阿诺尔德谈数学教育（SCIbird评注）

阿诺尔德谈数学教育（评注版）V.I.Arnold地点：PalaisdeDécouverteinParis时间1997年3月7日SCIbird注：本文是自己少有的看过十遍以上的半科普数学文章，虽然我至今不完全认同文章里的观点，但不得不承认这篇文章对我的数学思维影响极大，哪怕过了10年仍然如此。所以这里根据网上的文字资料，作一些补充评注。为区别起见，阿诺尔德本人的文字用宋体和黑体字，自己加入的评注用楷体字。数学大师阿诺尔德数学是物理的一部分。物理学是一门实验科学，它是自然科学的一部分。而数学是物理学中只需要花费较少的代价进行实验的那一部分。例如Jacobi恒等式（保证三角形三条高交于一点）就是一个实验事实，正如同地球是圆的（即同胚于球体）这样的事实一样。但是发现前者却要比发现后者需要较少的代价。雅可比恒等式：[[,],][[,],][[,],]0ABCBCACAB++=这里[,]ABABBA=−表示李括号（也称泊松括号）。在20世纪中叶，人们试图严格地区分物理与数学。其造成的后果是灾难性的。整整一代的数学家在对他们所从事的科学的另一半及其无知的情况下成长，当然，对其他的科学就更无知了。这些人又开始把他们的丑陋的学院式的伪数1学教给他们的学生，接着这些丑陋的伪数学又被交给中 小学 小学生如何制作手抄报课件柳垭小学关于三违自查自纠报告小学英语获奖优质说课课件小学足球课教案全集小学语文新课程标准测试题 校里的孩子们（他们完全忘记了Hardy的警告：丑陋的数学在阳光下不可能总有藏身之处）。既然那些从物理学中人为挖出来的学院式的数学既无益于教学，又对其他的科学毫无用处，结果可以想见，全世界的人都讨厌数学家（甚至包括那些被他们教出来的可怜的学校里的孩子们以及那些运用这些丑陋数学的人）。这些先天不足的数学家被他们所患的低能症候群折腾的筋疲力尽，他们无能对物理学有个起码的了解。令人们记忆犹新的由他们建造的一个丑陋建筑物就是“奇数的严格公理化理论”。很显然，完全可能创造这样一种理论，使得幼稚的小学生们敬畏它的完美及其内部构造的和谐（例如，这种理论定义了奇数个项的和以及任意个因子的乘积）。从这种偏执狭隘的观点来看，偶数或者被认为是一类“异端”，或者随着时间流逝，被用来作为该理论中几个“理想”对象的补充（为了遵从物理与真实世界的需要）。很不幸的是，这种理论只是数学中一个丑陋而变态的构造，但却统治了我们的数学教育数十年。它首先源自于法国，这股歪风很快传播到数学基础的教学里，先是毒害大学生，接着中小学生也难免此灾（而灾区最先是法国，接着是其他国家，包括俄罗斯）。如果你问一个法国的小学生：“2＋3等于几？”，他（她）会这样回答：“等于3＋2，因为加法运算是可交换的”。他（她）根本不知道这个和等于几，甚至根本不能理解你在问他（她）什么！还有的法国小学生会这样定义数学（至少我认为很有可能）：“存在一个正方形，但还没有被证明”。据我在法国教学的经验，大学里的学生对数学的认识与这些小学生也差不多（甚至包括那些在“高等师范学校（ENS）”里学习数学的学生－－我为这些显然很聪明但却被毒害颇深的孩子们感到极度的惋惜）。例如，这些学生从未见过一个抛物面，而且一个这样的问题：描述由方程2xyz=所给出的曲面的形状，就能使那些在ENS中研究的数学家们发呆半天；而如下问题：画出平面上由参数方程（例如3423,2xttytt=−=−）给出的曲线，对学生来说是不可能完成的（甚至对大多数法国的数学教授也一样）。从洛必达的第一部微积分的入门教科书直到Goursat写的课本，解这些问题的能力（和熟悉单位数99×乘法表一样）都被认为是每个数学家应具备的基本技能。2那些喜欢挑战大脑的所谓“抽象数学”的狂热者们，把所有在数学中能与物理和现实经常发生联系的几何统统排除在教学之外。由Goursat,Hermite,Picard等人写的微积分教程被认为是有害的，最近差点被巴黎第6和第7大学的图书馆当垃圾丢掉，只是在我的干预下才得以保存。Goursat写的微积分教程（英译本）ENS的听完所有微分几何与代数几何课程的学生（分别被不同的数学家教的），却既不熟悉由椭圆曲线23yxaxb=++决定的黎曼曲面，也不知道曲面的拓扑分类（更别提第一类椭圆积分和椭圆曲线的群性质了，即Euler-Abel加法定理）。他们仅仅学到了Hodge结构以及Jacobi簇！椭圆曲线23yxaxb=++决定的黎曼曲面复椭圆曲线[]EC椭圆函数单值化：23()4()()zzAzB′℘=℘+℘+3212122(,)(02,0)111()()()mnzzzmnmnωωωω≠⎡⎤⎢⎥℘=+−⎢⎥−−+⎣⎦∑曲面的拓扑分类定理：每个可定向的二维闭曲面，拓扑等价于一个具有g个环柄的球面。“洞数”g称之为亏格(0,1,2,3g=)对于每个不可定向的二维闭曲面，拓扑等价于一个具有k个莫比乌斯交叉帽的球面。第一类椭圆积分：22222(1)(1)1sindzdzkzkϕϕ=−−−∫∫Euler-Abel加法定理推测是关于Abel积分的。Abel积分(,)Rzwdz∫其中，R是有理函数，w是z的代数函数，即满足多项式方程:(,)0Cpzw=,C一般称作代数曲线。椭圆积分是Abel积分特例。Abel积分的有限和一般不4可能用同一个类型的积分（加上代数或对数函数）表示，而是需要g个这类积分才行。这里g为:(,)0Cpzw=对应Riemann曲面的亏格。关于“椭圆曲线的群性质”这一点，个人猜测应该是指椭圆曲线上可以定义“加法”，由此形成一个Abel群。椭圆曲线上的加法群椭圆曲线上取定,PQ两点，连接,PQ两点的直线交椭圆曲线于第三点R′，R′关于x轴的对称点定义为：:RPQ=+（也在椭圆曲线上）。如果PQ垂直x轴呢？这时我们引入无穷远点，记作椭圆曲线上的零点O。做如上约定后，可以证明过椭圆曲线上任意两点的直线必交于曲线上第三点，所以我们定义的加法PQ+确实有意义（PP+情形就取切线），且PQQP+=+.这样的现象竟然会在法国出现！这个国家可是为整个世界贡献了诸如数学大师Lagrange,Laplace,Cauchy以及Poincaré,Leray还有Thom这些顶级的伟大人物啊！对我而言，一个合理的解释来自彼得罗夫斯基,他在1966年曾教导过我：真正的数学家决不会拉帮结派，只有弱者为了生存才会加入帮派。他们可能因各种原因而联合（可能会是超级的抽象，反犹太主义或者“应用的和工业上的”问题），但其本质总是在一些非数学的社会问题中求生存。我在此向大家顺便提一下生物学家巴斯德的忠告：从来没有所谓的“应用科学”，有的只是科学的应用（而且非常实际的应用！）长久以来我一直对彼得罗夫斯基的话心存疑虑，但是现今我越来越肯定他说的一点没错。那些超级抽象活动的相当大的部分正在堕落到以工业化的模式无耻地掠夺那些原创者的成果，然后系统地将这些成果归功于拙劣的推广者。就5彷佛美洲新大陆不以哥伦布的名字命名一样，数学结果也几乎从未以它们真正的发现者来命名。为避免被错误引用，我不得不在此声明我自己的一些成果由于莫名其妙的原因就被以上述方式无偿征用，其实这样的事情经常在我的老师（Kolmogorov柯尔莫哥洛夫,Petrovskii,Pontryagin,Rokhlin）和我的学生身上发生。M.Berry教授曾经提出过如下两个原理：Arnold原理：如果某个理念中出现了某个人名，则这个人名必非发现此理念者的名字。Berry原理：Arnold原理适用于自身。不过，我们还是说回法国的数学教育上来。当我还是莫斯科大学数力系的 一年级 小学一年级数学20以内加减练习题小学一年级数学20以内练习题小学一年级上册语文教学计划人教版一年级上册语文教学计划新人教版一年级上册语文教学计划 新生时，集合论的拓扑学家L.A.Tumarkin教我们微积分，他在课堂上很谨慎地一遍又一遍地讲述古老而经典的Goursat版的法语微积分教程（见前面）。他告诉我们：有理函数沿着一条代数曲线的积分可以求出来，如果该复代数曲线对应的黎曼面是一个球面。而一般来说，如果该曲面的亏格更高这样的积分将不可求。不过对球面而言，只要在一个给定度数的曲线上有充分多的二重点doublepoints就足够了（即要求该曲线是unicursal：即可以将其实点在射影平面上一笔画出来）。这些事实给我们造成多么深刻的印象啊（即使没有给出证明），它们给了我们非常优美而正确的现代数学的思想，比那些长篇累牍的Bourbaki学派的论著不知道好到哪里去了。说真的，我们在这里看到了那些表面上完全不同的事物之间存在着令人惊奇的联系：一方面，对于相应的黎曼面上的积分与拓扑存在着显式的表达式，而另一方面，在二重点的个数与相应的黎曼面的亏格之间也有重要的联系。回到Abel积分(,)Rzwdz∫其中，R是有理函数，w是z的代数函数，即满足多项式方程:(,)0Cpzw=,C一般称作代数曲线。特别地，如果代数曲线:(,)0Cpzw=对应的紧Riemann曲面亏格0g=，则Abel积分(,)Rzwdz∫可积。6这个定理之所以成立源自如下性质：当且仅当代数曲线:(,)0Cpzw=对应的紧Riemann曲面亏格为0，则存在有理变换(),()ztwtϕψ==使得:((),())0Cpttϕψ=，此时(,)((),())()RzwdzRtttdtϕψϕ′=∫∫可积（单参数有理函数可积）。作为例子：考虑有理三角函数积分的(sin,cos)Rxxdx∫利用万能 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ，令2tanxt=,则2222212sin,cos,111ttdtxxdxttt−===+++于是2222212,111(sin,cos)()tttttRxxdxRdt−+++=∫∫等式右边是有理函数，是可积的。当Riemann曲面亏格不为0时，不存在有理变换(),()ztwtϕψ==，此时对应的Abel积分一般不可积。举个具体例子，因为2/1dxx∫−和3/1dxx∫−对应的Riemann曲面亏格分别为0和1，所以前者可积，后者不可积。阿诺尔德的文章里提到了doublepoints，即二重点。代数曲线中常见的简单奇点有两类：尖点和二重点。其对应的图形大致如下：7对于n次不可约代数曲线:(,)0Cpzw=，其尖点数为c，二重点数为d，则对应的亏格公式为(1)(2)2nngcd−−=−−由此可知，次数大于3的代数曲线亏格也可能为0.阿诺尔德文章里说的unicursal曲线，即无尖点且二重点数为12(1)(2)nn−−的亏格0双有理代数曲线。另外，阿诺尔德在技术内容以外，经常以“炮轰Bourbaki学派”闻名。这样的例子并不鲜见，作为数学中最迷人的性质之一，Jacobi曾指出：用同一个函数就既可以理解能表示为4个数平方和的整数的性质，又可以描述一个单摆的运动。这些不同种类的数学对象之间联系的发现，就好比在物理学中电与磁之间联系的发现，也类似于地质学上对美洲大陆的东海岸与非洲大陆的西海岸之间相似性的发现。四平方问题：将正整数n表示成4个整数的平方和22221234xxxxn+++=有多少种整数解1234(,,,)xxxx?记解数为4()Nn，Jacobi将4()Nn与θ−级数联系起来。定义22221()12izninznnzeeππθ+∞∞=−∞===+∑∑8利用级数乘法，Jacobi证明了4420()()inznzNneπθ∞==∑θ−级数也能建立与Jacobi椭圆函数sn,cn,dnuuu之间的关系，后面三个函数与无阻尼单摆运动精确解有关。这些发现对于教学所具有的令人激动的非凡意义是无法估量的。正是它们指引着我们去研究和发现宇宙中和谐而精彩的现象！然而，数学教育的非几何化以及与物理学的分离却割断了这种联系。例如，不仅仅学习数学的学生而且绝大部分的代数几何学家都对以下提及的Jacobi事实一无所知：一个第一类型的椭圆积分表示了相应的哈密顿系统中沿某个椭圆相曲线的运动所走的时间。我们知道圆内旋轮线就如同多项式环中的理想一样是无穷无尽的。但是如果要把理想这个概念教给一个从未见过任何圆内旋轮线的学生，就好比把分数加法教给一个从来没有把蛋糕或苹果等分切割过（至少在脑子里切过）的学生一样令人迷惑。一点也不奇怪孩子们将会倾向于同时分子加分子分母加分母。??bdbdacac++=+内摆线：一个动圆内切于一个定圆作无滑动的滚动，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做内摆线。关于内摆线的详尽资料见《形形色色的曲线》这本书。内摆线特例9从我的法国朋友那里我听说这种超级抽象的一般化正是他们国家的传统特色。我却不会完全不赞成这种遗传病的说法，不过我还是愿意强调那个从数学大师庞加莱Poincaré那儿借来的“蛋糕与苹果”的例子。数学大师庞加莱构造数学理论的方式与其它的自然科学并没有什么不同。1.我们要考虑一些对象并对一些特殊的事例进行观察。2.我们通过试验找到所得观察结果适用的边界，寻找反例以阻止我们将所得想当然地推广到过于广泛的情形。我们尽可能清晰地将所得经验发现（如费马猜想和庞加莱猜想）表述为结论。这之后的阶段将是相当困难的，因为要检验所得结论在多大程度上可靠。就这一点来说，数学上已经发展出了一套特别的技术。这种技术，当被运用于现实世界时，有时候很有用，但有时候也会导致自欺欺人。这样的技术被称为“建模”。当构造一个模型时，要进行如下的理想化（模型假设）：某些只能以一定概率或一定的精确性了解的事实，往往被认为是“绝对”正确的并被当作“公理”来接受。这种“绝对性”的意义恰恰是，在把所有我们可以借助这些事实得出的结论称为定理的过程中，我们允许自己依据形式逻辑的规则来运用这些“事实”。显然在任何现实的日常生活中，我们的活动要完全依赖于这样的推理是不可能的。原因至少在于所研究的现象的参数决不可能被绝对准确地确定，并且参数的微小变化（例如过程初始条件的微小改变）可能会完全地改变结果。由于10这个原因我们可以说任何长期的天气预报都是不可能的，无论我们把计算机造的有多高级或是记录初始条件地仪器有多灵敏，这永远也办不到。这一段说得是混沌效应。此外，阿诺尔德对微分同胚群曲率估计表明，两周后初始条件误差会达到1510量级，因而15天后的全球天气本质上是不可预测的。与此完全一样的是，（不可能完全可靠的）公理的一个小小的改变，通常能得出与从这些公理推导出来的定理完全不同的结论。推导的链条（即所谓的“证明”）越长越复杂，最后得到的结论可靠性越低。复杂的模型几乎毫无用处（除了对专写 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 的人）。这一段的后半句话争议较大，不过根据自己的经验，复杂模型确实天生不稳定，而在实践应用中，稳定性往往优先于精确性。一个例子是实际数值计算中很少使用高阶差分算法，主要原因是稳定性太差。所以大家更常使用1阶或2阶差分算法。数学建模的技术对这种麻烦故意忽略，并且还不断地吹嘘他们得到的模型，似乎它们真的就与现实世界吻合。事实上，从自然科学的观点看,这种途径是显然不正确的，但却经常导致很多物理上有用的被称为“数学在自然科学中不合理的有效性”（或叫做“Wigner原理”）。我在此再提一下盖尔方德先生的一句话：还有另一类现象与以上Wigner所指的物理中的数学具有相仿的不可思议的有效性，即生物学中用到的数学也是同样令人难以置信的有效。对一个物理学家而言，“数学教育所致的不易察觉的毒害作用”（F.Klein原话）恰恰体现在由现实世界抽离出的被绝对化了的模型，却与现实已不再相符。举一个简单的例子：数学知识告诉我们Malthus方程/dxdtx=的解是由初始条件唯一决定的（也即相应的位于(,)tx－平面上积分曲线彼此不交）。这个数学模型的结论显得与现实世界几乎没有关系。而计算机模拟实验却显示所有这些积分曲线在t的负半轴上有公共点。事实上，具有初始条件(0)0x=和(1)1x=的曲线在10t=−相交，其实在100t=−时，你压根就不可能在两条曲线之间再插入一个原子。欧式几何对这种空间在微小距离下的性质没有任何描述。在这种情况下，唯一性定理显然已经超出了模型所能容许的精确程度。在对模型的11实际运用中，这种情形必须要加以注意，否则可能会导致严重的麻烦。上面这段话是所有所谓“应用数学”必须注意的，因为现实世界不存在数学那种无穷小，甚至是宏观物理中广泛使用的“连续性介质假设”严格说也是不存在的。阿诺尔德举出的计算机绘图曲线例子，表明现实世界的曲线是有“宽度”的，在实际运用中必须考虑模型容许的精度，单纯从数学角度考虑极易闹出笑话（特别是金融领域）。我还想说的是，这个唯一性定理也可解释为何在船只在停泊码头前的靠岸阶段为什么必须得依靠人工操作：如果机动，设行进的速度是距离的光滑（线性）函数，则整个靠岸的过程将会耗费无穷长的时间。否则只能采取与码头相撞（当然船与码头之间要有非理想弹性物体形成缓冲，比如轮胎）。顺便说一下，我们必须非常重视这类问题，例如月球和火星探测器着陆以及空间站的对接时，此类问题曾严肃地摆在我们面前----此时唯一性问题与我们对着干。不幸的是，在现代数学的教科书里，即使是较好的一类课本里，既没有这样的例子，也没有对这种令人迷信的定理所隐藏的危险性进行讨论。我甚至已经形成了这样的印象，那些学院派数学家（对物理知识知之甚少）都对公理化形式的数学与建模的主要差异习以为常，而且他们觉得在自然科学中这是很普遍的，只是需要用后期的实验来控制理论推演。我想用不着去提什么初始公理的相对特征，人们也都不会忘记在冗长的论证中犯逻辑错误是在所难免的（例如，宇宙射线或量子振动所引发的计算机崩溃）。任何做研究的数学家都知道，如果不对自己有所控制（最好的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 是用实例来控制），那么在大约10页论述之后所有公式中的记号有半数都会出问题，而数字2会从分母上跑到分子上。与这样的谬误相抗的技术在任何实验科学中一样，都是通过实验与观察进行外部控制。而且这一技术应该从一开始就教给所有大学低年级的学生。试图创造所谓的“纯粹”推论式公理化数学的做法，导致了摒弃物理学中的研究模式（观察-建模－模型研究－得出结论－再由观察检验模型）取而代之的是这样的方法：定义－定理－证明的模式。人们根本不可能理解一个毫无来由的定义，但我们却无法阻止这些“代数－公理学家”违规。例如，他们总是想用长乘规则的手段来定义自然数的乘积。但这样一来，乘法的交换性却难以证12明，不过从一堆的公理中仍有可能推导出这样的定理。而且完全可能逼着那些可怜的学生们来学习这个定理以及它的证明（其目的不外乎是提升这门学科以及教授它的人的地位）。显然，这种定义和这样的证明对教学和实际工作有百害而无一益。理解乘法交换性的唯一可能的方式，打个比方就是分别按行序和列序来数一个方阵里士兵的人数，或者说用两种方式来计算长方形的面积。任何试图只做不与物理和现实世界打交道的数学都属于宗派主义和孤立主义，这必将破坏所有具有合理思维能力的人们眼中数学创造是有用的人类活动的这一美好印象。我将再揭示几个这样的秘密（可怜的学生们对此很有兴趣）。一个矩阵的行列式就是一个平行多面体的（定向的）体积，这个多面体的每条边就对应矩阵的列。如果学生们得知了这个秘密（在纯粹的代数式的教育中，这个秘密被小心地隐藏了起来），那么行列式的整个理论都将成为多维线性形式理论的一部分。如果用别的方式来定义行列式，则任何敏感的人都将会永远恨死了诸如行列式，Jacobi矩阵，以及隐函数定理这些鬼东西。以OA与OC为列向量的矩阵行列式等于平行四边形OABC所围有向面积一个群又是什么东东呢？代数学家们会这样来教学：这是一个假设的集合，具有两种运算，它们满足一组容易让人忘记的公理。这个定义很容易激起一个自然的抗议：为何会需要这一对运算？“哦，这种数学去死吧”－－这就是学生的反应（他们中有人很可能将来就成为国家科学部长）。如果我们的出发点不是群而是变换的概念（一个集合到自身的1－1映射），13则我们绝对将得到不同的局面，这也更符合数学史的发展顺序。所有变换的集合被称为一个群，其中任何两个变换的复合仍在此集合内并且每个变换的逆变换也如此。这就是定义的关键所在。那所谓的“公理”事实上不过是变换群所具有的显然的性质。公理化的倡导者所称的“抽象群”不过是在允许相差同构（保持运算的1－1映射）意义下的不同集合的变换群。正如Cayley所证明的，世界上根本就不存在“更抽象的”群。那么为什么那些代数学家仍要用抽象的定义来折磨这些饱受痛苦的学生们呢？顺便提一句，在上世纪60年代我曾给莫斯科的中小学生们讲授群论。我回避了任何的公理，尽可能的让内容贴近物理，在半年内我就教给了他们关于一般的五次方程不可解性的Abel定理（以同样的方式，我还教给了小学生们复数、黎曼曲面、基本群以及代数函数的单值群）。这门课程的内容后来由我的一个听众V.Alekseev组织出版了，名为Abel’sTheoreminProblemsandSolutions.一个光滑流形又是什么东东呢？最近我从一本美国人的书中得知庞加莱对此概念并不精通（尽管是由他引入的），而所谓“现代的”定义直到上世纪20年代才由Veblen给出：一个流形是一个拓扑空间满足一长串的公理。学生们到底犯了什么罪过必须经受这些扭曲和变形的公理的折磨来理解这个概念？事实上，在庞加莱的原著《位置分析》（AnalysisSitus，有英译本）中，有一个光滑流形的绝对清晰的定义，它要比这种抽象的定义有用的多。14一个欧氏空间NR中的k维光滑子流形是一个这样的子集，其每一点的一个邻域是一个从kR到Nk−R的光滑映射的图象（其中kR和Nk−R是坐标子空间）。这样的定义是平面上大多数普通光滑曲线（如圆周221xy+=）或三维空间中曲线和曲面的直接的推广。f图像：3(){(,()):}graphfxfxxU=∈∈R这里取3N=和2k=.令U为平面上一开集，函数:fU→R.则上面的函数图像()graphf就是3R中的2维光滑子流形。因为对于一般的k维微分流形由Whitney嵌入定理知可以嵌入到21k+R维空间，所以微分流形确实可以看做曲面在欧氏空间中的推广。光滑流形之间的光滑映射则是自然定义的。所谓微分同胚则是光滑的映射且其逆也光滑。所谓“抽象的”光滑流形就是欧氏空间的允许相差一个微分同胚意义下的光滑子流形。世界上根本不存在所谓“更抽象的”有限维的光滑流形（Whitney嵌入定理）。为什么我们总是要用抽象的定义来折磨学生们呢？把闭二维流形（曲面）的分类定理证给学生们看不是更好吗？恰恰是这样的精彩定理（即任何紧的连通的可定向的曲面都是一个球面外加若干个环柄似的把手）使我们对现代数学是什么有了一个正确的印象，而不是那些对欧氏空间的简单的子流形所做的超抽象的推广，事实上后者压根没有给出任何新的东西，不过是用来展示一下那些公理化学者们成果的蹩脚货。曲面的分类定理是顶级的数学成就，堪与美洲大陆或X射线的发现媲美。这是数学科学里一个真正的发现，我们甚至难以说清到底所发现的这个事实本身对物理学和数学哪一个的贡献更大。它对应用以及对发展正确的世界观的非凡意义目前已超越了数学中的其他的“成就”，诸如对费马大定理的证明，以及对任何充分大的整数都能表示成三个素数和这类事实的证明。15阿诺尔德这段话似乎贬低了费马大定理的证明，其实不妥。费马大定理的证明过程远比结论深刻的多，融合了几何、分析、代数三大数学分支。费马大定理(FLT)：当自然数2n>时，不定方程nnnxyz+=没有满足0xyz≠的整数解。数学家们将问题缩小到讨论np=情形，这里5p≥为素数。如果费马大定理不成立，我们取这样一组非零互素整数解(,,)abc，满足：素数5p≥，0pppabc++=，b是偶数，43ak=+.由此可以定义出一条特殊的椭圆曲线：2,,()()ppabcEyxxaxb=−+:这条椭圆曲线现在一般称为Frey曲线，它是椭圆曲线的特例，后者指三次曲线232yAxBxCxD=+++其中，系数,,,ABCD为有理数且0A≠.这些系数还满足等式右边没有重根。对椭圆曲线，数学家们证明了两个定理：A：Frey曲线若存在，则不能被模函数单值化；（Ribet）B：Frey曲线若存在，则可以被模函数单值化。（Wiles）这里单值化是指：如果存在具有相同水平N的非常数模函数()fz和()gz，使得232()()()()fzAgzBgzCgzD=+++则称椭圆曲线232yAxBxCxD=+++被模函数单值化。而模函数()jτ是指诸如满足关系(()/())()jabcdjτττ++=的亚纯函数。其中，,,,abcd∈且1,0(mod)adbccN−=≡,0τ>Im.作为类比，可以考虑三角函数sin,cosxzyz==单值化单位圆22sincos1zz+=.容易看出定理A与定理B是互相矛盾的，这说明Frey曲线不存在，从而由反证法知费马大定理为真。实际上证明定理A和B时主要使用了伽罗瓦表示这一强大的数学工具，用的是典型的代数方法。费马大定理的证明过程融合了几何、分析、代数三大数学分支。为了出风头，当代的数学家有时候总要展示一些“运动会式的”成就，并声称那就是他们的学科里最后的难题。可想而知，这样的做法不仅无助于社会对数学的欣赏，而且恰恰相反，会使人们产生怀疑：对于这样的毫无用处的奇异问题，有必要浪费力量来做这些（彷佛攀岩似的）练习吗？16曲面的分类定理应该被包含在高中数学的课程里（可以不用证明），但不知为什么就连大学数学的课程里也找不到（顺便一下，在法国近几十年来所有的几何课程都从大学课程里被删除了）。在各个层次上，数学教育由学院的特征转回到表述自然科学的重要性的特征，对法国而言是一个极其重要的任务。使我感到很震惊的是那些最好的也是最重要的条理清晰的数学书，在这儿几乎都不为学生们所知（而依我看它们甚至可能没有被译成法语）。这些书中有Rademacher和Toplitz写的《Numbersandfigures》；Hilbert和Cohn-Vossen写的《几何直观》；Courant和Robbins写的《什么是数学》；Polya写的《怎样解题》和《数学合情推理》；F.Klein写的《数学在19世纪的发展》。我清晰地记得在学校时，Hermite写的微积分教程（有俄语译本）给我留下了多么强烈的印象。我记得在其最开始的一篇讲义中就出现了黎曼曲面（当然所有分析的内容都是针对复变量的，也本该如此）。而渐进积分理论是在分支点运动下通过黎曼曲面上道路形变的方法来研究（如今，我们称此方法为Picard-Lefschetz理论。顺便提一下，Picard是Hermite的女婿－－数学能力往往是由女婿来传承：Hadamard-P.Levy-L.Schwarz-U.Frisch这个王朝就是巴黎科学院中另一个这样的范例）。由Hermite一百多年前所写的所谓的“过时的”教程（也许早就被法国大学的学生图书馆当垃圾扔掉了）实际上要比那些如今折磨学生们的最令人厌烦的微积分课本现代化的多。如果数学家们再不醒悟，那么那些对（最恰当意义上的）现代数学理论仍有需要，同时又对那些毫无用处的公理化唠叨具有免疫力（任何具有合理思维的人共有的特点）的消费者们会毫不犹豫地拒绝这些中学和大学里面教育不良的学究们所提供的服务。一位数学教师，如果至今还没有掌握至少几卷Landau和Lifshitz著的物理学教程，他（她）必将成为一个古董，就好似如今一个仍不知道开集与闭集差别的人。朗道十卷，令人望而止步。弱水三千，只取一瓢。17我欠阿诺尔德一篇文章SCIbird过年了，整理一篇旧文以弥补某些遗憾。写完科普小说《遇见喜欢数学的女孩》之后，发现在数学方面有两个遗憾：1、是没有借机会在《遇见》里点评下《数学分析新讲》；2、提到了数学大师Grothendieck，却竟然漏掉了数学大师阿诺尔德。在我看来，这两位数学大师均是直言不讳，快意恩仇的代表。我本人并非阿诺尔德粉丝，但《阿诺尔德谈数学教育》这篇文章是我少有的看过十遍的科普文章，想来断断续续也有十年了吧，他的这篇文章对我的影响极大（虽然我不完全赞同其所有观点）。读了十遍，感觉却并不相同。而直到写《遇见》时，我才第一次系统地为这篇文章写评注，部分题材写入了《遇见》第19章微积分与椭圆积分往事里（讨论Abel积分的内容）。记不得什么时候第一次听说阿诺尔德的名字了，大二or大三。也记不起来什么时候开始知道布尔巴基学派。但唯独对阿诺尔德炮轰布尔巴基的趣闻津津乐道，后来我也加入到炮轰Rudin的《数学分析原理》阵营。如今不参与类似的争论了，一方面如数学大师塞尔所言，人们误解了布尔巴基，塞尔说：“我知道把什么事（例如“新数学”）都归罪于Bourbaki是很时髦的，但这并不公正。Bourbaki没有责任，只是人们错用了他的书。这些书决不是为大学教育写的，中学教育就更谈不上了。事实上Bourbaki给出了信号，这就是Bourbaki讨论班。此讨论班的内容根本不像他们的书那么形式化。它囊括了所有数学，甚至一些物理。如果你把讨论班和书结合起来看，你就会有更适当的看法。”实际上，布尔巴基被很多二手布尔巴基坑了。就好比马克思被无数二手马克思主义研究者坑了一样。如今教育界，很多人大批布尔巴基，不过是用新的、经过包装的形式数学代替旧的形式数学一样。另一方面，看过阿诺尔德自己写的书发现，他本人写得书读起来挺费劲的。简言之，阿诺尔德不太会写书，这大概是我不愿意把他当作偶像的原因吧。不过，阿诺尔德的这篇文章写得太好了，这篇文章是所有搞“数学的应用”之人必读的。在数学建模在数学以外领域滥用的当下，再读阿诺尔德的这篇文章，可谓警钟长鸣，醍醐灌顶。既然小说《遇见》里提及了N多数学大师，为什么就不能报考阿诺尔德呢？他完全有资格。但《遇见》2.0版已经写完了，上传到互联网上了，而我从未打算写《遇见》3.0版。于是写了这篇文章，对阿诺尔德表示尊敬！其实阿诺尔德对我的影响远远大于Grothendieck，可惜这两位大师18均已不在。隔壁张筑生老师的《数学分析新讲》是SCIbird最爱的微积分教程，为此我甚至把本书写进了小说《遇见》，作为T大数学系数分教材。但不知为什么，直到写完小说，我都没发现，为什么没有在小说里添加一段男女主角讨论《新讲》的话呢？难道因为太熟悉，所以没有察觉？在国内众多数分教材中，《新讲》难度其实是中等，门槛很低。最精彩的是第三册，这也是《遇见》里男主角张辰选修数学分析课程时用的书（大二上学期）。《新讲》第三册共八章，第三章出现了Green公式，由此选了一道题作为期中考试题，这是小说《遇见》第3章中改变男主角张辰和女主角蓝明月命运的试题，由此引发了《遇见》版的蝴蝶效应。《新讲》第三册89页讲了一些微分形式内容，由此统一了Green公式为MMdωω∂=∫∫而以后学过deRham和陈类之后，更加体会到外微分这门数学工具的强大。但我感觉《新讲》里的外微分讲得不好、不透彻。后来看过一些专门讲外微分的教材，涉及交错线性泛函和张量积等内容，方法更本质，但感觉太形式化。直到后来看到阿诺尔德的《经典力学的数学方法》这本书里介绍微分形式章节后，才发现这才是我想看的写法。我建议看《新讲》的朋友先去看看阿诺尔德那篇文章，然后再去看错线性泛函和张量积等外代数内容。《新讲》第三册最后一章含参变元积分写得也略显微薄，这方面内容推荐看一看南开黄玉民和李成章的《数学分析》下册这方面内容。其它方面，《新讲》第三册无可挑剔。那么关于阿诺尔德写点什么呢？我没有想法，毕竟我对阿诺尔德远没有对高斯熟悉，最熟悉的内容可能就是本文了。但本文里直接或间接提及的Lie代数和Jacobi簇等内容也超出我的理解边界。我想，阿诺尔德对我最大的潜移默化影响是“数学精神”方面，将数学与物理融合到一起。当然，阿诺尔德那句“数学是物理的一部分”是大部分数学家不同意的（我本人也不认同），就像我并不认同Atiyah的现代物理本质上是几何的观点一样。这种带有明显哲学性质的数学观点是无法证明或证伪的。有人说，数学是一个江湖，很有道理。阿诺尔德一生坚持炮轰布尔巴基数学也有可取之处。当我第一次看到布尔巴基Style的代表---Rudin的《数学分析原理》时，那种憎恶之情比那些高考撕书的小盆友们还要强烈，Rudin那种写法19至今无法接受（虽然我现在不炮轰Rudin了）。我对《数学分析原理》的评价：一本题材很好，但写作相当糟糕的好书。当然，布尔巴基重新以GTM52的形式再生了，并且受到热捧。这种偏离了“布尔巴基本初精神”的“伪”布尔巴基仍然统治着数学系，而每一个系都有一个共同点：不愿意外系的人指手画脚。最初几年的我，以SCIbird这个ID写了不少文章试图扭转这一局面，后来意识到自己toonaive了！阿诺尔德这么NB的人都无法改变这一现状，何况吾乎？不过，我还是写了一本小书《我的数学分析积木》发到网上，试图做一些改变。不过，我最终还是选择了Grothendieck的做法，知者不言，沉默是金。当我看到，知乎上N多人给初学者推荐的数分教材里有卓里奇的《数学分析》时，外加N多崇拜者时，我感到了深深的无奈。你永远也叫不醒一个装睡的人---我就是这种感觉。所以，我这几年写的各种文章里，不时出现诸如“随缘”的字样，就像读到我这篇文章的读者一样，算是有缘之人。令人惊喜的是，我发现我的文章读者中有不少人是程序员，毕竟我写的文章基本都是连续数学方面的，而程序员平时用到的数学基本都是离散数学。说到程序员，最近看了一本小说《数学女孩》1，作者结城浩是一位资深程序员。那本书与我写的《遇见》基本想法一致：“将数学与女生”融合到一起，蓝明月VS米尔嘉。写完《遇见》后，我大致看了下结城浩的《数学女孩》1，日漫风格明显，而《遇见》是典型的中国风。两人在数学选材上风格差异明显，结城浩有着明显的程序员数学风格。尽管《遇见》里没有提及阿诺尔德的名字，但是这本书却充满了阿诺尔德精神，或者说是Poincare精神。一方面体现为数学思维与物理思维的融合，另一方面注入了大量几何直观。不过，当我写完《遇见》2.0版时突然有种武侠小说里英雄迟暮的感觉，我离开象牙塔太久了，数学武功已经退化了，只是以前不承认罢了。凭着以前攒下来的学习笔记，不时发点小文章，但终究是陈坛装旧酒，没有多少新鲜东西。后来折衷处理一下，找来一些数学大师写的半科普文章，然后加入一些注释或评注。类似对那些国际象棋世界名局写一些批注。但即使这样，发现也力不从心。最终，不得不承认，写不动干货数学文章了。我也意识到，自己该停笔“网络数学写作”了，所以我在《遇见》2.0版说明里宣布“网络数学封笔”了，不在发干货数学文章了。不过本文似乎破戒了，看来自控能力还是太差，要改进。本文主体内容写于《遇见》同步时期，春节时偶尔翻翻《阿诺尔德谈数学教育》这篇旧文，感慨颇多。然后意识到，我竟然没有把阿诺尔德写进《遇见》里，深感愧疚。但《遇见》已经定型，没法修改了，只得另写一篇文章以纪念阿诺尔德。20阿诺尔德的离去代表了莫斯科大学数学学派一个时代的终结，江湖再无奇侠阿诺尔德。不管读者是否认同阿诺尔德的观点，《阿诺尔德谈数学教育》这篇文章都值得一读，就像阿诺尔德也曾系统读过布尔巴基的文章一样。也许，尽管我不曾承认，但自己潜意识里其实已经成为了阿诺尔德的粉丝吧。我所知的阿诺尔德著作中译本：1、《经典力学的数学方法》2、《常微分方程》3、《常微分方程续论：常微分方程的几何方法》4、《惠更斯与巴罗，牛顿与胡克：数学分析与突变理论的起步，从渐伸线到准晶体》5、《突变理论》上述后两本书相当于半科普数学书。《数学文化》杂志特意重译了此文，但我仍觉得注释得不够，于是在网上那篇最早译文基础上参照《数学文化》的译文，加以扩充，形成本文。最近听到一首老歌《神州侠侣》你像晶莹的白雪冷过冰和霜娉婷的丰姿似寒梅梦里亦飘香偶然间相逢注定一生难忘风雨如晦朝思暮想以上歌词多么适合我对数学的感觉啊！附董紫苏版的“数学女孩蓝明月”21