Kreps-高级微观经济学-第8章-东南大学曹乾

159 曹乾曹乾曹乾曹乾●●●●经济学译丛精品系列经济学译丛精品系列经济学译丛精品系列经济学译丛精品系列 Microeconomic Foundations I: Choice and Competitive markets David M. Kreps (Stanford University) 高级微观经济学 I： 选择与竞争市场 戴维戴维戴维戴维.M.克雷普斯克雷普斯克雷普斯克雷普斯 （（（（美国美国美国美国.斯坦福大学斯坦福大学斯坦福大学斯坦福大学）））） 完美中文翻译版完美中文翻译版完美中文翻译版完美中文翻译版 第 8 章：社会选择与效率 曹乾 译 (东南大学 caoqianseu@163.com) 160 8 社会选择与效率社会选择与效率社会选择与效率社会选择与效率 到目前为止，我们一直考察的是个人选择问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的建模问题。社会选择（social choice） 关注的是能代表个体集行为的选择。 基本问题如下：我们想选择一个社会状态或结果 x ； X 表示由所有可能社会状态组成 的集合，而 A通常表示 X 的子集，这是可行状态集。这个选择将影响由个人或家庭的组成 的非空集合H 。每个人h H∈ 对各种可能社会状态有自己的选择，每个人根据自己位于 X 上的完备且传递的偏好关系 h� 做出这个选择。由于社会状态 x 的选择会影响所有个人，做 出这个选择时“应该”考虑到每个人的偏好。问题在于，如何做出这个选择？更具体地说， 假设我们想构建基于 X 上的一个社会序�使得它加总了每个人的偏好。我们“应该”如何 做此事？ 在上一段中，我们在两个“应该”上加上了双引号，我们来解释一下：这个问题涉及到 了道德哲学。由于个人对社会状态的偏好通常是冲突的，我们必须寻找能让我们做出好的折 中或价值判断的原则。有些经济学家同时也是优秀的道德哲学家。但是，你将在本章看到， 经济学家，至少主流经济学家，多少都会回避这类价值判断问题。有些价值判断，至少初看 起来，是毫无争议的，但它们会产生下列情形：社会选择理论将关于强社会选择 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的负面 结果与有着简单特征的弱标准混合在一起。主流经济学家不愿意涉足这样的价值判断领域。 8.1 阿罗定理阿罗定理阿罗定理阿罗定理 当代社会选择理论起源于，而且在某种意义上终于，所谓的阿罗定理。阿罗定理有不同 的叫法，例如“阿罗可能定理”或“阿罗不可能定理”。Arrow（1951a）想寻找阿罗称之为 社会偏好函数的一种函数。这种函数将一组个人偏好 ( )h h H∈� 映入社会偏好关系�。（一）在本 质上，这个思想是，一旦我们知道了社会 H 中的每个成员 h 在社会状态上的偏好，社会偏 好函数将告诉我们，作为代表众多个人偏好的函数，社会应该有什么样的偏好。 （二） 为了简单起见，我们假设（阿罗就是这么假设的）由可能社会状态组成的集合 X 是个 有限集，个人集 H 也是个有限集。我们用φ 表示社会偏好函数。社会偏好函数φ 的定义域 由一组偏好组成，每个偏好对应着一个人 h H∈ ；值域为 X 上的偏好。除非进一步指出， 对于φ 的定义域和值域，我们做出下列假设： （一） 事实上，阿罗将这种函数称为“社会福利函数”；我们使用“社会偏好函数”这个称呼的目的有二：一 是为了与后面章节中的“社会效用泛函数”区分开；二是明确表示这种函数是将一组个人偏好映入社会偏 好。 （二） 你可能想知道，我们如何才能让社会每个成员告诉我们他自己的偏好。如果他们知道将他们的偏好映 入社会偏好关系从而映入某个社会状态的具体规则，难道他们没有可能误报自己偏好的激励吗？阿罗定理 的一个著名版本，即所谓的 Gibbard-Satterthwaite 定理，考察了这个问题。但这个结果属于本书第二卷，因 此我们在本卷中不考虑这个问题。 161 假设假设假设假设 8.1 φ 的定义域是由偏好关系的的定义域是由偏好关系的的定义域是由偏好关系的的定义域是由偏好关系的所有所有所有所有H 元组构成的集合元组构成的集合元组构成的集合元组构成的集合 ( )h h H∈� ，，，，其中其中其中其中每个每个每个每个 h� 都都都都是是是是 X 上的一个完备且传递的二元关系上的一个完备且传递的二元关系上的一个完备且传递的二元关系上的一个完备且传递的二元关系。。。。φ 的值域由的值域由的值域由的值域由 X 上的完备且传递的二元关系组成上的完备且传递的二元关系组成上的完备且传递的二元关系组成上的完备且传递的二元关系组成。 假设 8.1 由两部分组成，每一部分都值得你仔细思考。φ 的定义域假设也明显分为两个 部分：首先，我们假设每个人h H∈ 在 X 上都有偏好，其中 X 的意思可参考第 1 章。我们 可能对个人偏好为非完备或非传递情形下的社会偏好感兴趣，但至少在本章，我们不考虑这 种情形。其次，我们假设每个人的偏好是完备且传递的，除此之外，我们对偏好组合偏好组合偏好组合偏好组合（array or profile or constellation of preferences）不做任何进一步限制。对于完备且传递偏好的每个 H 元组，社会偏好函数必须表达出社会意见。假设 8.1 的第二部分，这个社会意见必须采取一 致偏好形式，准确地说，它在所有社会状态上的偏好必须是一致的（即，完备且传递的）， 从而不管社会状态 X 的哪个子集 A是可行的，φ 都会告诉我们：给定每个人的偏好，社会 偏好的是什么。 （一） 在常见的表达中，如果个人 h 的偏好由 h� 给定，那么 h≻ 表示此人的严格偏好，~h 表 示他的无差异关系。当我们想将一组偏好与另外一组偏好进行比较时，我们将使用 h′� 、 h′≻ 和~h′ 。对于给定的社会偏好函数φ ，根据标准符号惯例，我们用 [ ]( )h h Hφ ∈� 表示函数φ 在 变量 ( )h h H∈� 处的值。这个符号比较臃肿，而且我们也希望能写出 [ ]( )h h Hφ ∈� 产生的严格 偏好与无差异关系。因此，为了简明起见，我们用�代表 [ ]( )h h Hφ ∈� ，用 h≻ 和~h 分别代 表相应的严格偏好与无差异关系；我们用 ′� 代表 [ ]( )h h Hφ ∈′� ，以此类推。（当有可能出现 混淆时，我们会及时说明。） 现在考虑社会偏好函数φ 的下列三个性质： 定义定义定义定义 8.2 a. 社会偏好函数社会偏好函数社会偏好函数社会偏好函数φ 满足满足满足满足一致同意性一致同意性一致同意性一致同意性 ．．．．． （unanimity）如果如果如果如果，，，，对于任何一组个人偏好对于任何一组个人偏好对于任何一组个人偏好对于任何一组个人偏好 ( )h h H∈� 以及对于任何一对社会状态以及对于任何一对社会状态以及对于任何一对社会状态以及对于任何一对社会状态 x 和和和和 y ，，，，若若若若 hx y≻ 对于每个对于每个对于每个对于每个 h H∈ ，，，，那么那么那么那么 x y≻ （（（（其中其中其中其中≻ 是是是是 [ ]( )h h Hφ ∈=� � 产生的严格偏好关系产生的严格偏好关系产生的严格偏好关系产生的严格偏好关系）。）。）。）。 b. 社会偏好函数社会偏好函数社会偏好函数社会偏好函数φ 满足满足满足满足不相关备选 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 的无关性不相关备选方案的无关性不相关备选方案的无关性不相关备选方案的无关性 ．．．．．．．．．．． （independence of irrelevant alternatives, IIA）*如果如果如果如果，，，，对于任何两组个人偏好对于任何两组个人偏好对于任何两组个人偏好对于任何两组个人偏好 ( )h h H∈� 与与与与 ( )h h H∈′� 以及对于任何两个社会状态以及对于任何两个社会状态以及对于任何两个社会状态以及对于任何两个社会状态 x 和和和和 y 使得使得使得使得 hx y� 当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当 hx y′� 对于所有对于所有对于所有对于所有h H∈ ，，，， x y� 当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当 x y′� 。。。。 c. 社会偏好函数社会偏好函数社会偏好函数社会偏好函数φ 是是是是独裁的独裁的独裁的独裁的 ．．． （dictatorial）如果存在某个如果存在某个如果存在某个如果存在某个 *h H∈ 使得使得使得使得，，，，对于每一组个人对于每一组个人对于每一组个人对于每一组个人 偏好偏好偏好偏好 ( )h h H∈� 以及对于每一对社会状态以及对于每一对社会状态以及对于每一对社会状态以及对于每一对社会状态 x 和和和和 y ，，，， *hx y≻ 意味着意味着意味着意味着 x y≻ 。 用文字表示：（a）φ 满足一致同意性如果，当每个人严格偏好 x 胜于 y ，那么社会偏好函数 严格偏好 x 胜于 y ；（b）φ 满足不相关备选方案的无关性（IIA）如果社会偏好函数对 x 和 y （一） 假设 8.1 的第一部分通常称为万有域（universal domain）假设；第二部分有时称为一致性（coherence） 假设（大致与第 1 章中的选择一致性有关）。 * 我将“alternatives”翻译成备选方案或备选物，有时干脆简称为选项，是出于一般性的考虑。在当前的环 境中，它指社会状态（当然，不同的备选社会状态就是不同的备选方案）。译者注。 162 的排序仅仅仅仅取决于每个人如何对 x 和 y 排序；（c）φ 是独裁的如果某个人关于 x 和 y 的偏好是 决定性的：如果他严格偏好 x 胜于 y ，那么社会偏好函数说社会也严格偏好 x 胜于 y ，即使 所有其他人严格偏好 y 胜于 x 。 我们很难举出理由认为一致同意性不是社会偏好函数的合意性质。至少如果社会的目 标是找到某种遵守每个人愿望的规则时，一致同意性是合理的。当然，如果每个人严格偏好 x 胜于 y ，那么社会也严格偏好偏好 x 胜于 y 。 不相关方案的无关性也是一个合意性质。一种理解这个性质的方法是，将 X 想象为由 所有可能社会状态组成的集合，但某个子集 A X⊆ 是可行的。社会偏好函数产生了 X 上的 偏好序使得社会将以一致的方式进行选择，不管 A是什么样的。于是：假设 { , }A x y= 。社 会如何在 x 和 y 中做出选择——这取决于 x y� 或 y x� 或二者同时成立——“应该”仅取 决于个人对 x 和 y 的排序，不取决于任何不可行的从而不相关的备选社会状态 z 。（另外理 解这个假设的方法涉及偏好的强度（intensity），但我们想在介绍和证明阿罗定理之后再给出 这种解释。） 最后，独裁的社会偏好关系当然不是件好事。将H 想象为包含很多很多个人的情形。 如果φ 是独裁的（我们以 *h 表示独裁者），那么在一组个人偏好 ( )h h H∈� 中，即使 hy x≻ 对 于 *h 之外的每个其他人，一旦 *hx y≻ ，那么φ 产生的社会偏好序为 x y≻ 。这很难是公平 或合理的。 需要注意，如果φ 是独裁的，而且 *h 是独裁者，那么社会偏好�未必与 *h� 相同。如 果对于社会状态 x 与 y ，独裁者的偏好为 *~hx y ，那么社会偏好（这由φ 以及全部个人偏 好决定）可能为 x y≻ 或 y x≻ 或 ~x y 。作为独裁者，意味着：如果独裁者严格偏好一个 社会状态胜于另外一个，那么社会偏好与独裁者偏好相同。但它的逆未必成立。 阿罗定理表明：如果存在三种或三种以上的社会状态，而且社会偏好函数φ 满足假设 8.1 中的一致性以及不相关备选方案的无关性，那么φ 也是独裁的（尽管这令人不舒服）。阿 罗定理有时称为阿罗可能定理，因为它表明“好的”社会偏好关系却导致了独裁。这个定理 有时也称为阿罗不可能不可能不可能不可能定理，由于独裁是坏的，这个定理表明不可能产生“好的”社会偏好 函数；其中“好的”是指假设 8.1 中的一致同意性与不相关备选方案的无关性（IIA）但不 存在独裁。不管叫哪个名字，它都是同一个定理。 命题命题命题命题 8.3（（（（阿罗定理阿罗定理阿罗定理阿罗定理））））假设假设假设假设 X 包含三个或三个以上的元素包含三个或三个以上的元素包含三个或三个以上的元素包含三个或三个以上的元素（（（（社会状态社会状态社会状态社会状态）。）。）。）。满足假设满足假设满足假设满足假设 8.1 中的中的中的中的 一致同意性与不相关备选方案的无关性一致同意性与不相关备选方案的无关性一致同意性与不相关备选方案的无关性一致同意性与不相关备选方案的无关性（（（（IIA），），），），那么那么那么那么φ 是独裁的是独裁的是独裁的是独裁的。 证明证明证明证明：这个定理看上去比较简明，但它的证明比较冗长。如果你是第一次遇到这个证明，你 可能有想跳过去的冲动。然而事实上这个证明并不难：只要你能巧妙地使用个人偏好组合即 可。这个证明并不是阿罗给出的原始版本，但基本思想是从阿罗的原来论证中得出的。 固定某个满足假设 8.1 中一致同意性与 IIA 的社会偏好函数φ 。 对于任何两个社会状态 x和 y ，子集 H H′ ⊆ 决定决定决定决定 ．． 了 x比 y 好，如果当 hx y≻ 对于所 163 有h H ′∈ 以及 hy x≻ 对于h H ′∉ ，那么 x y≻ 。根据一致同意性，对于所有 x和 y ，H 决 定了 x比 y 好。 现在依次取每个（有序）对 x和 y ，x y≠ 而且，对于这一对 x和 y ，取决定 x比 y 好 的一个最小集（以集合中元素的数量衡量） ,x yH H⊆ 。我们使用“一个”最小集而不是（唯 一的）最小集这种表达，是因为最小集可能不是唯一的；例如，（对于特定的 x和 y ）三个 含有五人的不同集合决定了 x比 y 好，而且任何含有四人或四人以下的集合都不是决定性 的。取一个有序对 x和 y ， x y≠ ，以及取决定 x比 y 好的一个最小集合 J H⊆ 使得当我 们变动 x′和 y′时， J 在所有 ,x yH ′ ′ 中是最小的（以集合中的元素数量衡量）。再一次地，对 于 x、y 和 J ，可能存在着很多选择；关键要找到一个 x、y 和 J 使得对于任何其它 x′和 y′， 任何含有人数比 J 中人数更少的集合（即，该集合比 J 小）对于 x′比 y′好都不是决定性的。 我们断言 J 必定只含有一个元素。（根据一致同意性可知，J 必定至少含有一个元素。） 反证法。假设 J 的元素多于一个，现在令 J ′和 J ′′是 J 的一个划分（即， J J J′ ′′∪ = 且 J J′ ′′∩ = ∅）使得 J ′和 J ′′都至少含有一个元素。令 z 是 X 中的任一元素但 z x≠ ，z y≠ 。 （我们一开始就已假设 X 至少有三个元素。）考虑任何一组个人偏好，其中： 对于h J ′∈ ， h hz x y≻ ≻ ； 对于h J ′′∈ ， h hx y z≻ ≻ ； 对于h J∉ ， h hy z x≻ ≻ 。 由于 J 决定了 x 比 y 好，因此φ 产生的社会偏好为 x y≻ ，现在根据负传递性（negative transitivity）可知，要么 z y≻ 要么 x z≻ 。下面我们依次考察这两种情形。 假设 z y≻ 。取任何一组偏好 h′� 使得 hz y′≻ 对于所有h J′ ′∈ 而且 hy z′≻ 对于h J′ ′∉ 。 注意到， h′≻ 对 z 和 y 的排序与 h≻ 对 z 和 y 的排序相同。因此，根据不相关备选方案的无关 性（IIA）可知，对于 z 和 y 的排序，φ 在变量为 ( )h h H∈′� 时与φ 在变量为 ( )h h H∈� 时产生的 结果是相同的。由于 z y≻ （本段一开始的假设），因此，我们必定有 z y′≻ 。但这意味着 J ′ 决定了 z 比 y 好，这与 J 的最小性（以含有元素的数量衡量）矛盾。类似地，如果 x z≻ ， 那么不相关备选方案的无关性（IIA）意味着 J ′′决定了 x比 z 好，矛盾。因此， J 是个单元 素集。 因此，现在我们有了一对不同的 x和 y（即，x y≠ ），以及 *h H∈ 使得 *{ }h 决定了 x 比 y 好。下面的任务是证明 *h 是个独裁者。 首先，我们证明如果 ( )h h H∈� 是满足 *hx z≻ 对于任意 z X∈ 成立的任何一组个人偏好， 那么 x z≻ 。暂时假设 z y≠ ，而且构造一组个人偏好 ( )h h H∈′� 使得 * *h hx y z′ ′≻ ≻ 而且，对 于所有其它h ， hy x′≻ 而且 hy z′≻ ，而且对于 *h h≠ ， h′� 对 x 和 z 的排序正好与 h≻ 对 x 和 z 的排序相同。由于 *{ }h 决定了 x比 y 好，因此 x y′≻ 。根据一致同意性可知， y z′≻ 。 因此，根据传递性可知，x z′≻ 。但是根据不相关备选方案的无关性（IIA），由于 h′≻ 对 x 和 z 的排序正好与 h≻ 对 x 和 z 的排序相同，这意味着 x z≻ 。 164 如果 z y= ：于是从 X 中取任何元素w但w x≠ ，w y≠ 。上面的论证表明对于任意一 组满足 *hx w≻ 和 hw x≻ 对于 *h h≠ 的个人偏好，x w≻ 。这意味着 *{ }h 决定了 x 比w好。 现在在上一段中用w替换 y （记住 z 为 y ）可得 x z y=≻ 。 其次，我们证明如果 ( )h h H∈� 是任何一组满足 *hz y≻ 的个人偏好，那么 z y≻ 。暂时 假设 z x≠ ，构造一组个人偏好 ( )h h H∈′� 使得 * *h hz x y′ ′≻ ≻ 而且对于 *h h≠ ， ,z y x′≻ 而且 z 和 y 的排序正好与 h≻ 对 z 和 y 的排序相同。由于 *{ }h 决定了 x 比 y 好， x y′≻ 。根据一致 同意性可知， z x′≻ 。根据传递性可知， z y′≻ 。然后根据不相关备选方案的无关性（IIA） 可知， z y≻ 。于是，根据上一段中的论证，你可以处理 z x= 的情形。 第三，我们证明对于任何不等于 x 且不等于 y 的元素w， *{ }h 决定了w比 x 好。为了 证明这一点，令 ( )h h H∈� 是任何一组满足 *hw x≻ 和 hx w≻ 对于 *h h≠ 的个人偏好。构建 ( )h h H∈′� 使得 ( )h h H∈′� 对 x 和w的排序与 ( )h h H∈� 对 x 和w的排序相同，而且使得 ( )h h H∈′� 按照下列方式安置 y ： * *h hw y x′ ′≻ ≻ 以及，对于 *h h≠ ， h hy x w′ ′≻ ≻ 。根据一致同意性， y x′≻ 。根据上一段的论证，w y′≻ 。因此，根据传递性，w x′≻ ；根据不相关备选方案 的无关性（IIA），w x≻ 。 但是这样一来，由于 *{ }h 决定了w比 x 好，因此在任何一组个人偏好中如果 *hz x≻ 对 于任何 z X∈ ，那么以“其次”二字引领的那一段（即，上一段的上一段）表明 z x≻ 。 最后，假设我们有任何两个结果w和 z 使得在某组个人偏好中 *hw z≻ 。如果w x= ， 那么以“首先”二字引领的那一段表明w z≻ 。如果 z x= ，那么根据上一段可知，w z≻ 。 而且如果 x 不等于w也不等于 z ，那么构建 ( )h h H∈′� 使得每个 h′≻ 对w和 z 的排序与 h≻ 对 w 和 z 的排序相同，而且使得 * *h hw x z′ ′≻ ≻ 。（在 h′≻ 下， x 相对于w与 z 的位置（排序）无关 紧要。）根据上一段可知，w x′≻ 。根据“首先”二字引领的那一段可知， x z′≻ 。根据传 递性可知，w z′≻ 。根据不相关备选方案的无关性（IIA）可知，w z≻ 。因此， *h 这个人 是个独裁者。■ 如果你曽希望找到将个人偏好映入社会偏好的漂亮方法，那么你必定会对这个结果感 到失望。对于社会偏好函数φ ，我们要求它具有四个性质：一是，它考虑社会状态上的每组 可能个人偏好；二是，它对社会状态的排序是完备且传递的；三是，它满足一致同意性；四 是它满足不相关备选方案的无关性。这四个性质似乎都非常合理。然而，如果存在着三个或 三个以上的社会状态，任何满足这四个性质的社会偏好函数φ 是独裁的。（四） 阿罗定理的证明过程没有任何错误，因此社会偏好函数必定出现了问题——至少在上 述四个性质角度上出现了问题。例如，考虑多数投票规则多数投票规则多数投票规则多数投票规则（majority rule）。为了具体起见， 考虑如下定义的社会偏好函数 MRφ （其中下标 MR 表示多数投票规则）：对于 X 中的任何一 对 x 和 y ，以及对于一组个人偏好 ( )h h H∈� ， x y� 如果 hx y� 对于一半或一半以上的h 。 （四） 如果只有两个社会状态，结果将是怎样的？ 165 不难证明如此定义的 MRφ 满足一致同意性与不相关备选方案的无关性（IIA）。（五） MRφ 显然不 是独裁的，至少当 H 含有两个或两个以上的元素（人）时是这样的。因此，对于由所有个 人偏好组构成的集族来说，它不可能产生完备且传递的社会偏好。事实上，正如此处定义的， �是完备的：对于任何一对 x 和 y 以及对于每个h ，要么 hx y� 要么 hy x� （要么二者都 成立）。因此，半数或半数以上的h 必定有 hx y� ，或者半数或半数以上的h 必定有 hy x� 。 在第一种情形下，根据多数投票规则，x y� ；在第二种情形下，根据多数投票规则，y x� 。 因此，必定是传递性出现了问题。事实正是如此：假设 { , , }X x y z= ， {1, 2,3}H = 。 考虑下列一组个人偏好，在这组偏好中， 1 1x y z≻ ≻ ， 2 2y z x≻ ≻ 以及 3 3z x y≻ ≻ 。（这 个著名的反例有个名字：康多塞循环（Condorcet cycle）。）在这三个人中，两个人的偏好为 hx y� ，因此 x y� ；在这三个人中，两个人的偏好为 hy z� ，因此 y z� 。这样一来， 如果传递性成立，我们必有 x z� ，但在这三个人中，只有一个人的偏好为 hx z� ；因此， 传递性不成立。 这只是多数投票规则中的一种执行方法；其它执行方法要求绝对多数或使用加权票数。 在多数投票规则的大多数执行方法中，社会对 x 和 y 的排序仅取决于个人对 x 和 y 的排序； 在这种设计下，不相关备选方案的无关性（IIA）成立。而且在大多数合理定义中，一致同 意性也成立。我们很难想象不满足一致同意性的多数投票规则能得以执行，如果 hx y≻ 对 于每个h H∈ ，那么社会严格偏好 x 胜于 y 。最后，大多数合理定义都不是独裁的——不论 你如何执行多数投票规则，如果一个人的偏好为 hx y≻ 而且所有其他人的偏好为 hy x≻ ， 很难产生使得社会严格偏好 x 胜于 y 的结果。（六）因此，根据阿罗定理可知，当你在所有个 人偏好组合这个定义域上实施多数投票规则或者它的其它版本时，你得不到完备或传递的社 会关系。在大多数情形下，你都会重蹈上一段中的康多塞例子的覆辙。 另外一种可能的社会偏好函数，称为波达计数法波达计数法波达计数法波达计数法（Borda Rule），常用于裁判对各个体 育队（例如体操队）的排序。假设有 N 个社会状态。对于每个人 h H∈ ，按照下列方法将 他在给定一组个人偏好 ( )h h H∈� 中的的偏好 h� ，转换为一个基数基数基数基数效用函数：他的排在最前 （即第一位）的社会状态得到效用 ( )hu x N= 。排在第二位的社会状态得到效用 ( ) 1hu x N′ = − 。以此类推，其中排位相同（即出现并列情形）的社会状态得到的效用等于 它们效用的平均数。 （七） 然后，对于每个 x ，计算 ( ) ( )hh HU x u x∈= ∑ ，并且令≻为由U 给 出的偏好序。这显然能产生完备且传递的社会偏好，因为它产生了数值排序。而且它显然满 （五） 一致同意性是用严格偏好定义的，由于（我们将看到）多数投票规则产生的社会偏好不是完备和传递 的，因此如何定义社会的严格偏好就不是那么明显。我们使用下列定义：对于用于代表弱偏好的二元关系 �，相应的严格偏好关系的定义为 x y≻ 如果 y x� 不成立。因此，如果 hx y≻ 对于所有 h（其中 h≻ 是由完备且传递的个人偏好 h� 按通常方式定义的严格偏好关系），因此对于任何 h ， hy x≻ 都不成立。 因此，在多数投票规则下， y x� 不成立（事实上，任何人都不会认为 y 比 x 好）。因此，在社会严格偏 好中 x y≻ ；一致同意性成立。 （六） 在加权多数投票规则下，如果某个人所占的权重超过 50%，你能构造出反例，即构造出独裁的例子。 然而这正是独裁的另外一种定义方式。 （七） 也就是说，如果 6N = ，而且 h 的偏好为 1 2 3 4 5 6h h h h hx x x x x x≻ ∼ ∼ ≻ ∼ ，那么 1( ) 6hu x = ， 2 3 4( ) ( ) ( ) (5 4 3) / 3 4h h hu x u x u x= = = + + = ， 5 6( ) ( ) (2 1) / 2 1.5h hu x u x= = + = 。 166 足一致同意性：如果每个人认为斯坦福大学足球队严格比南加州大学的足球队好，那么在社 会调查中，斯坦福大学足球队排在南加州大学足球队前面。如果 H 中的元素不止一个，那 么这种方法显然不满足独裁性。因此，根据阿罗定理，它必定违背了不相关备选方案的无关 性（IIA）。事实的确如此：假设 {1,2}H = ， { , , , }X a b c d= 。根据这个社会偏好函数： 如果 1 1 1a b c d≻ ≻ ≻ 而且 2 2 2b c a d≻ ≻ ≻ ，那么b a≻ ； 如果 1 1 1a c d b′ ′ ′≻ ≻ ≻ 而且 2 2 2b c a d′ ′ ′≻ ≻ ≻ ，那么a b′≻ 。 注意到，( )h h H∈� 对a 和b 的排序与 ( )h h H∈′� 对a 和b 的排序是相同的，但改变个人 1 对 c和 d 相对于a 和b 的排序，改变了社会对a 和b 的排序。 8.2 应该放弃应该放弃应该放弃应该放弃哪个假设哪个假设哪个假设哪个假设？？？？ 阿罗定理显然是个让人失望的结果，但它的确指明了进一步分析方向。假设我们仍然 想找到“美好的”社会偏好函数。假设对于三个以上的社会状态，独裁的社会偏好关系不是 美好的。于是阿罗定理告诉我们，我们对“美好”这个词的定义必须去掉下列性质中的一个 或几个：φ 的定义域包含每个每个每个每个偏好H 元组；φ 的值域是 X 上的完备且传递的偏好序的空间； φ 满足一致同意性；φ 满足不相关备选方案的无关性（IIA）。 任何人似乎都不愿意放弃一致同意性。如果每个人认为 x 严格比 y 好，对于任何“美 好的”社会偏好函数，我们很难想象出社会认为 y 严格比 x 好。 现在考虑放弃φ 的定义域包含所有偏好H 元组这个性质。其中一种思想是 X 的几何结 构决定了某些偏好不可能发生。最重要的例子是所谓的单峰偏好单峰偏好单峰偏好单峰偏好（single-peaked preferences）。 假设 X 是一维的；具体地说，假设 X 是实直线中的一段，即 X R⊆ 。 定义定义定义定义 8.4 对于对于对于对于 X R⊆ ，，，，X 上的完备且传递偏好关系上的完备且传递偏好关系上的完备且传递偏好关系上的完备且传递偏好关系�称为称为称为称为单峰的单峰的单峰的单峰的 ．．． 如果如果如果如果，，，，对于满足对于满足对于满足对于满足 x y z> > 的所有的所有的所有的所有 ,x y 和和和和 z ，，，， y x≻ 或或或或 y z≻ （（（（或二者都成立或二者都成立或二者都成立或二者都成立））））。 政治学学者对单峰偏好特别感兴趣。将社会状态想象为分布在左翼赢对右翼赢的一个 线段上。每个人在这个一维政治空间上有他最喜欢的点，其中偏好随着社会状态（在一个方 向上或在另外一个方向上）逐渐远离他最喜欢的社会状态点而下降。 命题命题命题命题 8.5 假设假设假设假设 X R⊆ ，，，，而且假设而且假设而且假设而且假设H 有奇数个元素有奇数个元素有奇数个元素有奇数个元素。。。。对于满足每个对于满足每个对于满足每个对于满足每个 h� 都是单峰都是单峰都是单峰都是单峰且反对称的且反对称的且反对称的且反对称的 [反对称是指若反对称是指若反对称是指若反对称是指若 h hx y x� � 则则则则 x y= ]的任何一组个人偏好的任何一组个人偏好的任何一组个人偏好的任何一组个人偏好，，，，多数投票规则下的社会选择函多数投票规则下的社会选择函多数投票规则下的社会选择函多数投票规则下的社会选择函 数数数数 MRφ （（（（参见上一节参见上一节参见上一节参见上一节））））产生了完备且传递的社会偏好产生了完备且传递的社会偏好产生了完备且传递的社会偏好产生了完备且传递的社会偏好。 我们将这个命题的证明留作习题（参见问题 8.3，我们在《学习指南》中提供了答案）。 解释一下这个命题：如果我们将社会偏好函数φ 定义为多数投票规则，即对于任何一组个人 偏好 ( )h h H∈� ，φ 产生了如前定义的多数投票规则比较法，于是，一般来说，φ 满足一致同 意性与不相关备选方案的无关性（IIA），但是它并未产生完备且传递的社会偏好。（参见上 一节的讨论。）然而，如果如果如果如果 X 是一维的而且我们将 ( )h h H∈� 中的个人偏好限制为单峰的和反 167 对称的，那么φ 的确产生了完备且传递的偏好。（做出反对称偏好这个假设是为了分析上的 方便。注意到，这个性质对于上一节中的例子是成立的；此处真正重要的是假设偏好是单峰 的。）如果我们能够限制φ 的定义域（在这个例子中，我们将它的定义域限制在单峰且反对 称的一组偏好上，其中 X 的几何结构要能使得这个限制有意义），我们可以在避免独裁结果 的同时得到我们想要的任何其它结果。 “多数投票规则”这个术语值得仔细考虑。我们使用多数投票规则来进行社会状态的两 两比较，然后根据这些两两比较的结果，从 X 的可行子集中做出选择。容易构造出下面这 样的例子：有三个备选方案（社会状态） x ， y 和 z ，而且（a）两两比较得到的结果为 x y z≻ ≻ ；（b）然而如果我们让每个人对这三个社会状态投票， y 得票最多。大多数关于 投票 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 理论的教科书都会详细讨论单峰偏好的例子。 这只是限制社会偏好函数定义域的一种方法。想了解更多结果，可以参考 Caplin and Nalebuff（1998）。 下面我们考虑放弃不相关备选方案的无关性（IIA）。我们已为 IIA 的合理性提供了一种 解释，此处提供第二种解释：IIA 是人们想要的性质，这是因为如果我们仅了解每个人对社 会状态的序数型排序，那么我们就无法比较不同个人之间的效用或效用之差。如果我们知道， 比如，半数的h 偏好 x 胜于 y ，半数的h 偏好 y 胜于 x ，那么我们没有什么特别的理由偏好 x 和 y 中的任何一个。然而，如果我们知道，对于偏好 x 胜于 y 的 h 来说，x 和 y 的效用之 差非常重要，而对于偏好 y 胜于 x 的 h 来说，他们对 x 和 y 基本是无差异的（尽管认为 y 比 x 稍微好一些），那么我们可能选择 x 。由于我们将个人偏好信息转换为序数偏好关系，我 们一点也不了解偏好的强度。然而，在序数偏好架构内，如果半数h 将 y 排在比如第三位， 将 x 排在第四位；而另外半数 h 将 x 排在第三位，将 y 排在第十五位——这些排序取决于 x 和 y 相对于其它社会状态的位置——我们似乎可以合理推断对于第二组人来说，x 和 y 的效 用之差比较大，因此，社会将偏好 x 胜于 y 。 这在本质上正是波达计数法：将个人的序数排序转换为“价值”（效用）的基数衡量值， 然后将这些基数值相加，得到社会排序。这显然违背了不相关备选方案的无关性（IIA），但 这种代价换来的好处是我们可以方便地进行个人间效用的比较。 然而，波达计数法非常特殊。为什么赋值 , 1,..., 2,1N N − ？为什么不赋值 2 2 , ( 1) ,..., 4,1N N − ？为什么不用 1, ,...5,3, , 2N Np p − ，其中 np 是第 n 个质数？为什么不用 斐波那契（Fibonacci）数字？一旦你对排序中的“位置”赋予了特殊基数值，那么这种赋值 方法有很多。这些赋值方法是同样有意义的（当然如果你愿意，也可以说成“同样无意义”）。 当然，不同赋值方法会对最终社会结果造成影响，也就是说，在不同赋值方法下，有可能得 到不同的最终社会结果。 如果我们想比较个人间的效用或效用之差，我们当然应该寻找能直接提供有意义的基 数效用的数据。在社会状态上引入彩票的做法似乎是种好方法；这方面的工作可参见 Kaneko and Nakamura（1979）。或者假设我们有幸得到拟线性效用函数，它关于价值储藏手段（钱） 是拟线性的。于是我们可以通过用钱衡量每个社会状态然后将金钱值加总的方法，来比较不 168 同个人的效用差异。事实上，在这种情形下，我们可以设想通过补偿的方式来缓解人们在应 该选择哪个社会状态上的争议；一般来说，一旦社会选定某个结果，会使一部分受益而使一 部分人遭受损失，所以人们对选定的结果存在着争议。为了减少争议，我们可将一部分钱从 受益人转移给遭受损失的人。Arrow（1951a）讨论了补偿问题。此处的底线为：对于我们 一开始给出的社会选择问题，尤其是个人偏好的序数形式化问题，导致个人之间的效用比较 容易受到质疑。放弃不相关备选方案的无关性（IIA）似乎能让我们进行个人之间的效用比 较，而且如果你假设你得到的数据可以进行有意义的比较，那么这种方法似乎是最好的方法。 面对着这样的数据时，阿罗定理并不是不是不是不是社会选择 故事 滥竽充数故事班主任管理故事5分钟二年级语文看图讲故事传统美德小故事50字120个国学经典故事ppt 的结局。 8.3 效率效率效率效率 然而，当可得的数据不多时（而且如果我们不愿意接受基于个人序数偏好之上的个人 间的比较时），如果我们不放弃一致同意性或限制可能的个人偏好组合，我们必须将眼光放 低一些：我们不再期待拥有 X 上的完备且传递的社会偏好序，而是另寻它物。 这是经济学和经济学家的传统做法： x 能与 y 比较当且仅当 x 是 y 的一个帕累托改进， 在这种情形下，社会认为 x 比 y 好。在 X 的任何子集 A中，我们寻找帕累托有效率的（通 常简称为“有效率的”）元素。而且（正如经济学家的做法一样）我们并不试图严肃地判断 两个有效率结果的相对价值。下面我们定义新的概念： 我们使用的架构基本与前面相同，尽管现在 X 未必是个有限集。我们继续假设个人集 H 是有限的，而且在 X 上每个人都有着完备且传递的偏好关系在 h� 。严格偏好 h≻ 和无差 异~h 都是由 h� 派生出的。 定义定义定义定义 8.6 对于社会状态对于社会状态对于社会状态对于社会状态（（（（或社会结果或社会结果或社会结果或社会结果）））） x 与与与与 y ，，，，如果如果如果如果 hx y� 对于每个对于每个对于每个对于每个 h H∈ 而且而且而且而且 hx y≻ 对对对对 于至少一个于至少一个于至少一个于至少一个h H∈ ，，，，那么那么那么那么 x 帕累托优于帕累托优于帕累托优于帕累托优于 ．．．．． y （（（（在这种情形下在这种情形下在这种情形下在这种情形下，，，，我们也说我们也说我们也说我们也说 y 帕累托劣于帕累托劣于帕累托劣于帕累托劣于 ．．．．． x ）））） （（（（*）））） ；；；； 如果如果如果如果 hx y≻ 对于每个对于每个对于每个对于每个 h H∈ ，，，，那么那么那么那么社会状态社会状态社会状态社会状态 x 严格帕累托优于严格帕累托优于严格帕累托优于严格帕累托优于．．．．．．．y 。。。。对于对于对于对于 X 的子集的子集的子集的子集 A 与与与与点点点点 x A∈ ，，，，如果不存在如果不存在如果不存在如果不存在 y A∈ 使得使得使得使得 y 帕累托优于帕累托优于帕累托优于帕累托优于 x ，，，，那么那么那么那么 x 在在在在 A 中是中是中是中是帕累托有效率的帕累托有效率的帕累托有效率的帕累托有效率的 ．．．．．．． （（（（或简称或简称或简称或简称，，，， 有效率的有效率的有效率的有效率的））））。。。。A 中所有帕中所有帕中所有帕中所有帕累托有效率的点组成的集合称为累托有效率的点组成的集合称为累托有效率的点组成的集合称为累托有效率的点组成的集合称为 A 的的的的帕累托边界帕累托边界帕累托边界帕累托边界 ．．．．． （Pareto frontier）。 固定一组个人偏好，帕累托优于和严格帕累托优于产生了社会状态之间的二元关系：如 果 x 帕累托优于 y ，则记为 x y> i ；如果 x 严格帕累托优于 y ，则记为 x y i ≫ 。在每个 hx y� 是完备且传递的假设下，容易建立下列结果： 命题命题命题命题 8.7 > i 与与与与 i ≫都是传递且不对称的都是传递且不对称的都是传递且不对称的都是传递且不对称的（asymmetric）。如果如果如果如果 x y i ≫ ，，，，那么那么那么那么 x y> i 。 但是，一般来说，> i 不是完备的（因此， i ≫不是完备的）。至于集合 A X⊆ 中帕累托 有效率点的存在性，我们有： （*） “ x 帕累托优于 y ”的英语表达为 “ x is Pareto superior to y ”或者“ x Pareto dominates y ”。译者 注。 169 命题命题命题命题 8.8 给定的集合给定的集合给定的集合给定的集合 A X⊆ 有一个非空的帕累托边界有一个非空的帕累托边界有一个非空的帕累托边界有一个非空的帕累托边界（（（（也就是说也就是说也就是说也就是说，，，，A 中存在着帕累托有效中存在着帕累托有效中存在着帕累托有效中存在着帕累托有效 率点率点率点率点））））如果如果如果如果（（（（a）））） A 是有限的或是有限的或是有限的或是有限的或（（（（b）（）（）（）（如果如果如果如果 X 是是是是 nR 的一个子集或者有着合适的拓扑结构的一个子集或者有着合适的拓扑结构的一个子集或者有着合适的拓扑结构的一个子集或者有着合适的拓扑结构）））） A 是紧的而且每个是紧的而且每个是紧的而且每个是紧的而且每个 h� 是连续的是连续的是连续的是连续的。 证明证明证明证明：出于简化符号的考虑，我们假设个人（即，H 的成员）分别记为1,2,..., N 对于某个 有限的 N 。在（a）与（b）这两种情形中任意一种情形下，令 1A 是由 A中那些 1� 最优的元 素组成的集合。（也就是说， 1A 是由 1h = 在 A中最喜欢的那些点组成的。）第 1 章中的结果 表明 1A 是非空的。在情形（a），显然 1A 是有限的。在情形（b），我们断言 1A 是紧的：首先， 1A 是有界的，因为 1A 是有界集 A的子集；其次， 1A 是闭的：令 nx 为 1A 中收敛于 x 的一个 点序列。令 y 为 A中的任何其它点；于是由于 nx 在 1A 中， 1nx y� 。但是这样一来，根据 连续性可知， 1x y� 。由于 y 是 A中的任意一点， x 在 A中是 1� 最优的，因此 1x A∈ ，这 说明 1A 是闭的。 现在令子集 2 1A A⊆ 由 1A 中所有 2� 最优点组成。根据刚才的论证， 2A 是非空的，而且 在情形（b）， 2A 是紧的。对于所有 h H∈ ，按照这种方式进行下去；终止于 NA 。论证表 明 NA 为非空的；我们断言任何 Nx A∈ 在 A中是帕累托有效率的。反证法。假设 y A∈ 帕累 托优于 x 。于是 1y x� ，而且由于 1nx A A∈ ⊆ ，因此 y 必定也在 1A 中。按照这种思路进行 下去，我们发现 2y A∈ ，然后属于 3A ，以此类推。但是对于某个最小的标号（index）h ， hy x≻ （由于 y 帕累托优于 x ，沿着这个思路进行下去，我们必定能得到严格偏好）。由于 1hy A −∈ ， 1hx A −∈ ，而且 x 是 1hA − 中 h� 最优元素中的一个，我们知道 hx y� ，这与 hy x≻ 矛盾。因此，不存在这样的 y ，每个 Nx A∈ 都是帕累托有效率的，而且（因此） A的帕累 托边界是非空的。■ （此处是使用你直觉的好地方。我们刚才证明了 NA 是 A的帕累托边界的一个子集。 NA 的构建方法是按照特定的顺序从H 中取相应的元素（个人）；如果我们重排这个序，我们将 得到帕累托边界的另外一个子集。因此，假设我们取元素的所有可能排列（permutations）， 对于每个排列，构建一个类似 NA 的集合。所有这些类似 NA 的集合产生了 A 的整个帕累托 边界吗？答案是否定的。稍后我们将清晰地看到这一点。但现在你不妨想一想其中的原因。） 8.4 识别帕累托边界识别帕累托边界识别帕累托边界识别帕累托边界：：：：效用归属与柏效用归属与柏效用归属与柏效用归属与柏格格格格森社会效用森社会效用森社会效用森社会效用泛泛泛泛函数函数函数函数 在具体的应用中，尽管我们（作为经济学家）可能愿意在帕累托有效率结果中做出选 择，然而我们的确经常希望找到（或刻画）所有有效率的结果。在一些情形下，为了达到这 个目的，我们使用所谓的效用归属（utility imputations）与柏格森社会效用柏格森社会效用柏格森社会效用柏格森社会效用泛泛泛泛函数函数函数函数（Bergsonian social utility functionals）方法。 假设一组个人偏好 ( )h h H∈� 由一组能代表个人偏好关系 h� 的效用函数 :hu X R→ 对 于每个h 给出。在这种情形下，我们可以将每个社会状态 x 映入一个效用向量，该向量的每 个分量是每个人的效用；正式地，令 : Hu X R→ 的定义为 ( ( )) : ( )h hu x u x= 。向量 ( )u x 称 170 为社会状态 x 的效用归属效用归属效用归属效用归属（utility imputations）；u 的值域为效用归属集效用归属集效用归属集效用归属集；如果我们有可行社 会状态的一个子集 A X⊆ ，集合 ( ) { ( ); }u A u x x A= ∈ 称为可行效用归属集。使用这些术语 表达，状态 x 帕累托优于 y 当且仅当 ( ) ( )u x u y≥ 而且 ( ) ( )u x u y≠ ；状态 x 在 A X⊆ 中是 帕 累 托 有 效 率 的 当 且 仅 当 不 存 在 Hv R∈ 使 得 ( )v u y= 对 于 某 个 y A∈ 而 且 ( ), ( )v u x v u x≥ ≠ 。在图形上，当H 有两个成员（从而效用归属是平面中的点）时， A的 帕累托边界是由 x A∈ 组成的点集使得 ( )u x 的东北方不存在 ( )u A 中的其它点。参见图 8.1。 图图图图 8.1：：：：帕累托效率帕累托效率帕累托效率帕累托效率。假设有两个人（H 有两个元素）以及六个社会状态 1 6,...,x x 。对于每 个社会状态 ix ，我们画出 ix 的效用归属，即点 1 2( ) ( ( ), ( ))i i iu x u x u x= 。由图可知： 1x 帕累 托劣于 2x ， 3x 以及 5x ； 4x 帕累托劣于 3x ， 5x 以及 6x ；而且——由于 1 3 1 2( ) ( )u x u x> 而且 2 3 2 2( ) ( )u x u x= ——因此 2x 帕累托劣于 3x 。状态 3x ， 5x 以及 6x 是帕累托有效率的， 3 5 6{ , , }x x x 构成了帕累托边界。 显然，任何具体环境下的效用归属集，取决于我们选择以什么样的具体效用函数 hu 来 代表个人的偏好。 （现在回到命题 8.8 的证明。假设H 有两个元素，因此我们取元素的顺序有两种。如 果我们按一种顺序取第一个元素，然后按另外一种顺序取第二个元素，这个证明过程将选择 帕累托边界 X 上的哪些点？如果假设 A X= ，你能给出图 8.1 这个例子的结果吗？） 在当前环境下，个人在社会状态 X 上的偏好由某个具体的个人效用函数 hu 给出，而且 向量函数u 的定义见前文。在这种情形下，我们有下列明显结果： 命题命题命题命题 8.9 假设假设假设假设 : HW R R→ 是严格递增的是严格递增的是严格递增的是严格递增的。。。。如果如果如果如果 x 是问题是问题是问题是问题 Max ( ) s.t. W u x x X∈ � 的一个解的一个解的一个解的一个解，，，，那么那么那么那么 x 是帕累托有效率的是帕累托有效率的是帕累托有效率的是帕累托有效率的。 证明证明证明证明：我们证明这个命题的逆否命题：如果 x 不是帕累托有效率的，那么某个 y X∈ 帕累托 优于 x 。但这样一来， ( ) ( )u y u x≥ 而且 ( ) ( )u y u x≠ 。如果W 是严格递增的，那么 171 ( ) ( )( ) ( )W u y W u x> ，因此， x 不是这个约束最优化问题的解。 ■ 这个命题的逆成立吗？也就是说，如果 x 是帕累托有效率的，是否存在着某个严格递增 的W 使得 x 是W u� 最大化问题的解？假设答案是肯定的。那么，至少在理论上，我们有了 找出任何 X （或，更一般的，任何 A X⊆ ）的帕累托边界的一种工具，即：对于每个每个每个每个严格 递增函数 HW R R→� 求W u� 最大化问题的解。事实上，答案的确是肯定的。（参见习题 8.5，《学习指南》给出了证明过程。） 但是存在着很多严格递增的函数 HW R R→� ——其中有些函数的行为非常糟糕