2019年最新高考数学二轮复习：第1部分_重点强化专题_专题5_突破点11_直线与圆_有答案

专题五　平面解析几何建知识网络　明内在联系[高考点拨]　平面解析几何是浙江新高考的重点内容，常以“两小一大”呈现，两小题主要考查直线与圆的位置关系．双曲线的图象和性质(有时考查抛物线的图象和性质)，一大题常考查以椭圆(或抛物线)为背景的图象和性质问题．基于上述分析，本专题将从“直线与圆”“圆锥曲线的定义、方程、几何性质”“圆锥曲线中的综合问题”三条主线引领复习和提升．突破点11　直线与圆(对应学生用书第41页)[核心知识提炼]提炼1圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.(2)圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F＞0，表示以提炼2求解直线与圆相关问题的两个关键点　(1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理．(2)两个公式：点到直线的距离公式d＝提炼3求距离最值问题的本质　(1)圆外一点P到圆C上的点距离的最大值为|PC|＋r，最小值为|PC|－r，其中r为圆的半径．(2)圆上的点到直线的最大距离是d＋r，最小距离是d－r，其中d为圆心到直线的距离，r为圆的半径．(3)过圆内一点，直径是最长的弦，与此直径垂直的弦是最短的弦．[高考真题回访]回访1　两条直线的位置关系1．(2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A　[若直线l1与l2平行，则a(a＋1)－2×1＝0，即a＝－2或a＝1，所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．]2．(2011·浙江高考)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.1　[∵直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，∴2－2m＝0，∴m＝1.]回访2　圆的方程3．(2016·浙江高考)已知a∈R方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(－2，－4)　5　[由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.]4．(2015·浙江高考)已知实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________．15　[∵x2＋y2≤1，∴2x＋y－4<0,6－x－3y>0，∴|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝10－3x－4y.令z＝10－3x－4y，如图，设OA与直线－3x－4y＝0垂直，∴直线OA的方程为y＝联立∴当z＝10－3x－4y过点A时，z取最大值，zmax＝10－3×5．(2013·浙江高考)如图11­1，点P(0，－1)是椭圆C1：图11­1(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．[解]　(1)由题意得所以椭圆C的方程为(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.6分又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝所以|AB|＝2又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.由故x0＝－设△ABD的面积为S，则S＝所以S＝所以所求直线l1的方程为y＝±回访3　直线与圆、圆与圆的位置关系6．(2014·浙江高考)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　　)A．－2B．－4C．－6D．－8B　[由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r＝7．(2013·浙江高考)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于__________．48．(2015·浙江高考)如图11­2，已知抛物线C1：y＝图11­2(1)求点A，B的坐标；(2)求△PAB的面积．[解]　(1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t).2分由由于直线PA与抛物线相切，得k＝t.3分因此，点A的坐标为(2t，t2)．设圆C2的圆心为D(0,1)，点B的坐标为(x0，y0)．由题意知：点B，O关于直线PD对称，故解得(2)由(1)知|AP|＝t·直线PA的方程为tx－y－t2＝0.点B到直线PA的距离是d＝设△PAB的面积为S(t)，则S(t)＝(对应学生用书第43页)热点题型1　圆的方程题型分析：求圆的方程是高考考查的重点内容，常用的方法是待定系数法或几何法.【例1】　(1)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为________．(2)已知⊙M的圆心在第一象限，过原点O被x轴截得的弦长为6，且与直线3x＋y＝0相切，则圆M的标准方程为________．(1)x2＋设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2.依题意，得所以圆C的方程为x2＋(2)法一：设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a＞0，b＞0，r＞0)，由题意知解得法二：因为圆M过原点，故可设方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0，又被x轴截得的弦长为6且圆心在第一象限，则故⊙M的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.][方法指津]求圆的方程的两种方法1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．[变式训练1]　(1)(2017·温州市普通高中高考模拟考试)圆x2＋y2－2y－3＝0的圆心坐标是________，半径是________．(2)抛物线y2＝4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程为________．(1)(0,1)　2　(2)(x－1)2＋y2＝4　[(1)化圆的一般式方程为标准方程，得x2＋(y－1)2＝4，由此知该圆的圆心坐标为(0,1)，半径为2.(2)由题意知，A(1,2)，B(1，－2)，M(－1,0)，△AMB是以点M为直角顶点的直角三角形，则线段AB是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.]热点题型2　直线与圆、圆与圆的位置关系题型分析：直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的热点内容，解决的方法主要有几何法和代数法.【例2】　(1)已知直线l：mx＋y＋3m－4　[由直线l：mx＋y＋3m－由|AB|＝2画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝(2)(2017·金华十校联考)如图11­3，已知圆G：(x－2)2＋y2＝r2是椭圆①求圆G的半径r；②过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G相切．图11­3[解]　①设B(2＋r，y0)，过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H.由即y0＝而B(2＋r，y0)在椭圆上，y由①②式得15r2＋8r－12＝0，解得r＝②证明：设过点M(0,1)与圆(x－2)2＋y2＝则解得k1＝将③代入8分设F(x1，k1x1＋1)，E(x2，k2x2＋1)，则x1＝－则直线FE的斜率为kEF＝于是直线FE的方程为y＋即y＝15分[方法指津]1．直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离，利用勾股定理计算．2．弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝2(2)根据公式：l＝(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解．[变式训练2]　(1)(2017·金丽衢十二校高三第二次联考)如图11­4，圆M和圆N与直线l：y＝kx分别相切于A，B，与x轴相切，并且圆心连线与l交于点C，若|OM|＝|ON|且【导学号：68334120】图11­4A．1　　　B.C.D　[分别过点M，N作x轴的垂线，垂足分别为E，F.由题意，得△MAC∽△NBC，由(2)已知点M(－1,0)，N(1,0)，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N距离的①求曲线E的方程；②已知m≠0，设直线l1：x－my－1＝0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx＋y－m＝0交曲线E于B，D两点．C，D两点均在x轴下方．当CD的斜率为－1时，求线段AB的长．[解]　①设曲线E上任意一点坐标为(x，y)，由题意，整理得x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3为所求.4分②由题知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N(1,0)，设曲线E的圆心为E，则E(2,0)，线段CD的中点为P，则直线EP：y＝x－2，设直线CD：y＝－x＋t，由由圆的几何性质，|NP|＝而|NP|2＝|EP|2＝又C，D两点均在x轴下方，直线CD：y＝－x.由设C由(u2＋1)x2－2(u2＋2)x＋u2＋1＝0，(*)方程(*)的两根之积为1，所以点A的横坐标xA＝2＋直线l1：y＝(同理可得，B(2－