第二节凸函数和凸规划凸函数及其性质凸规划及其性质对于定义在凸集上的凸函数，其极小点就是最小点，极小值就是最小值。 集合S称为凸集，如果S中任两点的连线内的点都在集合S内。 证明一集合是否为凸集的
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为，假设X1,X2在此集合中，则有任意a(0<a<1)使得aX1+(1-a)X2属于该集合.x1X21.凸函数及其性质(a)凸函数(b)凹函数f(X)Xf(X1)f(X2)X1X2f(X)Xf(X1)f(X2)X1X2αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)f(X)Xαf(x1)+(1-α)f(x2)f(X1)f(X2)X1X2αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)f(X)Xf(X1)f(X2)X1X2任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)αf(x1)+(1-α)f(x2)例4.2.1凸函数的基本运算性质证明：凸函数的定义
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明，凸函数上任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方；而上述充要条件则说明，函数图像上任一点处的切线都在曲线的下方。
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例4.2.2注：线性函数是凸函数2.凸规划及其性质凸规划的性质定理4.2.6凸规划的任一局部最优解都是它的整体最优解。证明：设x*是凸规划的一个局部解，则存在δ>0,使如果x*不是整体最优解，则又因为f是凸函数，所以p112例4.2.3验证下列（MP）是凸规划取α>0充分小，有例如下非线性规划是否为凸规划：正定，凸函数所以，该问
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为凸规划。半正定，凸函数半正定，凸函数如图所示，该问题最优解（最小点）在x*点取得。1．建立M文件mycon1.m定义非线性约束：function[g,ceq]=mycon1(x)g=[-x(1)+x(2)-2;x(1)^2-x(2)+1];ceq=[];2．输入:clearf=@(x)x(1)^2+x(2)^2-4*x(1)+4x0=[1;2];[x,fval]=fmincon(f,x0,[],[],[],[],[],[],'mycon1')
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