁皮做盒身，40张白铁皮做盒底．目前初中数学主要分成代数与几何两大部分，其中代数学的最大特点是引人了未知数，建立方程，对未知数加以运算．而最早提出这一思想并加以举例论述的，是古代数学名著《算术》一书，其作者是古希腊后期数学家一“代数学之父”丢番图．丢番图是希腊数学家，他的13卷巨著《算术》在代数符号、数论、代数方程解法等方面均有重要贡献，其不定方程理论对后世产生了巨大影响，以至后人把整系数不定方程称为“丢番图方程”．　　关于丢番图的生平，我们仅能从其墓志铭中略知梗概，这篇墓志铭本身就是一个有趣的数学问题，因为被4世纪数学家麦特劳德尔收入一部数学问题集中，得以流传至今：丢番图的生平这是一座石墓，　　里面安葬着丢番图．　　请你告诉我，　　丢番图寿数几何？　　他一生的六分之一是幸福的童年，　　十二分之一是无忧无虑的少年．　　再过去七分之一的年程，　　他建立了幸福的家庭．　　五年之后儿子出生，　　不料儿子竟先其父四年而终，　　只活到父亲一半的年龄．　　晚年丧子老人真可怜，　　悲痛之中渡过风烛残年．　　请你告诉我，　　丢番图寿数几何？　　解：设丢番图去世时的年龄为x岁，由题意可列方程　怎样使这个方程转化为x=a的形式？请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄？分析：为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？各分母的最小公倍数84.去分母（方程两边同乘各分母的最小分倍数）移项系数化为1答：丢番图去世时的年龄为84岁．合并同类项解：这件珍贵的文物是纸莎草文书，是古代埃及人用象形文字写在一种特殊的草上的著作，至今已有3700多年的历史了，在文书中记载了许多有关数学的问题．问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33．解：设这个数为x，可得方程：为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？各分母的最小公倍数42．解：去分母，得　　28x＋21x＋6x＋42x＝1386．　　合并同类项，得　　97x＝1386．　　系数化为1，得去分母时须注意　1.确定各分母的最小公倍数；　　2.不要漏乘没有分母的项；　　3.去掉分母后，若分子是多项式，要加括号，视多项式为一整体．解有分数系数的一元一次方程的步骤：1．去分母；2．去括号；3．移项；4．合并同类项；5．系数化为1．主要依据：等式的性质和运算律等．以上步骤是不是一定要顺序进行，缺一不可？（1）碧空万里，一群大雁在飞翔，迎面又飞来一只小灰雁，它对群雁说：“你们好，百只雁！你们百雁齐飞，好气派！可怜我是孤雁独飞．”群雁中一只领头的老雁说：“不对！小朋友，我们远远不足100只．将我们这一群加倍，再加上半群，又加上四分之一群，最后还得请你也凑上，那才一共是100只呢，请问这群大雁有多少只？解：设这群大雁有x只，列方程解方程，得x＝36提示：（2）火车用26秒的时间通过一个长256米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以16秒的时间通过了长96米的隧道，求火车的长度．解：设火车长度为x米，列方程解，得x＝160答：火车的长度为160米．例4：解方程解：去分母（方程两边同乘12），得　　3（x－1）－4（2x＋5）＝－3×12　　去括号，得　　3x－3－8x－20＝－36　　移项，得　　3x－8x＝－36＋3＋20　　合并同类项，得　　－5x＝－13　　系数化为1,得解：去分母（方程两边同乘12），得　　4（－x＋4）－12x＋5×12＝4（x－3）－3（x－1）　　去括号，得　　－4x－16－12x＋60＝4x－12－3x＋3　　移项，得　　－4x－12x－4x＋3x＝－12＋3＋16－60　　合并同类项，得　　－17x＝－53　　系数化为1,得解：去分母（两边同乘12），得　　8（x－6）＝3（－2x－3）－2　　去括号，得　　8x－48＝－6x－9－2　　移项，得　　8x＋6x＝－9－2＋48　　合并同类项，得　　14x＝37　　系数化为1,得解下列方程：例5：（1）一件工作，甲单独做25小时完成，乙单独做12小时完成．那么两人合作多少小时完成？分析：本题是一个典型的工程类应用题．甲单独做20小时完成的工作量+乙单独做12小时完成的工作量=完成的工作总量1　　解：设两人合作x小时完成此工作，可列方程答：两人合作6小时完成． 去分母，得4x＋6x＝60合并同类项，得x＝6（2）一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做12小时完成．甲先单独做6小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？分析：把总工作量看作是1．设还要x小时才能完成工作．甲的工作总量＋乙的工作总量＝总工作量1．答：两人合作还要4小时完成．　　解：设两人合作还需x小时完成此工作，列方程去分母，得4x＋24＋5x＝60移项及合并同类项，得9x＝36系数化为1,得x＝4（3）一件工作，甲单独做15小时完成，甲、乙合做6小时完成．甲先单独做6小时，余下的乙单独做，那么乙还要多少小时完成？分析：把总工作量看作是1．设乙还要x小时才能完成工作．甲的工作总量＋乙的工作总量＝总工作量1．答：乙还要6小时完成．解：设乙还需x小时完成此工作，依题意可得：去分母，得24＋（10－4）x＝60去括号，得24＋6x＝60移项，得6x＝36系数化为1,得x＝6工程问题　　　1．工作量、工作时间、工作效率；　　2．这三个基本量的关系是：　　工作量=工作时间×工作效率　　工作效率=工作量÷工作时间　　工作时间=工作量÷工作效率　　3．工作总量通常看作单位“1”小明预定搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷．在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站，便随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达火车站．已知公共汽车的平均速度是40千米/时，问小明家到火车站有多远？解:设小明家到火车站路程的为x千米，列方程：解，得x＝60则小明家到火车站的路程为90千米．答：小明家到火车站的路程为90千米．1．解一元一次方程的步骤:（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项，化为最简方程ax＝b（a≠0）的形式；（5）系数化为1．2．用一元一次方程解决实际问题方面．1．某工厂今年3月份的产量是50万元，5月份上升到72万元，设这两个月的平均增长率为x，则（）　　A．50（1＋x）＝72　　B．50（1＋x）＋50（1＋x）2＝72　　C．50（1＋x）x2＝72　　D．50（1＋x）2＝72D2．甲、乙二人按2:5的比例投资开办了一家公司，约定除去各项开支外，所得利润投资比例分成，若第一年赢得1400元，那么甲、乙二人分别应分得（）　　A．2000元和5000元　　B．5000元和2000元　　C．4000元和10000元　　D．10000元和4000元C3．解下列方程：x＝2x＝－324．讨论关于x的方程ax＝b,的情况．5．已知2x＋１与－12x＋5的值是相反数，求x的值．解：根据题意得：（2x＋1）＋（－12x＋5）＝０去括号，得2x＋1－12x＋5＝0称项，得2x－12x＝－1－5合并同类项，得－10x＝－6系数化为1,得x＝0.6答：x的值为0.6．解：根据题意，得解，得6．问题：王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元，其中种茄子每亩用了1700元，种西红柿每亩用了1800元．问两蔬菜各种了多少亩？分析：设王大伯共种了x亩茄子，则他种西红柿__________亩．种茄子每亩用了1700元．那么种茄子一共用去了________元；种西红柿每亩用了1800元，则他种西红柿共用去了______________元．根据王大伯种这两种蔬菜共用去了44000元，可列方程（25－x）1700x1800（25－x）1700x＋1800（25－x）＝44000．怎样解这个方程？去括号移项合并同类项系数化为1去括号是解方程时常用的变形．解：由上可知，种茄子10亩．所以种西红柿：25－10＝15（亩）．答：种茄子10亩，种西红柿15亩．（1）3x－5（x－3）=9－（x+4）（2）6x＝－2（3x－5）＋10（3）－2（x＋5）=3（x－5）－6解下列方程．x＝10x＝14