2019高考数学一轮复习第6章数列专题研究2数列的求和课件理优质公开课课件

专题研究二数列的求和专题讲解题型一　通项分解法(分组求和)(1)数列1，eq\f(1,2)，2，eq\f(1,4)，4，eq\f(1,8)，…的前2n项和S2n＝________．(2)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于________．(3)求数列0.9，0.99，0.999，…，0.99…9…前n项的和Sn.【解析】　(1)S2n＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)＋(eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋…＋eq\f(1,2n))＝2n－1＋1－eq\f(1,2n)＝2n－eq\f(1,2n).(2)记bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.【答案】　(1)2n－eq\f(1,2n)　(2)15(3)Sn＝n－eq\f(1,9)(1－0.1n)★状元笔记★通项分解法将数列中的每一项拆成几项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，我们将这种方法称为通项分解法，运用这种方法的关键是通项变形．(2)(2017·沧州七校联考)数列1，6，5，18，…，2n＋(－1)nn，…的前2n项和T2n＝________．【解析】　(2)T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝eq\f(2（1－22n）,1－2)＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.【答案】　(1)3n－1＋2n　eq\f(1,2)n(3n＋1)＋2n＋1－2　(2)22n＋1＋n－2题型二　裂项相消法(微专题)微专题1：形如bn＝eq\f(1,anan＋1)({an}为等差数列)型求和：(1)Sn＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,n（n＋1）)；(2)Sn＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,2×4)＋…＋eq\f(1,n（n＋2）)；(3)Sn＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋…＋eq\f(1,（2n－1）·（2n＋1）).【解析】　(1)∵an＝eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，∴Sn＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).(2)∵an＝eq\f(1,n（n＋2）)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋2))，∴Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,2)－\f(1,4)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(3,4)－eq\f(2n＋3,2（n＋1）（n＋2）).(3)∵an＝eq\f(1,（2n－1）·（2n＋1）)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))，∴Sn＝eq\f(1,2)[(1－eq\f(1,3))＋(eq\f(1,3)－eq\f(1,5))＋…＋(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))]＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,2n＋1))＝eq\f(n,2n＋1).【答案】　(1)Sn＝eq\f(n,n＋1)　(2)Sn＝eq\f(3,4)－eq\f(2n＋3,2（n＋1）（n＋2）)　(3)Sn＝eq\f(n,2n＋1)★状元笔记★裂项相消法裂项相消法求和就是将数列中的每一项拆成两项或多项，使这些拆开的项出现有规律的相互抵消，看有几项没有抵消掉，从而达到求和的目的．INCLUDEPICTURE"RT.TIF"思考题2　(1)求1＋＋eq\f(1,1＋2＋3)＋…＋eq\f(1,1＋2＋…＋n)＝________．【解析】　设数列的通项为an，则an＝eq\f(2,n（n＋1）)＝2(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2[(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋…＋(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))]＝2(1－eq\f(1,n＋1))＝eq\f(2n,n＋1).【答案】　eq\f(2n,n＋1)(2)(2018·衡水中学调研卷)在数列{an}中，an＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(2,n＋1)＋…＋eq\f(n,n＋1)，又bn＝eq\f(1,anan＋1)，则数列{bn}的前n项和Sn＝________．【思路】　对已知数列的通项an进行变换，得an＝eq\f(n,2)，代入bn＝eq\f(1,anan＋1)，再利用裂项相消法求得前n项和．【解析】　由已知得an＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(2,n＋1)＋…＋eq\f(n,n＋1)＝eq\f(1,n＋1)(1＋2＋…＋n)＝eq\f(n,2)，所以bn＝eq\f(1,\f(n,2)·\f(n＋1,2))＝4(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))，所以数列{bn}的前n项和为Sn＝4[(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋(eq\f(1,3)－eq\f(1,4))＋…＋(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))]＝4(1－eq\f(1,n＋1))＝eq\f(4n,n＋1).【答案】　eq\f(4n,n＋1)微专题2：形如an＝eq\f(1,\r(n＋k)＋\r(n))型已知数列{eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))}的前n项和Sn＝9，求n的值．【解析】　记an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)(为什么？)，则a1＝eq\r(2)－eq\r(1)，a2＝eq\r(3)－eq\r(2)，a3＝eq\r(4)－eq\r(3)，…，an＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(eq\r(2)－eq\r(1))＋(eq\r(3)－eq\r(2))＋(eq\r(4)－eq\r(3))＋…＋(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＝eq\r(n＋1)－1.令eq\r(n＋1)－1＝9，解得n＝99.【答案】　n＝99★状元笔记★裂项相消法求和在历年高考中曾多次出现，命题角度凸显灵活多变．在解题中，要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列an的通项公式，达到求解的目的．归纳起来常见的裂项类型有：(1)eq\f(1,n（n＋k）)＝eq\f(1,k)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋k))；(2)eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))；(3)eq\f(1,n（n＋1）（n＋2）)＝eq\f(1,2)[eq\f(1,n（n＋1）)－eq\f(1,（n＋1）（n＋2）)]；(4)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq\f(1,k)(eq\r(n＋k)－eq\r(n))；(5)loga(1＋eq\f(1,n))＝loga(n＋1)－logan.INCLUDEPICTURE"RT.TIF"思考题3　(2017·西安八校联考)已知函数f(x)＝xa的图像过点(4，2)，令an＝，n∈N＋.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2017等于(　　)A.eq\r(2016)－1　B.eq\r(2017)－1C.eq\r(2018)－1D.eq\r(2018)＋1【解析】　由f(4)＝2可得4a＝2，解得a＝eq\f(1,2)，则f(x)＝xeq\s\up16(\f(1,2)).∴an＝eq\f(1,f（n＋1）＋f（n）)＝eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，S2017＝a1＋a2＋a3＋…＋a2017＝(eq\r(2)－eq\r(1))＋(eq\r(3)－eq\r(2))＋(eq\r(4)－eq\r(3))＋…＋(eq\r(2018)－eq\r(2017))＝eq\r(2018)－1.【答案】　C题型三　错位相减法(1)求和：Sn＝1×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,4)＋5×eq\f(1,8)＋…＋eq\f(2n－1,2n).【思路】　数列1，3，5，…，2n－1成等差数列，数列eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，…，eq\f(1,2n)组成等比数列，此例利用错位相减法可达目的．【解析】　∵Sn＝1×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,4)＋5×eq\f(1,8)＋…＋(2n－1)×eq\f(1,2n)，①∴eq\f(1,2)Sn＝1×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,8)＋…＋(2n－3)×eq\f(1,2n)＋(2n－1)×eq\f(1,2n＋1).②①－②，得eq\f(1,2)Sn＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,8)＋…＋2×eq\f(1,2n)－(2n－1)×eq\f(1,2n＋1)＝1×eq\f(1,2)＋eq\f(2×\f(1,4)－2×\f(1,2n＋1),1－\f(1,2))－(2n－1)×eq\f(1,2n＋1)＝eq\f(3,2)－eq\f(2n＋3,2n＋1).∴Sn＝3－eq\f(2n＋3,2n)(n∈N*)．【答案】　Sn＝3－eq\f(2n＋3,2n)(2)化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是________．【解析】　Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1，①2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋…＋3×2n－2＋2×2n－1＋2n，②②－①，得Sn＝－n＋2＋22＋…＋2n－2＋2n－1＋2n＝－n＋eq\f(2（1－2n）,1－2)＝2n＋1－n－2.【答案】　2n＋1－n－2★状元笔记★错位相减法(1)如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法．(2)运用错位相减法求和，一般和式比较复杂，运算量较大，易会不易对，应特别细心，解题时若含参数，要注意分类讨论．n)INCLUDEPICTURE"RT.TIF"思考题4　(1)已知an＝，设bn＝eq\f(n,an)，记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝________．【解析】　bn＝n·3n，于是Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1，②①－②，得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1，即－2Sn＝eq\f(3－3n＋1,1－3)－n·3n＋1，Sn＝eq\f(n,2)·3n＋1－eq\f(1,4)·3n＋1＋eq\f(3,4)＝eq\f(（2n－1）·3n＋1＋3,4).【答案】　eq\f(（2n－1）·3n＋1＋3,4)(2)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.①求数列{an}的通项公式；②求数列{eq\f(an,2n－1)}的前n项和．【解析】　①设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝0，,2a1＋12d＝－10，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝－1.))故数列{an}的通项公式为an＝2－n.②设数列{eq\f(an,2n－1)}的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋eq\f(a2,2)＋…＋eq\f(an,2n－1)，故eq\f(Sn,2)＝eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,4)＋…＋eq\f(an,2n).所以，当n>1时，eq\f(Sn,2)＝a1＋eq\f(a2－a1,2)＋…＋eq\f(an－an－1,2n－1)－eq\f(an,2n)＝1－(eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1))－eq\f(2－n,2n)＝1－(1－eq\f(1,2n－1))－eq\f(2－n,2n)＝eq\f(n,2n).所以Sn＝eq\f(n,2n－1).综上，数列{eq\f(an,2n－1)}的前n项和Sn＝eq\f(n,2n－1).【答案】　①an＝2－n　②Sn＝eq\f(n,2n－1)题型四　倒序相加法设f(x)＝eq\f(4x,4x＋2)，若S＝f(eq\f(1,2015))＋f(eq\f(2,2015))＋…＋f(eq\f(2014,2015))，则S＝________．【解析】　∵f(x)＝eq\f(4x,4x＋2)，∴f(1－x)＝eq\f(41－x,41－x＋2)＝eq\f(2,2＋4x).∴f(x)＋f(1－x)＝eq\f(4x,4x＋2)＋eq\f(2,2＋4x)＝1.S＝f(eq\f(1,2015))＋f(eq\f(2,2015))＋…＋f(eq\f(2014,2015))，①S＝f(eq\f(2014,2015))＋f(eq\f(2013,2015))＋…＋f(eq\f(1,2015))，②①＋②，得2S＝[f(eq\f(1,2015))＋f(eq\f(2014,2015))]＋[f(eq\f(2,2015))＋f(eq\f(2013,2015))]＋…＋[f(eq\f(2014,2015))＋f(eq\f(1,2015))]＝2014.∴S＝eq\f(2014,2)＝1007.【答案】　1007★状元笔记★倒序相加法如果一个数列{an}，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．2,1＋x2)INCLUDEPICTURE"RT.TIF"思考题5　设f(x)＝，求f(eq\f(1,2016))＋f(eq\f(1,2015))＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)．【解析】　∵f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)，∴f(x)＋f(eq\f(1,x))＝1.令S＝f(eq\f(1,2016))＋f(eq\f(1,2015))＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)．①则S＝f(2016)＋f(2015)＋…＋f(1)＋f(eq\f(1,2))＋…＋f(eq\f(1,2016))．②①＋②，得2S＝1×4031＝4031，所以S＝eq\f(4031,2).【答案】　eq\f(4031,2)