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高斯核心数学工作相关文章汇编.pdf

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上传者: too_Early_to_Late 2018-05-07 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《高斯核心数学工作相关文章汇编pdf》,可适用于自然科学领域,主题内容包含读读数学大师高斯高斯核心数学工作相关文章汇编SCIbird整理本书献给所有热爱数学的人同时纪念一代数学大师高斯印在德国马克上的人序言数学历史上有四大符等。

读读数学大师高斯高斯核心数学工作相关文章汇编SCIbird整理本书献给所有热爱数学的人同时纪念一代数学大师高斯印在德国马克上的人序言数学历史上有四大名家之说按时间先后顺序分别是阿基米德、牛顿、欧拉和高斯其中牛顿和高斯是我的数学偶像。很高兴看到前三位大师的相关代表著作有中文版了分别是阿基米德的《阿基米德全集》、牛顿的《自然哲学之数学原理》和欧拉的《无穷分析引论》。笔者当年特地搞到一本牛顿的《原理》不过很可惜自己实在是看不习惯牛顿大师那种几何式的论述过程所以至今书还在家里。尽管自己应该是牛顿的徒子徒孙但我却十分欣赏庞加莱的风格最后却发现看的最多的还是有关高斯的文章。生活真是奇妙!不过另一方面不像牛顿和爱因斯坦这样反复被宣传的大师关于高斯的中文资料奇缺这是很反常的。笔者收集整理并编辑出《高斯经典文章及相关数学工作汇编》一书希望能弥补上这个缺口这样四大名家的书就全了。以上是本书的前身或者是版本最初编辑整理的《高斯经典文章及相关数学工作汇编》是一个剪接重组的拼盘文章中英文皆有内容重复居多过度也不自然全书也是相当厚的。当初整理出《汇编》后就有打算整理出一个精华内容简本不过因为缺乏材料特别是PDF版本(毕竟是电子书)。后来发现守株待兔不是办法除去原文外最好的办法还是自己动手写辅助说明文章。天下事果然是勤奋为先。如果说当初编辑整理的《高斯经典文章及相关数学工作汇编》时自己更像个知识搬运工。如今的编辑整理完这本《高斯核心数学相关文章汇编》(前者的版本)后自己可以说是作者之一了自己写了一些辅助说明文章之后重新排版后单章内容之间的衔接过渡自然了一些。数学大师高斯的思想太深邃涉猎范围太广所以在修订版本时压缩取舍起来有些困难。权衡之后精选了个核心数学主题以此展开。内容涉及正边形尺规作图、分圆理论、二次互反律、费马大定理、高斯和(这是新添加的内容)、素数定理、代数基本定理、算术几何平均数列与椭圆积分、椭圆函数论、误差与正态分布、微分几何、非欧几何以及高斯那本神秘的数学日记。这些是笔者认为最能代表数学大师高斯的工作不论从内容上还是思想上都是如此。根据数学大师Fmiddot克莱因对高斯的经典描述笔者称高斯为ldquoAGrdquo型选手A指算术、代数和分析而G自然指几何了。AG这构成了本书文章的主体结构前几章都是算术方面的不过分圆理论实际属于代数内容代数基本定理则更像分析内容分析内容上主要围绕椭圆积分与椭圆函数展开本书没有收录高斯在超几何级数方面的工作几何方面微分几何内容采用高斯的奠基性文章《关于曲面的一般研究》(这次买到中文电子版了)同时增加了几篇辅助说明文章非欧几何方面因为没有找到太满意的辅助说明文章只好自己动手写了一篇说明文章。高斯的数学日记肯定要收录的。这样全书包括了个主题只有两篇原文是英文的(非欧几何和数学日记)。实际上高斯的数学工作相当广泛如大学微积分课程闭曲面积分中高斯公式(也称散度定理)()Omegapartpartpartpartpartpart=intintintintintSPQRxyzPdydzQdzdxRdxdydxdydz线性代数中求解线性方程组的高斯消元法数值积分中的高斯机械求积法以及高斯在快速傅立叶变换FFT方面的贡献(主要是思想上)等等。Fmiddot克莱因在《数学在世纪的发展》(第一卷)第一章中花了大量的篇幅介绍高斯的数学工作推荐大家去读一读。另外高斯在物理学和天文学上也有杰出贡献物理学中磁感应强度单位高斯就是为纪念本书中的这位数学大师。在笔者修订本书时高斯的算术名著《算术研究》中文版问世了取名《算术探索》笔者自然买了一本珍藏。看完之后有些感觉这样的书注定不会流行翻译这本书注定费力不讨好(就像本书)但有些工作是必须有人做的!中国数学水平乃至科学水平的整体落后不仅仅是大师人数少、菲尔兹和诺贝尔奖少这么简单。这是民间基础、文化、平台和体制全面落后的综合反应菲尔兹和诺贝尔奖只是结果。笔者编辑整理这本书是出于对数学偶像高斯的尊重与敬佩这也是惟一的动力源泉。当初多少次想以ldquo费力不讨好rdquo为理由说服自己不要在这方面浪费时间但终于克服了。希望这本电子书能为数学史和数学教育方面做点贡献抛砖引玉如果中国下一代数学家中有机缘独到本书者笔者将感到非常荣幸。本书相当于《高斯经典文章及相关数学工作汇编》的版本是浓缩版。最初计划页数控制在页左右因为根据笔者的打印经验页左右B纸打印装订成书厚度比较适中。而不少书虫和有心人都会把好的文章打印装订成书纸质实体书有很多优点是电子书无法代替的。在修订过程中笔者也借机对底稿重新排版尽量美观一些。但限于时间和精力无法对文字进行润色错别字和语句不通顺的地方可能很多读者阅读时要自己多留心。据说一个负责的作者对书稿要修改十遍以上大到文章结论是否准确图表、公式是否正确(有没有笔误)。小到语句是否通顺有没有语法错误ldquo地rdquo和ldquo的rdquo的用法是否规范标点符号是全角还是半角缩进等排版是否美观等等。就像写毕业论文那样要求。上述细节就能耗去相当多的精力而无法集中在文章内在质量本身上所以笔者限于时间和精力只能取ldquo文章内在质量rdquo这点了这一点笔者还是自信有保证的。笔者将这本页左右的小书发到网上愿有缘者得之。SCIbird年月scibirdsinacn目录正十七边形尺规作图与分圆helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip二次互反律的证明helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip费马大定理helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip高斯和的证明helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip高斯与素数定理helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip代数基本定理的证明helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip算术几何平均数列与椭圆积分helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip椭圆函数论helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip误差与正态分布helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip关于曲面的一般研究helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip高斯与非欧几何helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip高斯的神秘数学日记helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipFnxnxncossinnnkkk,,,,nknxnpppxxxxdxxideasdxxbeyondIMOIPhO數學巨擘高斯(上)三大學時代Gauss並沒有順從Brunswick公爵的意思選讀公爵領地內的Helmstedt大學,而打算赴Brunswick約哩南方的Gottingen大學就讀,公爵還是答應了。Gottingen大學在年由英王兼Hanover大公GeorgeII創辦,故這所大學又以英王的名字GeorgeAugusta稱呼。它的模式仿照Oxford與Cambridge,比其他德國大學有較好的環境與條件,也比較不受政府與教會的干預。Gauss喜歡那裡的學術自由的風氣與豐富的館藏,所以選擇去那兒唸大學。Gauss在年月日註冊,成為Gottingen大學數學系學生,這時候他擁有年金thaler與與伙食費。他對將來的出路感到彷徨。語文與數學都是他喜愛的,而學語文以後出路較好。在大學第一年他借的書有本。其中本是文科的書,只有本是數學書。年月日是Gauss生涯中決定性的一天。這一天起開始寫他那出名的科學日記。他把他的發現依次記載到年月日(日記在年從Gauss在德國唯一(也是唯一他見過)的孫子CarlAugust在Hamlin家中找出)。月日的日記用拉丁文寫著「等分圓周的原理以及用幾何方法十七等分圓分等等。月日,Brunswick」據說從這一天開始他決定從事數學的研究而語文成為他終生喜愛學習的一個嗜好。Gauss對發現正十七邊形的幾何作法的記載是:「在Brunswick家裡的一個假日,我思考xpminusxminus=的諸根之間的算術關係。隔日早上還沒有起床,我已經很清晰地看到我需要的關係式。我就立刻把它應用在正邊形上。計算的結果證實這個方法是對的。」年月日的「一般學藝新聞」中有Gauss的告示:「一般的幾何初學者都知道怎樣作出正多邊形,如等邊三角形,正五邊形,正十五邊形或是把它們雙倍的正多邊形。在Euclid的時代大家就已經可以做到這些了。而從那時候起大家認為初等幾何學終止在這個地步。至少我不知道有人成功地邁出那個界線。因此我的新發現有特別的意義。我發現不只是上述那些正多邊形,還有更多的正多邊形可用幾何法(只使用直尺與圓規)作出。作正十七邊形的方法只是一個包括更多內容的定理的特例而已。我還沒有完全證出這個發現,等到完成後我會公開它。mdashGottingen大學數學研究學生CFGauss。」這是Gauss一生中僅有的一次預告他的發現。後來「等分圓周」出現在Gauss巨著「整數論研考」第七章,正十七邊形的頂點求法成為這一章的一個例子。這本書因經費與出版商的問題遲延到年月日才出版,一出版就被搶購一空,造成一時的轟動。年月日Gauss從Gottingen給他的學生兼朋友Gerling信,說研究「整數論研究」所帶給他的喜悅是他研究數學當中至高無上的。即使多美的天文學上的發現所帶給他的喜樂都無法與它相比。信中他給Gerling簡述正十七邊形的求法:數學傳播卷期民年月令ϕ=pi,設cosϕcosϕ=acosϕcosϕ=bcosϕcosϕ=ccosϕcosϕ=d()ab=ecd=f()因(sinϕ)(ef)=sinϕminussinϕ=minussinϕ()而得ef=minus()又由簡單的運算ab=ef=minusac=abdad=bcd()bc=acdbd=abccd=ef=minus()故(acadbcbd)=(abcd)()即(ab)(cd)=(ef)()由(),()和()得ef=minus()由(),(),e,f成為二次方程式xxminus=()的兩根,而從()式易見ef。故e=minusradic,f=minusminusradic()由(),(),a,b(ab)為二次方程式xminusexminus=()的兩根,即a=eradice=(minusradicradicminusradic)b=(minusradicminusradicminusradic)()而c,d(cd)則由(),(),為xminusfxminus=()的兩根,故c=fradicf=minus(radicminusradicradic)d=minus(radicradicradic)()因cosϕcosϕ=cosϕcosϕ=c,()由(),(),cosϕ,cosϕ(cosϕcosϕ)為二次方程式xminusaxc=()的兩根,故cosϕ=(aradicaminusc)cosϕ=(aminusradicaminusc)()數學巨擘高斯(上)因a=(cosϕcosϕ)=(cosϕ)(cosϕcosϕ)(cosϕ)=bc()由(),()得cospi=cosϕ=(minusradicradicminusradicradicradicminusradicminusradicminusradicradic)()Gauss的解法告訴我們由個二次方程式可求出cospi的數值。因此,若令二次方程式的一般式為xminusalphaxbeta=,()則()式的兩根為圓C:xminusalphaxyminus(beta)ybeta=()與x軸相交的兩個座標。而C有兩端點為(,),(alpha,beta)的直徑。由這些資料,我們可以作正十七邊形如下:考慮以A=(,),B=(minus,minus)為直徑的圓C:xxyminus=。()則C與x軸相交成第()式。令C與正x軸、負x軸分別相交於C,D點。則OC=e,OD=f。以A=(,),E=(e,minus)為直徑作圓C:xminusexyminusyminus=,()則C與x軸相交成第()式。令C與正x軸的交點為F,則OF=a。再以A=(,),G(f,minus)為直徑作圓C:xminusfxyminusyminus=。()則C與x軸相交成第()式,令C與正x軸的交點為H,則OH=c。今以A=(,),I(a,c)為直徑作圓C:xminusaxyminus(c)yc=,()則C與x軸相交成第()式,令C與x軸的大值交點為J,則OJ=cospi。最後,以點為圓心作單位圓C:xy=而與正x軸相交於K,過J作x軸的垂線交C於L點,則angJOL=pi。在C圓周上取Lm點,以逆時針方向取︷︷LmLm=︷︷LL=︷︷KL,m=,,,,則多邊形KLLmiddotmiddotmiddotLK即為所求正十七邊形。數學傳播卷期民年月xyA(,)B(minus,minus)bullbullbullbullCC(e,)D(f,)bullE(e,minus)bullF(a,)CbullG(f,minus)bullH(c,)CbullI(a,c)bullJCLpibullKCbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullLLLLLLLLLLLLLLLGuass好得意作出正十七邊形來。他對大學時代的好友WolfgangvonBolyai()註說,以後他的墓碑上就刻上正十七邊形好了。(模仿Archimedes。Archimedes很中意他所求得的球體與其外切圓柱的體積與表面積與表面積及它們的比例:。結果他的墓碑上就刻著一球及其外切圓柱。多年後羅馬雄辯家Cicero做Sicily長官時在荒蕪中憑這個墓碑找出Archimedes的墳墓,修復了它。)。Bolyai是匈牙利Transylvania地方的貴族,晚Gauss一年進Gottingen大學哲學部門。他與Guass初次在天文學教授Seyffer家碰面。Bolyai對基礎數學有興趣,便毫無忌憚地談論數學,就這樣引起Gauss對他的興趣。再下一次巧遇時他們便結為好朋友了。Gauss工作累了,就去Bolyai居處休憩而往往不先發言,甚至於不講話。只有一次他顯得很開心,那是他作出正十七邊形的時候。他給Bolyai他算出正十七邊形的筆記當做紀念。他們也交換煙斗,每天在一定時間抽煙斗來想念對方(這些東西在Gauss去世後Bolyai寄去Gottingen大學留存)。Gauss也帶Bolyai,徒步到Brunswick拜訪Gauss的雙親。當Gauss離席時母親Dorotea問Bolyai她兒子能否成器當Bolyai告訴她「他是歐洲第一等的數學家呢!」時Dorotea聽得熱淚盈眶。年月日Guass學成(沒有等到拿博士學位),回Brunswick。行前他跟Bolyai相約一年後由Bolyar定出時間及地點再見一次面。他們約在年月日星期六在Gottingen與Brunswick中途的Claustal村見面。兩人徒步同時到達那兒,一起攀登一座小山。在山麓上的小酒店兩人含淚握手道別。他們通信到Gauss去世前兩年,但一直沒有機會再見到對方。Bolyai是Gauss大學時代沈思、歡樂與共的朋友。此後Gauss再也沒有向其他朋友那麼坦誠告白他的心思了。年Bolyai在他的回憶錄中記述:「middotmiddotmiddot我認識了Gauss,他那時候是二次互反律的证明本章给出了数论中二次互反律的两个证明第一个证明属于高斯引自《数学珍宝》一书第二个证明是后人给出的算术几何思想相结合的证明引自《一百个著名初等数学问题历史和解》。高斯称二次互反律为黄金定理他本人曾给出种证明本文收录的是第三个证明。根据资料高斯是通过大量的数值计算才归纳出二次互反律这部分内容属于二次剩余理论任何一本比较系统的数论教材都会提及这里笔者强烈推荐华罗庚老师的名著《数论导引》写的既有深度又不晦涩难懂学过复变函数的读者都可以看看。设,pq是两个不同的素数如果(mod)equivxqp有整数解则称q是modp的平方剩余采用勒让德符号表示这个性质就是=qp如果(mod)equivxqp没有整数解就用符号=minusqp来表示。所谓二次互反律就是()minusminussdotsdot=minuspqqppq高斯不是最早发现这一定理的人但却是第一个证明二次互反律的人。关于二次互反律的深化与推广请参考《代数数论》相关教材。XG=JndashOG=aJbOaJbO=(mJnO)(JndashO)=(nndashm)J(nndashm)Oa=nndashmb=nndashmab=gg=nndashmab=gmnnndashm=gnndashm=a=(mJnO)(JndashO)abG=aJbOa=hb=kea=heb=ka=heb=kee=hJkO=eO=eJ=e=G=()==modmodpq)(qppqqpndashKroneakerOstwaldDicksonJacobiLiouvilleScheringFrobeniusPmiddotPmiddotBachmannAmiddotArthurCayleyndashpDpxpRxpDxgxDx=RxgxpRxpRx=xRx=xpxpDxaDx=xgxpbDx=xpgxppDxnnbm=ndashnamodpDxxmodpxxrsxsx=ndashsDrxDssD(rs)modpDrspD!(ndash)n!modpD(ndash)nmodpppDDmodppDnmod)(npD)(npDxx=Dpqab(qndash)xxxgxmodxxgxmodmodxxgnxxmodxxndashnnmodxgxnxmodxgnxgpq)(gxpqxpqxIpqxpq)(xpIIqpxqp)(yqIIIIIIpqxqpxpqqp)(xy(,)),(p),(qp),(qpqxydp=q=(x,y)dpxqypqxyxdpqxypqxqpyyIII)(pqqp)(qppqqpOpusculaanalytica,Petersburg,HistoiredelrsquoAcadeacutemiedesSciencesDisquisitionesarithmeticae,KlassikerderexaletenWissenschaflen,volyx费马大定理所谓费马大定理英文全称FermatrsquosLastTheorem其数学表述为:当整数n时方程=nnnxyz无满足nexyz的整数解。这个问题看起来如此简单证明起来却如此复杂以至于困扰了人们多年。最后被英国数学家Wiles利用极其深奥的现代数学工具非常曲折地证明了费马大定理。Wiles称他的证明是ldquo世纪的数学证明rdquo其难度可见一般。不过对于n的一些特殊值当年的数学家们获得了证明。比如费马本人证明了=n时猜想成立欧拉证明了=n时命题也成立不过证明比较繁琐高斯也证明了=n时猜想成立(本文)不过方法要简洁一些更重要的是高斯把复数引进到了数论证明中(高斯整数)这在当时是一个创举!本文收录的费马大定理=n时的高斯证明引自《一百个著名初等数学问题历史和解》一书。需要指出的是费马大定理的现代证明与传统的因式分解路线完全不同甚至说有些诡异。假设费马大定理不成立利用其一组非零互素整数解(,,)abc可以构造出一条三次曲线称为Frey曲线:()()ppyxxaxb=minus这条Frey曲线如果存在则是一个著名猜想ldquo谷山志村猜想rdquo的反例。后来人们证明了ldquo谷山志村猜想rdquo成立这说明Frey曲线这个反例不存在由反证法可知费马大定理成立。单看谷山志村猜想完全看不出与费马大定理有什么联系如此曲折复杂的数学联系也算是现代数学特色吧。关于谷山志村猜想的严格数学表述请参考本书中椭圆函数与模函数部分。xy=zxyzDirichletKummerxnyn=znnn=xy=zab=cabc=xJyOxyiJiOndashxJyOxyGgGg=gJgOG=Gndash=I=JndashOIIIIIIefgmode=f=g=efgmodmodmodmodIImodmodemodfmodefmodefmodf=ndasheefmodmodmodmod==JO=OJ=ndash=(ndash)====ndashndash()=====ndash=====ndash=ndash==ndash======GEmodEmod=Emodmodefmodefmode=f=efmodef==FF=EF=FE=FE=CompleteWorks,volIIGIJOJO=JO=JO=OJ=J=ndashO=ndashIIGGaJbOaJbOpJqOIp=abbandashbbq=abbandashaaIII=ii))(()(iiNGaJbOabndashababGabndashab=a=ndashndashb=ndashndashGJndashJOndashOndashabndashab=Gabndashab=a=b=ndasha=ndashb=a=b=a=ndashb=ndasha=b=a=ndashb=ndashiOJJOndashJndashO)()()(NNNIVGGG===IIIGJndashJOndashOndashJOJJJJJJVGGJ=ndashndashOJ=ndashndashJJ=ndashJ=OJ=JJ=VIGqGGGGOkJhkOhJhkmnrsmJnO=rJsO=RR=RR=ndashRG==R=(rsndashrs)rsRGGk=kVII=kVI===GGVIIIGGGGGGJOGG=JndashO==========IIIG===IXGndashGGmodXG=JndashOG=aJbOaJbO=(mJnO)(JndashO)=(nndashm)J(nndashm)Oa=nndashmb=nndashmab=gg=nndashmab=gmnnndashm=gnndashm=a=(mJnO)(JndashO)abG=aJbOa=hb=kea=heb=ka=heb=kee=hJkO=eO=eJ=e=G=()==modmodpq)(qppqqpndashKroneakerOstwaldDickson高斯和的证明本章是修订时新增加的内容。以前就听说高斯被一个数学问题困扰了近五年很是好奇但不知道是什么问题。这个问题显然不是费马大定理因为高斯明确表态对费马大定理不感冒。后来机缘巧合之下在一篇文章中看到这个困扰高斯五年的数学问题就是ldquo高斯和rdquo的符号问题。一般深一点的数论教材都包含ldquo高斯和rdquo这块内容比如华老的《数论导引》(丘成桐很推荐)。困扰高斯的数学问题用现代数学语言表述如下:记cossinnnripipi=则高斯和(),mod,modnnnrrrrinnminusequiv=equivL正是n前面的符号如何确定困扰了高斯将近五年时间。高斯在自己的数学日记第条写到:高斯和有几种等价的说法所以看上去样子不太相同。高斯和也有不同版本的证明初等方法和高等方法皆有《数论导引》中收录的证明并非原证明。高斯和的原证明可在《高斯全集》第二卷中找到不过限于笔者的数论水平有限和拉丁文困难无法解读原文。不过偶然在柯召院士的《数论讲义》下册中找到高斯和的一个初等证明这个证明与高斯的原证明非常像所以在本书中引用此证明。设ipepieta=其中p是一个奇素数易知,,pattpampampetaminus===nesum高斯与素数定理与本书第一版相比这一章修改力度较大基本上重写了。最终整理成数学笔记长文文章将素数定理的历史、探索和证明融为一体。主要参考文献是:华罗庚的《数论导引》和柯朗的《什么是数学》这两本书解析证明引自下面的重要文献(引自《美国数学月刊》):与《数论导引》相比这篇英文文献大幅简化了素数定理的解析证明。笔者将这个解析证明翻译过来取代原先《数论导引》中的证明并适当加以补充说明相信可读性方面大大增加。正如数学史表现的那样同一个数学结果可能由几个人独立发现(时间可能不同)素数定理就是其中的一个。记()xpi表示不超过x的素数的个数所谓素数定理指下面极限表达式()limlnxxxxpirarrinfin=或()~lnxxxpi这个结果是惊人的尽管素数分布似乎没什么规律但其个数的分布却有渐进规律。按数学家迪厄多内的说法高斯考虑(,)xx内的所有素数通过大量的计算高斯从数值表中观察到当x很大时有下面的近似性质:()()xxpipiminus正比于lnx高斯猜想Lix可以作为()xpi的渐进表达式数值计算也支持这一猜想。其中Lilnxdtxt=int利用罗比达法则可以证明Lilimlnxxxxrarrinfin=不过高斯本人没能证明素数定理只是猜想()~Lixxpi成立所以素数定理可以称为高斯猜想。但能猜出素数定理的渐进表达式(这一点可不容易)是高斯辛勤计算和数学直觉的综合体现。素数定理的简单解析证明笔记SCIbird说明:本文是自己的素数定理读书笔记该定理可以看做是ldquo高斯猜想rdquo是数学大师高斯通过大量计算归纳出的一个猜想。此处添加进来表示对高斯的尊敬与纪念。本文不但给出了素数定理的一个猜想途径同时也给素数定理一个严格的解析证明。本文主要参考文献是:华罗庚的《数论导引》和柯朗的《什么是数学》这两本书解析证明引自下面的重要文献(引自《美国数学月刊》):与《数论导引》相比这篇英文文献大幅简化了素数定理的解析证明。我们知道素数,,,,L有无穷多个。古人曾经意图寻找素数的分布规律(如通项公式)但都以失败告终。素数的分布似乎毫无规律总的来看很稀疏偶尔有集聚现象如存在相邻的素数其差为这对素数称为孪生素数。这方面有一个著名的猜想即孪生素数猜想由希尔伯特提出内容为猜测存在无穷多对孪生素数。孪生素数猜想尚没有得到完全证明但已有了阶段性成果。特别是最近传奇华人数学家张益唐取得了突破性结果他的论文显示对于某一个小于千万的数字N存在无穷多的素数对他们之间的差小于N重要的是张的方法可以改进进一步缩小N值据称Tao等人最近热衷于此工作且N值已经被缩小到以内大家可以在网上搜搜相关信息。约定p始终代表素数,zs表示复数。记()xpi表示不超过x的素数的个数所谓素数定理指下面极限表达式()limlnxxxxpirarrinfin=或者()~lnxxxpi这个结果是惊人的尽管素数分布似乎没什么规律但其个数的分布却有渐进规律。为了叙述方便先引进两个重要的函数:函数Lilnxdtxt=int(这是一个非初等积分)由高斯引入的利用罗比达法则可知Lilimlnxxxxrarrinfin=函数lix按如下方式定义lilimlnxdtxtetaetaetaminusrarr=intint两者之间的关系是:Lililixx=minus其中liasymp与前人思路不同高斯不是简单研究()xpi的数值分布特点而是考察比值()xxpi的分布特点猜测是否有简单函数()xϕ来近似代替。按数学家迪厄多内的说法高斯考虑(,)xx内的所有素数通过大量的计算高斯从数值表中观察到当x很大时有下面的近似性质:()()xxpipiminus正比于lnx高斯猜想Lix可以作为()xpi的渐进表达式数值计算也支持这一猜想。表格出自华罗庚的《数论导引》高斯这一深刻的发现一方面包含辛勤的计算劳动同时体现了高斯的敏锐数学直觉。笔者当初阅读文献时第一感觉是高斯似乎在寻找素数分布的某种概率分布(笔者下意识想到了高斯与正态分布)正确地说高斯是在寻找素数的某种密度函数分布(近似表达式)。同一时期法国数学家勒让德(此人数学上经常与高斯撞车)也发现了素数分布近似关系()~(ln)xxxBpiminus其中B是一个常数。数学史上一般认为勒让德和高斯是素数定理的ldquo发现者rdquo(他们没有给出数学证明)。有没有比数值计算更有逻辑一些的近似推导来猜测出素数定理的表达式呢?数学家柯朗在《什么是数学》一书中给出一种从统计方法角度来猜测素数定理的探索途径。总的方针是寻找:一个简单连续函数()xϕ使得对较大的数a与b有近似关系()()()babaxdxpipiϕminusasympint当然如果对较大的数x有近似表达式()()xxtdtpiϕasympint就更好了!严格说满足上述要求的简单函数()xϕ未必存在至少不能预先知道。不过从数学和谐角度看可以假设这样的()xϕ存在下面我们通过形式推导来猜一猜()xϕ的表达式。初等数论中有一个关于阶乘!n的定理即素数p是!n的一个素因子则p作为因子的次数ldquo约为rdquo(当整数n很大时)pnnnnnnnpppppppalpha=sdotsdotsdotasympsdotsdotsdot=minus这里x表示不超过x的最大整数。可以证明满足pnle的所有素数均为阶乘!n的因子反之亦然。于是!pnppnpnnppalphaminuslele=asympprodprod根据数学分析中的斯特林公式ln!n近似等于lnnn故lnlnpnpnpleasympminussum用x代替n得到近似表达式lnlnpxpxpleasympminussum因而对上式右边进行近似(估计)是一个突破口。考虑区间,)x其内的素数按照从小到大顺序排列为mppp=sdotsdotsdot因为ln()xxminus是减函数所以在区间,)iipp上有lnlnln()()()iiiiiippppiipipippttdttdttdtptpϕϕϕleleminusminusminusintintint根据假设()xϕ应该使得()iipptdtϕasympint(对较大的素数ip)对上面不等式在区间,)x内的素数求和得到ldquo近似rdquo表达式lnln()xpxtptdttpϕleasympminusminussumint这个近似关系自然不是很严格但在形式推导之中还是有启迪作用的(至少比没有方向强)。下一步ldquo大胆假设rdquolnln()xtxtdttϕ=minusint等式两边对x求导得到()lnxxxxϕminus=当x较大时()xxminusasymp因此猜测:当x较大时Lilnxdtxt=int作为()xpi的近似表达式是一种可能。有了猜测结果可以通过数值计算来验证一下。幸运的

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