2019年最新高考数学二轮复习：技法强化训练3_分类讨论思想_有答案

技法强化训练(三)　分类讨论思想(对应学生用书第161页)题组1　由概念、法则、公式引起的分类讨论1．已知数列{an}的前n项和Sn＝Pn－1(P是常数)，则数列{an}是(　　)【A．等差数列B．等比数列C．等差数列或等比数列D．以上都不对D　[∵Sn＝Pn－1，∴a1＝P－1，an＝Sn－Sn－1＝(P－1)Pn－1(n≥2)．当P≠1且P≠0时，{an}是等比数列；当P＝1时，{an}是等差数列；当P＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列．]2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋ax，x≤1，,2ax－5，x＞1.))若存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值范围是(　　)【导学号：68334018】A．(－∞，2)B．(－∞，4)C．[2,4]D．(2，＋∞)B　[当－eq\f(a,－2)＜1，即a＜2时，显然满足条件；当a≥2时，由－1＋a＞2a－5得2≤a＜4，综上可知a＜4.]3．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图1所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)＞1的解集为(　　)图1A．(－3，－2)∪(2,3)B．(－eq\r(2)，eq\r(2))C．(2,3)D．(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)A　[由导函数图象知，当x＜0时，f′(x)＞0，即f(x)在(－∞，0)上为增函数，当x＞0时，f′(x)＜0，即f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又不等式f(x2－6)＞1等价于f(x2－6)＞f(－2)或f(x2－6)＞f(3)，故－2＜x2－6≤0或0≤x2－6＜3，解得x∈(－3，－2)∪(2,3)．]4．已知实数m是2,8的等比中项，则曲线x2－eq\f(y2,m)＝1的离心率为(　　)A.eq\r(2)　　　B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(5)　　　D.eq\r(5)或eq\f(\r(3),2)D　[由题意可知，m2＝2×8＝16，∴m＝±4.(1)当m＝4时，曲线为双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1.此时离心率e＝eq\r(5).(2)当m＝－4时，曲线为椭圆x2＋eq\f(y2,4)＝1.此时离心率e＝eq\f(\r(3),2).]5．设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2,3，…)，则q的取值范围是________.【导学号：68334019】(－1,0)∪(0，＋∞)　[因为{an}是等比数列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0.当q＝1时，Sn＝na1>0；当q≠1时，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)>0，即eq\f(1－qn,1－q)>0(n∈N*)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－q>0，,1－qn>0))　①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－q<0，,1－qn<0，))　②由①得－1<q<1，由②得q>1.故q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．]6．若x＞0且x≠1，则函数y＝lgx＋logx10的值域为________．(－∞，－2]∪[2，＋∞)　[当x＞1时，y＝lgx＋eq\f(1,lgx)≥2eq\r(lgx·\f(1,lgx))＝2，当且仅当lgx＝1，即x＝10时等号成立；当0＜x＜1时，y＝lgx＋eq\f(1,lgx)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－lgx＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,lgx)))))≤－2eq\r(－lgx·\f(1,－lgx))＝－2，当且仅当lgx＝eq\f(1,lgx)，即x＝eq\f(1,10)时等号成立．∴y∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．]题组2　由参数变化引起的分类讨论7．已知集合A＝{x|1≤x＜5}，C＝{x|－a＜x≤a＋3}．若C∩A＝C，则a的取值范围为(　　)A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))C．(－∞，－1]D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，＋∞))C　[因为C∩A＝C，所以C⊆A.①当C＝∅时，满足C⊆A，此时－a≥a＋3，得a≤－eq\f(3,2)；②当C≠∅时，要使C⊆A，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＜a＋3，,－a≥1，,a＋3＜5，))解得－eq\f(3,2)＜a≤－1.由①②得a≤－1.]8．已知不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x－y≥－1,y≥0))，所表示的平面区域为D，若直线y＝kx－3与平面区域D有公共点，则k的取值范围为(　　)【导学号：68334020】A．[－3,3]B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))C．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))C　[满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示．∵y＝kx－3过定点(0，－3)，∴当y＝kx－3过点C(1,0)时，k＝3；当y＝kx－3过点B(－1,0)时，k＝－3.∴k≤－3或k≥3时，直线y＝kx－3与平面区域D有公共点，故选C.]9．已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1，试讨论函数f(x)的单调性．[解]　由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，1分f′(x)＝eq\f(a＋1,x)＋2ax＝eq\f(2ax2＋a＋1,x).2分①当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增.4分②当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减.6分③当－1<a<0时，令f′(x)＝0，解得x＝eq\r(－\f(a＋1,2a))，7分则当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(－\f(a＋1,2a))))时，f′(x)>0；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(－\f(a＋1,2a))，＋∞))时，f′(x)<0.故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(－\f(a＋1,2a))))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(－\f(a＋1,2a))，＋∞))上单调递减.10分综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a<0时，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(－\f(a＋1,2a))))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(－\f(a＋1,2a))，＋∞))上单调递减.15分题组3　根据图形位置或形状分类讨论10．已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(3,4)x，则双曲线的离心率为(　　)A.eq\f(5,4)　　　B.eq\f(5,3)C.eq\f(5,4)或eq\f(5,3)　　　D.eq\f(3,5)或eq\f(4,5)C　[若双曲线的焦点在x轴上，则eq\f(b,a)＝eq\f(3,4)，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(5,4)；若双曲线的焦点在y轴上，则eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(5,3)，故选C.]11．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________.【导学号：68334021】4eq\r(3)或eq\f(8\r(3),3)　[若侧面矩形的长为6，宽为4，则V＝S底×h＝eq\f(1,2)×2×2×sin60°×4＝4eq\r(3).若侧面矩形的长为4，宽为6，则V＝S底×h＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)×eq\f(4,3)×sin60°×6＝eq\f(8\r(3),3).]12．已知中心在原点O，左焦点为F1(－1,0)的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为eq\f(\r(7),7)|OB|.图2(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C1的方程为：eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m＞n＞0)，椭圆C2的方程为：eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．如图2，已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M，N，试求弦长|MN|的取值范围.【导学号：68334022】[解]　(1)设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，∴直线AB的方程为eq\f(x,－a)＋eq\f(y,b)＝1，∴F1(－1,0)到直线AB的距离d＝eq\f(|b－ab|,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(7),7)b，2分a2＋b2＝7(a－1)2，又b2＝a2－1，解得a＝2，b＝eq\r(3)，3分故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.4分(2)椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1，5分①若切线l垂直于x轴，则其方程为x＝±2，易求得|MN|＝2eq\r(6).6分②若切线l不垂直于x轴，可设其方程y＝kx＋b，将y＝kx＋b代入椭圆C的方程，得(3＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－12＝0，7分∴Δ＝(8kb)2－4(3＋4k2)(4b2－12)＝48(4k2－3－b2)＝0，即b2＝4k2＋3，(*)8分记M，N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．将y＝kx＋b代入椭圆C2的方程，得(3＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－36＝0，9分此时x1＋x2＝－eq\f(8kb,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(4b2－36,3＋4k2)，|x1－x2|＝eq\f(4\r(312k2＋9－b2),3＋4k2)，10分∴|MN|＝eq\r(1＋k2)×eq\f(4\r(312k2＋9－b2),3＋4k2)＝4eq\r(6)eq\r(\f(1＋k2,3＋4k2))＝2eq\r(6)eq\r(1＋\f(1,3＋4k2)).∵3＋4k2≥3，∴1＜1＋eq\f(1,3＋4k2)≤eq\f(4,3)，即2eq\r(6)＜2eq\r(6)eq\r(1＋\f(1,3＋4k2))≤4eq\r(2).综合①②得：弦长|MN|的取值范围为[2eq\r(6)，4eq\r(2)].15分